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第三章 函 數
第二節 一次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一次函數的表達式、圖象與性質 ☆☆ 吉林中考中，有關一次函數的部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握一次函數的表達式、一次函數與一次方程（組）、（一元一次不等式的關系及一次函數的應用等考點。
考點2 一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式的關系 ☆☆
考點3 一次函數的應用 ☆☆☆
■考點一　一次函數的表達式、圖象與性質
1．一次函數的定義：一般地，形如y=kx+b(k，b為常數，且k≠0)的函數叫做x的一次函數.
特別地，當一次函數y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數，k≠0）．這時， y叫做x的正比例函數．
2．一次函數的一般形式
一次函數的一般形式為y=kx+b，其中k，b為常數，k≠0．
3.一次函數的圖象
一次函數的圖象 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是經過點(0，b)和(-，0)的一條直線
圖象關系 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度
圖象確定 兩點確定一條直線，可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可
4.一次函數的性質
函數 字母取值 圖象 經過的象限 函數性質
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y隨x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y隨x的增大而減小
k<0，b<0 二、三、四
5.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．
①當–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
②當–=0，即b=0時，直線經過原點．③當–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
6.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關系：
①當k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；②當k1=k2，b1=b2，兩直線重合；
③當k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點；④當k1·k2=–1時，兩直線垂直．
■考點二　一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式的關系
1.一次函數與一元一次方程
思路：由于任何一個一元一次方程可以轉化為ax+b=0(a、b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求自變量的值.
從“數”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解 函數y=ax+b（a≠0）中，y=0時對應的x的值
從“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解 函數y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸交點的橫坐標.
2.一次函數與二元一次方程組
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a、b為常數，且a≠0）的形式.因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線，進一步可知，一個二元一次方程組對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線.
從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；
從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.
3.一次函數與一元一次不等式
思路：關于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直線y=kx+b和x軸的交點為分界點，x軸上(下)方的圖象所對應的x的取值范圍.
從函數的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；
從函數圖像的角度看：就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的橫坐標滿足的條件.
■考點三　一次函數的應用
1．主要題型： （1）求相應的一次函數表達式；（2）結合一次函數圖象求相關量、求實際問題的最值等．
2．用一次函數解決實際問題的一般步驟為：
（1）設定實際問題中的自變量與因變量；
（2）通過列方程(組)與待定系數法求一次函數關系式；
（3）確定自變量的取值范圍；
（4）利用函數性質解決問題；
（5）檢驗所求解是否符合實際意義；
（6）答案．
■易錯提示
1. 一次函數一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.
2. 一次函數本身對自變量沒有取值范圍的要求，但是如果一次函數中的自變量x出現在分母，根號內，則需考慮以下情況：
1）整個分母不能等于0；
2）根號里的整個式子要大于或等于0.
3. 判斷一個函數是不是一次函數，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
4. 判斷一次函數的增減性，只看k的符號，與b無關.
5. 一次函數y= kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實數而且圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值.但實際問題得到第一次函數解析式，自變量的取值范圍一般受到限，學生做題時要注意具體問題具體分析.
6. 一次函數y= kx+b（k≠0）與x軸交于(, 0)，與y軸交于(0，b)，且這兩個交點與坐標軸原點構成的三角形面積為s=.
