資源簡介

第5講　導數的綜合應用
[考情分析]　1.利用導數研究函數的單調性與極值(最值)是高考的常見題型，而導數與函數、不等式、方程、數列等的交匯命題是高考的熱點和難點.2.多以解答題的形式壓軸出現，難度較大．
母題突破1　導數與不等式的證明
母題　(2023·十堰調研)已知函數f(x)＝(2－x)ex－ax－2.
(1)若f(x)在R上是減函數，求a的取值范圍；
(2)當0≤a<1時，求證：f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點x0，且x0<.
思路分析
f′ x ≤0恒成立
f′ x max≤0求解
0 x0<\f(e,a＋1)，ax0＋x0 ax0＋x0< 2－x0
2－x0 ≤e
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[子題1]　(2023·哈師大附中模擬)已知函數f(x)＝ex＋exln x(其中e是自然對數的底數)．
求證：f(x)≥ex2.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[子題2]　已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ex.證明：f(x)＋>g(－x)．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
規律方法　利用導數證明不等式問題的方法
(1)直接構造函數法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)－g(x)<0)，進而構造輔助函數h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論．
(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同結構變形，根據相似結構構造輔助函數．
1．(2023·桂林模擬)已知函數f(x)＝x2－cos x，求證：f(x)＋2－>0.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2．(2023·南昌模擬)已知函數f(x)＝a(x2－1)－ln x(x>0)．
若0________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________母題突破3　零點問題
母題　已知函數f(x)＝sin x－，判斷f(x)在(0，π)上零點的個數，并說明理由．
思路分析
等價轉換f(x)＝0
判斷g(x)＝ex·sin x－x＋1的零點
討論g(x)在上的零點個數
討論g(x)在上的零點個數
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[子題1]　(2023·安慶模擬)已知函數f(x)＝eln x＋bx2e1－x.若f(x)的導函數f′(x)恰有兩個零點，求b的取值范圍．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[子題2]　設函數f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R)，函數g(x)＝ax－1.證明：當a≤2時，函數H(x)＝f(x)－g(x)至多有一個零點．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
規律方法　(1)求解函數零點(方程根)個數問題的步驟
①將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區間上的交點問題．
②利用導數研究該函數在該區間上的單調性、極值(最值)、端點值等性質．
③結合圖象求解．
(2)已知零點求參數的取值范圍
①結合圖象與單調性，分析函數的極值點．
②依據零點確定極值的范圍．
③對于參數選擇恰當的分類標準進行討論．
1．(2023·鄭州模擬)已知函數f(x)＝xln x＋a－ax(a∈R)．若函數f(x)在區間[1，e]上有且只有一個零點，求實數a的取值范圍．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2．(2023·商洛模擬)已知函數f(x)＝(x－2)ex，其中e為自然對數的底數．函數g(x)＝f(x)－ln x，證明：g(x)有且僅有兩個零點．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________母題突破2　恒成立問題與能成立問題
母題　(2023·新鄉模擬)已知函數f(x)＝x2－(2a＋1)x＋2aln x．若f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍．
思路分析一
f x ≥0恒成立
f x min≥0
分類討論求f x min
思路分析二
f x ≥0恒成立
求證x－ln x>0
分離參數構造新函數
求新函數最值
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[子題1]　(2023·青島模擬)已知函數f(x)＝ex－a－ln x．若存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)<0，求a的取值范圍．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
[子題2]　(2023·全國乙卷改編)已知函數f(x)＝ln(1＋x)．若f′(x)≥0在區間(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
規律方法　(1)由不等式恒成立求參數的取值范圍問題的策略
①求最值法：將恒成立問題轉化為利用導數求函數的最值問題．
②分離參數法：將參數分離出來，進而轉化為a>f(x)max或a(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進行轉化，要理解清楚兩類問題的差別．
1．已知函數f(x)＝(x－4)ex－x2＋6x，g(x)＝ln x－(a＋1)x，a>－1.若存在x1∈[1,3]，對任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g(x2)>f(x1)成立，求實數a的取值范圍．(e3≈20.09)
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2．(2023·全國甲卷)已知函數f(x)＝ax－，x∈.
