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高中數學第十五章 復數
考試內容：
?　 復數的概念．
　　復數的加法和減法．
　　復數的乘法和除法．
　　數系的擴充．
考試要求：
（1）了解復數的有關概念及復數的代數表示和幾何意義．
（2）掌握復數代數形式的運算法則，能進行復數代數形式的加法、減法、乘法、除法運算．
（3）了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想．
§15. 復 數 知識要點
1. ⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即.
⑵復數及其相關概念：
復數—形如a + bi的數（其中）；
實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；
虛數—當時的復數a + bi；
純虛數—當a = 0且時的復數a + bi，即bi.
復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）
復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.
⑶兩個復數相等的定義：
.
⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.
注：①若為復數，則若，則.（×）[為復數，而不是實數]
若，則.（√）
②若，則是的必要不充分條件.（當，
時，上式成立）
2. ⑴復平面內的兩點間距離公式：.
其中是復平面內的兩點所對應的復數，間的距離.
由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的復數方程：.
⑵曲線方程的復數形式：
①為圓心，r為半徑的圓的方程.
②表示線段的垂直平分線的方程.
③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.
④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.
⑶絕對值不等式：
設是不等于零的復數，則
①.
左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.
②.
左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.
注：.
3. 共軛復數的性質：

，（a + bi）

（）
注：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]
4. ⑴①復數的乘方：
②對任何，及有
③
注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論.
②在實數集成立的. 當為虛數時，，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結論：

若是1的立方虛數根，即，則 .
5. ⑴復數是實數及純虛數的充要條件：
①.
②若，是純虛數.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.
注：.
6. ⑴復數的三角形式：.
輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.
注：①為零時，可取內任意值.
②輻角是多值的，都相差2的整數倍.
③設則.
⑵復數的代數形式與三角形式的互化：
，，.
⑶幾類三角式的標準形式：
7. 復數集中解一元二次方程：
在復數集內解關于的一元二次方程時，應注意下述問題：
①當時，若＞0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若＜0，則有二相等復數根（為共軛復數）.
②當不全為實數時，不能用方程根的情況.
③不論為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.
8. 復數的三角形式運算：
棣莫弗定理：.

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