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專題7.3 離散型隨機變量及其分布列（重難點題型精講）
1．隨機變量與離散型隨機變量
(1)隨機變量
①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數X()與之對應，我們
稱X為隨機變量.
②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.
③隨機變量與函數的關系
聯系：隨機變量與函數都是一種對應關系，樣本點相當于函數定義中的自變量，樣本空間相當于
函數的定義域.
區別：樣本空間不一定是數集，隨機變量的取值X()隨著試驗結果的變化而變化，而函數是從非
空數集到非空數集的一一對應.
(2)離散型隨機變量
可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱為離散型隨機變量.
2．離散型隨機變量的分布列
(1)定義
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個值的概率P(X=)=
，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡稱分布列.
(2)分布列的表格表示
分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.
(3)離散型隨機變量分布列具有的兩個性質
①0，i=1，2，，n；
②+++=1.
3．兩點分布
(1)兩點分布的定義
對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X=
如果P(A)=p，則P()=1-p，那么X的分布列如下表所示.
我們稱X服從兩點分布或0—1分布.
(2)兩點分布理解
兩點分布的試驗結果只有兩個可能值，且其概率之和為1.可設任意一個為0，另一個相應為1.
【題型1 離散型隨機變量】
【方法點撥】
根據離散型隨機變量的定義來判斷所給的隨機變量是不是離散型隨機變量.
【例1】（2022春·北京·高二期末）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的為（ ）
①高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數；
②一個沿直線進行隨機運動的質點離坐標原點的距離；
③某同學射擊3次，命中的次數；
④某電子元件的壽命；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解題思路】根據給定條件，利用離散型隨機變量的定義分析各命題，再判斷作答.
【解答過程】對于①，半小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，故①是離散型隨機變量；
對于②，沿直線進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機變量；
對于③，某同學射擊3次，命中的次數可以一一列舉出來，故③是離散型隨機變量；
對于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，故④不是離散型隨機變量；
故選：C.
【變式1-1】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）下面給出四個隨機變量：
①一高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數ξ；
②一個沿直線y＝2x進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置η；
③某指揮臺5分鐘內接到的雷達電話次數X；
④某同學離開哈爾濱市第三中學的距離Y；
其中是離散型隨機變量的為（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解題思路】根據給定條件，利用離散型隨機變量的定義分析各命題，再判斷作答.
【解答過程】對于①，半小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；
對于②，沿直線y＝2x進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；
對于③，5分鐘內接到的雷達電話次數可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；
對于④，某同學離開哈爾濱市第三中學的距離可為某一區間內的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，
所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③.
故選：C.
【變式1-2】（2022·高二課時練習）①某座大橋一天經過的車輛數為X；
②某通信公司官方客服一天內接聽電話的總次數為X；
③一天之內的溫度為X；
④一射手對目標進行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.
上述問題中的X是離散型隨機變量的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解題思路】根據離散型隨機變量的定義：可列舉性判斷各項描述是否為離散隨機變量即可.
【解答過程】①大橋一天經過的車輛數是可一一列舉，
②客服一天內接聽電話的總次數是可一一列舉，
③一天之內的溫度是連續型變量，
④一次射擊中的得分是可一一列舉，
由離散隨機變量的定義知：①②④.
故選：B.
【變式1-3】（2022春·山東·高二階段練習）下列X是離散型隨機變量的是（ ）
①某座大橋一天經過的車輛數X；
②在一段時間間隔內某種放射性物質放出的α粒子數η；
③一天之內的溫度X；
④一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解題思路】根據離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.
【解答過程】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一個范圍.不能一一列舉出來，
故選：B.
【題型2 離散型隨機變量的分布列及其性質】
【方法點撥】
根據題目條件，結合離散型隨機變量的分布列的性質，進行轉化求解即可.
【例2】（2022春·山西呂梁·高二期中）設是一個離散型隨機變量，其分布列為
則等于（ ）A．1 B． C． D．
【解題思路】根據分布列的知識列方程來求得.
