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專題7.5 離散型隨機變量的數字特征（重難點題型精講）
1．離散型隨機變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示：
則稱E(X)=+++++為離散型隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱
期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機變量的期望應注意：
①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是
不變的，它描述X取值的平均狀態.
③均值與隨機變量有相同的單位.
2．均值的性質
若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特別地，當a=0時，E(b)=b；
當a=1時，E(X+b)=E(X)+b；
當b=0時，E(aX)=aE(X).
3．離散型隨機變量的方差、標準差
(1)定義
設離散型隨機變量X的分布列為
則稱D(X)=+++=為隨機變量X
的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為(X).
(2)意義
隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程
度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
4．方差的有關性質
當a，b均為常數時，隨機變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特別地，當a=0時，D(b)=0；當a=1時，D(X+b)=D(X)；
當b=0時，D(aX)=D(X).
5．兩點分布的均值與方差
一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
【題型1 均值的性質】
【方法點撥】
根據均值的性質，進行求解即可.
【例1】（2022春·廣東廣州·高二期末）設離散型隨機變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則=（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【解題思路】套公式直接求出和.
【解答過程】因為離散型隨機變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，
所以,
所以.
故選：C.
【變式1-1】（2022春·北京大興·高二期末）已知離散型隨機變量的期望，則等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】直接利用期望的性質即可得解.
【解答過程】解：因為，
所以.
故選：C.
【變式1-2】（2022春·河北保定·高二階段練習）已知隨機變量滿足，則（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據均值的性質可得，則即為，解方程求得答案.
【解答過程】因為，所以，
解得或（舍去）,
故選：D.
【變式1-3】（2022春·江蘇鎮江·高二期中）已知X的分布列為：
X -1 0 1
P a
設Y=2X+1，則Y的數學期望E(Y)的值是( )
A． B． C． D．
【解題思路】根據分布列的性質及數學期望的運算公式及性質求解.
【解答過程】由已知得，.
故選：C.
【題型2 方差的有關性質】
【方法點撥】
根據題目條件，結合方差的有關性質，進行轉化求解即可.
【例2】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習）設X，Y為隨機變量，且，則（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【解題思路】根據方差的公式求得，再根據方差的性質求解即可
【解答過程】由題意，，故
故選：B.
【變式2-1】（2022春·山東淄博·高二期末）已知隨機變量X的方差為，則（ ）
A．9 B．3 C． D．
【解題思路】根據，代入運算求解．
【解答過程】∵，
故選：C．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列如下：
2 3 6
P a
則的值為（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【解題思路】根據概率之和等于1求得，再根據期望公式和方差公式求出期望與方差，再根據方差的性質即可得解.
【解答過程】解：根據分布列可知，解得，
，
，
所以.
故選：D.
【變式2-3】（2022春·河北·高二校聯考期中）已知隨機變量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P n m
若，則（ ）
A．6 B．7 C．20 D．21
【解題思路】先由概率和為1以及求出，再計算，由方差的性質計算即可.
【解答過程】由題可知，解得．
則，所以．
故選：D.
【題型3 離散型隨機變量的均值的求法】
【方法點撥】
第一步，理解隨機變量X的意義，寫出X的所有可能取值；
第二步，求X取每個值時的概率；
第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.
【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某隨機變量X的分布為
則等于（ ）
A． B． C． D．無法確定
【解題思路】利用分布列的性質求得，再利用隨機變量期望公式可求解.
【解答過程】由分布列的性質得，
所以，
根據隨機變量期望公式，得，
故選：C.
【變式3-1】（2022春·北京順義·高二期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下表，則X的數學期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【解題思路】根據分布列的性質求出，再根據期望公式計算可得；
【解答過程】解：依題意可得，
解得，
所以；
故選：D.
【變式3-2】（2022春·江蘇徐州·高二期中）設為正實數，若隨機變量的分布列為，則（ ）
A．3 B．1 C． D．
【解題思路】先由概率和為1，求出a，再求.
