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專題3.3 橢圓的簡單幾何性質-重難點題型精講
1．橢圓的范圍
設橢圓的標準方程為 (a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范
圍.
(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.
(2)從數的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，
即-b≤y≤b.
2．橢圓的對稱性
(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
(2)從數的角度看：在橢圓的標準方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點
P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.
3．橢圓的頂點與長軸、短軸
以橢圓的標準方程 (a>b>0)為例.
(1)頂點
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x
軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.
(2)長軸、短軸
線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.
長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.
4．橢圓的離心率
(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.
(2)離心率的范圍：0(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.
當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接
近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，它的方程為.
5．橢圓的幾何性質的挖掘
(1)橢圓的通徑：
過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑，通徑長為=.
說明：無論焦點在x軸上還是在y軸上，橢圓的通徑長均為.
(2)橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點.
(3)橢圓的焦半徑
a.焦半徑定義：橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑.
b.焦半徑公式：
已知點P在橢圓上，且，分別是左(下)、右(上)焦點，
當焦點在x軸上時，=a+，=a-；當焦點在y軸上時，=a+，=a-.
【題型1 利用橢圓的幾何性質求標準方程】
【方法點撥】
(1)利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數法，其步驟是：a.確定焦點的位置；b.設
出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；c.根據已知條件構造關于參數的
關系式，利用方程(組)求參數.列方程(組)時常用的關系式有，e=等.
(2)在橢圓的簡單幾何性質中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據這些條件確定的橢圓的
標準方程可能有兩個.
【例1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知橢圓的焦距為2，離心率，則橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）焦點在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點的橢圓方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【題型2 橢圓的焦距與長軸、短軸】
【方法點撥】
根據已知條件，結合橢圓的焦距與長軸、短軸等知識，進行求解即可.
【例2】（2022·全國·高二課時練習）橢圓的長軸長、短軸長和焦點坐標依次為（ ）．
A．，， B．，， C．，， D．，，
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓與，則兩個橢圓（ ）
A．有相同的長軸與短軸 B．有相同的焦距
C．有相同的焦點 D．有相同的離心率
【變式2-2】（2021·重慶市高二階段練習）橢圓的焦距為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習）若橢圓與橢圓，則兩橢圓必定（ ）．
A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距
C．有相等的短軸長 D．長軸長與焦距之比相等
【題型3 求橢圓的離心率或其取值范圍】
【方法點撥】
求橢圓的離心率通常有如下兩種方法：
①若給定橢圓的方程，則根據橢圓的焦點位置確定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；
②若橢圓方程未知，則根據條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關系式，化為a，c的齊次方程，得出
a，c的關系或化為e的方程求解，此時要注意e∈(0,1).
【例3】（2022·江蘇·高二階段練習）已知橢圓的焦距是2，則離心率e的值是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【變式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·江西省高二階段練習）設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 根據橢圓的離心率求參數】
【方法點撥】
根據橢圓的離心率和已知條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關系式，得出含有參數的有關a，c的關
系式或化為e的方程，即可求解，此時要注意e∈(0,1).
【例4】（2022·全國·高三專題練習）若橢圓的離心率為，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式4-1】（2022·甘肅定西·高二開學考試（理））如果橢圓的離心率為，則（ ）
A． B．或 C． D．或
【變式4-2】（2021·甘肅·高二階段練習（理））“”是“橢圓的離心率為”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是
A． B．
C． D．
【題型5 橢圓中的最值問題】
【方法點撥】
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾
何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一
個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及
三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【例5】（2020·廣西·高二階段練習（文））若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上點的任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C：上的動點P到右焦點距離的最小值為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式5-2】（2022·重慶八中模擬預測）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式5-3】（2022·河南洛陽·三模（理））已知點是橢圓：上異于頂點的動點，，分別為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為的中點，的平分線與直線交于點，則四邊形的面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【題型6 橢圓的實際應用問題】
對于橢圓的實際應用問題，結合具體條件建立坐標系，得出橢圓的基本量或基本量之間的關系，利用橢圓
的性質進行求解，注意要滿足實際情況.
【例6】（2021春 浙江期中）如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球與球筒底面及側面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計），一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2021春 山東期末）國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2021·江蘇南通·高二期中）某高速公路隧道設計為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀（如圖所示）.
