資源簡介

第十一章 三角形
·11.2與三角形有關(guān)的角·
第三課時 三角形的外角
學案
班級： 課時： 成績：
學習目標
1.了解三角形外角的概念.
2.掌握三角形外角的性質(zhì)的推理過程.
3.能綜合利用三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)解決問題.
知識構(gòu)建
【自主學習】
1.如圖，小穎從點A出發(fā)，繞著圓形花壇的外圍走一圈，那么回到原來位置時，一共轉(zhuǎn)了 度.
2.如果繞著三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原來位置時，一共轉(zhuǎn)了 度嗎.
3.三角形的 組成的角，叫做三角形的外角.
4.畫出△ABC，然后畫出它的所有外角，問：
（1）每一個頂點處相對應(yīng)的外角有 個，它們之間互為 角.
（2）三角形的每一個外角與相鄰的內(nèi)角互為
角.
（3）每一個三角形有 個外角.
5.∠BEC是 的外角，
也是 的內(nèi)角.
∠BDC是
的內(nèi)角，也是 的外角.
∠BFC是
的外角，也是 的內(nèi)角.
【合作探究】
1.如圖，在△ABC中，∠A = 70 °，∠B = 60 °.∠ACD是△ABC的一個外角.能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？
2.如圖，CD是邊BC的延長線，求證：∠ACD =∠A+∠B.
三角形外角的性質(zhì)：
（1）三角形的外角 與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
（2）三角形的一個外角 任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.
4.如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？
即：三角形的外角和是
層級練習
【應(yīng)用遷移 鞏固提高】
1.根據(jù)圖所示，寫出∠α的度數(shù)．
2.如圖，D是△ABC的邊BC上一點，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求∠C的度數(shù).
3.如圖，直線AB∥CD，∠A = 70°，∠C = 40°，求∠E的度數(shù).
【隨堂練習 鞏固新知】
1.判斷題：
（1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和.
（2）三角形的外角和等于它內(nèi)角和的 2 倍.
（3）三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和.
（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
（5）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角.
（6）三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角.
2.(2022秋 達孜區(qū)期中)如圖，∠1、∠2、∠3 中是△ABC外角的是（　　）
A．∠1、∠2 B．∠2、∠3
C．∠1、∠3 D．∠1、∠2、∠3
3.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是（ 　　）
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.無法確定
4.（2022春 平昌縣期末）如圖，∠A，∠1，∠2 的大小關(guān)系為（ 　）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠A＞∠2＞∠1
C．∠2＞∠1＞∠A D．∠2＞∠A＞∠1
5.（2022秋 文山市期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，點F在BC的延長線上，DE∥BC，∠A = 44°，∠1 = 57°，則∠2 = 　．
【當堂檢測 及時反饋】
1.（2022秋 新賓縣期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC 的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP = 20°，∠ACP = 50°，則∠A =（　 　）
A．60° B．80° C．70° D．50°
2.（2022秋 路北區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A = 60 度，點D，E分別在AB，AC上，則∠1+∠2 的大小為多少度（　 ）
A．140 B．190 C．320 D．240
3.（2022 棗莊）將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含 30°角的三角板的一條直角邊和含 45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（　 ?。?br/>A．45° B．60° C．75° D．85°
4.（2022秋 織金縣期末）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4恒滿足關(guān)系式是（ 　?。?br/>A．∠1+∠2 =∠3+∠4 B．∠1+∠2 =∠4-∠3
C．∠1+∠4 =∠2+∠3 D．∠1+∠4 =∠2-∠3
5.(2022秋 蒙陰縣期中)在△ABC中,∠A = 50°，∠B = 30°，點D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為（　 ?。?br/>A．60° B．10° C．45° D．10°或 60°
