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專題5.5 導數在研究函數中的應用（重難點題型精講）
1．函數單調性和導數的關系
(1)函數的單調性與導函數f'(x)的正負之間的關系
①單調遞增：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數y=f(x)在區間(a, b) 上單調遞增；
②單調遞減：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.
③如果在某個區間(a,b)內恒有f'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間上是一個常數函數.
(2)函數值變化快慢與導數的關系
一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范圍內函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.
常見的對應情況如下表所示.
2．函數的極值
極值的相關概念
(1)極小值點與極小值：
如圖，函數y=f(x)在點x=a處的函數值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f'(a)=0，而且在點
x=a附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0，則把點a叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值.
(2)極大值點與極大值：
如圖，函數y=f(x)在點x=b處的函數值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f'(b)=0，而且在點
x=b附近的左側f'(x)>0，右側f'(x)<0，則把點b叫做函數y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
3．函數的最大值與最小值
(1)一般地，如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數的最值必在極值點或區間端點處取得.當f(x)的圖象連續不斷且在[a,b]上單調時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.
(2)函數的極值與最值的區別
①極值是對某一點附近(即局部) 而言的，最值是對函數的整個定義區間而言的.
②在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.
③函數f(x)的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點.
4．導數在解決實際問題中的應用
①利用導數解決實際問題時，常常涉及用料最省、成本(費用)最低、利潤最大、效率最高等問題，求解時需要分析問題中各個變量之間的關系，抓主元，找主線，把“問題情境"翻譯為數學語言，抽象成數學問題，再選擇合適的數學方法求解，最后經過檢驗得到實際問題的解.
②解決優化問題的方法并不單一，運用導數求最值是解決這類問題的有效方法，有時與判別式、基本不等式及二次函數的性質等結合，多舉并用，達到最佳效果.
③利用導數解決實際問題的一般步驟
【題型1 利用導數求單調區間】
【方法點撥】
利用導數求函數f(x)單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函數在解集與定義域的交集上為增函數；
(4)解不等式f'(x)<0，函數在解集與定義域的的交集上為減函數.
【例1】（2022·吉林·高三階段練習（理））函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·廣西·高二期末（文））函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·寧夏·高二期中（文））函數的單調遞減區間是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【變式1-3】（2022·云南·模擬預測（理））設a為實數，函數，且是偶函數，則的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 由函數的單調性求參數】
【方法點撥】
由函數的單調性求參數的取值范圍經常涉及的兩種題型：
(1)已知含參函數y=f(x)在給定區間I上單調遞增(減)，求參數范圍.方法一：將問題轉化為不等式f'(x)≥
0(f'(x)≤0)在區間I上的恒成立問題.方法二：求得遞增(減)區間A，利用I與A的關系求解.
(2)已知函數y=f(x)在含參區間上單調遞增(減)，求參數范圍.方法:利用(1)中的方法二.
【例2】（2022·江蘇·高二期末）設函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習（文））已知函數在上不單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函數在上為單調遞增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 利用導數求函數的極值】
【方法點撥】
求函數的極值需嚴格按照步驟進行，重點考慮兩個問題：一是函數的定義域，注意判斷使導數值為0的點
是否在定義域內.如果不在定義域內，需要舍去；二是檢查導數值為0的點的左右兩側的導數值是否異號，
若異號，則該點是極值點，否則不是極值點.
【例3】（2022·貴州·高三階段練習（文））函數的極小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【變式3-1】（2022·山東濟南·模擬預測）若是函數的極值點．則的極小值為（ ）
A．-3 B． C． D．0
【變式3-2】（2022·安徽省高三階段練習）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，取得極小值1 B．當時，取得極大值1
C．當時，取得極大值33 D．當時，取得極大值
【變式3-3】（2022·陜西·高三階段練習（文））記函數的極大值從大到小依次為、、、、，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 利用導數求函數的最值】
【方法點撥】
設函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：
(1)求f(x)在(a,b)內的極值；
(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
【例4】（2021·寧夏·高二期中（文））函數在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習（文））函數在區間上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·江西·高三階段練習（理））已知函數在上的最小值為，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·廣東·高二開學考試）若函數的最大值為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 導數中的零點（方程根）問題】
【方法點撥】
利用導數研究含參函數的零點主要有兩種方法：
(1)利用導數研究函數f(x)的最值，轉化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.