(1)當a＝8時，討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________第5講　導數的綜合應用
母題突破1　導數與不等式的證明
INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 母題 INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)解　因為f(x)＝(2－x)ex－ax－2，
所以f′(x)＝(1－x)ex－a.由f(x)在R上是減函數，得f′(x)≤0，
即(1－x)ex－a≤0在R上恒成立．
令g(x)＝(1－x)ex－a，
則g′(x)＝－xex.
當x∈(－∞，0)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；
當x∈(0，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減．
故g(x)max＝g(0)＝1－a≤0，解得a≥1，
即a的取值范圍為[1，＋∞)．
(2)證明　由(1)可知，f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，
且當0≤a<1時，f′(0)＝1－a>0，
f′(1)＝－a≤0，
故 x1∈(0,1]，使得f′(x1)＝0.
當x∈(0，x1)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；
當x∈(x1，＋∞)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減．
因為f(0)＝0，f(2)＝－2a－2<0，
所以f(x)在(0,2)上只有一個零點x0，
故函數f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點x0.
因為0即證ax0＋x0因為f(x0)＝(2－x0)ex0－ax0－2＝0，
所以(2－x0)ex0＝ax0＋2>ax0＋x0，
令h(x)＝(2－x)ex－e,0則h′(x)＝(1－x)ex.
當x∈(0,1)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增；
當x∈(1,2)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減．
故h(x)max＝h(1)＝0.
即(2－x0)ex0－e≤0，即(2－x0)ex0≤e，所以ax0＋x0[子題1]　證明　由f(x)≥ex2，
得ex＋exln x≥ex2，
即＋ln x－x≥0，
令g(x)＝＋ln x－x，
則g′(x)＝＋－1
＝
＝.
令h(x)＝ex－1－x，則h′(x)＝ex－1－1，
當x>1時，h′(x)>0；
當0所以h(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
所以h(x)≥h(1)＝0.
所以當01時，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
于是g(x)≥g(1)＝0，原不等式得證．
[子題2]　證明　根據題意，g(－x)＝e－x，所以f(x)＋>g(－x)等價于xln x>xe－x－.
設函數m(x)＝xln x，
則m′(x)＝1＋ln x，
所以當x∈時，m′(x)<0；
當x∈時，m′(x)>0，
故m(x)在上單調遞減，在上單調遞增，從而m(x)在(0，＋∞)上的最小值為m＝－.
設函數h(x)＝xe－x－，x>0，
則h′(x)＝e－x(1－x)．
所以當x∈(0,1)時，h′(x)>0；
當x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，
故h(x)在(0,1)上單調遞增，
在(1，＋∞)上單調遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－.
綜上，當x>0時，m(x)>h(x)，
即f(x)＋>g(－x)．
跟蹤演練
1．證明　f(x)＝x2－cos x，
要證f(x)＋2－>0，
即證x2－cos x＋2－>0.
即證x2－cos x>－2.
令g(x)＝x2－cos x，
∵g(－x)＝g(x)，∴g(x)為偶函數，
當x∈[0，＋∞)時，g′(x)＝2x＋sin x，令k(x)＝2x＋sin x，k′(x)＝2＋cos x>0，
∴g′(x)在[0，＋∞)上單調遞增，
∴g′(x)≥g′(0)＝0，
∴g(x)在[0，＋∞)上單調遞增，
由g(x)為偶函數知，g(x)在(－∞，0]上單調遞減，
∴g(x)≥g(0)＝－1.
設h(x)＝－2，
∴h′(x)＝，
∴當x>1時，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上單調遞減；
當x<1時，h′(x)>0，
∴h(x)在(－∞，1)上單調遞增．
∴h(x)max＝h(1)＝－1，
∴x2－cos x>－2.
