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第十一章 三角形
·11.3多邊形及其內角和·
第一課時 多邊形
學案
班級： 課時： 成績：
學習目標
1.了解多邊形的定義及其相關概念；
2.了解正多邊形的概念及基本性質；
3.體會用類比的方法學習數學知識.
知識構建
【自主學習】
1.觀察下列圖片，從圖中可以得到哪幾個由一些線段圍成的圖形？
2.由三條線段首尾順次連接而成的圖形叫做 .
【合作探究】
在平面內，由不在同一直線上的 線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做 .
多邊形相鄰兩邊組成的角叫做 .
多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的 .
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的 .
畫出多邊形任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同側,那么這個多邊形叫做 .
6.在平面內，各個角 、各條邊 的多邊形叫做正多邊形.
層級練習
【應用遷移 鞏固提高】
1.畫出下列多邊形的全部對角線.
2.在多邊形中，多邊形的邊數與對角線條數，多邊形的邊數與對角線所分成三角形的個數，都存在數量規律，你能探究出這個規律嗎？
3.如圖，在正方形ABCD中，你能用不同的方法將正方形面積四等分嗎？
【隨堂練習 鞏固新知】
1.下列說法正確的是（　　）
A．各邊都相等的多邊形是正多邊形
B．各角都相等的多邊形是正多邊形
C．各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形
D．一個n邊形(n＞3)有n條邊，n個內角， 條對角線
2.下列屬于正多邊形的是（　　）
A．直角三角形 B．正方形
C．長方形 D．五邊都相等的五邊形
3.（2022春 道里區期末）下列選項中的圖形，不是凸多邊形的是（　　）
4.一個n邊形有 個頂點， 條邊， 個 內角， 個外角．
5.已知一個多邊形從一個頂點處只能引出4條對角線，則它是（　　）
A．五邊形 B．六邊形
C．七邊形 D．八邊形
【當堂檢測 及時反饋】
1.（2022 河北）下列圖形為正多邊形的是（　　）
2.（2022春 文登區期末）將一個多邊形紙片沿一條直線剪下一個三角形后，變成一個六邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.已知一個多邊形的一個頂點所畫出的全部對角線把它分成7個三角形，則它的邊數是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4.八邊形的對角線有（　　）
A．5條 B．15條
C．20條 D．24條
5.（2022秋 海淀區期末）如圖，將五邊形ABCDE沿虛線裁去一個角得到六邊形ABCDGF，則該六邊形的周長一定比原五邊形的周長 （填：大或小），理由為 ．
6.如下圖，多邊形任意相鄰兩邊互相垂直，則這個多邊形的周長為 .
7.如圖所示，①中多邊形是由正三角形“擴展”而來的.②中多邊形是由正方形“擴展”而來的……依次類推，由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為 .
8.如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數是_______．
9.已知正多邊形的周長為56，從其一個頂點出發共有4條對角線，求這個正多邊形的邊長.
10.（2022秋 廣州期中）過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，過k邊形一個頂點的對角線條數是邊數的，求m-n+k的值.
【拓展延伸 能力提升】
1.某學校八年級六個班舉行籃球比賽，比賽采用單循環積分制（即每兩個班進行一場比賽），求一共需進行多少場比賽？
2.四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經發現了它的許多性質．只要善于觀察、樂于探索，我們還會發現更多的結論．
（1）四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形(如圖①)，其中相對的兩對三角形的面積之積相等．你能證明這個結論嗎？試試看．
已知：在四邊形ABCD中，O是對角線BD上任意一點.(如圖①)求證：S△OBC S△OAD=S△OAB S△OCD；
（2）在三角形中(如圖②)，你能否歸納出類似的結論？若能，寫出你猜想的結論，并證明；若不能，說明理由．
四、參考答案
【自主學習】
1.略.
2.三角形.
【合作探究】
一些，多邊形.
它的內角.
外角.
對角線.
凸多邊形.
都相等，都相等.
【層級練習】
【應用遷移 鞏固提高】
1.如圖所示：
2.
3.（答案不唯一）
【隨堂練習 鞏固新知】
C 2.B 3.A 4.n，n，n，2n 5.C
【當堂檢測 及時反饋】
D 2.D 3.C 4.C
小，三角形的兩邊之和大于第三邊.
48 7.n(n+1) 8.n2+2n
這個正多邊形的邊長為8.
10解得m=10，n=3，k=6，∴m-n+k=13.
【拓展延伸 能力提升】
1.如圖所示：
由題意可知，比賽的總場數即為六邊形的對角線條數加邊數，共需比賽(場).
2.（1）分別過點A、C，作AE⊥DB，交DB的延長線于E，CF⊥BD于F，則有：S△AOB = BO·AE，
S△COD =DO·CF，
S△AOD = DO·AE，
S△BOC =BO·CF，
∴ S△AOB·S△COD =BO·DO·AE·CF，
S△AOD·S△BOC =BO·DO·CF·AE，
∴ S△AOB·S△COD = S△AOD·S△BOC.
（2）能.從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連接線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點連線，將三角形分成四個小三角形，其 中相對的兩對三角形的面積之積相等.或S△AOD·S△BOC = S△AOB·S△DOC.
已知：在△ABC中，D為AC上一點，O為BD上一點，
求證： S△AOD·S△BOC = S△AOB·S△DOC.
證明：分別過點A、C，作AE⊥DB，交DB的延長線于E，CF⊥BD于F，
則有S△AOD =DO·AE，S△BOC =BO·CF，
S△OAB =OB·AE，S△DOC =OD·CF，
∴ S△AOD·S△BOC =OB·OD·AE·CF，
S△OAB·S△DOC =BO·DO·AE·CF，
∴ S△AOD·S△BOC = S△OAB·S△DOC.

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