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高中數學第十三章-極 限
考試內容：
?　教學歸納法．數學歸納法應用．
　 數列的極限．
　 函數的極限．根限的四則運算．函數的連續性．
考試要求：
（1）理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
（2）了解數列極限和函數極限的概念．
（3）掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函數的極限．
（4）了解函數連續的意義，了解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質．
§13. 極 限 知識要點
1. ⑴第一數學歸納法：①證明當取第一個時結論正確；②假設當（）時，結論正確，證明當時，結論成立.
⑵第二數學歸納法：設是一個與正整數有關的命題，如果
①當（）時，成立；
②假設當（）時，成立，推得時，也成立.
那么，根據①②對一切自然數時，都成立.
2. ⑴數列極限的表示方法：
①
②當時，.
⑵幾個常用極限：
①（為常數）
②
③對于任意實常數，
當時，
當時，若a = 1，則；若，則不存在
當時，不存在
⑶數列極限的四則運算法則：
如果，那么
①
②
③
特別地，如果C是常數，那么
.
⑷數列極限的應用：
求無窮數列的各項和，特別地，當時，無窮等比數列的各項和為.
（化循環小數為分數方法同上式）
注：并不是每一個無窮數列都有極限.
3. 函數極限；
⑴當自變量無限趨近于常數（但不等于）時，如果函數無限趨進于一個常數，就是說當趨近于時，函數的極限為.記作或當時，.
注：當時，是否存在極限與在處是否定義無關，因為并不要求.（當然，在是否有定義也與在處是否存在極限無關.函數在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）
如在處無定義，但存在，因為在處左右極限均等于零.
⑵函數極限的四則運算法則：
如果，那么
①
②
③
特別地，如果C是常數，那么
.
（）
注：①各個函數的極限都應存在.
②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.
⑶幾個常用極限：
①
②（0＜＜1）；（＞1）
③
④，（）
4. 函數的連續性：
⑴如果函數f（x），g（x）在某一點連續，那么函數在點處都連續.
⑵函數f（x）在點處連續必須滿足三個條件：
①函數f（x）在點處有定義；②存在；③函數f（x）在點處的極限值等于該點的函數值，即.
⑶函數f（x）在點處不連續（間斷）的判定：
如果函數f（x）在點處有下列三種情況之一時，則稱為函數f（x）的不連續點.
①f（x）在點處沒有定義，即不存在；②不存在；③存在，但.
5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：
⑴零點定理：設函數在閉區間上連續，且.那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點（＜＜）使.
⑵介值定理：設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同函數值，，那么對于之間任意的一個數，在開區間內至少有一點，使得（＜＜）.
⑶夾逼定理：設當時，有≤≤，且，則必有
注：：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數）
6. 幾個常用極限：
①
②
③為常數）
④
⑤為常數）

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