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高中數學 第三章 數列
考試內容：數列．等差數列及其通項公式．等差數列前n項和公式．等比數列及其通項公式．等比數列前n項和公式．考試要求：（1）理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項．（2）理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題．（3）理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實際問題． §03. 數 列 知識要點
等差數列
等比數列
定義
遞推公式
；
；
通項公式
（）
中項
（）
（）
前項和
重要性質
1. ⑴等差、等比數列：
等差數列
等比數列
定義
通項公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中項公式
A= 推廣：2=
。推廣：
性質
1
若m+n=p+q則
若m+n=p+q，則。
2
若成A.P（其中）則也為A.P。
若成等比數列 （其中），則成等比數列。
3
． 成等差數列。
成等比數列。
4
，
5
⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法：
①
②2()
③(為常數).
⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.
ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.
iii. →為a、b、c等比數列的必要不充分.
iv. 且→為a、b、c等比數列的充要.
注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.
③(為非零常數).
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.
⑷數列{}的前項和與通項的關系：
[注]： ①（可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若不為0，則是等差數列充分條件）.
②等差{}前n項和 →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件.
③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）
2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍；
②若等差數列的項數為2，則；
③若等差數列的項數為，則，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比數列的前項和公式的常見應用題：
⑴生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年后總產量為：
⑵銀行部門中按復利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利計算，則每月的元過個月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.
5. 數列常見的幾種形式：
⑴（p、q為二階常數）用特證根方法求解.
具體步驟：①寫出特征方程（對應，x對應），并設二根②若可設，若可設；③由初始值確定.
⑵（P、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定.
①轉化等差，等比：.
②選代法：
.
③用特征方程求解：.
④由選代法推導結果：.
6. 幾種常見的數列的思想方法：
⑴等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函數的性質求的值.
⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：
⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.
2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。
3. 在等差數列｛｝中,有關Sn 的最值問題：(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值. (2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
（三）、數列求和的常用方法
1. 公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法:適用于其中{ }是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
　　　3.錯位相減法:適用于其中{ }是等差數列，是各項不為0的等比數列。
4.倒序相加法: 類似于等差數列前n項和公式的推導方法.
5.常用結論
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）

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