資源簡介

高中數學第四章-三角函數
考試內容：角的概念的推廣．弧度制．任意角的三角函數．單位圓中的三角函數線．同角三角函數的基本關系式.正弦、余弦的誘導公式．兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函數、余弦函數的圖像和性質．周期函數．函數y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數的圖像和性質．已知三角函數值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考試要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數與最小正周期的意義．（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．（5）理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A.ω、φ的物理意義．（6）會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinxarc-cosxarctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．（8）“同角三角函數基本關系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．
§04. 三角函數 知識要點
1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：
②終邊在x軸上的角的集合：
③終邊在y軸上的角的集合：
④終邊在坐標軸上的角的集合：
⑤終邊在y=x軸上的角的集合：
⑥終邊在軸上的角的集合：
⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：
⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：
⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：
⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：
2. 角度與弧度的互換關系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
、弧度與角度互換公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧長公式：. 扇形面積公式：
4、三角函數：設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則 ； ； ； ； ；. .
5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函數線
正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.
7. 三角函數的定義域：
三角函數
定義域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函數的基本關系式：


9、誘導公式：
“奇變偶不變，符號看象限”
三角函數的公式：（一）基本關系

公式組二 公式組三

公式組四 公式組五 公式組六

（二）角與角之間的互換
公式組一 公式組二






公式組三 公式組四 公式組五



,,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：
（A、＞0）
定義域
R
R
R
值域
R
R
周期性

奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
奇函數
當非奇非偶
當奇函數
單調性
上為增函數；上為減函數（）
；上為增函數
上為減函數
（）
上為增函數（）
上為減函數（）
上為增函數；
上為減函數（）
注意：①與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.
②與的周期是.
③或（）的周期.
的周期為2（，如圖，翻折無效）.
④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.
⑤當·；·.
⑥與是同一函數,而是偶函數，則
.
⑦函數在上為增函數.（×） [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，為增函數，同樣也是錯誤的].
⑧定義域關于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：，奇函數：）
奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函數，是非奇非偶.（定義域不關于原點對稱）
奇函數特有性質：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質）
⑨不是周期函數；為周期函數（）；
是周期函數（如圖）；為周期函數（）；
的周期為（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有.
11、三角函數圖象的作法：
１）、幾何法：
２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.
３）、利用圖象變換作三角函數圖象．
三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．
函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），
由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）
由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)
由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)
由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）
由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區別。
4、反三角函數：
函數y＝sinx，的反函數叫做反正弦函數，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．
函數y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做反余弦函數，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函數y＝tanx，的反函數叫做反正切函數，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．
函數y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數叫做反余切函數，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 競賽知識要點
一、反三角函數.
1. 反三角函數：⑴反正弦函數是奇函數，故，（一定要注明定義域，若，沒有與一一對應，故無反函數）
注：，，.
⑵反余弦函數非奇非偶，但有，.
注：①，，.
②是偶函數，非奇非偶，而和為奇函數.
⑶反正切函數：，定義域，值域（），是奇函數，
，.
注：，.
⑷反余切函數：，定義域，值域（），是非奇非偶.
，.
注：①，.
②與互為奇函數，同理為奇而與非奇非偶但滿足.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函數的解集：
的取值范圍 解集 的取值范圍 解集
①的解集 ②的解集
＞1 ＞1
=1 =1
＜1 ＜1
③的解集： ③的解集：
二、三角恒等式.
組一
組二
組三 三角函數不等式
＜＜ 在上是減函數
若，則

展開更多......

收起↑