(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y= g (x)圖象的交點問題.
【例5】（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·四川·模擬預測（理））已知函數（其中，）有兩個零點，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2022·陜西·一模（理））若函數有三個零點，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習）已知函數滿足，且，若函數有兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 利用導數解（證明）不等式】
【方法點撥】
(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區間(a，b)上成立，需構造輔助函數F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處
的函數值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)
在(a，b)上單調遞減即可.
(2)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，可考慮轉化為兩個函數的最值問題．
【例6】（2022·吉林·高三階段練習（文））已知函數，.
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，證明：.
【變式6-1】（2022·河北·高三期中）已知，函數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)證明：.
【變式6-2】（2022·北京高三階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，討論函數的單調性；
(3)當時，證明：.
【變式6-3】（2022·四川自貢·一模（理））設函數，其中，e為自然對數底數.
(1)若，求函數的最值；
(2)證明：當時，.
【題型7 導數中的恒成立（存在性）問題】
【方法點撥】
解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：
(1)分離參數法解決恒（能）成立問題，根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端
是變量表達式的不等式，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，即可解決問題．
(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分類討
論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，據此進行求解即可.
【例7】（2022·黑龍江·高三階段練習）已知函數.
(1)若，證明：；
(2)若對任意的恒成立，求a的取值范圍.
【變式7-1】（2022·四川高三期中）已知函數．
(1)若在上是單調遞減，求實數的取值范圍；
(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【變式7-2】（2022·北京·高三階段練習）已知函數.
(1)時，在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)若函數對任意都有成立，求a的取值范圍．
【變式7-3】（2022·廣東·高三階段練習）已知.
(1)若，求函數的單調區間和極值；
(2)若對都有成立，求實數a的取值范圍.
【題型8 導數在實際問題中的應用】
【方法點撥】
解決實際問題時，首先要根據實際情況建立實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系式，
然后利用導數研究，進而解決問題.
【例8】用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
【變式8-1】（2022·山東泰安·高二期中）如圖，一個面積為平方厘米的矩形紙板，在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設小正方形邊長為厘米，矩形紙板的兩邊的長分別為厘米和厘米，其中.
（1）當，求紙盒側面積的最大值；
（2）試確定的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．
【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習）某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為元／根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元，假設座位等距離分布，且至少有四個座位，
所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為元.
（Ⅰ）試寫出關于的函數關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當米時，試確定座位的個數，使得總造價最低
【變式8-3】（2022·河南·高三階段練習（理））某超市開展促銷活動，經測算該商品的銷售量為s件與促銷費用x元滿足．已知s件該商品的進價成本為元，商品的銷售價格定為元/件．
(1)將該商品的利潤y元表示為促銷費用x元的函數；
(2)促銷費用投入多少元時，商家的利潤最大？最大利潤為多少 （結果取整數）．
參考數據：，，．專題5.5 導數在研究函數中的應用（重難點題型精講）
1．函數單調性和導數的關系
(1)函數的單調性與導函數f'(x)的正負之間的關系
①單調遞增：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數y=f(x)在區間(a, b) 上單調遞增；
②單調遞減：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.
③如果在某個區間(a,b)內恒有f'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間上是一個常數函數.
(2)函數值變化快慢與導數的關系
一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范圍內函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.
常見的對應情況如下表所示.
2．函數的極值
極值的相關概念
(1)極小值點與極小值：
如圖，函數y=f(x)在點x=a處的函數值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數值都小，f'(a)=0，而且在點
x=a附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0，則把點a叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值.
(2)極大值點與極大值：
如圖，函數y=f(x)在點x=b處的函數值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數值都大，f'(b)=0，而且在點
x=b附近的左側f'(x)>0，右側f'(x)<0，則把點b叫做函數y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
3．函數的最大值與最小值
(1)一般地，如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數的最值必在極值點或區間端點處取得.當f(x)的圖象連續不斷且在[a,b]上單調時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.
(2)函數的極值與最值的區別
①極值是對某一點附近(即局部) 而言的，最值是對函數的整個定義區間而言的.