7.二元一次方程組的圖解法的定義：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法
■考點一　一次函數的表達式、圖象與性質
◇典例1： （2023上·河北保定·八年級統考階段練習）若點，都在直線上，則下列大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數的增減性，根據題意，利用數形結合的思想，將點，的大致位置確定出來，根據增減性判斷相關參數的大小，是解答本題的關鍵．
根據題意，點，都在直線上，值隨的增大而減小，且，故，由此選出答案．
【詳解】解：根據題意得：
點，都在直線上，
如圖所示，作直線的函數圖像，
有圖像關系知：點、、的縱坐標分別為、、，
值隨的增大而減小，
又，
，
故選：．
◆變式訓練
1．（2023·全國·八年級假期作業）在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查正比例函數的系數和一次函數常數項決定圖象所過象限的知識點．
【詳解】解：．由函數得，與圖象的矛盾，故本選項不符合題意；
．函數所過象限錯誤，故本選項不符合題意；
．函數所過象限錯誤，故本選項不符合題意；
．由函數得，與圖象的一致，故本選項符合題意．
故選：D．
2．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）背景素材：隨著地鐵和共享單車的發展，“地鐵＋單車”已成為很多市民出行的選擇，小敏從奧體中心站出發，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x（單位：km），乘坐地鐵的時間y1（單位：s）是關于x的一次函數，其關系如下表：
地鐵站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
18 20 22 25 28
關于x的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，設，將，代入解析式，可得關于k、b的方程組，解方程組可得k、b的值，進而可得一次函數解析式．
【詳解】解：設，將，代入，
得：，
解得：，
關于x的函數表達式是，
故選：B．
■考點二　一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式的關系
◇典例2：（2023上·福建寧德·八年級統考期中）一次函數與的圖象如圖所示，下列結論中正確的有（ ）
對于函數來說，的值隨值的增大而減小
函數的圖象不經過第一象限
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，一次函數的圖象與性質，根據函數圖象直接得到結論；根據、的符號即可判斷；當時，；當時，根據圖象得不等式，利用數形結合是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象可得：對于函數來說，隨的增大而減小，故正確；
由于，，
∴函數的圖象經過第二，三，四象限，不經過第一象限，故正確；
∵一次函數與的圖象的交點的橫坐標為，
∴，
∴，即，故正確；
當時，，，由圖象可知，
∴，故錯誤；
綜上都正確，故選：．
◆變式訓練
1．（2023下·天津津南·八年級校考階段練習）如圖，直線與交點的橫坐標為，則關于的不等式的解集為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查二元一次方程組與一元一次不等式 ，解答本題的關鍵在于熟練掌握利用圖象解一元一次不等式．
【詳解】解：∵直線與的交點的橫坐標為，
∴由圖象可知，當時，
；
當時，
的圖象在直線的上方，
此時，；
當時，
的圖象在直線的下方，
此時，，
∴的解集為：
．
故選：A．
2．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）若一次函數（為常數且）的圖像經過點，則關于的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一次函數圖象的平移規律、一次函數與一元一次方程的關系．由與可得直線向右平移7個單位得到直線，從而可得直線與軸交點坐標，進而求解．
【詳解】解：直線是由直線向右平移7個單位所得，
與軸交點為，
直線與軸交點坐標為，
的解為，
故選：C．
■考點三　一次函數的應用
◇典例3：（2022上·八年級單元測試）如圖，在中，，，點在邊上，，點為的中點，點為邊上的動點，若使四邊形周長最小，則點的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了軸對稱一最短線路問題，坐標與圖形的性質，待定系數法求函數解析式，兩直線的交點問題，作點關于的對稱點，連接，若使四邊形周長最小，只要 最小，當三點共線時，最小， 設直線交于，則點與重合時，四邊形周長最小，利用待定系數法求出直線和的解析式，聯立方程組即可求出點坐標，正確找出點的位置是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接，
∵，，
∴，
∴，
∴點在軸上，
∵點為的中點，
∴，
∴，
∵點關于的對稱點，
∴，，
∴若使四邊形周長最小，只要 最小，
當三點共線時，最小，
設直線交于，則點與重合時，四邊形周長最小，
∵，
∴，
設直線的函數解析式為，把，代入得，
，
解得，
∴直線的函數解析式為，
設直線的解析式為，把代入得，
，
解得，
∴直線的解析式為，
聯立函數解析式得，
，