【解答過程】依題意，，
解得（大于，舍去）或.
故選：C.
【變式2-1】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期末）隨機變量的分布列如表：則（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【解題思路】根據隨機變量分布列的性質即可得出答案.
【解答過程】根據隨機變量分布列的性質得，所以．
故選：D．
【變式2-2】（2022春·西藏林芝·高二期末）已知隨機變量X的分布列如表：（其中a為常數）
X 1 2 3 4 5 6
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【解題思路】根據分布列，先求得，然后求得正確答案.
【解答過程】依題意，
所以.
故選：A.
【變式2-3】（2022春·河北唐山·高二期末）若隨機變量的分布列如下表所示，則的值為（ ）
1 2 3
0.2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解題思路】由概率和為1可得值．
【解答過程】由題意，解得．
故選：B．
【題型3 求離散型隨機變量的分布列】
【方法點撥】
第一步，確定隨機變量X的可能取值；
第二步，求出相應的概率P(X=)=；
第三步，寫分布列.
【例3】（2022·高二課時練習）甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設兩人命中總次數為X，則X的分布列為（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【解題思路】列出X的可能取值，求出每個X對應的概率，即可求出分布列.
【解答過程】易知X的可能取值為0，1，2，，，，
故X的分布列為
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故選：D.
【變式3-1】（2022·高二課時練習）下列表中，可以作為某離散型隨機變量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
【解題思路】分析選項ABD不滿足離散型隨機變量的分布列的性質，選項C滿足離散型隨機變量的分布列的性質，即得解.
【解答過程】解：選項A中，所以選項A不滿足題意；
選項B中概率之和為，事實上，所以選項B不滿足題意；
選項D中，都不符合概率的意義．所以選項D不滿足題意；
選項C中，，，，且，顯然有解．所以選項C滿足題意.
故選：C.
【變式3-2】（2023·全國·高二專題練習）下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B．
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C．
X 1 2 3
P －
D．
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
【解題思路】利用及概率和為1，檢驗各個選項即可得到結果.
【解答過程】對于ABD，滿足，且概率和為0，符合；
對于C，不符合，也不符合，所以C項不是隨機變量的分布列．
故選：C.
【變式3-3】（2022春·高二課時練習）一袋中裝5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(　　)
A． B．C． D．
【解題思路】根據題意，逐項求解即可.
【解答過程】隨機變量的可能值為1，2，3，
，，，
故選C.
【題型4 兩點分布】
【方法點撥】
對于兩點分布的分布列問題，根據兩點分布的定義及對兩點分布的理解，進行轉化求解即可.
【例4】（2023·全國·高三專題練習）若離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩點分布的特點，得到，從而解方程可得答案.
【解答過程】因為X的分布列服從兩點分布，所以，
由，
所以，所以，
故選：D.
【變式4-1】（2022·高二課時練習）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩點分布得，與條件聯立解得結果.
【解答過程】因為的分布列服從兩點分布，所以，
因為，所以，
，
故選：C.
【變式4-2】（2022·高二課時練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解題思路】根據兩點分布概率性質可得解.
【解答過程】隨機變量服從兩點分布，，
根據兩點分布概率性質可知：，
解得，
故選：C.
【變式4-3】（2023·全國·高二專題練習）下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（ ）
A．拋擲一枚骰子，所得點數X
B．某射手射擊一次，擊中目標得2分，未擊中目標得0分，射手的得分X
C．從裝有5個紅球，3個白球的袋子中取1個球，定義：“取出白球”，“取出紅球”
D．某醫生做一次手術，手術成功的次數X
【解題思路】利用兩點分布的定義，逐項分析判斷即可作答.