原不等式得證．
2．證明　由f(x)＝a(x2－1)－ln x，
得f′(x)＝2ax－＝，
因為f′＝0且>1.
所以當0當x>時，f′(x)>0，則f(x)在上單調遞增，
所以當0f(1)＝0，
又因為>1，所以f <0，
又當x→＋∞時，f(x)→＋∞，
所以必然存在x0>1，使得f(x0)＝0，
即a＝，
所以f′(x0)＝·x0－，
要證f′(x0)<1－2a，
即證·x0－<1－，
即證－1－<0，
即證2ln x0－<0，
設φ(x)＝2ln x－(x>1)，
則φ′(x)＝－1－
＝－＝－，
所以當x>1時，φ′(x)<0，
則φ(x)在(1，＋∞)上單調遞減，
所以φ(x)<φ(1)＝0.
即2ln x0－<0，
即f′(x0)<1－2a.
母題突破2　恒成立問題與能成立問題
INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 母題 INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET 　解　方法一　(求最值法)
f(x)的定義域為(0，＋∞)，
因為f(x)≥0恒成立，
所以f(x)min≥0，
f′(x)＝x－(2a＋1)＋
＝
＝.
當a≤0時，由f′(x)>0，得x>1；
由f′(x)<0，得0所以f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，
所以f(x)min＝f(1)＝－－2a，
由－－2a≥0，可得a≤－.
當a>0時，注意到f(1)＝－－2a<0，不符合題意，故a≤－，即實數a的取值范圍為.
方法二　(分離參數法)
由f(x)≥0，可得x2－x－2a(x－ln x)≥0.
構造函數h(x)＝x－ln x，
則h′(x)＝1－＝，
由h′(x)>0，得x>1；由h′(x)<0，得0所以h(x)min＝h(1)＝1>0，
所以x－ln x>0，
所以原不等式等價于2a≤.
令g(x)＝(x>0)，
則g′(x)＝.
令φ(x)＝x＋1－ln x，
則φ′(x)＝，
由φ′(x)>0，得x>2；由φ′(x)<0，得0易知φ(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增，
所以φ(x)≥φ(2)＝2－ln 2>0，
所以當x>1時，g′(x)>0；
當0所以g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，g(x)≥g(1)＝－，
由2a≤－，得a≤－，故實數a的取值范圍為.
[子題1]　解　存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)<0，
即－ln x0<0，即即存在x0∈[e，＋∞)，使ea>.
令h(x)＝，因此只要函數h(x)＝在區間[e，＋∞)上的最小值小于ea即可．
h′(x)＝，
令u(x)＝ln x－，
∵u′(x)＝＋>0，
∴u(x)在[e，＋∞)上單調遞增，
又u(e)＝1－>0.
∴h′(x)＝>0在[e，＋∞)上恒成立．
∴h(x)＝在[e，＋∞)上單調遞增，
函數h(x)＝在區間[e，＋∞)上的最小值為h(e)＝ee，
由h(e)＝eee.