解得，
∴點的坐標為，
故選：．
◆變式訓練
1．（2023上·廣東佛山·八年級校考階段練習）已知直線的圖象如圖所示．若無論取何值，y總取中的最大值，則的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一次函數的圖象與性質，關鍵要能靈活運用一次函數的圖象與性質分析各種情況，找到符合題意的那一種．
【詳解】解：過的交點作y軸的平行線l，過的交點作y軸的平行線m，
由題意根據一次函數圖象的性質可知，符合條件的y的取值如圖所示，
∴y的最小值是交點坐標的縱坐標值，
聯立兩直線解析式：，
解得，
把代入或解析式求得．
故選：C．
2．（2023上·陜西西安·八年級西安市第三中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系上，直線分別與軸、軸相交于兩點，將沿軸翻折得到，使點剛好落在軸正半軸的點處，過點作交于，則的長為（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數與坐標軸的交點問題，折疊的性質，勾股定理等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，在中，利用勾股定理可求出的長，由折疊的性質可得出，進而可得出的長，再利用面積法，即可求出的長．
【詳解】解：當時，，
∴點B的坐標為；
當時，，解得：，
∴點A的坐標為．
在中，，
∴
由折疊可知：，
∴．
∵，
∴
故選B．
1．（2023·吉林·統考一模）一次函數的圖象不經過的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據一次函數的解析式，利用一次函數圖象與系數的關系可得出一次函數的圖象經過第二、三、四象限，此題得解．
【詳解】解：∵，
∴一次函數的圖象經過第二、三、四象限，
∴一次函數的圖象不經過第一象限．
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數圖象與系數的關系，牢記“的圖象在二、三、四象限”是解題的關鍵．
2．（2022·吉林長春·吉林大學附屬中學校考一模）如圖，直線交y軸于點A，交雙曲線于點B，將直線向下平移2個單位長度后與y軸交于點C，交雙曲線于點D，若，則n的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】設B的坐標(m，n)，則D的坐標(3m，n-2)，利用反比例函數的性質計算判斷即可．
【詳解】∵直線交y軸于點A，交雙曲線于點B，
∴設AB=m，
則B的坐標(m，n)，
∵直線向下平移2個單位長度后與y軸交于點C，交雙曲線于點D，且，
∴D的坐標(3m，n-2)，
∵B，D都在反比例函數圖像上，
∴mn=3m(n-2)，
解得n=3，
故選B．
【點睛】本題考查了直線平移的規律，反比例函數圖像與點的關系，熟練掌握反比例函數解析式的意義是解題的關鍵．
3．（2021·吉林松原·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別相交于點、，點的坐標為，且點在的內部，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】先根據函數解析式求出點A、B的坐標，再根據題意得出，，解不等式組即可求得．
【詳解】解：在函數中，令得，令得，則，，
點P在的內部，
∴，
解得：．
故選A．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，掌握函數與坐標軸的特征及依據題意列出不等式是解題的關鍵.
4．（2022·吉林四平·統考二模）如圖，直線l的函數表達式為，在直線l上順次取點，構成形如“┐”的圖形的陰影部分面積分別表示為，則 ．
【答案】4046
【分析】分別求出S1，S2，S3，S4的值，得出規律，根據規律即可求解．
【詳解】解：由題意得：S1=2×3-2×1=4=2×（1+1），
S2=4×3-2×3=6=2×（2+1），
S3=5×4-4×3=8=2×（3+1），
S4=6×5-5×4=10=2×（4+1），

∴Sn=2（n+1），
∴S2022=2×（2022+1）=4046．
故答案為：4046．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、矩形的性質以及規律型：點的坐標，根據點的坐標的變化找出陰影部分面積的變化規律是解題的關鍵．
5．（2021·吉林·吉林省實驗校聯考模擬預測）將正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如圖所示方式放置，點A（0，1）和點A1在直線y＝x+1上，點C和點C1在x軸上，若平移直線y＝x+1至經過點B1，則直線向右平移的距離為 ．
【答案】2
【分析】先求出點C的坐標為（1，0），從而求出點A1的坐標為（1，2），得到A1C＝2，再由四邊形A1CC1B1為正方形，點C，C1在x軸上，得到A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x軸，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形AOCB為正方形，點A（0，1），
∴OC＝OA＝1．
∴點C的坐標為（1，0）
又∵四邊形A1CC1B1是正方形，
∴點A1的橫坐標為1，
∵點A1在直線y＝x+1上，
∴點A1的坐標為（1，2），
∴A1C＝2．