（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬至少是多少米？（結果取整數）
（2）如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？（結果取整數）
參考數據：，橢圓的面積公式為，其中，分別為橢圓的長半軸和短半軸長.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知地球繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，長軸長約為，橢圓焦距與長軸長的比約為．求地球的軌道中心與太陽間的距離以及近日點和遠日點到太陽的距離（地球與太陽的半徑忽略不計，精確到）．專題3.3 橢圓的簡單幾何性質-重難點題型精講
1．橢圓的范圍
設橢圓的標準方程為 (a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范
圍.
(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.
(2)從數的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，
即-b≤y≤b.
2．橢圓的對稱性
(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
(2)從數的角度看：在橢圓的標準方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點
P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.
3．橢圓的頂點與長軸、短軸
以橢圓的標準方程 (a>b>0)為例.
(1)頂點
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x
軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.
(2)長軸、短軸
線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.
長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.
4．橢圓的離心率
(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.
(2)離心率的范圍：0(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.
當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接
近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，它的方程為.
5．橢圓的幾何性質的挖掘
(1)橢圓的通徑：
過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑，通徑長為=.
說明：無論焦點在x軸上還是在y軸上，橢圓的通徑長均為.
(2)橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點.
(3)橢圓的焦半徑
a.焦半徑定義：橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑.
b.焦半徑公式：
已知點P在橢圓上，且，分別是左(下)、右(上)焦點，
當焦點在x軸上時，=a+，=a-；當焦點在y軸上時，=a+，=a-.
【題型1 利用橢圓的幾何性質求標準方程】
【方法點撥】
(1)利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數法，其步驟是：a.確定焦點的位置；b.設
出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；c.根據已知條件構造關于參數的
關系式，利用方程(組)求參數.列方程(組)時常用的關系式有，e=等.
(2)在橢圓的簡單幾何性質中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據這些條件確定的橢圓的
標準方程可能有兩個.
【例1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知橢圓的焦距為2，離心率，則橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知條件可得與的值，進而得的值，然后得標準方程.
【解答過程】由于2c=2,所以c=1,
又因為，故，
，所以橢圓的標準方程為：.
故選：C.
【變式1-1】（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據離心率及，解得關于的等量關系式，即可得解.
【解答過程】解：因為離心率，解得，，
分別為C的左右頂點，則，
B為上頂點，所以.
所以，因為
所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）焦點在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據長軸長算出后，由離心率可得的值，從而可得橢圓的標準方程.
【解答過程】因為長軸長為，故長半軸長，因為，所以半焦距，
故，
又焦點在軸上，所以橢圓的標準方程為，
故選：D.
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點的橢圓方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【解題思路】討論焦點在軸和軸兩種情況，根據已知計算即可得出結果.
【解答過程】當橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程為，由離心率為，
∴
∵橢圓過點（2，0），∴，∴ ，∴ ，
∴橢圓標準方程為
當橢圓的焦點在y軸上，同理易得：
故選：D.
【題型2 橢圓的焦距與長軸、短軸】
【方法點撥】
根據已知條件，結合橢圓的焦距與長軸、短軸等知識，進行求解即可.
【例2】（2022·全國·高二課時練習）橢圓的長軸長、短軸長和焦點坐標依次為（ ）．
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解題思路】根據橢圓中長軸長、短軸長和焦點坐標的定義可答案.
【解答過程】在橢圓中， ，
所以橢圓的長軸長為 、短軸長為，焦點坐標為 ，
故選：A.
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓與，則兩個橢圓（ ）
A．有相同的長軸與短軸 B．有相同的焦距
C．有相同的焦點 D．有相同的離心率
【解題思路】根據橢圓的標準方程，可得以及離心率的值，即可求解.
【解答過程】將橢圓方程整理得，
其焦點在軸上，，，則，所以．
將橢圓方程整理得，其焦點在軸上，，，
則，所以，
故選:D．
【變式2-2】（2021·重慶市高二階段練習）橢圓的焦距為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據橢圓的方程求得的值，即可求得焦距的值，得到答案.
【解答過程】由橢圓，可得，則，
所以橢圓的焦距為.
故選：D.
