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專題3.7 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點題型精講
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：
3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
4．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
5．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型1 曲線方程與雙曲線】
【方法點撥】
根據(jù)所給曲線方程表示雙曲線，結(jié)合雙曲線的標(biāo)椎方程進(jìn)行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·四川南充·三模（理））設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出方程表示雙曲線的必要不充分條件的范圍可得答案.
【解答過程】由，方程表示雙曲線，
則，所以，
根據(jù)選項，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.
故選：B.
【變式1-1】（2021·山東·高三開學(xué)考試）命題：“”是命題：“曲線”表示雙曲線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，滿足，求出的取值范圍，再利用充分條件、必要條件的定義即可求解.
【解答過程】曲線表示雙曲線，
可得，解得,
命題：“”是命題：“曲線”表示雙曲線”的充要條件,
故選：A.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義可知與同號，從而可求出m的取值范圍
【解答過程】因為方程表示雙曲線，
所以，解得，
故選：A.
【變式1-3】（2021·安徽滁州·高二階段練習(xí)）已知曲線C的方程為，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．或5
【解題思路】根據(jù)題意可得，解之即可得解.
【解答過程】解：若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，
則，解得．
故選：C.
【題型2 利用雙曲線的定義解題】
【方法點撥】
理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點的距離的差的絕對值為定值，且該定值小于兩定點間的距離”.雙曲線
的定義的應(yīng)用主要有以下幾種類型：一是求解動點的軌跡方程問題；二是求解最值問題；三是求解焦點三
角形問題.
【例2】（2022·新疆高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【解題思路】由雙曲線定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【解答過程】由雙曲線方程知：；
根據(jù)雙曲線定義知：，解得：（舍）或.
故選：B.
【變式2-1】（2022·河南·一模（理））已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為
A． B．
C．（） D．（）
【解題思路】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計算得到答案.
【解答過程】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，
故，故軌跡為雙曲線，
，，，故，故軌跡方程為.
故選：.
【變式2-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線同一支上的兩點．若，點在線段上，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件得出焦點坐標(biāo)，并作出圖形，利用雙曲線的定義及三角形的周長公式即可求解.
【解答過程】由題意可知，，所以，解得，
所以雙曲線的左焦點，所以點是雙曲線的右焦點．作出雙曲線，如圖所示．
由雙曲線的定義，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周長為．
故選：C.
【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解題思路】先由已知條件可知雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心,再利用平面幾何知識把轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離,即可求的最大值.
【解答過程】 ，
則，
故雙曲線的兩個焦點為,，
,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,
，
，
則的最大值為
，
，
故選：D.
【題型3 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及應(yīng)用】
【方法點撥】
(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常要先定型(焦點在哪個軸上)，再定量(確定的值).要特
別注意的應(yīng)用，并注意不要與橢圓中的關(guān)系相混滑.
(2)求雙曲線方程中參數(shù)的值或取值范圍時，先要確定焦點的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，
然后求解，有必要時，要注意分焦點在x軸、y軸上進(jìn)行分類討論，不要漏解.
【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.
【解答過程】由題意，，則，結(jié)合條件可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：（，）的實軸長為8，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)實軸長求得，再結(jié)合漸近線方程求得，即可求解
【解答過程】因為實軸長為8，所以，可得漸近線方程為，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：D．
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由離心率和距離的最小值列方程組求得，然后求得后得雙曲線方程．
【解答過程】由已知可得，，可得，，則，所以雙曲線的方程為．
故選：A．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點分別是等軸雙曲線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由得，然后由三角形面積、雙曲線的定義、勾股定理聯(lián)立可求得得雙曲線方程．
【解答過程】，是的中點，所以，
，則，
，解得，
所以雙曲線方程為．
故選：D．
【題型4 雙曲線的漸近線方程】
【方法點撥】
根據(jù)已知條件，求漸近線方程時，先要確定焦點的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，然后利用
漸近線方程的公式求解.
【例4】（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））雙曲線的實軸長為4，則其漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即得解.
【解答過程】解：由題意知，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
雙曲線的漸近線方程為，即.
故選：D．
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線的離心率可得之間的關(guān)系，從而可得到漸近線方程.
【解答過程】雙曲線的離心率為，
即 ，所以 ，
則 ，故C的漸近線方程為.
故選：D.
【變式4-2】（2022·海南高三階段練習(xí)）若雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題可得，，即得.
【解答過程】雙曲線 的焦點 到漸近線： ，即 的距離為： ，而，
從而，故漸近線即.
故選：B.
【變式4-3】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））若直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則a的值為（ ）
A． B．4 C． D．2
【解題思路】利用兩直線垂直時斜率的關(guān)系及其雙曲線的漸近線方程即可求解.
【解答過程】由已知得：
雙曲線的方程為，其漸近方程為 ，
∵直線與雙曲線的漸近線垂直，∴雙曲線的漸近線的斜率為，
∴ ，
∴ ，
故選：B.
【題型5 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】
【方法點撥】
求雙曲線的離心率的方法通常有以下兩種：
①定義法：設(shè)法求出a，c的值，由定義確定離心率的大小；
②方程法：先由已知條件構(gòu)造關(guān)于離心率的方程，然后解方程確定離心率的大小，注意e>1.
【例5】（2022·浙江·高二期中）已知雙曲線，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【解題思路】設(shè)在漸近線上，直線的方程為，聯(lián)立求得，由，求得，代入雙曲線的方程化簡即可得出答案.
【解答過程】設(shè)在漸近線上，直線的方程為，
由，得即，
由，得為的中點，又因為
所以，
因為在雙曲線上，所以化簡得：
.