又∵四邊形A1CC1B1為正方形，點C，C1在x軸上，
∴A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x軸，
∴若平移直線y＝x+1經過點B1，則直線y＝x+1向右平移2個單位長度．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，一次函數圖像上點的坐標特征，一次函數圖像平移問題，正方形的性質等等，熟知一次函數的相關知識是解題的關鍵．
6．（2020·吉林長春·吉林大學附屬中學校考二模）如圖已知直線與直線在第一象限交于點，若直線與軸的交點為，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據經過點，求出解析式為，進而得出與y軸交點為（0,2k），求出與y軸交點坐標為（0,4），根據與交點在第一象限，得到k＞0,2k＜4，即可求解．
【詳解】解：∵經過點，
∴，
∴，
∴解析式為，
∴與y軸交點為（0,2k），
由題意得與y軸交點坐標為（0,4），
∵與交點在第一象限，
∴k＞0,2k＜4，
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸交點，兩直線交點等知識，根據題意求出與y軸交點，利用數形結合得到關于k的不等式是解題關鍵．
7．（2020·吉林·吉林大學附屬中學校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線和相交于點（2，－1），則關于、的方程組的解為 ．
【答案】
【分析】把方程組變形為，則易知方程組的解即為直線和的交點坐標，由此可求得答案．
【詳解】將方程組變形為
∴方程組的解即為直線和的交點坐標，
∵直線和相交于點（2，-1），
∴將方程組的解為：
故答案為：
【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程組的知識，解題的關鍵是了解方程組的解與函數圖象的交點坐標的關系．
8．（2019·吉林長春·統考二模）如圖，直線分別交軸、軸于點、，直線分別交軸、軸于點、．點是內部（包括邊上）的一點，則的最大值與最小值之差為 ．

【答案】
【分析】由于P的縱坐標為1，故點P在直線y=1上，要求符合題意的m值，則P點為直線y=1與題目中兩直線的交點，此時m存在最大值與最小值，故可求得．
【詳解】解：∵點P（m，1）是△ABC內部（包括邊上）的一點，
∴點P在直線y=1上，如圖所示，

當P為直線y=1與直線y2的交點時，m取最大值，
當P為直線y=1與直線y1的交點時，m取最小值，
∵y2=x+3中令y=1，則x=，
y1=3x+3中令y=1，則x=，
∴m的最大值為，m的最小值為．
則m的最大值與最小值之差為：．
故答案為：.
【點睛】本題考查一次函數的性質，要求符合題意的m值，關鍵要理解當P在何處時m存在最大值與最小值，由于P的縱坐標為1，故作出直線y=1有助于判斷P的位置．
9．（2019·吉林·吉林省第二實驗學校校考模擬預測）在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象如圖所示，根據圖象中的信息可求得關于x的方程kx+b＝﹣1的解為 ．
【答案】x＝﹣2．
【分析】運用待定系數法求出函數的解析式，再把y＝﹣1代入，即可求出x的值.
【詳解】把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得： ，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
當y＝﹣1時，x+1＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
故答案為x＝﹣2．
【點睛】本題考查用待定系數法求一次函數解析式，比較簡單，熟練掌握待定系數法是解答本題的關鍵.
1．（2023上·遼寧沈陽·八年級校考階段練習）已知直線不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數經過的象限．熟練掌握當時，一次函數經過第一、二、四象限是解題的關鍵．根據，進行判斷作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴直線經過第一、二、四象限，不經過第三象限，
故選：C．
2．（2022下·重慶酉陽·八年級校考期末）關于一次函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數圖象不經過第一象限 B．圖象與x軸的交點是
C．y隨x的增大而增大 D．圖象過點
【答案】D
【分析】本題考查一次函數的圖象與性質，與坐標軸的交點問題等知識， 根據一次函數的性質及函數圖像上點滿足函數解析式逐個判斷即可得到答案，解題的關鍵是k、b與一次函數的圖象與性質的關系．
【詳解】解： ∵，，
∴的值隨值的增大而減小，圖像經過一，二，四象限，故選項A、C錯誤；
令，則，
∴圖象與x軸的交點是(1，0)，故選項B錯誤；
令，得，
∴圖象過點，故選項D正確；
故選：D．
3．（2022下·重慶酉陽·八年級校考期末）一次函數的圖象經過點和，那么這個一次函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式，直接把已知兩點代入一次函數，求出，的值，從而得出一次函數的解析式，熟知待定系數法求一次函數解析式一般步驟是解答此題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過點和，