【解答過程】兩點分布又叫0-1分布，試驗結果只有兩個，并且隨機變量的取值只有0，1兩個，C，D滿足題意；
拋擲一枚骰子，所得點數X可能的結果為1，2，3，4，5，6，共6個，不是兩點分布，A不滿足題意；
某射手射擊一次的試驗結果有兩個，但隨機變量X的取值是0，2，B不滿足題意．
故選：CD.
【題型5 兩個相關的隨機變量的分布列問題】
【方法點撥】
已知隨機變量X的分布列，求隨機變量Y=f(X) 的分布列，其關鍵是弄清X取每一個值時相對應的Y的值，
若f(X)的取值出現重復，則需要把它們的相應概率相加，所求即為Y的取值概率.
【例5】（2022春·河北唐山·高二期末）設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解題思路】由離散型隨機變量分布列的性質計算即可.
【解答過程】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故選：A．
【變式5-1】（2022·高二課時練習）已知X，Y均為離散型隨機變量.且X＝2Y，若X的所有可能取值為0，2，4，則Y的所有可能取值為 0，1，2 .
【解題思路】根據X＝2Y，且X∈{0，2，4}求解.
【解答過程】因為X＝2Y，
所以Y＝X，
又因為X∈{0，2，4}，
所以Y∈{0，1，2}.
故答案為：0，1，2.
【變式5-2】（2022·高二課時練習）已知離散型隨機變量的分布列，.令，則 .
【解題思路】首先列舉的取值，再分別求其概率，即可得到.
【解答過程】由已知取值0，2，4，6，8，且，，
，，，
則 .
故答案為：.
【變式5-3】（2022·高二單元測試）已知隨機變量的分布列如下：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若，則的值為 0.2 .
【解題思路】利用，求出的值，觀察表格即可.
【解答過程】當時，
由得，
所以.
故答案為：.
【題型6 離散型隨機變量的分布列及其綜合應用】
【方法點撥】
離散型隨機變量的分布列是計數原理、排列組合、概率與其他知識的綜合.解決此類問題的關鍵：
(1)理清隨機變量的可能取值；
(2)理清隨機變量取某些值時對應的事件是什么；
(3)利用兩個計數原理及排列、組合的知識求出試驗的樣本空間與所求事件所包含的樣本點數.
【例6】（2023·全國·高三專題練習）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按 1小時計算）．有甲、乙兩人獨立來該租車點車租騎游（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時．
(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列．
【解題思路】(1)先求出甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為,再計算租車費用相同的概率；
(2) 可能取得值為0，2，4，6，8，分別計算對應的概率，再寫出分布列.
【解答過程】（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．
記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．
所以，甲、乙兩人所付得租車費用相同的概率為．
（2）設甲、乙兩個所付的費用之和為，可能取得值為0，2，4，6，8
，
，，
分布列
0 2 4 6 8
P
【變式6-1】（2023·全國·高三對口高考）為了解某校學生上個月A、B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A、B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下表：
支付方式 支付金額（元）
大于2000
僅使用A 18人 9人 3人
僅使用B 10人 14人 1人
(1)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A、B兩種支付方式都使用的概率；
(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列；
(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元.根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？并說明理由.
【解題思路】（1）根據數表求出兩種支付方式都使用的人數，再求出頻率即可作答.
（2）求出僅使用A和僅使用B且上個月支付金額大于1000元的概率，再求出X的可能值及各個值對應概率，列出分布列作答.
（3）求出從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人的概率，再結合小概率事件的意義回答即可.
【解答過程】（1）依題意，樣本中僅使用A的學生有（人），僅使用B的學生有（人），
A、B兩種支付方式都不使用的學生有5人，所以樣本中A、B兩種支付方式都使用的學生有（人），
從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A、B兩種支付方式都使用的概率估計值為.
