資源簡介

第十一章 三角形
·11.2與三角形有關的角·
第一課時 三角形的內角和定理
學案
班級： 課時： 成績：
學習目標
1.經歷動手實踐驗證三角形的內角和定理，并能用多種方法證明定理；
2.會應用三角形內角和定理進行計算.
知識構建
【自主學習】
1.下圖是生活中常見的兩種三角板，請完成填空.
任意三角形的三個內角之和等于 °.
【合作探究】
請寫出3種不同的方法證明三角形的內角和定理.
證法一：
證法二：
證法三：
層級練習
【應用遷移 鞏固提高】
1.如圖，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.
2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 2:2:4，求∠A、∠B、∠C的度數.
3.如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？
【隨堂練習 鞏固新知】
1.填空.
（1）在△ABC中，∠A = 35°，∠B = 43 °，則∠C = .
（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C = 2：3：4，則∠A = ，∠B = ，∠C = ，△ABC是 三角形.
（3）在直角三角形ABC中，一個銳角為50°，則另一個銳角是 °.
（4）在△ABC中，若∠A+∠B = 2∠C，則∠C = .
（5）任意一個三角形中，最大的一個角的度數至少為 .
2. △ABC中，若∠A+∠B =∠C，則△ABC是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
3.（2022秋 陽東區期中）如圖，AE是△ABC的角平分線，AD是△AEC的角平分線，若∠BAC = 80°，則∠EAD = （　　）
A．30° B．45° C．20° D．60°
4. （2022 臥龍區一模）如圖，直線m∥n，△ABC的頂點B，C分別在直線n，m上，且∠ACB = 90°，若∠1 = 30°，則∠2的度數為（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
5.（2022 紹興）如圖，墻上釘著三根木條a，b，c，量得∠1 = 70°，∠2 = 100°，那么木條a，b所在直線所夾的銳角是（　　）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【當堂檢測 及時反饋】
1. （2022秋 行唐縣期末）如圖，△ABC中，∠A = 80°，高BE和CH的交點為O，則∠BOC等于（　　）
A．80° B．120° C．100° D．150°
2.（2020 惠山區校級一模）一副直角三角板如圖放置，其中∠C =∠DFE = 90°，∠A = 45°，∠E = 60°，點F在CB的延長線上，若DE∥CF，則∠BDF等于（　　）
A．35° B．25° C．30° D．15°
3. （2022秋 內江期末）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，且∠CDG =∠A，則∠1與∠2的數量關系為（　　）
A．∠2 =∠1 B．∠2 = 3∠1
C．∠2-∠1 = 90° D．∠1+∠2 = 180°
4. （2022 鐵嶺）如圖，在△CEF中，∠E = 80°，∠F = 50°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
5. （2022春 南崗區校級期中）在△ABC中，∠A = 2∠B+15°，∠C =∠A+5°，則∠B度數為　 　．
6. （2022秋 蕪湖期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E = 90°，∠C = 90°，∠A = 45°，∠D = 30°，則∠1+∠2 = 　 ．
7. （2022秋 芮城縣期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果∠A = 40°，那么∠1+∠2的大小為　 ．
8.（2022秋 碑林區校級期末）如圖，△ABC中，∠A = 55°，將△ABC沿DE翻折后，點A落在BC邊上的點A′處．如果∠A′EC = 70°，那么∠A′DB的度數為　 ．
9.（2022秋 當涂縣期末）如圖，在△ABC中，∠A = 75°，∠ABC與∠ACB的三等分線分別交于點M、N兩點．
（1）求∠BMC的度數；
（2）若設∠A = α，用α的式子表示∠BMC的度數．
10.（2020春 長安區校級月考）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F，∠1 =∠2．
（1）試說明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B = 54°，且∠ACD = 35°，求的∠3度數．
【拓展延伸 能力提升】
1.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = .
2.（2020春 江陰市月考）如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．
（1）若∠MON = 60°，則∠ACG = °；若∠MON = 90°，則∠ACG = °；
（2）若∠MON = n°．請求出∠ACG的度數；(用含n的代數式表示)
四、參考答案
【自主學習】
1.60，30，90，180，45，45，90，180.
2.180.
【合作探究】
（答案不唯一）
證法一：
過點A作DE∥BC，
∵ DE∥BC，
∴ ∠1 =∠B，∠2 =∠C
∵ ∠1+∠BAC +∠2 = 180°，
∴ ∠BAC+∠B+∠C = 180°.
證法二：
在BC上任取一點D，作DE∥AB ，交AC于點E，作DF∥AC ，交AB于點F.
∵ DF∥AC，∴ ∠1 =∠C， ∠2 =∠DEC.
∵ DE∥AB，∴ ∠3 =∠B， ∠DEC =∠A.
∴ ∠A =∠2.
又∵ ∠1+∠2+∠3 = 180°，
∴ ∠A+∠B+∠C = 180°.
證法三：
過B作BD∥AC，
∴ ∠2 =∠A，∠DBC+∠C = 180°.
∵ ∠DBC =∠1+∠2，
即∠1+∠2+∠C = 180°，
∴ ∠A+∠ABC+∠C = 180°.
【層級練習】
【應用遷移 鞏固提高】
1.∠ADB= 85°.
2.∠A為45°，∠B為45°，∠C為90°.
3.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.
【隨堂練習 鞏固新知】
（1）102°；（2）40°；60°；80°；銳角；（3）40°；（4）60°；（5）60°.
B 3.C 4.C 5.B
【當堂檢測 及時反饋】
C 2.D 3.D 4.B
5.29° 6.210° 7.220° 8.40°
9.（1）∠BMC = 110°．（2）∠BMC = 60°+α.
10.（1）證明：∵ CD⊥AB，EF⊥AB，
∴ CD∥EF，
∴ ∠1 =∠BCD．
又∵ ∠1 =∠2，
∴ ∠2=∠BCD，
∴ DG∥BC．
（2）在Rt△BEF中，∠B = 54°，
∴ ∠1 = 180°-90°-54°= 36°，
∴ ∠BCD =∠1 = 36°．
又∵ BC∥DG，
∴ ∠3 =∠ACB =∠ACD+∠BCD = 35°+36°= 71°．
【拓展延伸 能力提升】
1.360°.
（1）60，45；
（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB=180°﹣∠AOB=180°﹣n°，
∵∠OBA、∠OAB的平分線交于點C，
∴∠ABC+∠BAC=(∠OBA+∠OAB)=(180°﹣n°)，
即∠ABC+∠BAC=90°-n°，
∴∠ACB=180°﹣(∠ABC+∠BAC)=90°+n°，
∴∠ACG=180°﹣(90°+n°)=90-n°.

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