資源簡介

微重點1　導數中函數的構造問題
導數中的函數構造問題是高考考查的一個熱點內容，經常以客觀題出現，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．
考點一　導數型構造函數
考向1　利用f(x)與x構造
例1　已知函數f(x)的定義域為[0，＋∞)，導函數為f′(x)，若f′(x)<恒成立，則(　　)
A．f(2)>f(3) B．2f(1)>f(3)
C．f(5)>2f(2) D．3f(5)>f(1)
規律方法　(1)出現nf(x)＋xf′(x)的形式，構造函數F(x)＝xnf(x)；
(2)出現xf′(x)－nf(x)的形式，構造函數F(x)＝.
跟蹤演練1　(2023·常州模擬)已知f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數，f′(x)是f(x)的導函數，當x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0，若f(2)＝0，則不等式x2f(x)>0的解集是________________．
考向2　利用f(x)與ex構造
例2　(2023·黃山模擬)已知定義域為R的函數f(x)，其導函數為f′(x)，且滿足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，則(　　)
A．e2f(－1)<1 B．f(1)>e2
C．f ef
規律方法　(1)出現f′(x)＋nf(x)的形式，構造函數F(x)＝enxf(x)；
(2)出現f′(x)－nf(x)的形式，構造函數F(x)＝.
跟蹤演練2　函數f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集為(　　)
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x<－1或0考向3　利用f(x)與sin x，cos x構造
例3　(2023·重慶模擬)已知偶函數f(x)的定義域為，其導函數為f′(x)，當0≤x<時，有f′(x)cos x＋f(x)sin x>0成立，則關于x的不等式f(x)>2f cos x的解集為(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
規律方法　函數f(x)與sin x，cos x相結合構造可導函數的幾種常見形式
(1)F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
(2)F(x)＝，
F′(x)＝；
(3)F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
(4)F(x)＝，
F′(x)＝.
跟蹤演練3　(2023·成都統考)記函數f(x)的導函數為f′(x)，若f(x)為奇函數，且當x∈時恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0成立，則(　　)
A．f >f
B．f >－f
C.f >f
D.f >－f
考點二　構造函數比較大小
例4　(1)(2023·榆林統考)已知a＝ln ，b＝ln ，c＝2ln －，則(　　)
A．aC．a(2)(2023·咸陽模擬)已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．a>c>b
規律方法　構造函數比較大小的常見類型
(1)構造相同的函數，利用單調性，比較函數值的大小；
(2)構造不同的函數，通過比較兩個函數的函數值進行比較大小．
跟蹤演練4　(1)(2023·山西聯考)設a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
(2)已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>c>b D．a>b>c微重點1　導數中函數的構造問題
例1　B
跟蹤演練1　(－2,0)∪(2，＋∞)
例2　C　[設g(x)＝，
則g′(x)＝
＝，
因為f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立，
所以g′(x)<0在R上恒成立，
故g(x)是減函數，
所以g(－1)>g(0)，
＝e2f(－1)>＝1，故A不正確；
g(1)即f(1)g即f g>g(1)，即>，
即f(1)跟蹤演練2　A
例3　C　[構造函數g(x)＝，
－g′(x)＝
＝，
當0≤x<時，g′(x)>0，
所以函數g(x)在上單調遞增，
因為函數f(x)為偶函數，所以函數g(x)也為偶函數，
且函數g(x)在上單調遞增，
所以函數g(x)在上單調遞減，
因為x∈，所以cos x>0，
關于x的不等式f(x)>2f cos x可變為>，
即g(x)>g，
所以g(|x|)>g，
則
解得跟蹤演練3　B
例4　(1)D　[a＝ln ＝2ln －，
b＝ln ＝2ln －，
構造函數f(x)
＝2ln(x＋1)－x(0則f′(x)＝－1＝，
當00，f(x)在(0,1)上單調遞增，
所以f 所以c(2)B　[設f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
令f′(x)<0 x<0，
令f′(x)>0 x>0，
所以函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，
則f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，得ex≥x＋1.
所以b＝e－>－＋1＝＝a，即b>a；
又0所以c＝<＝a，
即a>c，所以b>a>c.]
跟蹤演練4　(1)D　(2)D
微重點2　函數的公切線問題
例1　y＝ex－1或y＝x
解析　設直線l與曲線y＝ex－1相切于點P(a，ea－1)，與曲線y＝ln x＋1相切于點Q(b，ln b＋1)，
則ea＝＝，
整理得(a－1)(ea－1)＝0，
解得a＝1或a＝0，
當a＝1時，l的方程為y＝ex－1；
當a＝0時，l的方程為y＝x.
跟蹤演練1　2x－y－e＝0
例2　B　[根據常用函數的導數可知
y＝ex y′＝ex，
y＝ln x y′＝，
則兩函數在點(x1，y1)和(x2，y2)處的切線分別為
y－y1＝(x－x1)，
y－y2＝(x－x2)，
化簡得y＝x＋(1－x1)，
y＝x＋ln x2－1，
由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(＝\f(1,x2)，, 1－x1 ＝ln x2－1，))
化簡得x1x2＋x2－x1＋1＝0
(x1＋1)(x2－1)＝－2.]