∴，
解得：，
∴一次函數的解析式為：，
故選：B．
4．（2023上·山東青島·八年級統考期中）對于一次函數（），根據兩位同學的對話信息，下列結論一定正確的是（ ）
函數圖像不經過第三象限 函數圖像經過點
A．y隨x的增大而增大 B．函數圖像與y軸的交點位于x軸下方
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一次函數的圖像及性質，根據一次函數的性質以及一次函數圖像上點的坐標特征判斷即可．
【詳解】解：一次函數（）的圖像不經過第三象限，
一次函數（）的圖像經過第二、四象限或第一、二、四象限，
，
隨x的增大而減小，故A錯誤，不合題意；
又函數圖像經過點，
函數圖像與y軸的交點位于x軸上方，故B錯誤，不合題意；
，，
，故選項C正確，符合題意；
不一定大于0，故選項D錯誤，不合題意．
故選：C．
5．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）校考期中）正比例函數函數值隨的增大而增大，則的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正比例函數的性質、一次函數的圖象，熟練掌握一次函數的圖象特征是解題關鍵．根據正比例函數的性質可得，由此即可得．
【詳解】解：∵正比例函數函數值隨的增大而增大，
，，
∴一次函數的函數值隨的增大而增大，與軸的交點位于軸的負半軸，
觀察四個選項可知，只有選項B符合，
故選：B．
6．（2023上·山東棗莊·八年級校聯考階段練習）已知直線與的交點的坐標為，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是一次函數的交點坐標與二元一次方程組的解，理解交點坐標的含義是解本題的關鍵．由函數的性質先求解，從而可得方程組的解．
【詳解】解：∵直線與的交點的坐標為，
∴，
∴交點坐標為，
∴方程組的解是，
故選：A．
7．（2023上·江蘇徐州·八年級校考階段練習）已知一次函數的圖象（如圖），當時，y的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵；因此此題可根據圖象直接進行求解．
【詳解】解：由圖象可知：當時，y的取值范圍是；
故選：A．
8．（2017上·八年級單元測試）一次函數和在同一坐標系中的圖象如圖所示，則的解中（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數與二元一次方程組的解，方程組的解就是一次函數和圖象的交點，根據交點所在象限確定m、n的取值范圍．
【詳解】解：方程組的解就是一次函數和圖象的交點，
∵兩函數圖象交點在第一象限，
∴，，
故選：A．
9．（2023上·江蘇泰州·八年級校聯考階段練習）如圖，兩個一次函數與的圖像交于點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程組的解是 D．不等式組的解集是
【答案】C
【分析】根據圖象可直接判斷A，B，C，求出與x軸的交點可判斷D．
【詳解】A．由圖象可得直線與的圖像交于點，
∴方程的解是，故正確；
B．由圖象可知，不等式和不等式的解集相同，都是，故B正確；
C．方程組的解是，故錯誤；
D．將代入得，
解得，
∴，
將代入得，
解得，
∴時，直線在x軸下方且在直線上方，
∴的解集是，故正確；
故選C．
【點睛】本題考查求一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點，一次函數圖像的交點坐標與二元一次方程組的關系，利用函數圖象解不等式，數形結合是解題的關鍵．
10．（2023上·廣西崇左·八年級校聯考階段練習）直線的圖象如圖所示， 由圖象可知當時，x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數圖象，根據函數與不等式的關系，可得答案．
【詳解】解：由圖象，得
圖象位于x軸下方且y軸右側的部分對應的x的范圍是：，
故選A
11．（2024下·全國·八年級假期作業）已知直線經過點，當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
12．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，一次函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】略
13．（2023上·山東東營·七年級統考期末）已知正比例函數與一次函數的圖像交于點，則一次函數的表達式是 ．
【答案】
【分析】把交點代入正比例函數求出點，再把點代入一次函數解析式即可得到答案．本題考查兩直線相交或平行問題，解題關鍵是將含參數點代入已知函數，再反代入未知函數．
【詳解】解：由題意可得，把點代入正比例函數得，，
把點代入，得，
解得，
函數解析式為，
故答案為：．
14．（2023上·浙江金華·八年級統考階段練習）若一次函數的圖形不經過第三象限，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據一次函數的圖象不經過第三象限列出關于的不等式組，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：∵一次函數的圖形不經過第三象限，
∴且，
解得：．
故答案為：．