②在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.
③函數f(x)的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點.
4．導數在解決實際問題中的應用
①利用導數解決實際問題時，常常涉及用料最省、成本(費用)最低、利潤最大、效率最高等問題，求解時需要分析問題中各個變量之間的關系，抓主元，找主線，把“問題情境"翻譯為數學語言，抽象成數學問題，再選擇合適的數學方法求解，最后經過檢驗得到實際問題的解.
②解決優化問題的方法并不單一，運用導數求最值是解決這類問題的有效方法，有時與判別式、基本不等式及二次函數的性質等結合，多舉并用，達到最佳效果.
③利用導數解決實際問題的一般步驟
【題型1 利用導數求單調區間】
【方法點撥】
利用導數求函數f(x)單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函數在解集與定義域的交集上為增函數；
(4)解不等式f'(x)<0，函數在解集與定義域的的交集上為減函數.
【例1】（2022·吉林·高三階段練習（理））函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】確定函數定義域，求出函數的導數，根據導數小于0，即可求得答案.
【解答過程】由題意函數的定義域為 ，
，當時， ，
故函數的單調遞減區間是，
故選：D.
【變式1-1】（2022·廣西·高二期末（文））函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出導函數，令導函數小于0，即可得到單調遞減區間.
【解答過程】解：由題意，
在中，
當時，解得（舍）或
當即時，函數單調遞減
∴單調遞減區間為
故選：B.
【變式1-2】（2022·寧夏·高二期中（文））函數的單調遞減區間是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【解題思路】求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系解不等式進行求解即可.
【解答過程】函數的導數
由得，
即得，
即函數的單調遞減區間為,，
故選：A.
【變式1-3】（2022·云南·模擬預測（理））設a為實數，函數，且是偶函數，則的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求導，結合是偶函數得到，求出，從而根據小于0，求出單調遞減區間.
【解答過程】因為，所以，
又因為是偶函數，所以，
即，故，即，
所以，令，解得，
所以的單調遞減區間為.
故選：C．
【題型2 由函數的單調性求參數】
【方法點撥】
由函數的單調性求參數的取值范圍經常涉及的兩種題型：
(1)已知含參函數y=f(x)在給定區間I上單調遞增(減)，求參數范圍.方法一：將問題轉化為不等式f'(x)≥
0(f'(x)≤0)在區間I上的恒成立問題.方法二：求得遞增(減)區間A，利用I與A的關系求解.
(2)已知函數y=f(x)在含參區間上單調遞增(減)，求參數范圍.方法:利用(1)中的方法二.
【例2】（2022·江蘇·高二期末）設函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】函數在上單調遞增等價于在上恒成立，參變分離，進一步討論最值即可.
【解答過程】由題意在上恒成立，即，又在單增，，則．
故選：C．
【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習（文））已知函數在上不單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】因為在上不單調，故利用在上必有零點，利用，構造函數，通過的范圍，由此求得的取值范圍.
【解答過程】依題意，故在上有零點，令，令，得，令，
則，由，得，單調遞增，又由，得，
故，所以，的取值范圍
故選：A.
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據函數的單調性與導函數之間的關系，將單調性轉化為導函數恒大于或等于0，即可求解.
【解答過程】依題意在區間上恒成立，即在區間上恒成立.
令，則，所以在上單調遞增，則，所以.
故選:B.
【變式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函數在上為單調遞增函數，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題設可得在上恒成立，結合判別式的符號可求實數的取值范圍.
【解答過程】，
因為在上為單調遞增函數，故在上恒成立，
所以即，
故選：A.
【題型3 利用導數求函數的極值】
【方法點撥】
求函數的極值需嚴格按照步驟進行，重點考慮兩個問題：一是函數的定義域，注意判斷使導數值為0的點
是否在定義域內.如果不在定義域內，需要舍去；二是檢查導數值為0的點的左右兩側的導數值是否異號，
若異號，則該點是極值點，否則不是極值點.
【例3】（2022·貴州·高三階段練習（文））函數的極小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】根據函數求極小值的過程求解：先求的解 ，再判斷在兩側的單調性，確定極值.
【解答過程】因為，所以.
令得，
當時，，當時，.