【解答過程】因為隨機變量的分布列為，
所以，
解得：a=3.
所以.
故選：C.
【變式3-3】（2022春·江蘇連云港·高二期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
則E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
【解題思路】由概率之和為1可求出的值，再根據分布列直接計算均值..
【解答過程】由題可得，
解得或，
當時，，不符合題意，舍去，
；
所以可得分布列為
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，
故選：A.
【題型4 離散型隨機變量的方差、標準差】
【方法點撥】
第一步，理解隨機變量X的意義，寫出X的所有可能取值；
第二步，求X取每個值時的概率；
第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.
第四步，利用方差的計算公式，進行求解即可.
【例4】（2022春·遼寧錦州·高二期末）隨機變量的分布列是
1 2
若，則（ ）
A．1 B．4 C． D．
【解題思路】根據以及求得，進而求得.
【解答過程】依題意①，
，整理得②，
由①②解得，且.
所以.
故選：D.
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為：
則隨機變量的方差的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由隨機變量的分布列，求出的值，并根據二次函數的性質求出最大值．
【解答過程】解：由題意可得，，
則，
當，有最大值為．
故選：A．
【變式4-2】（2022秋·遼寧·高三階段練習）已知隨機變量的分布列如下表所示，若，則（ ）
1 2 3
A． B． C． D．2
【解題思路】根據分布列的性質以及，列出方程，解得m,n，根據離散型隨機變量的方差公式計算，即可得答案.
【解答過程】由題意可得 ，
由得： ，
兩式聯立解得 ，
故，
故選:A.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）設，隨機變量的分布列為：
0 1
則當在上增大時（ ）
A．單調遞增，最大值為
B．先增后減，最大值為
C．單調遞減，最小值為
D．先減后增，最小值為
【解題思路】根據方差公式，結合二次函數性質可得.
【解答過程】由題知，解得，
所以
所以
，
由二次函數性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，有最小值.
故選：D.
【題型5 兩點分布的均值與方差】
【方法點撥】
根據兩點分布的定義，結合均值、方差的性質和計算公式，進行求解即可.
【例5】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解題思路】由題意可得，再結合，可求出，從而可求出
【解答過程】由題意得，
因為，
所以解得，
所以，
故選：D.
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩點分布的性質可得，結合題意求得，再根據兩點分布的期望公式即可得解.
【解答過程】解：因為隨機變量X的分布列服從兩點分布，
所以，
則，解得或，
又因，
所以，則，
所以.
故選：C.
【變式5-2】（2022春·廣東中山·高二階段練習）某運動員罰球命中得1分，不中得0分，如果該運動員罰球命中的概率為，那么他罰球一次的得分的方差為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接利用期望公式與方差公式求解即可.
【解答過程】，
，
，
故選：B.
【變式5-3】（2022·高一課時練習）設一隨機試驗的結果只有和，且，令隨機變量，則的方差（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求得隨機變量的分布列，結合期望和方差的公式，即可求解.
【解答過程】由題意，隨機變量的分布列如下表：
0 1
則
.
故選：D.
【題型6 均值與方差的綜合應用】
【方法點撥】
(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.
(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值、方差.
(3)對照實際意義，回答概率、均值、方差等所表示的結論.
【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市擬建立一個博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經過層層師選，甲 乙兩家建筑公司進入最后的招標．現從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲 乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．
(1)求甲公司至少答對2道題目的概率；
(2)請從期望和方差的角度分析，甲 乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？
【解題思路】(1)利用超幾何分布求出甲公司回答對2道題和回答對3道題的概率，即可求出結果.
(2)分別求甲、乙兩家公司答對題數的分布列，再求兩個隨機變量的期望和方差，由此作出判斷.