故選：C.
【變式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則它的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，將代入中可求出，從而由可求出離心率.
【解答過程】由題意設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，
所以，所以，
所以離心率，
故選：D.
【變式5-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率為（ ）
A．3 B． C． D．5
【解題思路】根據(jù)漸近線方程得，再根據(jù)關(guān)系式，求雙曲線的離心率.
【解答過程】由條件可知，
所以離心率.
故選：A.
【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓與雙曲線的公共焦點，曲線在第一象限內(nèi)交于點，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義求出，由勾股定理即可得到的關(guān)系，從而解出．
【解答過程】由題意可得，，，
解得：，，
因為，
所以，
即，
亦即，
所以．
故選：A．
【題型6 雙曲線中的最值問題】
【方法點撥】
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾
何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一
個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及
三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的一條漸近線為直線，C的右頂點坐標(biāo)為，右焦點為F.若點M是雙曲線C右支上的動點，點A的坐標(biāo)為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線漸近線和頂點的定義求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出右焦點坐標(biāo)，再確定點A在雙曲線的外部，結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)三點共線時取得最小值，利用兩點坐標(biāo)求距離公式計算即可.
【解答過程】設(shè)雙曲線方程為，則，所以，
雙曲線方程為，由，得，，
因此在雙曲線外部（不含焦點的部分），
又，所以，
在中，由三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)是線段與雙曲線的交點，
即三點共線時，取得最小值，
且最小值為，
故選：B.
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線上的點到點的最小距離為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用已知條件求得、的值，可得出的值，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用兩點間的距離公式并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得雙曲線上的點到點的最小距離.
【解答過程】由已知可得，，可得，，，
所以，雙曲線的方程為，
設(shè)是雙曲線上的點，則，且或，
則，
所以當(dāng)時，.
故選：B.
【變式6-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知點，．設(shè)點滿足，且，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解題思路】由題意可知雙曲線的實軸長為6，焦距為10，從而可得雙曲線的方程為，再由可知在圓上，由可知在圓上，畫出圖形，由圖可知，，再結(jié)合雙曲線的定義可得答案
【解答過程】解：因為，所以點在以，為焦點，實軸長為6，焦距為10的雙曲線的右支上，則雙曲線的方程為．
由題意知在圓上，在圓上，
如圖所示，，，
則．
當(dāng)是延長線與圓的交點，是與圓的交點時取等號．
故選：C．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是雙曲線上的動點，，為該雙曲線的左右焦點，為坐標(biāo)原點，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】設(shè)在右支上，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得、且，由已知雙曲線有，結(jié)合的范圍求范圍，即可得結(jié)果.
【解答過程】由雙曲線的對稱性，假設(shè)在右支上，即，
由到的距離為，而，
所以 ，
綜上，，同理，則，
對于雙曲線，有且，
所以，而，即.
故選：D.專題3.7 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點題型精講
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：
3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
4．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
5．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【題型1 曲線方程與雙曲線】
【方法點撥】
根據(jù)所給曲線方程表示雙曲線，結(jié)合雙曲線的標(biāo)椎方程進(jìn)行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·四川南充·三模（理））設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2021·山東·高三開學(xué)考試）命題：“”是命題：“曲線”表示雙曲線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2021·安徽滁州·高二階段練習(xí)）已知曲線C的方程為，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．或5
【題型2 利用雙曲線的定義解題】
【方法點撥】
理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點的距離的差的絕對值為定值，且該定值小于兩定點間的距離”.雙曲線
的定義的應(yīng)用主要有以下幾種類型：一是求解動點的軌跡方程問題；二是求解最值問題；三是求解焦點三
角形問題.
【例2】（2022·新疆高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式2-1】（2022·河南·一模（理））已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為
A． B．
C．（） D．（）
【變式2-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線同一支上的兩點．若，點在線段上，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【題型3 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及應(yīng)用】
【方法點撥】
(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常要先定型(焦點在哪個軸上)，再定量(確定的值).要特
別注意的應(yīng)用，并注意不要與橢圓中的關(guān)系相混滑.
(2)求雙曲線方程中參數(shù)的值或取值范圍時，先要確定焦點的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，
然后求解，有必要時，要注意分焦點在x軸、y軸上進(jìn)行分類討論，不要漏解.
【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：（，）的實軸長為8，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點分別是等軸雙曲線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 雙曲線的漸近線方程】
【方法點撥】
根據(jù)已知條件，求漸近線方程時，先要確定焦點的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，然后利用
漸近線方程的公式求解.
【例4】（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））雙曲線的實軸長為4，則其漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·海南高三階段練習(xí)）若雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））若直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則a的值為（ ）
A． B．4 C． D．2
【題型5 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】
【方法點撥】
求雙曲線的離心率的方法通常有以下兩種：
①定義法：設(shè)法求出a，c的值，由定義確定離心率的大小；
②方程法：先由已知條件構(gòu)造關(guān)于離心率的方程，然后解方程確定離心率的大小，注意e>1.
【例5】（2022·浙江·高二期中）已知雙曲線，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【變式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則它的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率為（ ）
A．3 B． C． D．5
【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓與雙曲線的公共焦點，曲線在第一象限內(nèi)交于點，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 雙曲線中的最值問題】
【方法點撥】
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾
何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一
個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及
三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的一條漸近線為直線，C的右頂點坐標(biāo)為，右焦點為F.若點M是雙曲線C右支上的動點，點A的坐標(biāo)為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線上的點到點的最小距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知點，．設(shè)點滿足，且，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是雙曲線上的動點，，為該雙曲線的左右焦點，為坐標(biāo)原點，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．

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