6.（2022秋 金鳳區(qū)校級期末）如圖，∠BCD = 150°，則∠A+∠B+∠D的度數(shù)為　 ?。?br/>7.有一次小明看見這樣一個圖，要計算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 度.
8.求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E的度數(shù).
9.（2022秋 香洲區(qū)校級月考）一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A = 90°，∠B和∠C分別是 32°和 21°的零件為合格零件，現(xiàn)質(zhì)檢工人量得∠BDC = 149°，就斷定這個零件不合格，請你運用三角形的有關(guān)知識說明零件不合格的理由．
10.（2022秋 漢濱區(qū)校級月考）已知：BP、CP是△ABC的外角的平分線，交于點P．求證：∠P = 90°- ∠A．
【拓展延伸 能力提升】
1.如圖，D、E分別在BC、AC上，AD、BE交于F．求證：
（1）∠AFB＞∠C；
（2）∠AFB =∠1+∠2+∠C．
2.（2020秋 彭水縣校級月考）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分線，CD與BD交于點D．
（1）若∠A = 50°，則∠D = ；
（2）若∠A = 80°，則∠D = ；
（3）若∠A = 130°，則∠D = ；
（4）若∠D = 36°，則∠A = ；
（5）綜上所述，你會得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論的準確性．
四、參考答案
【自主學習】
1.360. 2.360. 3.一邊與另一邊的延長線.
4.畫圖略，（1）2，對頂，（2）鄰補，（3）6.
5.△AEB，△BEC、△EFC，△BDC、△BDF，△ADC，△BDF 、△CEF，△BFC.
【合作探究】
1.解：由∠A +∠B +∠ACB = 180°，得∠ACB = 180°-∠A-∠B = 50°.
由∠ACB +∠ACD = 180°，得∠ACD = 180°-(180°-∠A-∠B)= ∠A +∠B = 130°.
2.
3.（1）等于，（2）大于.
4.解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE =∠2+∠3，∠CBF =∠1+∠3，∠ACD =∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3 = 180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD = 360°.
360°.
【層級練習】
【應(yīng)用遷移 鞏固提高】
1.解：①∠α = 25°+40°= 65°；
②∠α = 110°-35°= 75°；
③∠α = 40°+35°-60°= 15°；
④∠α = 180°-(360°-120°-108°)= 48°．
2.解：（1）∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC =∠B +∠BAD = 80°.
又∵ ∠B =∠BAD，
∴ ∠B = 80°×= 40°.
（2）在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C = 180°，
由（1）得，∠B = 40°，
∴ ∠C = 180°-40°-70 °= 70°.
3.解：如圖所示，標出∠1和∠2.
∵ AB∥CD，
∠1 =∠A = 70°.
∴根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得
∠E =∠1-∠C = 70°- 40°= 30°.
【隨堂練習 鞏固新知】
（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×（6）√
C 3.C 4.C 5.101°
【當堂檢測 及時反饋】
A 2.D 3.C 4.D 5.D
6.150° 7.360
8.解：∵ ∠1 是△FBE的外角，
∴ ∠1 =∠B+∠E.
同理∠2 =∠A+∠D，
在△CFG中∠C+∠1+∠2 = 180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = 180°.
9.解：如圖，延長BD交AC于E，
∵ ∠A = 90°，∠B = 32°，
∴ ∠DEC =∠A+∠B = 90°+32°= 122°，
∵ ∠C = 21°，
∴ ∠BDC =∠C +∠DEC = 21°+122°= 143°．
又∵ 質(zhì)檢工人量得∠BDC = 149°，
∴ 這個零件不合格．
10.證明：∵ BP、CP是△ABC的外角的平分線，
∴ ∠PCB =∠MCB，∠PBC =∠NBC，
∵ ∠MCB =∠A+∠ABC，∠NBC =∠A+∠ACB，
∴ ∠PCB+∠PBC =(∠A+∠ABC+∠A+∠ACB)= (180°+∠A)= 90°+ ∠A，
∴ ∠P = 180°-(∠PCB+∠PBC)= 180°﹣(90°+ ∠A)= 90°-∠A．
【拓展延伸 能力提升】
1.證明：（1）∵ ∠AFB是△AEF的一個外角，
∴ ∠AFB＞∠AEF.
∵ ∠AEF是△BCE的一個外角，
∴ ∠AEF＞∠C，∴ ∠AFB＞∠C.
（2）∵ ∠AFB =∠AEB+∠1，
∠AEB =∠C+∠2，
∴ ∠AFB =∠1+∠C+∠2.
2.（1）25°，（2）40°，（3）65°，（4）72°，
（5）∠D =∠A.
理由如下：∵ BD是△ABC的角平分線，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線，
∴ ∠ACE = 2∠2，∠ABC = 2∠1，
∵ ∠ACE =∠ABC+∠A，
∴ 2∠2 = 2∠1+∠A，
而∠2 =∠1+∠D，
∴ 2∠2 = 2∠1+2∠D，
∴ ∠A = 2∠D，
即∠D =∠A.

展開更多......

收起↑