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專題3.5 直線與橢圓的位置關系-重難點題型精講
1．點與橢圓的位置關系
(1)點與橢圓的位置關系：
(2)對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：
點在橢圓外+>1;
點在橢圓內+<1;
點在橢圓上+=1.
2．直線與橢圓的位置關系
(1)直線與橢圓的三種位置關系
類比直線與圓的位置關系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關系，如圖所示.
(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關系：
>0直線與橢圓相交有兩個公共點;
=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點;
<0直線與橢圓相離無公共點.
3．弦長問題
(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.
(2)弦長公式：設直線l:y=kx+m交橢圓+=1 (a>b>0)于，兩點，
則或.
4．“中點弦問題”
(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法
①根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系.
設，，代入橢圓方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
設線段AB的中點為，當時，有+=0.
因為為弦AB的中點，從而轉化為中點與直線AB的斜率之間的關系，這就是處理弦
中點軌跡問題的常用方法.
(2)弦的中點與直線的斜率的關系
線段AB是橢圓+=1 (a>b>0)的一條弦，當弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標
為，則弦AB所在直線的斜率為，即.
5．橢圓中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型1 判斷直線與橢圓的位置關系】
【方法點撥】
結合具體條件，根據直線與橢圓的三種位置關系，進行判斷，即可得解.
【例1】1．（2022·全國·高二課時練習）已知，則直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能
【解題思路】結合題意得直線過定點，再結合點在橢圓內部即可判斷.
【解答過程】解：因為，所以直線可化為，
所以，直線過定點，
因為點在橢圓內部，
所以，直線與橢圓的位置關系是相交.
故選：A.
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【解題思路】根據直線恒過，且在橢圓內可直接得到結論.
【解答過程】，在橢圓內，
恒過點，直線與橢圓相交.
故選：A.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓有且只有一個交點，則的值是( )
A． B． C． D．
【解題思路】直線和橢圓只有一個交點，則直線和橢圓相切，聯立直線和橢圓方程得到二次方程，二次方程只有一個解，根據＝0即可求出k的值﹒
【解答過程】由得，，
由題意知，解得，
故選：C．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓的交點個數為（ ）
A． B． C． D．或2
【解題思路】根據直線與圓沒有交點可得m2＋n2<4，即可判斷點(m，n)在橢圓的內部，即可得出結論.
【解答過程】∵ 直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，
∴，∴ m2＋n2<4，∴，
∴ 點(m，n)在橢圓的內部，
∴過點(m，n)的直線與橢圓的交點個數為2個．
故選：C.
【題型2 弦長問題】
【方法點撥】
①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結合根與系數的關系“設而不求”，可大大簡化
運算過程.
②涉及弦長問題，應聯立直線與橢圓的方程，并設法消去未知數y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，
由韋達定理得到 (或)，代入到弦長公式即可.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用弦長公式求解即可.
【解答過程】設直線AB方程為，聯立橢圓方程
整理可得：，設，
則，，根據弦長公式有：
=．故B，C，D錯誤.
故選：A.
【變式2-1】（2021·甘肅省高二期中（理））已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，則弦的長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意求得直線l的方程，設，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.
【解答過程】解：由橢圓得，，所以，
所以右焦點坐標為，則直線的方程為，
設，
聯立，消y得，，
則，
所以.
即弦長為.
故選：C.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點.當的面積取得最大值時，（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】聯立直線方程與橢圓方程，化簡，得到韋達定理，由弦長公式求得，由O到直線的距離，表示出的面積，利用基本不等關系求得最大值，從而求得此時的.
【解答過程】由，得.
設，，則，，
.
又O到直線的距離，
則的面積 ，
當且僅當，即時，的面積取得最大值.
此時，.
故選：A.
【變式2-3】（2021·江西·高安中學高二期末（文））過橢圓 上的焦點作兩條相互垂直的直線，交橢圓于兩點，交橢圓于兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】當直線有一條斜率不存在時，可直接求得，當直線的斜率都存在且不為0時，不妨設直線的斜率為k，則直線的斜率為，則可得直線的方程，與橢圓聯立，根據韋達定理及弦長公式，可求得的表達式，同理可求得的表達式，令，則可得，令，根據二次函數的性質，結合t的范圍，即可求得的范圍，綜合即可得答案.