故的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.
則當時，取得極小值，且極小值為.
故選：C.
【變式3-1】（2022·山東濟南·模擬預測）若是函數的極值點．則的極小值為（ ）
A．-3 B． C． D．0
【解題思路】根據給定的極值點求出參數a的值，再求出函數極小值作答.
【解答過程】函數，求導得：，
因是函數的極值點，即，解得，
，當或時，，當時，，
即是函數的極值點，函數在處取得極小值.
故選：A.
【變式3-2】（2022·安徽省高三階段練習）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，取得極小值1 B．當時，取得極大值1
C．當時，取得極大值33 D．當時，取得極大值
【解題思路】求導可得解析式，令，可得極值點，利用表格法，可得的單調區間，代入數據，可得的極值，分析即可得答案.
【解答過程】由題意得，
令，解得或，
當x變化時，、變化如下
x -1
+ 0 - 0 +
極大值 極小值
所以當時，取得極大值1，故B正確、C、D錯誤，
當時，取得極小值，故A錯誤，
故選：B.
【變式3-3】（2022·陜西·高三階段練習（文））記函數的極大值從大到小依次為、、、、，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數分析函數的單調性，求出函數的極大值點，利用極值的單調性可求出、，即可得解.
【解答過程】因為，其中，則，
令可得，且不是函數的極值點，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減.
所以，函數的極小值點為，極大值點為，
所以，函數的極大值為，
因為函數單調遞減，故，，
因此，.
故選：C.
【題型4 利用導數求函數的最值】
【方法點撥】
設函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：
(1)求f(x)在(a,b)內的極值；
(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
【例4】（2021·寧夏·高二期中（文））函數在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數研究函數的單調性，結合單調性即可求得最小值.
【解答過程】∵，
∴，
當時，
∴函數在區間上單調遞增，
∴當時，函數取得最小值，，
∴函數在上的最小值為.
故選：A.
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習（文））函數在區間上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據在上單調性求出最值即可
【解答過程】由可得，
令，解得，
當，，單調遞減；當，，單調遞增，
所以的極小值，也為最小值為，
故選：C.
【變式4-2】（2022·江西·高三階段練習（理））已知函數在上的最小值為，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】取可排除AB；取可排除C；
【解答過程】當時，在單調遞減，
且最小值為，滿足條件，故可排除A，B；
當時，，，
時，，在單調遞減，
所以最小值為，滿足條件，故可排除C；
故選：D.
【變式4-3】（2022·廣東·高二開學考試）若函數的最大值為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由基本不等式求得x＜0時，f（x）的值域，由題意可得x＞0時，f（x）的值域應該包含在x＜0時的值域內，轉化為在x＞0時恒成立．利用導數求出的最大值即可.
【解答過程】當x＜0時，，
當且僅當x＝ 1時，f（x）取得最大值f（ 1）＝a 2，
由題意可得x＞0時，的值域包含于（ ∞，a 2]，
即在x＞0時恒成立，
即在x＞0時恒成立，
即，
設，
，
當時，在上單調遞增，
當時，在上單調遞減，
，
.
故選：C．
【題型5 導數中的零點（方程根）問題】
【方法點撥】
利用導數研究含參函數的零點主要有兩種方法：
(1)利用導數研究函數f(x)的最值，轉化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.
(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y= g (x)圖象的交點問題.
【例5】（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求函數定義域，進而轉化為，與兩函數有兩個交點，利用導函數得到的單調性，得到函數極值和最值，畫出函數圖象，數形結合得到答案.
【解答過程】定義域為，
故有兩個不同的根，即，與兩函數有兩個交點，
其中，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
從而在處取得極大值，也是最大值，
，
且當時，恒成立，
當時，恒成立，
畫出的圖象如下：
顯然要想，與兩函數有兩個交點，
需要滿足，
綜上：實數a的取值范圍是.
故選：B.
【變式5-1】（2022·四川·模擬預測（理））已知函數（其中，）有兩個零點，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據函數的零點個數、方程的解個數與函數圖象的交點個數之間的關系可得方程有2個不同的解，構造函數 ，利用導數研究函數的性質可得，即函數與圖象在上有2個交點，利用導數求出，即可求解.