故a的取值范圍是(e，＋∞)．
[子題2]　解　f′(x)＝－ln(x＋1)＋，
因為f′(x)≥0在區間(0，＋∞)上恒成立．
令－ln(x＋1)＋≥0，
則－(x＋1)ln(x＋1)＋(x＋ax2)≥0，
令g(x)＝ax2＋x－(x＋1)ln(x＋1)，
原問題等價于g(x)≥0在區間(0，＋∞)上恒成立，
則g′(x)＝2ax－ln(x＋1)，
當a≤0時，由于2ax≤0，ln(x＋1)>0，
故g′(x)<0，g(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，
此時g(x)令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln(x＋1)，
則h′(x)＝2a－，
當a≥，即2a≥1時，由于<1，
所以h′(x)>0，h(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，即g′(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，
所以g′(x)>g′(0)＝0，g(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，g(x)>g(0)＝0，符合題意．
當0由h′(x)＝2a－＝0，
可得x＝－1，
當x∈時，h′(x)<0，
h(x)在區間上單調遞減，
即g′(x)在區間上單調遞減，
注意到g′(0)＝0，
故當x∈時，
g′(x)由于g(0)＝0，故當x∈時，
g(x)跟蹤演練
1．解　由f(x)＝(x－4)ex－x2＋6x，
得f′(x)＝ex＋(x－4)ex－2x＋6
＝(x－3)ex－2x＋6＝(x－3)(ex－2)，
當x∈[1,3]時，f′(x)≤0，
所以f(x)在[1,3]上單調遞減，f(x)min＝f(3)＝9－e3，
于是若存在x1∈[1,3]，對任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g(x2)>f(x1)成立，則ln x－(a＋1)x>9－e3(a>－1)在[e2，e3]上恒成立，
即a＋1<在[e2，e3]上恒成立，
令h(x)＝，x∈[e2，e3]，
則a＋1h′(x)＝
＝，
因為x∈[e2，e3]，
所以ln x∈[2,3]，10－e3－ln x∈[7－e3，8－e3]，
因為e3≈20.09，
所以8－e3≈8－20.09＝－12.09<0，
所以h′(x)<0，
所以h(x)單調遞減，故h(x)min＝h(e3)＝＝1－，
于是a＋1<1－，得a<－，
又a>－1，所以實數a的取值范圍是.
2．解　f′(x)＝
a－
＝a－
＝a－，
令cos2x＝t，則t∈(0,1)，
則f′(x)＝g(t)＝a－
＝，t∈(0,1)．
(1)當a＝8時，f′(x)＝g(t)＝＝，
當t∈，即x∈時，
f′(x)<0.
當t∈，即x∈時，
f′(x)>0.
所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
(2)設h(x)＝f(x)－sin 2x，
h′(x)＝f′(x)－2cos 2x
＝g(t)－2(2cos2x－1)＝－2(2t－1)
＝a＋2－4t＋－，
設φ(t)＝a＋2－4t＋－，
則φ′(t)＝－4－＋
＝
＝－，
當t∈(0,1)時，φ′(t)>0，φ(t)單調遞增，
所以φ(t)<φ(1)＝a－3.
若a∈(－∞，3]，
則h′(x)＝φ(t)即h(x)在上單調遞減，
所以h(x)若a∈(3，＋∞)，當t→0＋時，－＝－32＋→－∞，
所以φ(t)→－∞.
φ(1)＝a－3>0.
所以 t0∈(0,1)，使得φ(t0)＝0，
即 x0∈，使得h′(x0)＝0，
t0＝cos2x0.
當t∈(t0,1)時，φ(t)>0，
即當x∈(0，x0)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增，
所以當x∈(0，x0)時，h(x)>h(0)＝0，不符合題意．
綜上，a的取值范圍為(－∞，3]．
母題突破3　零點問題
INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 母題 INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET 　解　由f(x)＝sin x－＝0，
可得ex·sin x－x＋1＝0，
令g(x)＝ex·sin x－x＋1，x∈(0，π)，
所以g′(x)＝(sin x＋cos x)ex－1，
①當x∈時，sin x＋cos x＝sin≥1，ex>1，
所以g′(x)>0，
所以g(x)在上單調遞增，
又因為g(0)＝1>0，所以g(x)在上沒有零點；
②當x∈時，
令h(x)＝ex－1，
所以h′(x)＝2cos x·ex<0，
即h(x)在上單調遞減，
又因為h＝－1>0，h＝－eπ－1<0，所以存在x0∈，使得h(x0)＝0，
所以g(x)在上單調遞增，在(x0，π)上單調遞減，
因為g(x0)>g＝－＋1>0，
g(π)＝－π＋1<0，
所以g(x)在上沒有零點，在(x0，π)上有且只有一個零點，
綜上所述，f(x)在(0，π)上有且只有一個零點．
[子題1]　解　由f′(x)＝＋bx(2－x)e1－x＝0得，＝bx(x－2)．
顯然x≠2，x>0.