【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習）若橢圓與橢圓，則兩橢圓必定（ ）．
A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距
C．有相等的短軸長 D．長軸長與焦距之比相等
【解題思路】分別求出橢圓與橢圓的長軸長、短軸長、焦距、焦點坐標和離心率，由此能求出結果．
【解答過程】解：橢圓，可知，，，
長軸長是10，短軸長是6；焦距是8；焦點坐標是；離心率是：．
橢圓中，
，，，
長軸長是，短軸長是；焦距是8；焦點坐標是；離心率是．
橢圓與橢圓關系為有相等的焦距．
故選：B．
【題型3 求橢圓的離心率或其取值范圍】
【方法點撥】
求橢圓的離心率通常有如下兩種方法：
①若給定橢圓的方程，則根據橢圓的焦點位置確定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；
②若橢圓方程未知，則根據條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關系式，化為a，c的齊次方程，得出
a，c的關系或化為e的方程求解，此時要注意e∈(0,1).
【例3】（2022·江蘇·高二階段練習）已知橢圓的焦距是2，則離心率e的值是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【解題思路】對焦點所在位置進行分類討論，利用、進行求解.
【解答過程】因為橢圓的焦距是2，所以，
當橢圓焦點在軸上，，所以，
當橢圓焦點在軸上，，所以，故A，C，D錯誤.
故選：B.
【變式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用點差法可得直線AB的斜率，從而可得AB垂直平分線直線方程，由點P在AB垂直平分線上，結合AB的中點在橢圓內可解.
【解答過程】記中點為，則，
由題意點在線段的中垂線上，
將坐標代入橢圓方程得
兩式相減可得，
所以，得，
所以的中垂線的方程為，令得，
由題意，，故，所以
所以
故選：B.
【變式3-2】（2022·江西省高二階段練習）設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，則，利用勾股定理求出，再解方程即得解.
【解答過程】解：依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，
∴四邊形是矩形，其中，，
設，則，
根據勾股定理，，，
整理得，
由于點M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故選：C．
【變式3-3】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由橢圓的定義結合已知求得，再由求得的不等關系，即可求得離心率的取值范圍.
【解答過程】由橢圓的定義得，又∵，∴，，
而，當且僅當點在橢圓右頂點時等號成立，
即，即，則，即.
故選：D．
【題型4 根據橢圓的離心率求參數】
【方法點撥】
根據橢圓的離心率和已知條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關系式，得出含有參數的有關a，c的關
系式或化為e的方程，即可求解，此時要注意e∈(0,1).
【例4】（2022·全國·高三專題練習）若橢圓的離心率為，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【解題思路】分和，利用離心率的定義求解.
【解答過程】解：當，即時，則，解得；
當，即時，則，解得，
綜上：的值為或，
故選：C.
【變式4-1】（2022·甘肅定西·高二開學考試（理））如果橢圓的離心率為，則（ ）
A． B．或 C． D．或
【解題思路】分焦點在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a,b的表達式，進而求得c的表達式，然后根據離心率得到關于k的方程，求解即可．
【解答過程】解：因為橢圓的離心率為，
當時，橢圓焦點在軸上，可得：，解得，
當時，橢圓焦點在軸上，可得：，解得．
或.
故選：B．
【變式4-2】（2021·甘肅·高二階段練習（理））“”是“橢圓的離心率為”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】橢圓離心率為，可得：時，，或時，，解得m即可判斷出結論．
【解答過程】橢圓離心率為，可得：
時，，；
時，，
總之或．“”是“橢圓離心率為”的充分不必要條件．
故選：A．
【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是
A． B．
C． D．
【解題思路】利用橢圓的離心率公式進行求解即可.
【解答過程】當焦點在x軸時，
，
當焦點在y軸時，
所以實數的取值范圍是.
故選：D.
【題型5 橢圓中的最值問題】
【方法點撥】
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾
何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一
個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及
三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【例5】（2020·廣西·高二階段練習（文））若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上點的任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設點，可得出，且有，利用平面向量的數量積的坐標運算結合二次函數的基本性質可求得的最大值.
【解答過程】由橢圓方程得，設，則，
為橢圓上一點，，可得，且有，
．
因為，當時，取得最大值.
故選：B.
