資源簡介

第十一章 三角形
·11.1與三角形有關的線段·
第二課時 三角形的高、中線與角平分線
學案
班級： 課時： 成績：
學習目標
1.理解三角形的高、中線和角平分線的含義，并會作出這三種重要的線段；
2.了解三角形的高、中線和角平分線的性質，并能應用它解決一些問題.
知識構建
【自主學習】
過一點畫已知直線的垂線.
2.過三角形的一個頂點，畫出它到對邊的垂線段.
3.從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做 .
4.分別作以下三個三角形的的三條高：
思考，并完成表格：
【合作探究】
在三角形中，連接一個頂點和它所對的邊的中點的線段叫做 .
請畫出一個三角形，并利用直尺畫出它的三條中線，得出：三角形的三條中線相交于一點，交點在三角形的 .
3.三角形三條中線的交點叫做三角形的 .
4.在三角形中，一個內角的平分線和它所對的邊相交于一點，這個角的頂點與交點之間的線段叫做
.
5.三角形的三條角平分線相交于一點,交點在三角形的 .
6.∵ BE是△ABC的角平分線，
∴ = = .
∵ CF是△ABC的角平分線，
∴ ∠ACB = 2 = 2 .
7.三角形的角平分線與角的平分線有什么區別？
層級練習
【應用遷移 鞏固提高】
1.如圖，△ABC中，邊BC、AC上的高分別是AD、BE.已知BC = 5 cm，AD = 6 cm，AC = 7 cm，求BE的長度.
2.如圖，在△ABC中，邊AD，AE分別是BC上的中線和高.試判斷△ABD和△ADC的面積有何關系？
3.如圖，已知：△ABC中，BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線，相交于點O.
（1）當∠ABC = 60°，∠ACB = 80°時，求∠BOC的度數.
（2）當∠A = 40°時，求∠BOC的度數.
（3）當∠A = x°時，求∠BOC的度數(用含x代數式表示).
【隨堂練習 鞏固新知】
1.（2019秋 呼和浩特期末）在數學課上，同學們在練習畫邊AC上的高時，出現下列四種圖形，其中正確的是（　　）
2.（2019 荊門校級月考）三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（　　）
A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形
C．直角三角形 D．周長相等的三角形
3.（2019 蒼南期中）如圖所示，在△ABC中，D，E，F是邊BC上的三點，且∠1 =∠2 =∠3 =∠4，AE是哪個三角形的角平分線（　　）
A．△ABE B．△ADF
C．△ABC D．△ABC，△ADF
4.如圖
①AD是△ABC的角平分線，則∠ =
∠ =∠ ，
②BE是△ABC的中線，則 = = ，
③CF是△ABC的高，則∠ =∠ =90°．
如圖1所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，把△ABC沿直線AC翻折180°，使點B落在點B′的位置,則線段AC具有性質（　　）
A.是邊BB′上的中線
B.是邊BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分線
D.以上三種性質合一
【當堂檢測 及時反饋】
1.（2019春 侯馬市期末）如圖，在△ABC中，邊BC上的高為（　　）
A．BF B．CF C．BD D．AE
2.（2019秋 渦陽縣期中）如圖，在△ABC中，若AD⊥BC，點E是邊BC上一點，且不與點B、C、D重合，則AD是幾個三角形的高線（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．8個
3.（2019春 武侯區校級期中）如圖，在△ABC中，∠1 =∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上的一點，CF⊥AD于H．下列判斷正確的有（　　）
A．AD是△ABE的角平分線
B．BE是△ABD邊AD上的中線
C．CH為△ACD邊AD上的高
D．AH為△ABC的角平分線
4.（2019秋 石臺縣期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（　　）
A．BF = CF B．∠C+∠CAD = 90°
C．∠BAF = ∠CAF D．S△ABC = 2S△ABF
5.（2020 碑林區校級四模）若線段AD、AE分別是△ABC的邊BC上的中線和高線，則（　　）
A．AD≥AE B．AD＞AE
C．AD≤AE D．AD＜AE
6.已知，如圖△ABC中，AD為邊BC上的中線，AB = 6 cm， AC = 8 cm，則△ABD與△ACD的周長之差為 ，面積之差為 ．
7.（2019秋 新昌縣期中）在△ABC中，AC = 2BC，邊BC上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，則AC = ，AB = ．
8.如圖所示，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，已知∠BAE = 30°，∠DAC = 20°，求∠B的度數.
9.如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別是BC、AD、CE的中點，且S△ABC = 4，求△BEF的面積.
10.如圖所示，有一塊肥沃的三角形土地，其中一邊與灌渠相鄰，要將這塊地按人口比例分給甲、乙、丙三家.若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地都與灌渠相鄰，請你幫助設計一個合理的分配方案．
【拓展延伸 能力提升】
1.不等邊△ABC的兩條高長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數，試求它的長．
2.已知等邊三角形ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高AM的長為h.若點P在△ABC的邊BC上，如圖①所示，此時， h3 = 0，可得結論h1+h2+h3 = h.當點P在△ABC內或在△ABC外時，如圖②③所示，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；不成立h1，h2，h3與h之間有怎樣的關系？請寫出你的猜想.
四、參考答案
【自主學習】
1.作圖略.
2.作圖略.
3.三角形的高.
4.作圖略.
【合作探究】
1.三角形的中線.
2.內部.
3.重心.
4.三角形的角平分線.
5.內部.
6.∠ABE； ∠CBE；∠ABC；∠ACF；∠BCF.
7.三角形的角平分線是一條線段，角的平分線是一條射線.
【層級練習】
【應用遷移 鞏固提高】
1.BE的長度為cm.
2.S△ABD = S△ADC.
3.（1）∠BOC=10°；（2）∠BOC=110°；
（3）∠BOC=90°+x.
【隨堂練習 鞏固新知】
C 2.B 3.D
4.BAD；DAC；BAC；AE；EC；AC；BFC；AFC.
5.D
【當堂檢測 及時反饋】
D 2.C 3.C 4.C 5.A
6.2cm；0cm2. 7.48；28.
8.∠B=50°．
9.S△BEF = 1.
10.取AC中點為D，BD中點為E，連接AD，AE.如圖，所以甲家分得△ABE，乙家分得△AED，丙家分得△ADC. （答案不唯一）
【拓展延伸 能力提升】
1.h=5.
2.如圖2，當點P在△ABC內時，結論成立．證明如下：
連接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC
∴BC·AM =AB·PD+BC·PF+AC·PE，
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC，∴ AM = PD+PF+PE，
∴h1+h2+h3=h，當點P在△ABC外時，結論不成立.

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