因此＝b.
令g(x)＝，x>0且x≠2，
則g′(x)＝，
解方程x2－5x＋4＝0得，
x1＝4，x2＝1，
因此函數g(x)在(0,1)和(4，＋∞)上單調遞增，在(1,2)和(2,4)上單調遞減，且極大值為g(1)＝－e，極小值為g(4)＝.g(x)的大致圖象如圖所示．
INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\1-36.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\1-36.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\1-36.TIF" \* MERGEFORMATINET
由圖象可知，當b>或b<－e時，直線y＝b與曲線y＝g(x)的圖象分別有兩個交點，即函數f′(x)恰有兩個零點．故b的取值范圍是
(－∞，－e)∪.
[子題2]　證明　因為H(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1，
所以H′(x)＝(x>－1)，
令H′(x)＝0，x1＝0，x2＝－1.
當x→－1＋時，H(x)→－∞；
當x→＋∞時，H(x)→＋∞.
①當a＝2時，H′(x)≥0，函數H(x)在定義域(－1，＋∞)上為增函數，有一個零點；
②當a≤0時，－1≤－1，
令H′(x)>0，得x>0，
令H′(x)<0，得－1所以函數H(x)在區間(－1,0)上單調遞減，在區間(0，＋∞)上單調遞增，
則函數H(x)在x＝0處有最小值H(0)＝1>0，此時函數H(x)無零點；
③當0令H′(x)>0，得－10，令H′(x)<0，得－1所以函數H(x)在區間，(0，＋∞)上單調遞增，
在區間上單調遞減．
因為函數H(0)＝1>0，
所以H>0，且H(x)>0在區間上恒成立．
H(x)在區間上有一個零點．
所以當0綜上，當a≤2時，函數H(x)＝f(x)－g(x)至多有一個零點．
跟蹤演練
1．解　f(x)＝xln x－ax＋a，
易知f(1)＝0，
所求問題等價于函數f(x)＝xln x－ax＋a在區間(1，e]上沒有零點，
因為f′(x)＝ln x＋1－a，
所以當0f(x)在(0，ea－1)上單調遞減，
當x>ea－1時，f′(x)>0，
f(x)在(ea－1，＋∞)上單調遞增．
①當ea－1≤1，即a≤1時，函數f(x)在區間(1，e]上單調遞增，所以f(x)>f(1)＝0，此時函數f(x)在區間(1，e]上沒有零點，滿足題意．
②當1要使f(x)在(1，e]上沒有零點，只需f(e)<0，
即e－ae＋a<0，解得a>，
所以③當e≤ea－1，即a≥2時，函數f(x)在區間(1，e]上單調遞減，
f(x)在區間(1，e]上滿足f(x)綜上所述，實數a的取值范圍是.
2．證明　因為g(x)＝f(x)－ln x
＝(x－2)ex－ln x，
則g′(x)＝(x－1)ex－，x>0，
設h(x)＝g′(x)＝(x－1)ex－，
則h′(x)＝xex＋>0，
故g′(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
因為g′(1)＝－1<0，g′(2)＝e2－>0，所以存在唯一x0∈(1,2)，使得g′(x0)＝0.
故當x∈(0，x0)時，g′(x)<0；
當x∈(x0，＋∞)時，g′(x)>0.
即g(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增．
因為g(x0)0，
又因為ln 2≈0.69，則ln 2>，
所以g＝－ln
＝4－
＝4－2＋－4>4－2eln 2＋－4
＝4－4＋>0，
由零點存在定理可知，函數g(x)在(0，x0)，(x0,3)上各存在一個零點，
綜上所述，g(x)有且僅有兩個零點．

展開更多......

收起↑