【解答過程】當直線有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，則直線斜率為0，
此時，，
所以，
當直線的斜率都存在且不為0時，不妨設直線的斜率為k，則直線的斜率為，
不妨設直線都過橢圓的右焦點，
所以直線，直線，
聯立與橢圓T，可得，
，
，
所以
，
同理，
所以，
令，因為，所以，
所以=，
令，
因為，所以，
所以，所以，
所以，
綜上的取值范圍是.
故選：C.
【題型3 橢圓的“中點弦”問題】
【方法點撥】
根據“中點弦”問題的兩種解題方法進行求解即可. 這三種方法中又以點差法最為常用，點差法中體現的
設而不求思想還可以用于解決對稱問題，因為這類問題也與弦中點和斜率有關. 與弦中點有關的問題有平
行弦的中點軌跡、過定點且被定點平分的弦所在的直線方程等.這類問題的解決，從不同的角度體現了判別
式、根與系數的關系、點差法、橢圓的性質、線段的垂直平分線的性質等知識在直線與橢圓的位置關系中
的作用，解法多、方法活.
【例3】（2020·重慶高二期末）已知橢圓，過點的直線交橢圓于A，B兩點，若P為線段中點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設,,由弦中點利用點差法可得,則直線為,聯立直線與橢圓,利用韋達定理可得,進而通過弦長公式求解即可
【解答過程】由題,設,,因為為線段的中點,則,
則,作差可得,
即,即,
則直線為,即,
所以聯立可得,則,
所以,
故選：D.
【變式3-1】（2022·四川·高二階段練習（文））已知橢圓C：內一點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M是線段AB的中點，則下列不正確的是（ ）.
A．橢圓的焦點坐標為， B．橢圓C的長軸長為4
C．直線的方程為 D．
【解題思路】根據橢圓方程求得，從而確定AB選項的正確性.利用點差法確定C選項的正確性.利用弦長公式確定D選項的正確性.
【解答過程】依題意橢圓C：，
所以，
所以橢圓的焦點坐標為，A選項錯誤.
橢圓的長軸長為，B選項正確.
設，
則，
兩式相減并化簡得，
由于是的中點，
所以，即直線的斜率為，
所以直線的方程為，C選項正確.
消去并化簡得，
，
所以，D選項正確.
故選：A.
【變式3-2】（2022·河北·高二階段練習（文））已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為（1，-1），則弦長|AB|=（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】設兩點的坐標，，將兩點坐標代入橢圓方程，兩式相減，由中點坐標，焦點坐標得，又由，得橢圓的標準方程及直線的方程，聯立，由弦長公式，得弦長
【解答過程】設，，
將兩點坐標代入橢圓方程，，兩式相減，得，
由中點坐標，焦點坐標得，即，
又由，得，，
所以橢圓的標準方程為，直線的方程為，聯立方程組，消去，得，所以，，
弦長，
故選A.
【變式3-3】（2022·內蒙古·高三期末（文））設橢圓的方程為，斜率為k的直線不經過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，下列結論正確的是（ ）
A．直線AB與OM垂直；
B．若直線方程為，則.
C．若直線方程為，則點M坐標為
D．若點M坐標為，則直線方程為；
【解題思路】利用橢圓中中點弦問題的處理方法，結合弦長的求解方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【解答過程】不妨設坐標為，則，兩式作差可得：
，設，則.
對A：，故直線不垂直，則A錯誤；
對B：若直線方程為，聯立橢圓方程，
可得：，解得，故，
則，故錯誤；
對：若直線方程為y=x+1，故可得，即，又，
解得，即，故錯誤；
對：若點M坐標為,則，則，
又過點，則直線的方程為，即，故正確.
故選：.
【題型4 橢圓中的面積問題】
【方法點撥】
橢圓中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯立直線與橢圓
方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形
面積問題可化為兩個三角形面積來求解.
【例4】（2022·江西·高二開學考試）已知直線與橢圓相交于，兩點，橢圓的兩個焦點分別是，，線段的中點為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據線段的中點為，利用點差法求得，再利用三角形面積公式求解.
【解答過程】解：設，
則，
所以，
即，
解得，
所以，
故選：C.
【變式4-1】（2021·河南·高二階段練習（文））已知橢圓的左 右焦點分別是，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題知，直線，進而與橢圓方程聯立得，，進而根據計算即可.
【解答過程】解：由題意可得，，則直線.
