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2023-2024學年第一學期甘肅省武威市涼州區清水鎮九年制學校
九年級數學《二次函數》寒假復習作業
二次函數綜合訓練(共20題；共120分)
1．（4分）已知二次函數的表達式為y=
x2+x+2．
（1）（2分）求該二次函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）（2分）當x小于多少時，y隨x的增大而增大？
2．（4分）已知函數 是二次函數．
（1）（2分）求m的值；
（2）（2分）求這個二次函數的解析式，并指出開口方向、對稱軸和頂點坐標．
3．（4分）已知關于x的二次函數 ，其圖像經過點(1，8).
（1）（2分）求k的值.
（2）（2分）求出函數圖象的頂點坐標.
4．（4分）如圖，校園要建苗圃，其形狀如直角梯形，有兩邊借用夾角為135°的兩面墻，另外兩邊是總長為30m的鐵柵欄．
（1）（2分）求梯形的面積y與高x的表達式；
（2）（2分）求x的取值范圍．
5．（4分）已知二次函數 .
（1）（2分）求拋物線開口方向及對稱軸.
（2）（2分）寫出拋物線與y軸的交點坐標.
6．（4分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為x＝2，且其頂點在直線y＝﹣2x+2上．
（1）（2分）直接寫出拋物線的頂點坐標；
（2）（2分）求拋物線的解析式．
7．（6分）如圖，矩形ABCD的長AD＝5 cm，寬AB＝3 cm，長和寬都增加x cm，那么面積增加y cm2.
（1）（3分）寫出y與x的函數關系式；
（2）（3分）當增加的面積y＝20 cm2時，求相應的x是多少？
8．（6分）如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D.
（1）（3分）求此二次函數的解析式.
（2）（3分）求點D的坐標及△ABD的面積.
9．（6分）二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（1，0）（0，3），對稱軸x=﹣1．
（1）（3分）求函數解析式；
（2）（3分）若圖象與x軸交于A、B（A在B左）與y軸交于C，頂點D，求四邊形ABCD的面積．
10．（6分）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，圖像交x軸于A、B（-1，0）兩點，交y軸于點C（0，3），根據圖像解答下列問題：
（1）（3分）直接寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；
（2）（3分）直接寫出不等式ax2+bx+c＜3的解集．
11．（6分）如圖，已知二次函數y＝ax ＋bx+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C.
（1）（3分）寫出A、B、C三點的坐標；
（2）（3分）求出二次函數的解析式.
12．（10分）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，每件商品每降價1元，商場每天可多售出2件，設每件商品降低x元據此規律，請回答：
（1）（4分）商場日銷售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代數式表示）；
（2）（3分）在上述條件不變，銷售正常的情況下，設商場日盈利y元，求y與x的函數關系式；
（3）（3分）在（2）的條件下，每件商品降價多少元時，商場日盈利最高？
13．（6分）已知拋物線的頂點坐標為（－1，2），與y軸交于點（0， ）
（1）（3分）求二次函數的解析式；
（2）（3分）判斷點P（2，－ ）是否落在拋物線上，請說明理由.
14．（6分）如圖，用20m的籬笆圍成一個矩形的花圃．設連墻的一邊為x（m），矩形的面積為y（m2）．
（1）（3分）寫出y關于x的函數解析式；
（2）（3分）當x=3時，矩形的面積為多少？
15．（6分）某花圃銷售一批名貴花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，為了增加盈利并盡快減少庫存，花圃決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．
（1）（3分）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉應降價多少元？
（2）（3分）每盆花卉降低多少元時，花圃平均每天盈利最多，是多少？
16．（6分）已知二次函數y＝ax2的圖象經過A（2，﹣4）
（1）（3分）求這個二次函數的解析式；
（2）（3分）請寫出這個二次函數圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向.
17．（6分）已知二次函數的圖象經過點（0，3），頂點坐標為（1，4）．
（1）（3分）求這個二次函數的解析式；
（2）（3分）若將該拋物線繞原點旋轉180°，請直接寫出旋轉后的拋物線函數表達式。
18．（6分）若二次函數 的x與y的部分對應值如下表：
x -1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 -5
（1）（3分）求這個二次函數的表達式；
（2）（3分）當x=﹣2時，y的值.
19．（8分）如圖，直線y=﹣x+2過x軸上的點A（2，0），且與拋物線y=ax2交于B，C兩點，點B坐標為（1，1）．
（1）（2分）求拋物線的函數表達式；
（2）（3分）連結OC，求出△AOC的面積．
（3）（3分）當 -x+2＞ax2 時，請觀察圖像直接寫出x的取值范圍.