【解答過程】函數有2個零點，
則方程有2個不同的解，
方程 ，
設函數 ，則，
所以函數在上單調遞減，由，
得，即，則函數與圖象在上有2個交點.
設函數，則，
令，令，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
所以，解得.
故選：D.
【變式5-2】（2022·陜西·一模（理））若函數有三個零點，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運用分離變量法將與分開，將零點問題轉化為兩個函數的圖像有三個交點的問題，數形結合容易得到答案.
【解答過程】由，得，設，令，解得，當時，，當或時，，且，其圖象如圖所示：
若使得函數有3個零點，則.
故選：A.
【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習）已知函數滿足，且，若函數有兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，構造并求出函數的表達式，則函數有兩個零點轉化為與有兩個不同交點，利用導數研究的性質畫出圖像即可得到答案.
【解答過程】由，可設，則，可得即，
所以，所以．
令，則，
當時，，所以函數在為增函數，
當時，，所以函數在為減函數，
故，
又，當時，，畫出圖像如下圖，
觀察圖象可知，函數有兩個零點.
故選：C．
【題型6 利用導數解（證明）不等式】
【方法點撥】
(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區間(a，b)上成立，需構造輔助函數F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處
的函數值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)
在(a，b)上單調遞減即可.
(2)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，可考慮轉化為兩個函數的最值問題．
【例6】（2022·吉林·高三階段練習（文））已知函數，.
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，證明：.
【解題思路】（1）利用導數求切線斜率，然后可得；
（2）利用二次導數求導函數的零點，從而可得函數的最值，然后可證.
【解答過程】（1）因為，所以，則，.
又，所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2），
設函數，所以，
所以在上單調遞增.
因為，所以，，
所以在上存在唯一零點，且，即.
當時，，；當時，，.
因此 .
設函數，，則，
所以在上單調遞減，從而.
即，故.
【變式6-1】（2022·河北·高三期中）已知，函數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)證明：.
【解題思路】（1）代入，求出，根據恒成立，可得到單調遞增，又，進而可根據導函數的符號可得到函數的單調性；
（2）原題可轉化為證明恒成立，轉為證明以及成立，即可證明完成.
【解答過程】（1）當時，，定義域為，
則，恒成立，
所以在上單調遞增，且，
所以當時，；當時，.
故在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）證明：因為，由可得，則定義域為.
要證，即成立，
只需證，即證恒成立.
令，則，所以當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，即，所以，
令，則，所以當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，即，所以.
故成立，即成立.
【變式6-2】（2022·北京高三階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，討論函數的單調性；
(3)當時，證明：.
【解題思路】（1）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，再根據點斜式求出切線方程；
（2）求導后根據導數的符號可得函數的單調性；
（3）根據（2）中函數的單調性求出函數的最大值，再利用導數證明函數的最大值小于0即可得證.
【解答過程】（1）當時，，，
，，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）因為，，
所以 ，
因為，所以當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
（3）當時，由（2）知，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以 ，，
令，，
則 ，則在上單調遞減，
所以 ，
所以，所以.
【變式6-3】（2022·四川自貢·一模（理））設函數，其中，e為自然對數底數.
(1)若，求函數的最值；
(2)證明：當時，.
【解題思路】（1）代入，求出，再求出，利用導數的性質，即可求出函數的最值.
（2）設，得到，
再設，，通過導數和的性質，的最小值和的最大值，得出，進而得到，得到為單調增函數，有，進而證明得到.
【解答過程】（1），，，
，
在單調遞減，而，
，，，，
的最大值為，無最小值.
（2）當時，，
，
設，，
在上是單調遞減函數， ，
設，，
在上是單調遞減函數，
，
，
，，
單調遞增，
，
，
.
【題型7 導數中的恒成立（存在性）問題】
【方法點撥】
解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：
(1)分離參數法解決恒（能）成立問題，根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端
是變量表達式的不等式，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，即可解決問題．
(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分類討
論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，據此進行求解即可.
【例7】（2022·黑龍江·高三階段練習）已知函數.
(1)若，證明：；
(2)若對任意的恒成立，求a的取值范圍.