（2）依題意，X的所有可能值為0，1，2，
記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”，
事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”，
顯然事件C與D相互獨立，且，，則
；
；
，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.24 0.52 0.24
（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”，
從樣本僅使用A的學生中隨機抽取3人，本月支付金額大于2000元的人數與上月沒有變化，
而由上個月的樣本數據可得，
結論1：可以認為有變化，
因為很小，概率很小的事件一般不容易發生，一旦發生，
就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化，所以可以認為有變化；
結論2：無法確定有沒有變化，
因為事件E是隨機事件，很小，一般不容易發生，但還是有發生的可能，所以無法確定有沒有變化.
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）首屆以進口為主題的國家級博覽會在中國拉開大幕，本次博覽會包括企業產品展、國家貿易投資展．其中企業產品展分為7個展區，每個展區統計了備受關注百分比，如下表：
展區類型 智能及高端裝備 消費電子及家電 汽車 服裝服飾及日用消費品 食品及農產品 醫療器械及醫藥保健 服務貿易
展區的企業數（家） 400 60 70 650 1670 300 450
備受關注百分比 25％ 20％ 10％ 23％ 18％ 8％ 24％
備受關注百分比指：一個展區中受到所有相關人士關注（簡稱備受關注）的企業數與該展區的企業數的比值．
(1)從企業產品展7個展區的企業中隨機選取1家，求這家企業是選自“智能及高端裝備”展區備受關注的企業的概率；
(2)從“消費電子及家電”展區備受關注的企業和“醫療器械及醫藥保健”展區備受關注的企業中，任選2家接受記者采訪．記X為這2家企業中來自于“消費電子及家電”展區的企業數，求隨機變量X的分布列．
【解題思路】(1)根據表格分別7個展區企業總數和備受關注的智能及高端裝備企業數，進而即可求解；
(2)根據題意求出的可能取值，并求出每個變量對應的概率，列出分布列即可.
【解答過程】（1）7個展區企業數共有家，
其中備受關注的智能及高端裝備企業共家，
設從各展區隨機選1家企業，這家企業是備受關注的智能及高端裝備為事件，
所以.
（2）由表格可知：消費電子及家電備受關注的企業有家，
醫療器械及醫藥保健備受關注的企業有家，共家.
所以的可能取值為.
則；；.
所以隨機變量的分布列為：
【變式6-3】（2022秋·北京·高三階段練習）流行性感冒多由病毒引起，據調查，空氣月平均相對濕度過大或過小時，都有利于一些病毒繁殖和傳播．科學測定，當空氣月平均相對濕度大于或小于時，有利于病毒繁殖和傳播．下表記錄了某年甲、乙兩個城市12個月的空氣月平均相對濕度．
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
甲地
乙地
(1)從上表12個月中，隨機取出1個月，求該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；
(2)從上表第一季度和第二季度的6個月中隨機取出2個月，記這2個月中甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份的個數為X，求X的分布列；
(3)若，設乙地上表12個月的空氣月平均相對濕度的中位數為M，求M的最大值和最小值．（只需寫出結論）
【解題思路】（1）設事件：從上表12個月中，隨機取出1個月，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播．用表示事件抽取的月份為第月，利用列舉法能求出該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率．
（2）在第一季度和第二季度的6個月中，甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份只有2月和6月，所有可能的取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列．
（3）由，設乙地上表12個月的空氣月平均相對濕度的中位數為，應用中位數的定義結合分類討論求出的最大值，最小值．
【解答過程】（1）設事件：從上表12個月中，隨機取出1個月，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播．
用表示事件抽取的月份為第月，
∴，，，，，，，，，，，共12個基本事件，
且，，，，，共6個基本事件，
所以，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；
（2）在第一季度和第二季度的6個月中，甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份只有2月和6月，
∴所有可能的取值為0，1，2．
，，，
隨機變量的分布列為：
0 1 2
（3）由表格已知數據：乙地數據從小到大為，
又，不妨假設，設乙地上表12個月的空氣月平均相對濕度的中位數為，
當時，則；
當，即時，若有，若有，
∴的最大值為，最小值為．專題7.3 離散型隨機變量及其分布列（重難點題型精講）
1．隨機變量與離散型隨機變量
(1)隨機變量
①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數X()與之對應，我們
稱X為隨機變量.