20．（12分）已知拋物線y=ax2經過點A（﹣2，﹣8）．
（1）（3分）求此拋物線的函數解析式；
（2）（3分）寫出這個二次函數圖象的頂點坐標、對稱軸；
（3）（3分）判斷點B（﹣1，﹣4）是否在此拋物線上；
（4）（3分）求出此拋物線上縱坐標為﹣6的點的坐標．
答案
1．（1）解：y= x2+x+2 = （x2-4x+4-4）+2= (x-2)2+3，
∴該二次函數圖象的開口向下，對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2，3）．
（2）解：∵二次函數圖象開口向下，
∴在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，
∴當x<2時，y隨x的增大而增大．
2．（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）將m=-3代入解析式中，得二次函數的解析式為
∵a=-6＜0
∴開口方向向下
∴對稱軸是直線 ，頂點坐標是（-2，-5）．
3．（1）解：把(1，8)代入二次函數 得：
解得：k=5
（2）解：把k=5代入二次函數得：
化簡
∴二次函數得頂點坐標為(-2，-1)
4．（1）解：如圖，連接DE，過點A作AE⊥BC于E，則四邊形ADCE為矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，
則∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴DC=AE=BE=x，
∴AD=CE=30﹣2x，
∴梯形ABCD面積y= （AD+BC） CD= （30﹣2x+30﹣x） x=﹣ x2+30x
（2）解：∵ ，
∴0＜x＜15
5．（1）解：∵ ，
∴拋物線開口向上，
∵ = ，
∴對稱軸是直線 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴與y軸交點坐標是 .
6．（1）解：（2，﹣2）
（2）解：∵拋物線的頂點坐標為（2，﹣2）；∴拋物線的解析式為：y=（x﹣2）2﹣2，即拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+2．
7．（1）解：由題意可得(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化簡得：y＝x2＋8x
（2）解：把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中，得x2＋8x－20＝0，
解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．
∴當增加的面積為20 cm2時，相應x為2 cm.
8．（1）解：∵二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，
∴ ，
解得： ，
∴二次函數的解析式為 ；
（2）解：由（1），得： ，
∴點 ，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，
∴ .
9．（1）解：∵對稱軸是x=-1，所以與x軸的另一個交點為（-3，0）
所以設函數的解析式為y=a（x-1）（x+3），把（0，3）代入得a=-1
所以函數的解析式為y=-（x-1）（x+3）或y= x2-2x+3
（2）解：根據題意得：C（0，3） D（－1，4），連接OD， ∴S=
9。
10．（1）解：B（-1，0），對稱軸為直線x=1，則點A（3，0），故ax2+bx+c=0的兩個根為x1=3、x2=-1
（2）解：點C（0，3），則點C關于對稱軸的對稱點為：（2，3），則不等式ax2+bx+c＜3的解集
為x＜0或x＞2
11．（1）A、B、C三點的坐標為A（－1，0），B（4，0），C（0，－3
（2）解：把A（-1，0），B（4，0），C（0，-3）代入y=ax2+bx+c可得
，
解得
∴y＝
12．（1）2x；（50-x）
（2）解：根據題意得：
（3）解：，
當時，y有最大值，
答：每件商品降價17.5元時，商場日盈利最高.
13．（1）解：∵拋物線的頂點坐標為（－1，2），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+2，
將（0， ）代入得，a=- ，
∴拋物線的解析式為y=- （x+1）2+2；
（2）解：將P的橫坐標x=2代入拋物線，則y=- ，
所以P點落在拋物線上.
14．（1）解：設連墻的一邊為x（m），矩形的面積為y（m2），
則另一邊長為：（20﹣2x）m，
∴y關于x的函數解析式為：y=x（20﹣2x）=﹣2x2+20x
（2）解：當x=3時，矩形的面積為：y=﹣2×32+20×3=42（cm2）
15．（1）解：設每盆花卉應降價x元，
根據題意可得：（40-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20，
∵為了增加盈利并盡快減少庫存，
∴x=20，
答：若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉應降價20元
（2）解：設每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，
則 y=（40-x）（20+2x） =-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，
由 ，
解得：0≤x＜40 ，
故當x=15時，y最大=1250，
答：每盆花卉降低15元時，花圃每天盈利最多為1250元
16．（1）解：∵二次函數y＝ax2的圖象經過A（2，﹣4）， ∴﹣4＝4a，
解得a＝﹣1，
∴二次函數的解析式為y＝﹣x2
（2）解：∵二次函數的解析式為 y＝﹣x2，
∴這個二次函數圖象的頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸，開口方向向下
17．（1）解：設二次函數解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把點（0，3）代入得a+4＝3，
解得：a＝﹣1，∴這個二次函數解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）解：y＝（x+1）2-4
18．（1）解：把（﹣1，0）、（0，3）、（1，4）代入 ，得
，解得： ，
∴這個二次函數的解析式是 ；
（2）解：把x=﹣2代入 ，得 .
19．（1）解：∵點B在拋物線上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由題意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
20．（1）解：∵拋物線y=ax2經過點A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此拋物線對應的函數解析式為y=﹣2x2
（2）解：由題可得，拋物線的頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸
（3）解：把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴點B（﹣1，﹣4）不在此拋物線上
（4）解：把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=± ，
∴拋物線上縱坐標為﹣6的點的坐標為（ ，﹣6）或（﹣ ，﹣6）

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