聯立，整理得，
設，，
則，，
從而.
因為，
所以的面積是.
故選：A.
【變式4-2】（2021·四川·高二期末（文））過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.
【解答過程】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，
四邊形ABCD的面積，
當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，
設，則，
，
直線BD方程為，同理得：，
則有 ，
當且僅當，即或時取“=”，而，
所以四邊形ABCD面積最小值為.
故選：A.
【變式4-3】（2021·江蘇·高二單元測試）已知A，F分別是橢圓C：的下頂點和左焦點，過A且傾斜角為的直線l分別交x軸和橢圓C于M，N兩點，且N點的縱坐標為，若的周長為6，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件求得，由此求得的面積.
【解答過程】由題意得，，，
因為直線AM的傾斜角為，所以直線MN的方程為，
把代入橢圓方程解得，所以，
因為A在直線MN上，所以，解得．
又，，解得，
令，則，即，
因為M為橢圓的右焦點，所以，
由橢圓的定義可知，，
因為的周長為6，所以，
所以，所以，，所以，，.
所以．
故選B．
【題型5 橢圓中的定點、定值、定直線問題】
【例5】（2022·廣東廣州·一模）已知橢圓 ，直線l：與橢圓交于兩點，且點位于第一象限.
(1)若點是橢圓的右頂點，當時，證明：直線和的斜率之積為定值；
(2)當直線過橢圓的右焦點時，軸上是否存在定點，使點到直線 的距離與點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【解題思路】(1) 聯立直線方程和橢圓方程得，由韋達定理可得的關系，再由計算即可得證；
(2)由題意可得直線的方程為，聯立直線方程與橢圓方程得，由韋達定理之間的關系，假設存在滿足題意的點，設，由題意可得.代入計算，如果有解，則存在，否則不存在.
【解答過程】（1）
證明：因為，所以直線l：，
聯立直線方程和橢圓方程： ，得，
設，
則有，
所以，
又因為，
所以，，
所以==
所以直線和的斜率之積為定值；
（2）
解：假設存在滿足題意的點，設，
因為橢圓的右焦點，所以,即有，
所以直線的方程為.
由，可得，
設，
則有；
因為點到直線的距離與點到直線的距離相等，
所以平分,
所以.
即==，
又因為，
所以，
代入，
即有，
解得.
故軸上存在定點，使得點到直線 的距離與點到直線的距離相等.
【變式5-1】（2022·河南·高三開學考試（文））已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據題意得a＝3b，再將點代入求得，即可得解；
（2）設l的方程為x＝my＋1，，，聯立方程，利用韋達定理求得，再根據斜率公式計算整理，從而可得出結論.
【解答過程】（1）
解：由題意得a＝3b，故橢圓C為，
又點在C上，所以，得，，
故橢圓C的方程即為；
（2）
解：由已知知直線l過，設l的方程為x＝my＋1，
聯立兩個方程得，消去x得：，
得，
設，，則（*），
，
將（*）代入上式，可得：，
要使為定值，則有，又∵，∴t＝3，
此時，
∴存在點，使得直線TM與TN斜率之積為定值，此時t＝3.
【變式5-2】（2022·高三階段練習）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
【解題思路】（1）結合兩點的坐標，利用待定系數法求得橢圓的方程.
（2）設直線，聯立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數關系，利用求得的關系式，從而判斷出直線過左焦點，由此求得的周長為定值.
【解答過程】（1）
由已知設橢圓方程為：，
代入，得，
故橢圓方程為.
（2）
設直線，
由得，
，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①當時，直線，過定點，與已知不符，舍去；
②當時，直線，過定點，即直線過左焦點，
此時，符合題意.
所以的周長為定值.
【變式5-3】（2022·江蘇·高三階段練習）已知橢圓C:的上下頂點分別為，過點P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點，直線與交于點.
(1)設的斜率分別為，求的值;
(2)求證：點在定直線上.
【解題思路】（1）設，表示出，結合點在橢圓上，代入即可得出答案.
（2）設直線為，與橢圓聯立消去得到關于的一元二次方程，列出韋達定理，寫出直線，的方程，聯立這兩條直線的方程，求出點的縱坐標，即可得出答案.
【解答過程】（1）
設，，
，
，
所以.
（2）
設 ，
得到，
，
，
直線 ，
直線 ，
聯立得:，
法一： ，
解得.