15．（2023上·江蘇淮安·八年級校考階段練習）點在一次函數的圖像上，當時，，則a的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征，一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．根據一次函數的圖像，當時，y隨著x的增大而減小分析即可．
【詳解】當時，隨著的增大而減小，
故答案為：．
16．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期中）如圖，直線與直線交于點，則根據圖象可得關于x的方程的解是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了函數解析式與圖象的關系，根據圖象解出方程，即可得到答案．
【詳解】解：根據題意，∵直線與直線交于點，
∴根據圖象可得關于x的方程的解是：，
故答案為：．
17．（2022下·河南信陽·八年級統考期末）如圖，直線經過點和點，直線過點，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】本題考查利用函數圖像解不等式，涉及直線圖像與性質，函數圖像解不等式，熟練掌握利用函數圖像解不等式的方法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：對于不等式對應三個函數圖像、和，
不妨令、和，則轉化為，即直線在直線上方；直線在直線上方部分對應的范圍，
過三條直線的交點作軸的垂線，如圖所示：
當，直線在直線上方，直線在直線上方，此時滿足，
故答案為：．
18．（2024上·江西南昌·九年級校考階段練習）如圖，直線經過點、和點，且點的橫坐標為，點為線段的中點．
(1)求直線的解析式；
(2)若點為線段上的一個動點，當的值最小時，求出點坐標．
【答案】(1)
(2)點坐標為
【分析】（1）設直線的解析式為，再將點、代入解析式得到關于、的二元一次方程組，求解即可；
（2）先確定，，再作點關于軸的對稱點為點，如圖，連接交于點，則，利用兩點之間線段最短可判斷此時的值最小，接著利用待定系數法求出直線的解析式為，然后計算函數值為時對應的自變量的值，從而得到點坐標；
【詳解】（1）解：設直線解析式為，過點，，
∴，
解得：，
∴直線解析式為；
（2）如圖，作點關于軸的對稱點，連接交于點，
∵，點為線段的中點，
∴
∵點與點關于軸對稱，
∴，，
∴，
∴此時最小，最小值為線段的長，
∵直線：經過點，且點的橫坐標為，
∴，
∴，
設直線解析式為，過點、，
∴，
解得：
∴直線解析式為，
當時，得，
解得：，
∴點坐標為．
【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖像上點的坐標特征，一次函數與x軸的交點，掌握待定系數法確定一次函數解析式是解題的關鍵．
19．（2022上·安徽合肥·八年級校考期末）如圖，，，，動點P從點A出發，沿y軸以每秒1個單位長的速度向正方向移動，過點P的直線1：也隨之移動，設移動時間為t秒．
(1)若直線l與線段有交點，確定t的取值范圍；
(2)設直線l與x軸交點為Q，若取得最小值，求此時直線l的函數解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征分別求出當直線l過點M，N時t的值，進而可求出t的取值范圍；
（2）求得Q點的坐標，然后根據待定系數法即可求得直線l的函數解析式．
【詳解】（1）解：當直線l過點時，，
解得：，
，
，
當直線l過點時，，
解得：，
，
，
當直線l與線段有交點，t的取值范圍為；
（2）解：作M關于x軸的對稱點，連接，交x軸于Q，此時的值最小，最小值為，
直線的解析式為，把，代入得，解得，
直線的解析式為，
，
把代入得，，解得，
直線l的函數解析式為．
36．（2024上·四川達州·八年級校考期末）一輛客車與一輛出租車分別從甲、乙兩地同時出發，相向而行．設客車離甲地的距離為千米，出租車離甲地的距離為千米，兩車行駛的時間為小時，、關于的函數圖像如圖所示：
(1)根據圖像，直接寫出、關于的函數圖像關系式；
(2)試計算：何時兩車相距300千米？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數的應用、一元一次方程的應用等知識，正確求出兩函數解析式是解題關鍵．
（1）直接運用待定系數法就可以求出、關于的函數圖像關系式即可；
（2）分為兩種情況：在相遇前，；當兩車相遇后，，然后求解即可．
【詳解】（1）解：設，將點代入，
可得，解得，
∴；
設，將點，代入，
可得，解得，
∴；
（2）①兩車相遇前，可有，
即
解得；
②兩車相遇后，可有，
即，
解得．
答：兩車行駛或時兩車相距300千米．
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第三章 函 數
第二節 一次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一次函數的表達式、圖象與性質 ☆☆ 吉林中考中，有關一次函數的部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握一次函數的表達式、一次函數與一次方程（組）、（一元一次不等式的關系及一次函數的應用等考點。
考點2 一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式的關系 ☆☆
考點3 一次函數的應用 ☆☆☆
■考點一　一次函數的表達式、圖象與性質
1．一次函數的定義：一般地，形如 (k，b為常數，且k≠0)的函數叫做 .