【解答過程】（1）由題意可知，甲公司至少答對2道題目可分為答對兩題或者答對三題；
所求概率
（2）設甲公司正確完成面試的題數為，則的取值分別為．
．
則的分布列為：
1 2 3
，
；
設乙公司正確完成面試的題為，則取值分別為．
，，
，
則的分布列為：
0 1 2 3
．
．
由可得，甲公司競標成功的可能性更大．
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為；兩人滑雪時間都不會超過3小時．
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【解題思路】（1）由題意兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，然后求出相應的概率即可；
（2）確定ξ的所有可能取值，計算相應的概率，得出分布列，進一步求解均值和方差即可．
【解答過程】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，
甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為1－－＝，1－－＝．
兩人都付0元的概率為P1＝×＝，
兩人都付40元的概率為P2＝×＝，
兩人都付80元的概率為P3＝×＝，
則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，
則P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝．
所以ξ的分布列為
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．
【變式6-2】（2023·北京·高三專題練習）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現隨機抽取100個學生進行調查，獲得數據如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.
(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學生支持方案二的條件下，該學生是女生的概率；
(2)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望；
(3)在（2）中，表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.（直接寫結果）
【解題思路】（1）利用古典概型的概率公式計算即可求解；
（2）根據題意可得的可能取值為，求出所對應的概率，即可列出分布列，利用隨機變量的期望公式即可求解；
（3）根據已知條件得出，再利用方差的性質即可求解.
【解答過程】（1）依題意支持方案二的學生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.
（2）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，
則，，
則的可能取值為、、，
所以，
，
所以的分布列為：
所以.
（3）依題意可得，
所以，
即.
【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習）已知投資甲 乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量和.經統計分析，和的分布列分別為
表1：
表2：
(1)若在甲 乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資甲 乙兩項目所獲得的利潤，求和的數學期望和方差，并由此分析投資甲 乙兩項目的利弊；
(2)若在甲 乙兩個項目總共投資100萬元，求在甲 乙兩個項目上分別投資多少萬元時，可使所獲利潤的方差和最小？注：利潤率.
【解題思路】（1）利用公式求出期望和方差，并利用期望和方差的性質進行求解.
（2）計算甲 乙兩個項目上的方差，再利用函數計算所獲利潤的方差和最小值.
【解答過程】（1）由題意，得，
，
，
，
由，
又，得，，
，，
因此投資甲的平均利潤18萬元大于投資乙的平均利潤17萬元，但投資甲的方差48也遠大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤大，方差也大，相對不穩定，而投資乙的平均利潤小，方差也小，相對穩定.若長期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.
（2）設萬元投資甲，則萬元投資了乙，
則投資甲的利潤，投資乙的利潤
設為投資甲所獲利潤的方差與投資乙所獲利潤的方差和，
則
當時，的值最小.
故此時甲項目投資25萬元，乙項目投資75萬元，可使所獲利潤的方差和最小.專題7.5 離散型隨機變量的數字特征（重難點題型精講）
1．離散型隨機變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示：
則稱E(X)=+++++為離散型隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱
期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機變量的期望應注意：
①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是
不變的，它描述X取值的平均狀態.
③均值與隨機變量有相同的單位.
2．均值的性質
若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特別地，當a=0時，E(b)=b；
當a=1時，E(X+b)=E(X)+b；
當b=0時，E(aX)=aE(X).
3．離散型隨機變量的方差、標準差
(1)定義
設離散型隨機變量X的分布列為
則稱D(X)=+++=為隨機變量X
的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為(X).
(2)意義
隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程
度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
4．方差的有關性質
當a，b均為常數時，隨機變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特別地，當a=0時，D(b)=0；當a=1時，D(X+b)=D(X)；
當b=0時，D(aX)=D(X).
5．兩點分布的均值與方差
一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
【題型1 均值的性質】
【方法點撥】
根據均值的性質，進行求解即可.
