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第2講　基本初等函數、函數與方程
[考情分析]　
1.基本初等函數的圖象與性質是高考考查的重點，利用函數性質比較大小、解不等式是常見題型.
2.函數零點的個數判斷及參數范圍是常考題型，常以壓軸題的形式出現.
3.函數模型及應用是近幾年高考的熱點，通常考查指數函數、對數函數模型．
考點一　基本初等函數的圖象與性質
核心提煉
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，其圖象關于y＝x對稱，它們的圖象和性質分01兩種情況，著重關注兩種函數圖象的異同．
例1　(1)已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數f(x)＝x與g(x)＝logbx的圖象可能是(　　)
(2)(2023·六盤水質檢)設a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝log0.80.7，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．b>c>a B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
規律方法　(1)指數函數、對數函數的圖象與性質受底數a的影響，解決與指數函數、對數函數有關的問題時，首先要看底數a的取值范圍．
(2)基本初等函數的圖象和性質是統一的，在解題中可相互轉化．
跟蹤演練1　(1)(多選)(2023·惠州模擬)若6a＝2,6b＝3，則(　　)
A．a＋b＝1 B.>1
C．ab< D．b－a<
(2)(2023·邯鄲模擬)不等式10x－6x－3x≥1的解集為________．
考點二　函數的零點
核心提煉
判斷函數零點個數的方法
(1)利用函數零點存在定理判斷．
(2)代數法：求方程f(x)＝0的實數根．
(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，利用函數的性質找出零點或利用兩個函數圖象的交點求解．在利用函數性質時，可用求導的方法判斷函數的單調性．
考向1　函數零點個數的判斷
例2　(2023·全國甲卷)函數y＝f(x)的圖象由函數y＝cos的圖象向左平移個單位長度得到，則y＝f(x)的圖象與直線y＝x－的交點個數為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考向2　求參數的值或范圍
例3　若關于x的方程ex＝a|x|恰有兩個不同的實數解，則實數a＝________.
規律方法　利用函數零點的情況求參數值(或取值范圍)的三種方法
跟蹤演練2　(1)函數f(x)＝的零點個數為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2023·九江模擬)函數f(x)＝4sin x－|x－1|的所有零點之和為________．
考點三　函數模型及其應用
核心提煉
解函數應用題的步驟
(1)審題：縝密審題，準確理解題意，分清條件和結論，理清數量關系．
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型．
(3)求模：求解數學模型，得出數學結論．
(4)反饋：將得到的數學結論還原為實際問題的意義．
例4　(1)某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾(參考數據：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lg ，其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離/m 聲壓級/dB
燃油汽車 10 60～90
混合動力汽車 10 50～60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
易錯提醒　構建函數模型解決實際問題的失分點
(1)不能選擇相應變量得到函數模型．
(2)構建的函數模型有誤．
(3)忽視函數模型中變量的實際意義．
跟蹤演練3　(1)(2023·合肥模擬)Malthus模型是一種重要的數學模型．某研究人員在研究一種細菌繁殖數量N(t)與時間t的關系時，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0時刻的細菌數量，e為自然對數的底數．若t時刻細菌數量是t0時刻細菌數量的6.3倍，則t約為(ln 6.3≈1.84)(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存．已知金針菇失去的新鮮度h與其采摘后時間t(天)滿足的函數解析式為h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%，采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度(已知≈1.414，結果取一位小數)(　　)
A．4.0天 B．4.3天
C．4.7天 D．5.1天
第2講　基本初等函數、函數與方程
例1　(1)B　(2)D
跟蹤演練1　(1)ABC
(2)[1，＋∞)
解析　由10x－6x－3x≥1，
可得x＋x＋x≤1.
令f(x)＝x＋x＋x，
因為y＝x，y＝x，y＝x均在R上是減函數，則f(x)在R上是減函數，且f(1)＝1，
所以f(x)≤f(1)，即x≥1.
故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞)．
例2　C　[因為y＝cos向左平移個單位長度所得函數為y＝cos
＝cos＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而y＝x－顯然過與(1,0)兩點，
作出y＝f(x)與y＝x－的大致圖象如圖所示，
考慮2x＝－，2x＝，2x＝，
即x＝－，x＝，x＝處f(x)與y＝x－的大小關系，
當x＝－時，
f ＝－sin＝－1，
y＝×－＝－<－1；
當x＝時，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝<1；
當x＝時，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝>1.
所以由圖可知，f(x)與y＝x－的交點個數為3.]
例3　e
解析　如圖，顯然a>0.
當x≤0時，由單調性得方程ex＝－ax有且僅有一解．
因此當x>0時，方程ex＝ax只有一解．
即y＝ax與y＝ex相切，
y′＝ex，令y′＝a得x＝ln a，
故當x＝ln a時，ex＝ax，
得eln a＝aln a，即a＝aln a，
從而a＝e，故當a＝e時，y＝ax與函數y＝ex相切，此時方程ex＝ax有一解，
若方程ex＝a|x|恰有兩個不同的解，則a＝e.
跟蹤演練2　(1)B　(2)6
例4　(1)D
(2)ACD　[因為Lp＝20×lg隨著p的增大而增大，
且∈[60,90]，∈[50,60]，
所以≥，
所以p1≥p2，故A正確；
由Lp＝20×lg ，得p＝，
因為＝40，
所以p3＝＝100p0，故C正確；
假設p2>10p3，則，
所以>10，
所以－>20，不可能成立，
故B不正確；
因為＝≥1，
所以p1≤100p2，故D正確．]
跟蹤演練3　(1)C　(2)C

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