法二：由韋達定理得，
.
解得，
所以點在定直線上.
【題型6 橢圓中的最值問題】
【方法點撥】
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾
何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一
個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及
三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【例6】已知橢圓的左，右焦點分別為且經過點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值（O為坐標原點）
【解題思路】（1）根據橢圓的定義可得，進而可求其方程，
（2）根據弦長公式和點到直線的距離可表達三角形的面積，結合不等式即可求解最大值.
【解答過程】（1）
由橢圓的定義，
可知
解得，又.
橢圓C的標準方程為.
（2）
設直線l的方程為，
聯立橢圓方程，得，
，得
設，則，
，
點到直線的距離，
.
當且僅當，即時取等號；
面積的最大值為.
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標原點）的面積為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為，求點P到直線l距離的最大值．
【解題思路】（1）根據待定系數法，根據離心率和面積即可列出方程求解，.
（2）聯立直線與橢圓方程，進行求解即可.
【解答過程】（1）
由題意可得，∴由題意可得且，解得，，
∴橢圓的方程為：．
（2）
解法1：由（1）可得，
當直線 沒有斜率時，設方程為： ，則 ，此時，化簡得： 又，解得 或（舍去），此時P到直線l的距離為
設直線l有斜率時，設，，設其方程為：，聯立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，則直線方程為：，直線恒過，與P點重合，
若，則直線方程為：，∴直線恒過定點，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，
由于
∴點P到直線l距離的最大值．
解法2：公共點，左移1個單位，下移個單位，，
，，
，等式兩邊同時除以，，，，，
過，右移1個單位，上移個單位，過，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，
由于
∴點P到直線l距離的最大值．
【變式6-2】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．
(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；
(2)求的最小值．
【解題思路】（1）設是橢圓上任意一點,再根據兩點間的距離公式求出，再根據二次函數的性質即可求出；
（2）設直線與橢圓方程聯立可得，再將直線方程與的方程分別聯立，可解得點的坐標，再根據兩點間的距離公式求出，最后代入化簡可得，由柯西不等式即可求出最小值．
【解答過程】（1）
設是橢圓上任意一點,,
，當且僅當時取等號，故的最大值是.
（2）
設直線,直線方程與橢圓聯立,可得,設，所以，
因為直線與直線交于,
則,同理可得,.則
，
當且僅當時取等號，故的最小值為.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的離心率為，左，右焦點分別為，，O為坐標原點，點Q在橢圓C上，且滿足．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設P為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓C相交于M，N兩點（M，N兩點異于P點），且PM⊥PN，求的最大值．
【解題思路】（1）由橢圓的離心率為和，即聯立求解；
（2）設直線l的方程為，與橢圓方程聯立，由PM⊥PN，結合韋達定理求m，由求得其最大值，再由求解.
【解答過程】（1）
解：因為橢圓的離心率為，
又點Q在橢圓C上，且滿足，
所以，即，
則，，
所以橢圓方程為：；
（2）
由題意知，直線l的斜率不為0，則不妨設直線l的方程為．
聯立得，消去x得，
，化簡整理，得．
設，，則，．
∵PM⊥PN，
∴．
∵，，，得，
將，代入上式，得，
得，
解得或（舍去），
∴直線l的方程為，則直線l恒過點，
∴．
設，則，，
易知在上單調遞增，
∴當時，取得最大值為．
又，
∴．專題3.5 直線與橢圓的位置關系-重難點題型精講
1．點與橢圓的位置關系
(1)點與橢圓的位置關系：
(2)對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：
點在橢圓外+>1;
點在橢圓內+<1;
點在橢圓上+=1.
2．直線與橢圓的位置關系
(1)直線與橢圓的三種位置關系
類比直線與圓的位置關系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關系，如圖所示.
(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關系：
>0直線與橢圓相交有兩個公共點;
=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點;
<0直線與橢圓相離無公共點.
3．弦長問題
(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.
(2)弦長公式：設直線l:y=kx+m交橢圓+=1 (a>b>0)于，兩點，
則或.
4．“中點弦問題”
(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法
①根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系.
設，，代入橢圓方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
設線段AB的中點為，當時，有+=0.
因為為弦AB的中點，從而轉化為中點與直線AB的斜率之間的關系，這就是處理弦
中點軌跡問題的常用方法.
