資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題06 平面向量
1. 向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)．
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0　.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
2.向量的線性運(yùn)算
向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律
加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形 法則 平行四邊形 法則 (1)交換律： a＋b＝ b＋a　； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　
減法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法則 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè) 向量 記作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向 相同 ； 當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向 相反 ； 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　.
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使 b＝λa　.
4. 平面向量的基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線 向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　.
在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與 x軸，y軸正方向相同 的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) .
5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　.
6.向量共線的坐標(biāo)表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b x1y2－x2y1＝0 .
7. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
8.向量的夾角
兩個(gè)非零向量a與b，過(guò)O點(diǎn)作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角；范圍是 [0，π]　.
a與b的夾角為 　時(shí)，則a與b垂直，記作a⊥b.
9.平面向量的數(shù)量積
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積．
10.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
(1)設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．
①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 .
②模：|a|＝＝ 　.
③設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝||＝.
④夾角：cos θ＝ 　＝.
⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(2)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①a·b＝b·a(交換律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1. 向量相等、向量共線
2. 向量加減法運(yùn)算律的應(yīng)用
3. 向量的線性運(yùn)算
4. 共線向量定理及其應(yīng)用
5. 平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算
6. 向量平行(共線)的判定．
7. 三點(diǎn)共線的判定及應(yīng)用．
8. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
9. 利用數(shù)量積解決求模問(wèn)題
10. 兩向量的夾角和垂直問(wèn)題
考點(diǎn)一 向量的概念
例1．關(guān)于向量，，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】利用向量相等、向量共線的條件、向量模的定義，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋徽f(shuō)明兩向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，有，，但可以和不平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，若，由向量相等的條件知：，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，因向量不能比較大小，只有模長(zhǎng)才能比較大小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C
例2．若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長(zhǎng)度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等為長(zhǎng)度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說(shuō)明向量與向量的方向和長(zhǎng)度至少有一個(gè)不同，分析選項(xiàng)可得結(jié)果.
【詳解】若向量與向量不相等，則說(shuō)明向量與向量的方向和長(zhǎng)度至少有一個(gè)不同，
所以與有可能共線，有可能長(zhǎng)度相等，也有可能都是單位向量，
所以A，B，C都是錯(cuò)誤的，
但是與一定不都是零向量．
故選：D.
【變式探究】1設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共線向量 D．共起點(diǎn)的向量
【答案】B
【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，即可判斷得解
【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，
到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點(diǎn)相同的向量.
故選：B
2. 如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（ ）

A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】C
【分析】由條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋运倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以，，，，故ABD錯(cuò)誤，C正確.
故選：C.
點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算
例3．化簡(jiǎn)得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可.
【詳解】.
故選：D
例4．在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】∵，∴，
故選：C.
【變式探究】1. 已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量混合運(yùn)算即可.
【詳解】，
故選：C.
2. 化簡(jiǎn)向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則直接求解即可.
【詳解】.
故選：D.
考點(diǎn)三 平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算
例5．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐標(biāo)表示，求出的坐標(biāo)
【詳解】.
故選：B.
例6．已知，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?
故答案為：.
【變式探究】已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：D.
考點(diǎn)四 向量平行(共線)的判定
例7．已知向量，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量平行關(guān)系得到方程，求出答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?
故答案為：-5
例8．已知向量.若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
又，
所以，解得.
故答案為：.
【變式探究】設(shè)向量，若，則（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)共線向量的坐標(biāo)公式即可得解.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚裕?br/>所以，解得.
故選：B.
考點(diǎn)四 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
例9．已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
故選：C.
例10．在中，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，
,
則，
故答案為：
【變式探究】1. 向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　A　)
A．6 B．5
C．1 D．－6
【解析】　由題意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故選A.
2. 已知是夾角為的單位向量,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積公式求解即可.
【詳解】由題意得,是夾角為,
則.
故選:D.
考點(diǎn)五 利用數(shù)量積解決求模問(wèn)題
例11．已知向量滿足則（ ）
A．3 B．49 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根據(jù)公式直接計(jì)算可得.
【詳解】.
故選：D
例12．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用平面向量減法和模的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.