②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.
③隨機變量與函數的關系
聯系：隨機變量與函數都是一種對應關系，樣本點相當于函數定義中的自變量，樣本空間相當于
函數的定義域.
區別：樣本空間不一定是數集，隨機變量的取值X()隨著試驗結果的變化而變化，而函數是從非
空數集到非空數集的一一對應.
(2)離散型隨機變量
可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱為離散型隨機變量.
2．離散型隨機變量的分布列
(1)定義
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個值的概率P(X=)=
，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡稱分布列.
(2)分布列的表格表示
分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.
(3)離散型隨機變量分布列具有的兩個性質
①0，i=1，2，，n；
②+++=1.
3．兩點分布
(1)兩點分布的定義
對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X=
如果P(A)=p，則P()=1-p，那么X的分布列如下表所示.
我們稱X服從兩點分布或0—1分布.
(2)兩點分布理解
兩點分布的試驗結果只有兩個可能值，且其概率之和為1.可設任意一個為0，另一個相應為1.
【題型1 離散型隨機變量】
【方法點撥】
根據離散型隨機變量的定義來判斷所給的隨機變量是不是離散型隨機變量.
【例1】（2022春·北京·高二期末）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的為（ ）
①高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數；
②一個沿直線進行隨機運動的質點離坐標原點的距離；
③某同學射擊3次，命中的次數；
④某電子元件的壽命；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【變式1-1】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）下面給出四個隨機變量：
①一高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數ξ；
②一個沿直線y＝2x進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置η；
③某指揮臺5分鐘內接到的雷達電話次數X；
④某同學離開哈爾濱市第三中學的距離Y；
其中是離散型隨機變量的為（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【變式1-2】（2022·高二課時練習）①某座大橋一天經過的車輛數為X；
②某通信公司官方客服一天內接聽電話的總次數為X；
③一天之內的溫度為X；
④一射手對目標進行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.
上述問題中的X是離散型隨機變量的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【變式1-3】（2022春·山東·高二階段練習）下列X是離散型隨機變量的是（ ）
①某座大橋一天經過的車輛數X；
②在一段時間間隔內某種放射性物質放出的α粒子數η；
③一天之內的溫度X；
④一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【題型2 離散型隨機變量的分布列及其性質】
【方法點撥】
根據題目條件，結合離散型隨機變量的分布列的性質，進行轉化求解即可.
【例2】（2022春·山西呂梁·高二期中）設是一個離散型隨機變量，其分布列為
則等于（ ）A．1 B． C． D．
【變式2-1】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期末）隨機變量的分布列如表：則（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022春·西藏林芝·高二期末）已知隨機變量X的分布列如表：（其中a為常數）
X 1 2 3 4 5 6
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
則等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【變式2-3】（2022春·河北唐山·高二期末）若隨機變量的分布列如下表所示，則的值為（ ）
1 2 3
0.2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【題型3 求離散型隨機變量的分布列】
【方法點撥】
第一步，確定隨機變量X的可能取值；
第二步，求出相應的概率P(X=)=；
第三步，寫分布列.
【例3】（2022·高二課時練習）甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設兩人命中總次數為X，則X的分布列為（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【變式3-1】（2022·高二課時練習）下列表中，可以作為某離散型隨機變量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
【變式3-2】（2023·全國·高二專題練習）下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B．
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C．
X 1 2 3
P －
D．
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
【變式3-3】（2022春·高二課時練習）一袋中裝5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(　　)
A． B．C． D．
【題型4 兩點分布】
【方法點撥】
對于兩點分布的分布列問題，根據兩點分布的定義及對兩點分布的理解，進行轉化求解即可.
