資源簡介

專題一　函數與導數
第1講　函數的圖象與性質
[考情分析]　
1.函數的圖象與性質是高考考查的重點和熱點，主要考查函數的定義域與值域、分段函數、函數圖象的識別與應用以及函數性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)的綜合應用，難度屬于中等及以上.
2.此部分內容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時在壓軸題的位置，多與導數、不等式、創(chuàng)新性問題相結合命題．
考點一　函數的概念與表示
核心提煉
1．復合函數的定義域
(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍即為f(g(x))的定義域．
(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域．
2．分段函數
分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數值域的并集．
例1　(1)(2023·南昌模擬)已知函數f(x)的定義域為(1，＋∞)，則函數F(x)＝f(2x－3)＋的定義域為(　　)
A．(2,3] B．(－2,3]
C．[－2,3] D．(0,3]
(2)(2023·重慶模擬)設a>0且a≠1，若函數f(x)＝的值域是[5，＋∞)，則a的取值范圍是(　　)
A．[，＋∞) B．(1，)
C．(1，] D．(，＋∞)
規(guī)律方法　(1)形如f(g(x))的函數求值時，應遵循先內后外的原則．
(2)對于分段函數的求值(解不等式)問題，必須依據條件準確地找出利用哪一段求解．
跟蹤演練1　(1)(2023·濰坊模擬)設函數f(x)＝則f(8)等于(　　)
A．10 B．9 C．7 D．6
(2)(多選)設函數f(x)的定義域為D，如果對任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數f(x)為“M函數”．下列為“M函數”的是(　　)
A．f(x)＝sin xcos x B．f(x)＝ln x＋ex
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x
考點二　函數的圖象
核心提煉
1．作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．
2．利用函數圖象可以判斷函數的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點．
例2　(1)(2023·寧波十校聯(lián)考)函數f(x)＝ln |x|cos的圖象可能為(　　)
(2)(多選)(2023·吉安模擬)已知函數f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－4
B．x3x4＝1
C．1D．0規(guī)律方法　(1)確定函數圖象的主要方法是利用函數的性質，如定義域、奇偶性、單調性等，特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象．
(2)函數圖象的應用主要體現(xiàn)為數形結合思想，借助于函數圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題．
跟蹤演練2　(1)(2022·全國乙卷)如圖是下列四個函數中的某個函數在區(qū)間[－3,3]的大致圖象，則該函數是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
(2)已知函數f(x)＝則下列圖象錯誤的是(　　)
考點三　函數的性質
核心提煉
1．函數的奇偶性
(1)定義：若函數的定義域關于原點對稱，則有
f(x)是偶函數 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函數 f(－x)＝－f(x)．
(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數性質法(如奇函數×奇函數是偶函數)．
2．函數單調性判斷方法：定義法、圖象法、導數法．
3．函數的周期性
若函數f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，則函數y＝f(x)的周期為2|a|.
4．函數圖象的對稱中心和對稱軸
(1)若函數f(x)滿足關系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱．
(2)若函數f(x)滿足關系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
考向1　單調性與奇偶性
例3　(2023·泰安模擬)已知奇函數f(x)在R上是減函數，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．aC．b考向2　奇偶性、周期性與對稱性
例4　(多選)(2023·鹽城統(tǒng)考)已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，f(x)為偶函數，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列說法正確的有(　　)
A．函數g(x)的圖象關于直線x＝1對稱
B．函數f(x)的圖象關于點(－1，－1)對稱
C．函數f(x)是以4為周期的周期函數
D．函數g(x)是以6為周期的周期函數
二級結論　(1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，則f(x)的周期為2|a|.
(2)若f(x)的圖象關于直線x＝a和x＝b對稱，則f(x)的周期為2|a－b|.
(3)若f(x)的圖象關于點(a,0)和直線x＝b對稱，則f(x)的周期為4|a－b|.
跟蹤演練3　(1)(2023·林芝模擬)已知定義在R上的函數f(x)在(－∞，2]上單調遞減，且f(x＋2)為偶函數，則不等式f(x－1)>f(2x)的解集為(　　)
A.∪(6，＋∞)
B．(－∞，－1)∪
C.
D.
(2)(多選)已知函數f(x)，g(x)的定義域為R，g′(x)為g(x)的導函數，g(x)為偶函數且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，則下列結論正確的是(　　)
A．g′(x)為奇函數
B．f(2)＝2
C．g′(2)＝2
D．f(2 022)＝2
第1講　函數的圖象與性質
例1　(1)A　(2)C
跟蹤演練1　(1)C　(2)AB
例2　(1)A
(2)AB　[函數f(x)＝
的圖象如圖所示，
設f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，則0則直線y＝t與函數y＝f(x)的圖象的4個交點橫坐標分別為x1，x2，x3，x4，
對于A，函數y＝－x2－4x的圖象關于直線x＝－2對稱，則x1＋x2＝－4，故A正確；
對于B，由圖象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0所以－log2x3＝log2x4，
即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，
故B正確；
當x≤0時，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4，
由圖象可知log2x4∈(0,4)，則1由圖象可知－4所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0,4)，故D錯誤．]
跟蹤演練2　(1)A　(2)D
例3　D　[因為f(x)為奇函數且在R上是減函數，
所以f(－x)＝－f(x)，且當x>0時，f(x)<0.
因為g(x)＝xf(x)，
所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
故g(x)為偶函數．
當x>0時，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
因為f(x)<0，f′(x)<0，
所以g′(x)<0.
即g(x)在(0，＋∞)上單調遞減．
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
因為3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，
所以g(3)即b例4　BC　[對于A選項，因為f(x)為偶函數，
所以f(－x)＝f(x)．
由f(x)＋g(2－x)＝1，
可得f(－x)＋g(2＋x)＝1，
可得g(2＋x)＝g(2－x)，
所以函數g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，A錯誤；
對于B選項，因為g(x)－f(x－4)＝3，
則g(2－x)－f(－2－x)＝3，
又因為f(x)＋g(2－x)＝1，
可得f(x)＋f(－2－x)＝－2，
所以函數f(x)的圖象關于點(－1，－1)對稱，B正確；
對于C選項，因為函數f(x)為偶函數，
且f(x)＋f(－2－x)＝－2，
則f(x)＋f(x＋2)＝－2，
從而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，
則f(x＋4)＝f(x)，
所以函數f(x)是以4為周期的周期函數，C正確；
對于D選項，因為g(x)－f(x－4)＝3，
且f(x)＝f(x－4)，
所以g(x)－f(x)＝3，
又因為f(x)＋g(2－x)＝1，
所以g(x)＋g(2－x)＝4，
又因為g(2－x)＝g(2＋x)，
則g(x)＋g(x＋2)＝4，
所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4，
故g(x＋4)＝g(x)，
因此函數g(x)是周期為4的周期函數，D錯誤．]
跟蹤演練3　(1)D
(2)ABD　[∵g(x)為偶函數，
∴g(－x)＝g(x)，
∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)為奇函數，故A正確；
又f(x)＋g′(x)＝2，
f(x)－g′(4－x)＝2，
令x＝2，則
解得f(2)＝2，g′(2)＝0，
故B正確，C錯誤；
∵f(x)－g′(4－x)＝2，
∴f(x＋4)－g′(－x)＝2，
又g′(x)為奇函數，
則f(x＋4)＋g′(x)＝2，
又f(x)＋g′(x)＝2，
∴f(x＋4)＝f(x)，
故f(x)是以4為周期的周期函數，
∴f(2 022)＝f(2)＝2，故D正確．]

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