【詳解】由題意知，，所以.
故選：A.
【變式探究】1. 已知平面向量滿足與的夾角為,則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，從而得到.
【詳解】，
所以,
故選：D
2. 已知，為共線向量，且，，則（ ）
A． B． C．40 D．
【答案】A
【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示及模的公式求解即可.
【詳解】∵，為共線向量，∴，即，
∴，.
故選：A.
考點(diǎn)六 兩向量的夾角和垂直問(wèn)題
例13．已知向量，，且，則（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式直接計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥?br/>所以，解得.
故選：B
例14．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：C.
例15．已知向量，，，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由可得，∴，∴.
故答案為：
【變式探究】1. 已知向量，若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
【詳解】依題意，，解得.
故選：A.
2. 已知向量，則與的夾角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意可知，，
所以與的夾角是.
故選C.
1.已知( )
A．（4,2） B．（-8,2）
C．（-4,2） D．（84,2）
解析：B，
故選B.
2.已知?jiǎng)tm= .
解析：
3.已知向量，，則（ ）
A． B．
C． D．
解析：D,
4. 已知= .
解析：
5.向量=(3,2), =(m-1,2m+1),若向量與相互垂直，則m= .
【答案】
【解析】
6.若 。
【答案】2
【解析】
7.設(shè)其中為三角形ABC內(nèi)角，若
【答案】
【解析】
8.設(shè)向量=(4,2), =(x,1), 且∥ ,則 x=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】，故選A.
9.已知（ ）
A、 B、 C、 6 D、-6
【答案】B
【解析】
10.ΔABC為等邊三角形，則的夾角為 。
【答案】
【解析】的夾角為B的補(bǔ)角，所以為
11.已知向量，，，，且，∥，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故選D.
12.已知向量，，則 .
【答案】
【解析】
13.設(shè)向量，，且，則 ．
【答案】
【解析】
14.設(shè)向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故選B.
15.設(shè)，且，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故選B.
16.設(shè)，，則__________.
【答案】
【解析】
17.“”是“”的( ).
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充分且必要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】，，所以選A.
18. (2014年)下列各組向量互相垂直的是( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
17. 已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
【答案】C
【分析】利用向量運(yùn)算法則得到.
【詳解】，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以，
故.
故選：C
18. 如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對(duì)于B，因?yàn)椋剩蔅正確.
對(duì)于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.
對(duì)于D，因?yàn)榻挥冢什怀闪ⅲ蔇錯(cuò)誤，
故選：D.
19. 若平面四邊形滿足：，，則該四邊形一定是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】根據(jù)得到，，所以四邊形為平行四邊形，由得到，故四邊形為菱形.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>即，，
所以四邊形為平行四邊形，
因?yàn)椋?br/>所以，即平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，
所以四邊形為菱形．
故選：B
20. 已知平面向量a，b不共線，，，則（　　）
A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線
C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量共線的定義一一判斷求解.
【詳解】對(duì)A，與不共線，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，則與不共線，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，則與不共線，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.
故選：D.
21. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先得到，根據(jù)向量平行得到方程，求出答案.
【詳解】，
又，故，解得.
故選：A
22. 已知點(diǎn)，則 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】B
【分析】計(jì)算平面向量的模，一般先算向量的坐標(biāo)，再計(jì)算模長(zhǎng).
【詳解】由可得,則.
故選：B.
23. 已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積公式，即可求得本題答案.
【詳解】，
故選：C
24. 已知是單位向量，若，則（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，求出，然后求解.
【詳解】，即，，
故選：B.
25. 已知向量與的夾角為，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積定義即可得到答案.
【詳解】，則，
.
故答案為：.專(zhuān)題06 平面向量
1. 向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)．
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0　.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
2.向量的線性運(yùn)算
向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律
加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形 法則 平行四邊形 法則 (1)交換律： a＋b＝ b＋a　； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　
減法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法則 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè) 向量 記作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向 相同 ； 當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向 相反 ； 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　.
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使 b＝λa　.
4. 平面向量的基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線 向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　.
在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與 x軸，y軸正方向相同 的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) .
5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　.
6.向量共線的坐標(biāo)表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b x1y2－x2y1＝0 .
7. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
8.向量的夾角
兩個(gè)非零向量a與b，過(guò)O點(diǎn)作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角；范圍是 [0，π]　.
a與b的夾角為 　時(shí)，則a與b垂直，記作a⊥b.
9.平面向量的數(shù)量積
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積．
10.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
(1)設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．
①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 .
②模：|a|＝＝ 　.
③設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝||＝.
④夾角：cos θ＝ 　＝.
⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(2)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①a·b＝b·a(交換律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1. 向量相等、向量共線
2. 向量加減法運(yùn)算律的應(yīng)用
3. 向量的線性運(yùn)算
4. 共線向量定理及其應(yīng)用
5. 平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算
6. 向量平行(共線)的判定．
7. 三點(diǎn)共線的判定及應(yīng)用．
8. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
9. 利用數(shù)量積解決求模問(wèn)題
10. 兩向量的夾角和垂直問(wèn)題
考點(diǎn)一 向量的概念
例1．關(guān)于向量，，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，則
例2．若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長(zhǎng)度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
【變式探究】1設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共線向量 D．共起點(diǎn)的向量
2. 如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（ ）

A．與 B．與 C．與 D．與
點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算
例3．化簡(jiǎn)得（ ）
A． B． C． D．
例4．在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式探究】1. 已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2. 化簡(jiǎn)向量等于（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)三 平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算
例5．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
例6．已知，則 ．
【變式探究】已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)四 向量平行(共線)的判定
例7．已知向量，若，則 .
例8．已知向量.若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【變式探究】設(shè)向量，若，則（ ）
A． B． C．4 D．2
考點(diǎn)四 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
例9．已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．2
例10．在中，，，則 .
【變式探究】1. 向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　A　)
A．6 B．5
C．1 D．－6
2. 已知是夾角為的單位向量,則（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)五 利用數(shù)量積解決求模問(wèn)題
例11．已知向量滿足則（ ）
A．3 B．49 C．6 D．7
例12．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式探究】1. 已知平面向量滿足與的夾角為,則（ ）
A． B．1 C． D．
2. 已知，為共線向量，且，，則（ ）
A． B． C．40 D．
考點(diǎn)六 兩向量的夾角和垂直問(wèn)題
例13．已知向量，，且，則（ ）
A． B． C．12 D．
例14．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
例15．已知向量，，，若，則 .
【變式探究】1. 已知向量，若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．3 D．
2. 已知向量，則與的夾角是（　　）
A． B． C． D．
1. (2022年)已知( )
A．（4,2） B．（-8,2）
C．（-4,2） D．（84,2）
2. (2022年)已知?jiǎng)tm= .
3. (2021年)已知向量，，則（ ）
A． B．
C． D．
4. (2021年)已知= .
5.(2020年)向量=(3,2), =(m-1,2m+1),若向量與相互垂直，則m= .
6．(2019年)若 。
7．(2019年)設(shè)其中為三角形ABC內(nèi)角，若
8.(2019年).設(shè)向量=(4,2), =(x,1), 且∥ ,則 x=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9.(2018年) 已知（ ）
A、 B、 C、 6 D、-6
10. (2018年)ΔABC為等邊三角形，則的夾角為 。
11．(2017年) 已知向量，，，，且，∥，則（ ）
A． B．
C． D．
12．(2017年) 已知向量，，則 .
13．(2016年)設(shè)向量，，且，則 ．
14．(2016年)設(shè)向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
15. (2015年) 設(shè)，且，則等于（ ）
A. B.
C. D.
16. (2015年)設(shè)，，則__________.
17. （2014年）“”是“”的( ).
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充分且必要條件 D. 既不充分又不必要條件
18. (2014年)下列各組向量互相垂直的是( ).
A. B.
C. D.
17. 已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
18. 如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C． D．
19. 若平面四邊形滿足：，，則該四邊形一定是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
20. 已知平面向量a，b不共線，，，則（　　）
A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線
C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線
21. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
22. 已知點(diǎn)，則 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
23. 已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
24. 已知是單位向量，若，則（ ）
A． B． C．8 D．
25. 已知向量與的夾角為，且，則 ．

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