【例4】（2023·全國·高三專題練習）若離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·高二課時練習）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·高二課時練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【變式4-3】（2023·全國·高二專題練習）下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（ ）
A．拋擲一枚骰子，所得點數X
B．某射手射擊一次，擊中目標得2分，未擊中目標得0分，射手的得分X
C．從裝有5個紅球，3個白球的袋子中取1個球，定義：“取出白球”，“取出紅球”
D．某醫生做一次手術，手術成功的次數X
【題型5 兩個相關的隨機變量的分布列問題】
【方法點撥】
已知隨機變量X的分布列，求隨機變量Y=f(X) 的分布列，其關鍵是弄清X取每一個值時相對應的Y的值，
若f(X)的取值出現重復，則需要把它們的相應概率相加，所求即為Y的取值概率.
【例5】（2022春·河北唐山·高二期末）設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【變式5-1】（2022·高二課時練習）已知X，Y均為離散型隨機變量.且X＝2Y，若X的所有可能取值為0，2，4，則Y的所有可能取值為 .
【變式5-2】（2022·高二課時練習）已知離散型隨機變量的分布列，.令，則 .
【變式5-3】（2022·高二單元測試）已知隨機變量的分布列如下：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若，則的值為 .
【題型6 離散型隨機變量的分布列及其綜合應用】
【方法點撥】
離散型隨機變量的分布列是計數原理、排列組合、概率與其他知識的綜合.解決此類問題的關鍵：
(1)理清隨機變量的可能取值；
(2)理清隨機變量取某些值時對應的事件是什么；
(3)利用兩個計數原理及排列、組合的知識求出試驗的樣本空間與所求事件所包含的樣本點數.
【例6】（2023·全國·高三專題練習）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按 1小時計算）．有甲、乙兩人獨立來該租車點車租騎游（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時．
(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列．
【變式6-1】（2023·全國·高三對口高考）為了解某校學生上個月A、B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A、B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下表：
支付方式 支付金額（元）
大于2000
僅使用A 18人 9人 3人
僅使用B 10人 14人 1人
(1)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A、B兩種支付方式都使用的概率；
(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列；
(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元.根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？并說明理由.
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）首屆以進口為主題的國家級博覽會在中國拉開大幕，本次博覽會包括企業產品展、國家貿易投資展．其中企業產品展分為7個展區，每個展區統計了備受關注百分比，如下表：
展區類型 智能及高端裝備 消費電子及家電 汽車 服裝服飾及日用消費品 食品及農產品 醫療器械及醫藥保健 服務貿易
展區的企業數（家） 400 60 70 650 1670 300 450
備受關注百分比 25％ 20％ 10％ 23％ 18％ 8％ 24％
備受關注百分比指：一個展區中受到所有相關人士關注（簡稱備受關注）的企業數與該展區的企業數的比值．
(1)從企業產品展7個展區的企業中隨機選取1家，求這家企業是選自“智能及高端裝備”展區備受關注的企業的概率；
(2)從“消費電子及家電”展區備受關注的企業和“醫療器械及醫藥保健”展區備受關注的企業中，任選2家接受記者采訪．記X為這2家企業中來自于“消費電子及家電”展區的企業數，求隨機變量X的分布列．
【變式6-3】（2022秋·北京·高三階段練習）流行性感冒多由病毒引起，據調查，空氣月平均相對濕度過大或過小時，都有利于一些病毒繁殖和傳播．科學測定，當空氣月平均相對濕度大于或小于時，有利于病毒繁殖和傳播．下表記錄了某年甲、乙兩個城市12個月的空氣月平均相對濕度．
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
甲地
乙地
(1)從上表12個月中，隨機取出1個月，求該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；
(2)從上表第一季度和第二季度的6個月中隨機取出2個月，記這2個月中甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份的個數為X，求X的分布列；
(3)若，設乙地上表12個月的空氣月平均相對濕度的中位數為M，求M的最大值和最小值．（只需寫出結論）

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