資源簡介

高中數學第二章-函數
考試內容：映射、函數、函數的單調性、奇偶性．反函數．互為反函數的函數圖像間的關系．指數概念的擴充．有理指數冪的運算性質．指數函數．對數．對數的運算性質．對數函數．函數的應用．考試要求：（1）了解映射的概念，理解函數的概念．（2）了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法．（3）了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數．（4）理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像 和性質．（5）理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖像和性質．（6）能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題．
§02. 函數 知識要點
一、本章知識網絡結構：
二、知識回顧：
映射與函數
映射與一一映射
2.函數
函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.
3.反函數
反函數的定義
設函數的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x=(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x=(y) (yC)叫做函數的反函數，記作,習慣上改寫成
（二）函數的性質
⒈函數的單調性
定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函數.
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.
2.函數的奇偶性
7. 奇函數，偶函數：
⑴偶函數：
設（）為偶函數上一點，則（）也是圖象上一點.
偶函數的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關于軸對稱，例如：在上不是偶函數.
②滿足，或，若時，.
⑵奇函數：
設（）為奇函數上一點，則（）也是圖象上一點.
奇函數的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關于原點對稱，例如：在上不是奇函數.
②滿足，或，若時，.
8. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判斷函數單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論.
10. 外層函數的定義域是內層函數的值域.
例如：已知函數f（x）= 1+的定義域為A，函數f[f（x）]的定義域是B，則集合A與集合B之間的關系是 .
解：的值域是的定義域，的值域，故，而A，故.
11. 常用變換：
①.
證：
②
證：
12. ⑴熟悉常用函數圖象：
例：→關于軸對稱. →→

→關于軸對稱.
⑵熟悉分式圖象：
例：定義域，
值域→值域前的系數之比.
（三）指數函數與對數函數
指數函數的圖象和性質
a>1
0圖
象
性
質
(1)定義域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1
(4)x>0時，y>1;x<0時，0(4)x>0時，01.
（5）在 R上是增函數
（5）在R上是減函數
對數函數y=logax的圖象和性質:
對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取“+”，當是偶數時且時，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）與互為反函數.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
a>1
0圖
象
性
質
（1）定義域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）過點（1，0），即當x=1時，y=0
（4）時
時 y>0
時
時
（5）在（0，+∞）上是增函數
在（0，+∞）上是減函數
（四）方法總結
⑴.相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑴對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取“+”，當是偶數時且時，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）與互為反函數.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.
⑶.反函數的求法：先解x,互換x、y，注明反函數的定義域(即原函數的值域).
⑷.函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小于0；③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1；④零指數冪的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變量，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大??；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：①f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數.
⑻.圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.

展開更多......

收起↑