(2)弦的中點與直線的斜率的關系
線段AB是橢圓+=1 (a>b>0)的一條弦，當弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標
為，則弦AB所在直線的斜率為，即.
5．橢圓中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型1 判斷直線與橢圓的位置關系】
【方法點撥】
結合具體條件，根據直線與橢圓的三種位置關系，進行判斷，即可得解.
【例1】1．（2022·全國·高二課時練習）已知，則直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓有且只有一個交點，則的值是( )
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓的交點個數為（ ）
A． B． C． D．或2
【題型2 弦長問題】
【方法點撥】
①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結合根與系數的關系“設而不求”，可大大簡化
運算過程.
②涉及弦長問題，應聯立直線與橢圓的方程，并設法消去未知數y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，
由韋達定理得到 (或)，代入到弦長公式即可.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2021·甘肅省高二期中（理））已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，則弦的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點.當的面積取得最大值時，（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2021·江西·高安中學高二期末（文））過橢圓 上的焦點作兩條相互垂直的直線，交橢圓于兩點，交橢圓于兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 橢圓的“中點弦”問題】
【方法點撥】
根據“中點弦”問題的兩種解題方法進行求解即可. 這三種方法中又以點差法最為常用，點差法中體現的
設而不求思想還可以用于解決對稱問題，因為這類問題也與弦中點和斜率有關. 與弦中點有關的問題有平
行弦的中點軌跡、過定點且被定點平分的弦所在的直線方程等.這類問題的解決，從不同的角度體現了判別
式、根與系數的關系、點差法、橢圓的性質、線段的垂直平分線的性質等知識在直線與橢圓的位置關系中
的作用，解法多、方法活.
【例3】（2020·重慶高二期末）已知橢圓，過點的直線交橢圓于A，B兩點，若P為線段中點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·四川·高二階段練習（文））已知橢圓C：內一點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M是線段AB的中點，則下列不正確的是（ ）.
A．橢圓的焦點坐標為， B．橢圓C的長軸長為4
C．直線的方程為 D．
【變式3-2】（2022·河北·高二階段練習（文））已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為（1，-1），則弦長|AB|=（　　）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·內蒙古·高三期末（文））設橢圓的方程為，斜率為k的直線不經過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，下列結論正確的是（ ）
A．直線AB與OM垂直；
B．若直線方程為，則.
C．若直線方程為，則點M坐標為
D．若點M坐標為，則直線方程為；
【題型4 橢圓中的面積問題】
【方法點撥】
橢圓中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯立直線與橢圓
方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形
面積問題可化為兩個三角形面積來求解.
【例4】（2022·江西·高二開學考試）已知直線與橢圓相交于，兩點，橢圓的兩個焦點分別是，，線段的中點為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2021·河南·高二階段練習（文））已知橢圓的左 右焦點分別是，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2021·四川·高二期末（文））過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2021·江蘇·高二單元測試）已知A，F分別是橢圓C：的下頂點和左焦點，過A且傾斜角為的直線l分別交x軸和橢圓C于M，N兩點，且N點的縱坐標為，若的周長為6，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 橢圓中的定點、定值、定直線問題】
【例5】（2022·廣東廣州·一模）已知橢圓 ，直線l：與橢圓交于兩點，且點位于第一象限.
(1)若點是橢圓的右頂點，當時，證明：直線和的斜率之積為定值；
(2)當直線過橢圓的右焦點時，軸上是否存在定點，使點到直線 的距離與點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【變式5-1】（2022·河南·高三開學考試（文））已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.
【變式5-2】（2022·高三階段練習）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
【變式5-3】（2022·江蘇·高三階段練習）已知橢圓C:的上下頂點分別為，過點P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點，直線與交于點.
(1)設的斜率分別為，求的值;
(2)求證：點在定直線上.
【題型6 橢圓中的最值問題】
【方法點撥】
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾
何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一
個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及
三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【例6】已知橢圓的左，右焦點分別為且經過點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值（O為坐標原點）
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標原點）的面積為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為，求點P到直線l距離的最大值．
【變式6-2】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．
(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；
(2)求的最小值．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的離心率為，左，右焦點分別為，，O為坐標原點，點Q在橢圓C上，且滿足．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設P為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓C相交于M，N兩點（M，N兩點異于P點），且PM⊥PN，求的最大值．

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