【例1】（2022春·廣東廣州·高二期末）設離散型隨機變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則=（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【變式1-1】（2022春·北京大興·高二期末）已知離散型隨機變量的期望，則等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】（2022春·河北保定·高二階段練習）已知隨機變量滿足，則（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【變式1-3】（2022春·江蘇鎮江·高二期中）已知X的分布列為：
X -1 0 1
P a
設Y=2X+1，則Y的數學期望E(Y)的值是( )
A． B． C． D．
【題型2 方差的有關性質】
【方法點撥】
根據題目條件，結合方差的有關性質，進行轉化求解即可.
【例2】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習）設X，Y為隨機變量，且，則（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【變式2-1】（2022春·山東淄博·高二期末）已知隨機變量X的方差為，則（ ）
A．9 B．3 C． D．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列如下：
2 3 6
P a
則的值為（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【變式2-3】（2022春·河北·高二校聯考期中）已知隨機變量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P n m
若，則（ ）
A．6 B．7 C．20 D．21
【題型3 離散型隨機變量的均值的求法】
【方法點撥】
第一步，理解隨機變量X的意義，寫出X的所有可能取值；
第二步，求X取每個值時的概率；
第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.
【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某隨機變量X的分布為
則等于（ ）
A． B． C． D．無法確定
【變式3-1】（2022春·北京順義·高二期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下表，則X的數學期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【變式3-2】（2022春·江蘇徐州·高二期中）設為正實數，若隨機變量的分布列為，則（ ）
A．3 B．1 C． D．
【變式3-3】（2022春·江蘇連云港·高二期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
則E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
【題型4 離散型隨機變量的方差、標準差】
【方法點撥】
第一步，理解隨機變量X的意義，寫出X的所有可能取值；
第二步，求X取每個值時的概率；
第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來求均值.
第四步，利用方差的計算公式，進行求解即可.
【例4】（2022春·遼寧錦州·高二期末）隨機變量的分布列是
1 2
若，則（ ）
A．1 B．4 C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為：
則隨機變量的方差的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022秋·遼寧·高三階段練習）已知隨機變量的分布列如下表所示，若，則（ ）
1 2 3
A． B． C． D．2
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）設，隨機變量的分布列為：
0 1
則當在上增大時（ ）
A．單調遞增，最大值為
B．先增后減，最大值為
C．單調遞減，最小值為
D．先減后增，最小值為
【題型5 兩點分布的均值與方差】
【方法點撥】
根據兩點分布的定義，結合均值、方差的性質和計算公式，進行求解即可.
【例5】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2022春·廣東中山·高二階段練習）某運動員罰球命中得1分，不中得0分，如果該運動員罰球命中的概率為，那么他罰球一次的得分的方差為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·高一課時練習）設一隨機試驗的結果只有和，且，令隨機變量，則的方差（ ）
A． B． C． D．
【題型6 均值與方差的綜合應用】
【方法點撥】
(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.
(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值、方差.
(3)對照實際意義，回答概率、均值、方差等所表示的結論.
【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市擬建立一個博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經過層層師選，甲 乙兩家建筑公司進入最后的招標．現從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲 乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．
(1)求甲公司至少答對2道題目的概率；
(2)請從期望和方差的角度分析，甲 乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為；兩人滑雪時間都不會超過3小時．
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【變式6-2】（2023·北京·高三專題練習）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現隨機抽取100個學生進行調查，獲得數據如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.
(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學生支持方案二的條件下，該學生是女生的概率；
(2)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望；
(3)在（2）中，表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.（直接寫結果）
【變式6-3】（2022·全國·高三專題練習）已知投資甲 乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量和.經統計分析，和的分布列分別為
表1：
表2：
(1)若在甲 乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資甲 乙兩項目所獲得的利潤，求和的數學期望和方差，并由此分析投資甲 乙兩項目的利弊；
(2)若在甲 乙兩個項目總共投資100萬元，求在甲 乙兩個項目上分別投資多少萬元時，可使所獲利潤的方差和最小？注：利潤率.

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