特別地，當一次函數y=kx+b中的 時，y=kx（k是常數，k≠0）．這時， ．
2．一次函數的一般形式
一次函數的一般形式為 ，其中k，b為常數，k≠0．
3.一次函數的圖象
一次函數的圖象 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是經過點(0，b)和(-，0)的一條直線
圖象關系 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度
圖象確定 兩點確定一條直線，可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可
4.一次函數的性質
函數 字母取值 圖象 經過的象限 函數性質
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 。
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 。
k<0，b<0 二、三、四
5.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．
①當–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于 ．
②當–=0，即b=0時，直線經過原點．③當–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于 ．
6.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關系：
①當k1=k2，b1≠b2， ；②當k1=k2，b1=b2， ；
③當k1≠k2，b1=b2， ；④當k1·k2=–1時， ．
■考點二　一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式的關系
1.一次函數與一元一次方程
思路：由于任何一個一元一次方程可以轉化為ax+b=0(a、b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為： .
從“數”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解 函數y=ax+b（a≠0）中，y=0時對應的x的值
從“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解 函數y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸交點的 .
2.一次函數與二元一次方程組
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成 （a、b為常數，且a≠0）的形式.因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應 ，所以一個二元一次方程也對應 ，進一步可知，一個二元一次方程組對應 ，因而也對應 .
從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮 ，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是 ；
從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的 ，一般地，如果一個二元一次方程組 ，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的 .
3.一次函數與一元一次不等式
思路：關于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直線 為分界點，x軸上(下)方的圖象所對應的 .
從函數的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數y=ax+b（a≠0）的值 ；
從函數圖像的角度看：就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的 滿足的條件.
■考點三　一次函數的應用
1．主要題型： （1）求相應的一次函數表達式；（2）結合一次函數圖象求相關量、求實際問題的最值等．
2．用一次函數解決實際問題的一般步驟為：
（1）設定實際問題中的 ；
（2）通過列方程(組)與待定系數法求 ；
（3）確定自變量的 ；
（4）利用 解決問題；
（5）檢驗所求解是否符合 ；
（6）答案．
■易錯提示
1. 一次函數一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.
2. 一次函數本身對自變量沒有取值范圍的要求，但是如果一次函數中的自變量x出現在分母，根號內，則需考慮以下情況：
1）整個分母不能等于0；
2）根號里的整個式子要大于或等于0.
3. 判斷一個函數是不是一次函數，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
4. 判斷一次函數的增減性，只看k的符號，與b無關.
5. 一次函數y= kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實數而且圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值.但實際問題得到第一次函數解析式，自變量的取值范圍一般受到限，學生做題時要注意具體問題具體分析.
6. 一次函數y= kx+b（k≠0）與x軸交于(, 0)，與y軸交于(0，b)，且這兩個交點與坐標軸原點構成的三角形面積為s=.
7.二元一次方程組的圖解法的定義：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法
■考點一　一次函數的表達式、圖象與性質
◇典例1： （2023上·河北保定·八年級統考階段練習）若點，都在直線上，則下列大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·全國·八年級假期作業）在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）背景素材：隨著地鐵和共享單車的發展，“地鐵＋單車”已成為很多市民出行的選擇，小敏從奧體中心站出發，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x（單位：km），乘坐地鐵的時間y1（單位：s）是關于x的一次函數，其關系如下表：
地鐵站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
18 20 22 25 28
關于x的函數表達式是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式的關系
◇典例2：（2023上·福建寧德·八年級統考期中）一次函數與的圖象如圖所示，下列結論中正確的有（ ）
對于函數來說，的值隨值的增大而減小
函數的圖象不經過第一象限
A．個 B．個 C．個 D．個
◆變式訓練
1．（2023下·天津津南·八年級校考階段練習）如圖，直線與交點的橫坐標為，則關于的不等式的解集為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）若一次函數（為常數且）的圖像經過點，則關于的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
■考點三　一次函數的應用
◇典例3：（2022上·八年級單元測試）如圖，在中，，，點在邊上，，點為的中點，點為邊上的動點，若使四邊形周長最小，則點的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·廣東佛山·八年級校考階段練習）已知直線的圖象如圖所示．若無論取何值，y總取中的最大值，則的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2023上·陜西西安·八年級西安市第三中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系上，直線分別與軸、軸相交于兩點，將沿軸翻折得到，使點剛好落在軸正半軸的點處，過點作交于，則的長為（ ）
A． B． C．4 D．5
1．（2023·吉林·統考一模）一次函數的圖象不經過的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·吉林長春·吉林大學附屬中學校考一模）如圖，直線交y軸于點A，交雙曲線于點B，將直線向下平移2個單位長度后與y軸交于點C，交雙曲線于點D，若，則n的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
3．（2021·吉林松原·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別相交于點、，點的坐標為，且點在的內部，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
4．（2022·吉林四平·統考二模）如圖，直線l的函數表達式為，在直線l上順次取點，構成形如“┐”的圖形的陰影部分面積分別表示為，則 ．
5．（2021·吉林·吉林省實驗校聯考模擬預測）將正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如圖所示方式放置，點A（0，1）和點A1在直線y＝x+1上，點C和點C1在x軸上，若平移直線y＝x+1至經過點B1，則直線向右平移的距離為 ．
6．（2020·吉林長春·吉林大學附屬中學校考二模）如圖已知直線與直線在第一象限交于點，若直線與軸的交點為，則的取值范圍是 .
