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高中數學第五章-平面向量
考試內容：向量．向量的加法與減法．實數與向量的積．平面向量的坐標表示．線段的定比分點．平面向量的數量積．平面兩點間的距離、平移．考試要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．（2）掌握向量的加法和減法．（3）掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．（5）掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．（6）掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知識要點
1.本章知識網絡結構
?
2.向量的概念?
(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：幾何表示法 ；字母表示：a；
坐標表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.?
(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.?
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.?
單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.?
(5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.?
3.向量的運算?
運算類型
幾何方法
坐標方法
運算性質
向量的
加法
1.平行四邊形法則
2.三角形法則
向量的
減法
三角形法則
,
數
乘
向
量
1.是一個向量,滿足:
2.>0時, 同向;
<0時, 異向;
=0時, .
向
量
的
數
量
積
是一個數
1.時，
.
2.
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理?
e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.?
(2)兩個向量平行的充要條件?
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.?
(3)兩個向量垂直的充要條件?
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.?
(4)線段的定比分點公式?
設點P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則?
＝＋ (線段的定比分點的向量公式)?
(線段定比分點的坐標公式)?
當λ＝1時，得中點公式：?
＝（＋）或
(5)平移公式
設點P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點P′（x′，y′），
則＝+a或
曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數解析式為：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理?
正弦定理：
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，?
b2＝c2＋a2－2cacosB，?
c2＝a2＋b2－2abcosC.?
（7）三角形面積計算公式：
設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海倫公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.
如圖：

圖1中的I為S△ABC的內心， S△=Pr

圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五個“心”；
重心：三角形三條中線交點.
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.
內心：三角形三內角的平分線相交于一點.
垂心：三角形三邊上的高相交于一點.
旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.
⑸已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即]
則：①AE==1/2（b+c-a）
②BN==1/2（a+c-b）
③FC==1/2（a+b-c）
綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.
特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=（如圖3）.
⑹在△ABC中，有下列等式成立.
證明：因為所以，所以，結論！
⑺在△ABC中，D是BC上任意一點，則.
證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①
在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡
可得，（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中線，；
②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；
③若AD是BC上的高，，其中為半周長.
⑻△ABC的判定：
△ABC為直角△∠A + ∠B =
＜△ABC為鈍角△∠A + ∠B＜
＞△ABC為銳角△∠A + ∠B＞
附：證明：，得在鈍角△ABC中，
⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.
空間向量
1．空間向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空間的一個平移就是一個向量
⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示
2．空間向量的運算
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下
運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3 共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．
4．共線向量定理及其推論：
共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.
推論：如果為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數t滿足等式
．
其中向量叫做直線的方向向量.
5．向量與平面平行：
已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內，那么我們說向量平行于平面，記作：．
通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
說明：空間任意的兩向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數使
推論：空間一點位于平面內的充分必要條件是存在有序實數對，使或對空間任一點，有 ①
①式叫做平面的向量表達式
7 空間向量基本定理：
如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個
有序實數，使
8 空間向量的夾角及其表示：
已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.
9．向量的模：
設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.
10．向量的數量積： ．
已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.
可以證明的長度．
11．空間向量數量積的性質：
（1）．（2）．（3）．
12．空間向量數量積運算律：
（1）．（2）（交換律）（3）（分配律）．
空間向量的坐標運算
一．知識回顧：
（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉化：)
②空間兩點的距離公式：.
（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.
②利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序實數對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.

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