【解題思路】(1)證明不等式成立，即證明，建立新的函數，求導判斷函數的單調性，求出最值即可判斷.
(2)對的正負分類討論，當時，可以直接去絕對值.當時，轉化為分段函數求導，求函數的最值即可解決.
【解答過程】（1）證明：因為的定義域為，所以若，.
要證，即證，即證.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以.
（2）若對任意的恒成立，
即對任意的恒成立.
令.
若，則.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合題意；
若，令，在上恒成立，
所以在上單調遞增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，當時，，
所以，所以在上單調遞減.
當時，，所以，
當時，在上單調遞增，所以，
所以當時，，所以在上單調遞增，
所以，解得.
設，，所以在上恒成立，
所以在上單調遞增，所以，即.
綜上所述，a的取值范圍為.
【變式7-1】（2022·四川高三期中）已知函數．
(1)若在上是單調遞減，求實數的取值范圍；
(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）轉化為在上恒成立，分離參數得，設，利用導數求出函數的最大值即可；
（2）代入并分離參數得對恒成立，設，求導求出的最小值即可.
【解答過程】（1）由題意得在上恒成立，
，設，，令，
解得，當時，，此時在上單調遞增，
當時，，此時在上單調遞減，
故，.
（2）對恒成立，
即對恒成立，
即對恒成立，
設，，
令，，即，
顯然有一根為1，
當時，令，
則，當時，，此時單調遞減，
當時，，此時單調遞增，
故當時，，而，
故存在使得，，
故存在，使得，
而當時，，且單調遞增，故在時，不存在使得，
同理時，，且單調遞減，故在時，不存在使得
時，，且在上單調遞減，在上單調遞增，
故在時，不存在使得
故只存在3個根或1或，其圖像如圖所示：
當時，，此時單調遞減，
當時，，此時單調遞增，
當時，，此時單調遞減，
時，，此時單調遞增，
故存在兩個極小值，，，
分別為的兩根，
，，則
，
同理可得，
故，.
【變式7-2】（2022·北京·高三階段練習）已知函數.
(1)時，在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)若函數對任意都有成立，求a的取值范圍．
【解題思路】（1）將代入函數解析式，求出的值，再根據函數的導函數求出切線方程的斜率，然后利用點斜式方程即可得到答案；
（2）求出導函數，對參數進行分類討論即可得到答案；
（3）若函數對任意都有成立，即可尋找區間上的最小值大于等于0，根據第二問求出的單調區間，進行分類討論，即可得到答案.
【解答過程】（1）根據題意，當時，，定義域為，
所以，當時，，，
所以在點處的切線方程為，即.
（2）因為函數，定義域為，
，因為，所以的正負與的一致，
當即時，在上恒成立，
因為，所以恒成立，
所以函數在區間上單調遞增；
當即時，
令，即，解得，所以函數在區間上單調遞增，
令，即，解得，所以函數在區間上單調遞減.
綜上，當時，函數的單調增區間為，無單調遞減區間；
當時，函數的單調增區間為，單調遞減區間為.
（3）由（2）得，當時，函數在區間上單調遞增，
所以當時，函數在區間上單調遞增，
所以，
可得對任意都有成立，所以滿足題意；
當，函數的單調增區間為，單調遞減區間為，
所以對于，當，即時，函數在區間上單調遞增，
所以，
可得對任意都有成立，所以滿足題意，
當時，即，此時函數的單調增區間為，單調遞減區間為，
所以，
又因為，
根據函數的單調區間可知，
所以存在有，與題干矛盾，所以不滿足題意.
綜上，a的取值范圍為.
【變式7-3】（2022·廣東·高三階段練習）已知.
(1)若，求函數的單調區間和極值；
(2)若對都有成立，求實數a的取值范圍.
【解題思路】（1）直接求導計算即可．
（2）將問題轉化為，構造新函數在上單調遞增即可，然后參變分離或者分類討論都可以．
【解答過程】（1）
令，因為得或，列表如下：
x
+ 0 0 +
極大值 極小值
所以的單調增區間為和 單調減區間為
極大值為 ，極小值為
（2）對都有成立可轉化化為：

設，則在，
故，在上恒成立
方法一：（含參討論）
設，
則，，解得.
，，.