7．（2020·吉林·吉林大學附屬中學校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線和相交于點（2，－1），則關于、的方程組的解為 ．
8．（2019·吉林長春·統考二模）如圖，直線分別交軸、軸于點、，直線分別交軸、軸于點、．點是內部（包括邊上）的一點，則的最大值與最小值之差為 ．

9．（2019·吉林·吉林省第二實驗學校校考模擬預測）在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象如圖所示，根據圖象中的信息可求得關于x的方程kx+b＝﹣1的解為 ．
1．（2023上·遼寧沈陽·八年級校考階段練習）已知直線不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022下·重慶酉陽·八年級校考期末）關于一次函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數圖象不經過第一象限 B．圖象與x軸的交點是
C．y隨x的增大而增大 D．圖象過點
3．（2022下·重慶酉陽·八年級校考期末）一次函數的圖象經過點和，那么這個一次函數是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山東青島·八年級統考期中）對于一次函數（），根據兩位同學的對話信息，下列結論一定正確的是（ ）
函數圖像不經過第三象限 函數圖像經過點
A．y隨x的增大而增大 B．函數圖像與y軸的交點位于x軸下方
C． D．
5．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）校考期中）正比例函數函數值隨的增大而增大，則的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·山東棗莊·八年級校聯考階段練習）已知直線與的交點的坐標為，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江蘇徐州·八年級校考階段練習）已知一次函數的圖象（如圖），當時，y的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017上·八年級單元測試）一次函數和在同一坐標系中的圖象如圖所示，則的解中（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2023上·江蘇泰州·八年級校聯考階段練習）如圖，兩個一次函數與的圖像交于點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程組的解是 D．不等式組的解集是
10．（2023上·廣西崇左·八年級校聯考階段練習）直線的圖象如圖所示， 由圖象可知當時，x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024下·全國·八年級假期作業）已知直線經過點，當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，一次函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集是（ ）
B． C． D．
13．（2023上·山東東營·七年級統考期末）已知正比例函數與一次函數的圖像交于點，則一次函數的表達式是 ．
14．（2023上·浙江金華·八年級統考階段練習）若一次函數的圖形不經過第三象限，則的取值范圍是 ．
15．（2023上·江蘇淮安·八年級校考階段練習）點在一次函數的圖像上，當時，，則a的取值范圍是 ．
16．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期中）如圖，直線與直線交于點，則根據圖象可得關于x的方程的解是 ．
17．（2022下·河南信陽·八年級統考期末）如圖，直線經過點和點，直線過點，則不等式的解集為 ．
18．（2024上·江西南昌·九年級校考階段練習）如圖，直線經過點、和點，且點的橫坐標為，點為線段的中點．
(1)求直線的解析式；
(2)若點為線段上的一個動點，當的值最小時，求出點坐標．
19．（2022上·安徽合肥·八年級校考期末）如圖，，，，動點P從點A出發，沿y軸以每秒1個單位長的速度向正方向移動，過點P的直線1：也隨之移動，設移動時間為t秒．
(1)若直線l與線段有交點，確定t的取值范圍；
(2)設直線l與x軸交點為Q，若取得最小值，求此時直線l的函數解析式．
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