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C：上的動點P到右焦點距離的最小值為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】根據橢圓的性質可得橢圓上的點到右焦點距離最小值為，即可求出，再根據，即可得解；
【解答過程】解：根據橢圓的性質，橢圓上的點到右焦點距離最小值為，
即 ，又，所以，
由，所以；
故選：A.
【變式5-2】（2022·重慶八中模擬預測）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解題思路】橢圓上的點P滿足，找到取等時點P位置即可求出最大值.
【解答過程】橢圓上的點P滿足，
當點P為的延長線與C的交點時，
達到最大值，最大值為．
故選：B.
【變式5-3】（2022·河南洛陽·三模（理））已知點是橢圓：上異于頂點的動點，，分別為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為的中點，的平分線與直線交于點，則四邊形的面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【解題思路】由題，結合角平分線性質與橢圓的性質，，為到的距離，又是的中位線，故，結合余弦定理，設，即可表示出，即可討論最值.
【解答過程】
由圖，，，故，，又平分，則到、的距離相等，設為，則，
設，則，，由是的中位線，易得，即，由橢圓性質易知，存在點為橢圓上異于頂點的動點，使，此時最大，且為2，
故選：B.
【題型6 橢圓的實際應用問題】
對于橢圓的實際應用問題，結合具體條件建立坐標系，得出橢圓的基本量或基本量之間的關系，利用橢圓
的性質進行求解，注意要滿足實際情況.
【例6】（2021春 浙江期中）如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球與球筒底面及側面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計），一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】設橢圓方程為1（a＞b＞0），由題意求出a，b，c，由此能求出該橢圓的離心率．
【解答過程】解：不妨設橢圓方程為1（a＞b＞0），
由題意得，
解得a＝4，b＝2，c2，
∴該橢圓的離心率為e．
故選：B．
【變式6-1】（2021春 山東期末）國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】過P（x0，y0）且與橢圓相切的直線方程為，利用這一結論分別設出過C點和D點與橢圓相切的直線方程，
分別代入A，B坐標，求出C，D的坐標，進而表示出直線AC和直線BD的斜率，再代入求出a，b的關系式，進而求出離心率．
【解答過程】解：設內圈橢圓的方程為，外圈橢圓的方程為，其中m＞1，
則A（﹣ma，0），B（0，mb），設C（xC，yC），D（xD，yD）．
過C點且與內圈橢圓相切的直線方程為，代入A點坐標，整理得，
代入且yC＜0，解得，所以；
過D點且與內圈橢圓相切的直線方程為，代入B點坐標，整理得，
代入且xD＞0，解得，所以．
所以，．
故選：D．
【變式6-2】（2021·江蘇南通·高二期中）某高速公路隧道設計為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀（如圖所示）.
（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬至少是多少米？（結果取整數）
（2）如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？（結果取整數）
參考數據：，橢圓的面積公式為，其中，分別為橢圓的長半軸和短半軸長.
【解題思路】（1）建立直角坐標系，設橢圓方程為，根據對稱性，將點代入橢圓方程，即可求解；
（2）由點在橢圓上或在橢圓內，得，利用基本不等式，即可求出橢圓的面積的最小值，根據體積公式，即可求解.
【解答過程】（1）建立直角坐標系如圖所示，
則點在橢圓上，
將與點代入橢圓方程，得，
此時，
因此隧道設計的拱寬至少是22米.
（2）由橢圓方程，得，
因為，即，，
由于隧道長度為1.5千米，故隧道的土方工程量，
當取得最小值時，有且，得，，
此時，.
①若，此時，此時，
②若，此時，此時，
因為，故當拱高為7米、拱寬為18米時，土方工程量最小.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知地球繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，長軸長約為，橢圓焦距與長軸長的比約為．求地球的軌道中心與太陽間的距離以及近日點和遠日點到太陽的距離（地球與太陽的半徑忽略不計，精確到）．
【解題思路】由題意求出，再由橢圓的性質即可得出答案.
【解答過程】因為橢圓的長軸長為 ，所以 ，
又因為橢圓焦距與長軸長的比約為，所以，
則 ，
所以地球的軌道中心與太陽間的距離 ，
所以近日點到太陽的距離為 ，
所以遠日點到太陽的距離為 .
故軌道中心與太陽間距離；近日點到太陽的距離；遠日點到太陽的距離.

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