跟蹤演練2　D
例3　C　[設公切線與y＝x2的切點為(x1，x)，
與y＝ln x的切點為(x2，ln x2)，
y＝x2的導數為y′＝2x，y＝ln x的導數為y′＝，
則在切點(x1，x)處的切線方程為y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x，
則在切點(x2，ln x2)處的切線方程為
y－ln x2＝(x－x2)，
即y＝x＋ln x2－1，
∴
整理得到x－ln x1＝1＋ln 2，
令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，
則f′(x)＝2x－＝，
f′(x)>0 x>；
f′(x)<0 0∴f(x)在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
f(x)min＝f ＝＋ln 2<1＋ln 2，
即函數f(x)與y＝1＋ln 2的圖象如圖所示，
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由圖可知，函數f(x)的圖象與直線y＝1＋ln 2有兩個交點，則方程x－ln x1＝1＋ln 2有兩個不相等的正根，即曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝ln x公切線的條數是2.]
跟蹤演練3　A
例4　A　[設公切線為l，P(x1，y1)是l與f(x)的切點，由f(x)＝，
得f′(x)＝，設Q(x2，y2)是l與g(x)的切點，
由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex，
所以l的方程為y－y1＝(x－x1)，
因為y1＝，
整理得y＝x＋，
同理y－y2＝(x－x2)，
因為y2＝，
整理得y＝x＋(1－x2)，
依題意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(k,x\o\al(2,1))＝，,\f(2k,x1)＝ 1－x2 ，))
消去x1，得4k＝－(x2－1)2，
由題意此方程有三個不相等的實根，
設h(x)＝－ex(x－1)2，
即直線y＝4k與曲線h(x)有三個不同的交點，
因為h′(x)＝ex(1－x2)，
令h′(x)＝0，則x＝±1，
當x<－1或x>1時，h′(x)<0；
當－10，
所以h(x)有極小值為h(－1)＝－4e－1，
h(x)有極大值為h(1)＝0，
因為h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0，
當x趨近于－∞時，h(x)趨近于0；
當x趨近于＋∞時，h(x)趨近于－∞，
故h(x)的大致圖象如圖．
INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\A+7.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\A+7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二輪\\大二輪 數學 提高版\\學生WORD\\答案精析\\A+7.TIF" \* MERGEFORMATINET
所以當－4e－1<4k<0，即－跟蹤演練4　D　[y＝x2在點(m，m2)處的切線斜率為2m，
y＝(a>0)在點處的切線斜率為，如果兩個曲線存在公切線，那么2m＝.
又由斜率公式得到2m＝，
由此得到m＝2n－2，
則4n－4＝有解，
則y＝4x－4，y＝的圖象有公共點．
當直線y＝4x－4與曲線y＝相切時，設切點為(s，t)，則＝4，
且t＝4s－4＝，
可得t＝4，s＝2，
即有切點(2,4)，a＝，
故a的取值范圍是a≥.]微重點2　函數的公切線問題
函數的公切線問題，是導數的重要應用之一，利用導數的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉化為零點問題，主要利用消元與轉化，考查構造函數、數形結合能力，培養邏輯推理、數學運算素養．
考點一　求兩函數的公切線
例1　(2023·湘潭模擬)已知直線l是曲線y＝ex－1與y＝ln x＋1的公切線，則直線l的方程為__________．
規律方法　求切線方程時，注意區分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據已知點在切線上求解．
跟蹤演練1　(2023·南平模擬)已知曲線y＝aln x和曲線y＝x2有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則直線l的方程為__________．
考點二　與公切線有關的求值問題
例2　(2023·德陽模擬)已知曲線y＝ex在點(x1，y1)處的切線與曲線y＝ln x在點(x2，y2)處的切線相同，則(x1＋1)(x2－1)等于(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
規律方法　利用導數的幾何意義解題，關鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上構造方程．
跟蹤演練2　已知函數f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若經過點A(0，－1)存在一條直線l與f(x)的圖象和g(x)的圖象都相切，則a等于(　　)
A．0 B．－1
C．3 D．－1或3
考點三　判斷公切線條數
例3　(2023·廣州模擬)曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝ln x公切線的條數是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
規律方法　運用導數與斜率之間的關系可以將兩曲線公切線的切點表示出來，構造新的函數，通過零點存在定理判斷函數零點個數，即方程解的情況．
跟蹤演練3　已知函數f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，則f(x)和g(x)的公切線的條數為(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
考點四　求參數的取值范圍
例4　(2023·保定模擬)若曲線f(x)＝(k<0)與g(x)＝ex有三條公切線，則k的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
規律方法　利用導數的幾何意義，構造參數關于切點橫坐標或切線斜率k的函數，轉化成函數的零點問題或兩函數的交點問題，利用函數的性質或圖象求解．
跟蹤演練4　(2023·桂林模擬)若曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝(a>0)存在公切線，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.

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