資源簡介

第十一章 三角形
·11.3多邊形及其內角和·
第二課時 多邊形的內角和
學案
班級： 課時： 成績：
學習目標
1.通過多邊形內角和的計算公式的推導，培養探索和歸納的能力.
2.掌握多邊形的內角和的計算方法.
3.體驗轉化的數學思想方法.
知識構建
【自主學習】
1.在平面內，
叫做多邊形.
2.在多邊形中連接 的線段叫做多邊形的對角線.
3.三角形的內角和是 度.
4.正方形的內角和是 度，長方形的內角和是 度.
5.完成表格：
6.正方形，長方形的內角和都等于360°，那么任意四邊形的內角和是否也等于360°呢？證明你的結論．
【合作探究】
1.完成表格：
2.n邊形的內角和等于 .
3.如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和. 六邊形的外角和等于多少？
延伸：將六邊形換為n邊形（n≥3），可以得到同樣的結果嗎？
4.n邊形的外角和等于 .
層級練習
【應用遷移 鞏固提高】
1.如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？
2.一個正多邊形的每一個內角都等于135°，則這個多邊形是幾邊形？
3.如圖是兩位小朋友在探究某多邊形的內角和時的一段對話，請根據他們的對話判斷他們是在求幾邊形？少加的內角為多少度？
【隨堂練習 鞏固新知】
1.（2020 槐蔭區模擬）內角和為540°的多邊形是（　　）
A．三角形 B．四邊形
C．五邊形 D．六邊形
2.（2020春 金華期中）如果n邊形的每一個內角都等于與它相鄰外角的2倍，那么n的值是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
3.（2022秋 泰安期末）若正多邊形的內角和是1080°，則該正多邊形的一個外角為（　　）
A．45° B．60° C．72° D．90°
4.（2020 槐蔭區模擬）已知一個正n邊形的每個內角都為144°，則邊數n為　 　．
5.（2020春 麗水期中）當多邊形的邊數增加1時，它的內角和會（　　）
A．增加160° B．增加180°
C．增加270° D．增加360°
6. （2022秋 岱岳區期末）若六邊形的最大內角為m度，則必有（　　）
A．60°＜m＜180° B．90°＜m＜180°
C．120°≤m＜180° D．120°＜m＜180°
【當堂檢測 及時反饋】
1.（2020 甌海區二模）在五邊形ABCDE中，∠A:∠B:∠C:∠D:∠E = 2:3:4:4:5，則∠B的度數是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2. （2022秋 定州市期末）如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個外角，若∠A+∠B = 220°，則∠1+∠2+∠3 =（　　）
A．140° B．180° C．220° D．320°
3. （2022 日照一模）一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，這個多邊形的內角和是（　　）
A．360° B．540°
C．180°或360° D．540°或360°或180°
4.（2020 佛山模擬）一個n邊形的內角和是它外角和的6倍，則n = ．
5.（2022秋 義安區期末）已知一個多邊形，少算一個的內角的度數，其余內角和為2100°，求這個多邊形的邊數　 ．
6.（2022秋 龍巖期末）若正n邊形的內角和與其中一個外角的和為 1125°，則n = .
7.（2020春 金華期中）如圖，小華從A點出發，沿直線前進5 m 后左轉24°，再沿直線前進 5 m，又向左轉24°，……照這樣走下去，當他第一次回到出發地A點時，一共走過的路程是 ．
8.（2020 陜西模擬）如圖，正八邊形和正五邊形按如圖方式拼接在一起，則∠ABC的度數為　 ．
9.如圖，五邊形ABCDE的內角都相等，EF平分∠AED.求證：EF⊥BC．
10.（2022春 南關區校級期中）觀察每個正多邊形中∠α的變化情況，
解答下列問題：
（1）將下面的表格補充完整：
（2）根據規律，是否存在一個正n邊形，使其中的∠α = 21°？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由．
【拓展延伸 能力提升】
1.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值.
2.（1）如圖①，在△ADC中，DP，CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系.
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，DP，CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數量關系.
（3）若將（2）中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF
(如圖③所示)，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系.
四、參考答案
【自主學習】
1.由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形.
2.多邊形不相鄰的兩個頂點.
3.180.
4.360.
5.
6.四邊形的內角和等于360°，證明略.
【合作探究】
(n-2)×180°.
3.六邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角都等于180°.
因此六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得總和等于6×180°= 1080°.
這個總和就是六邊形的外角和加上內角和.
所以外角和等于總和減去內角和，
即外角和等于6×180°-(6-2)×180°= 180°×2 = 360°.
延伸：證明略.
360°.
【層級練習】
【應用遷移 鞏固提高】
1.如圖， 在四邊形ABCD中，∠A+∠C = 180°.
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D =(4-2)×180°= 360°，
∴ ∠B+∠D = 360°-(∠A+∠C)= 360°-180°= 180°.
這就是說，如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.
2.設這個多邊形是n邊形，由題意得：
(n-2)×180°= n×135°，
解得：n = 8.
答：這個多邊形是八邊形.
3.1125°÷180°= 6…45°，
則邊數是：6+1+2 = 9，
他們在求九邊形的內角和；
180°-45°= 135°，
少加的那個內角為135°．
【隨堂練習 鞏固新知】
C 2.B 3.A 4.10 5.B 6.C
【當堂檢測 及時反饋】
B 2.C 3.D
4.14 5.14 6.8 7.75m 8.31.5°
9.證明：五邊形內角和為：(5-2)×180°= 540°．
∵ 5個內角都相等，
∴ ∠A =∠B =∠AED == 108°．
∵ EF平分∠AED，∴ ∠1 =∠2 = 54°．
∵ 四邊形的內角和為360°，在四邊形ABFE中，
∠3 = 360°-(108°+108°+54°)= 90°．
∴ EF⊥BC．
10.（1）
（2）不存在，理由如下：
假設存在正n邊形使得∠α = 21°，得∠α = = 21°．
解得： n = 8 ，又n是正整數，
所以不存在正n邊形使得∠α = 21°．
【拓展延伸 能力提升】
1.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
2.（1）∠P=90°+∠A.
（2）∠P=(∠A+∠B).
（3）∠P =(∠A +∠B +∠E +∠F)-180 °.

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