①當時，，
故，當時，，遞增；
當時，，遞減；
此時，，在上單調遞增，故，符合條件.
②當時，同①，當時，遞增；當時，遞減；
∵，，
∴由連續函數零點存在性定理及單調性知，，.
于是，當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
∵，，∴，符合條件.
綜上，實數的取值范圍是.
方法二：（參變分離）
由對稱性，不妨設，
則即為.
設，則在上單調遞增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
設，，則，.
設，，
則，.
由，，得在，上單調遞增；
由，，得在，上單調遞減.
故時；
時.
從而，，，
又時，，故，，
，單調遞減，
，.
于是，.
綜上，實數的取值范圍是.
【題型8 導數在實際問題中的應用】
【方法點撥】
解決實際問題時，首先要根據實際情況建立實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系式，
然后利用導數研究，進而解決問題.
【例8】用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
【解題思路】設出長方體的寬為m，表達出長方體的長和高，從而體積，并根據長寬高均大于0，求出，求導后得到的單調性和極值，最值情況，并確定此時的長、寬、高.
【解答過程】設長方體的寬為m，則長方體的長為m，故長方體的高為m，
由，解得：，
設長方體的體積為，
故，
則，
令，解得：，
令，解得：，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，最大值為 ，
此時長為m，寬為1m，高為m.
【變式8-1】（2022·山東泰安·高二期中）如圖，一個面積為平方厘米的矩形紙板，在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設小正方形邊長為厘米，矩形紙板的兩邊的長分別為厘米和厘米，其中.
（1）當，求紙盒側面積的最大值；
（2）試確定的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．
【解題思路】（1）當時，，求出側面積，利用導數判斷單調性求紙盒側面積的最大值；
（2）表示出體積，利用基本不等式，導數知識，即可確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值.
【解答過程】解：（1）當時，，紙盒的底面是正方形，邊長為，周長為.
所以紙盒的側面積，其中.
令，得，
所以當時，，可知在區間上單調遞增，
當時，，可知在區間上都單調遞減，
的最大值為，
所以當時，紙盒側面積的最大值為平方厘米．
（2）紙盒的體積，其中，且.
因為，
當且僅當時取等號，
所以．
記，
則，
令，得，列表如下：
＋ －
單調遞增 極大值 單調遞減
由上表可知，的極大值是，也是最大值．
所以當，且時，紙盒的體積最大，最大值為立方厘米．
【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習）某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為元／根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元，假設座位等距離分布，且至少有四個座位，
所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為元.
（Ⅰ）試寫出關于的函數關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當米時，試確定座位的個數，使得總造價最低
【解題思路】(1)由題意,總造價中包括座位和圓心處的支點間的鋼管的費用,相鄰座位之間的鋼管與座位的費用,故只需算出座位的個數即知鋼管的個數,將兩項費用表示出來,相加即得y關于x的函數關系式;
(2)將米代入函數關系式,利用導數求出最值，即得最低的總造價.
【解答過程】（Ⅰ）設摩天輪上總共有個座位，則即，
,
定義域；
（Ⅱ）當時，,令
，則
∴，∴
當時，，即在上單調減，
當時，，即在上單調增，
最小值在時取到，此時座位個數為個．
【變式8-3】（2022·河南·高三階段練習（理））某超市開展促銷活動，經測算該商品的銷售量為s件與促銷費用x元滿足．已知s件該商品的進價成本為元，商品的銷售價格定為元/件．
(1)將該商品的利潤y元表示為促銷費用x元的函數；
(2)促銷費用投入多少元時，商家的利潤最大？最大利潤為多少 （結果取整數）．
參考數據：，，．
【解題思路】（1）由：利潤=銷售價格×銷售量-促銷費用-進價成本，列出利潤y元表示為促銷費用x元的函數.
（2）利用導數，求（1）中函數的最大值.
【解答過程】（1）利潤=銷售價格×銷售量-促銷費用-進價成本，
所以 ，
再將代入可得：
；
（2）對函數求導可得
令，解得 ，
故可得當 時，函數單調遞增，
當 時，函數單調遞減，
所以，當時，
所以當促銷費用投入 元時，商家的利潤最大，最大利潤為1225元.

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