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專(zhuān)題3.9 直線與雙曲線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講
1．直線與雙曲線的位置關(guān)系
(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：
一般通過(guò)直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.
①代入②得.
當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).
當(dāng)0，即時(shí)，=.
>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；
=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；
<0直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.
(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：
①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；
②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；
③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件.
2．弦長(zhǎng)問(wèn)題
①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.
②解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.
③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過(guò)程中，并沒(méi)有條件確定直
線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).
④雙曲線的通徑：
過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還
是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.
3．“中點(diǎn)弦問(wèn)題”
“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題：
①過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的
這類(lèi)問(wèn)題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).
②在解決此類(lèi)問(wèn)題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將
轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)，要注意轉(zhuǎn)化.
4．雙曲線的第二定義
平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.
5．雙曲線與其他知識(shí)交匯問(wèn)題
雙曲線通常與圓、橢圓、拋物線或向量、不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系綜合考查，應(yīng)用中應(yīng)注意對(duì)知識(shí)的
綜合及分析.
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及一些基本量，樹(shù)立基本量思想對(duì)于確定雙曲線方程和認(rèn)識(shí)其幾何
性質(zhì)有很大幫助.例如，“”可以通過(guò)來(lái)證明，也可以通過(guò)來(lái)證
明，證明解析幾何問(wèn)題的方法具有多樣性.
6．雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題
(1)解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，除了要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)概念，同時(shí)還要
注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.
(2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.
【題型1 判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與雙曲線的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.
【例1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線的位置關(guān)系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定
【變式1-2】（2022·福建·高二期末）直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的值是（　　）
A． B．或 C．或 D．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P（4，4）且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（ ）．
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【題型2 弦長(zhǎng)問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
①解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般運(yùn)用弦長(zhǎng)公式.而用弦長(zhǎng)公式時(shí)，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡(jiǎn)化
運(yùn)算過(guò)程.
②涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方
程，由韋達(dá)定理得到 (或)，代入到弦長(zhǎng)公式即可.
【例2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)為，，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過(guò)其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，則截得的弦長(zhǎng)（ ）
A． B． C．10 D．
【變式2-3】（2011·云南德宏·高二期末）經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)是（　　）
A． B． C． D．
【題型3 雙曲線的“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題常用點(diǎn)差法，點(diǎn)差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可以用于解決對(duì)稱問(wèn)題，因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題
也與弦中點(diǎn)和斜率有關(guān). 與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題有平行弦的中點(diǎn)軌跡、過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在的直線
方程等. 在解決此類(lèi)問(wèn)題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.
【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，在雙曲線上，線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)為（ ）
A． B． C．6 D．
【變式3-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【題型4 雙曲線中的面積問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
雙曲線中的面積問(wèn)題主要有三角形面積和四邊形面積問(wèn)題，三角形面積問(wèn)題的解題步驟是：聯(lián)立直線與雙
曲線方程，求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊
形面積問(wèn)題可化為兩個(gè)三角形面積來(lái)求解.
【例4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；
(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積．
【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．
【變式4-2】（2022·高二階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若雙曲線E的離心率，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
【變式4-3】（2021·吉林高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知過(guò)點(diǎn)的雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)分別是，，的面積為，求實(shí)數(shù)的值.
【題型5 雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】
【例5】（2022·廣東·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).
【變式5-1】（2022·遼寧朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)點(diǎn)，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若坐標(biāo)原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.
【變式5-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左 右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為3.
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請(qǐng)求出該定直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，且，到C的漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【題型6 雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
利用雙曲線解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：
①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；
②求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
③根據(jù)雙曲線的方程及定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
【例6】（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開(kāi)的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類(lèi)似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線 反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.
（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點(diǎn)，為直線上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)的位置滿足什么條件時(shí)，取最大值；
（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對(duì)稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).
【變式6-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為捍衛(wèi)釣魚(yú)島及其附屬島嶼的領(lǐng)土主權(quán)，中國(guó)派出艦船“唐山號(hào)”、“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”在釣魚(yú)島領(lǐng)海巡航.某日，正巡邏在A處的“唐山號(hào)”突然發(fā)現(xiàn)來(lái)自P處的疑似敵艦的某信號(hào)，發(fā)現(xiàn)信號(hào)時(shí)“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”正分別位于如圖所示的B、C兩處，其中A在B的正東方向相距6海里處，C在B的北偏西30°方向相距4海里處.由于B、C比A距P更遠(yuǎn)，因此，4秒后B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為每秒1海里），試確定疑似敵艦相對(duì)于A點(diǎn)“唐山號(hào)”的位置.
【變式6-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P為航天員的著陸點(diǎn)．某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4s后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)．已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角．
【變式6-3】（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，某野生保護(hù)區(qū)監(jiān)測(cè)中心設(shè)置在點(diǎn)處，正西、正東、正北處有三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，且，一名野生動(dòng)物觀察員在保護(hù)區(qū)遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)均收到求救信號(hào)，點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間早秒（注：信號(hào)每秒傳播千米）.
（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；
（2）若已知點(diǎn)與點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間相同，求觀察員遇險(xiǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)，以及與檢測(cè)中心的距離；
（3）若點(diǎn)監(jiān)測(cè)點(diǎn)信號(hào)失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測(cè)點(diǎn)為圓心進(jìn)行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑至少是多少公里？專(zhuān)題3.9 直線與雙曲線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講
1．直線與雙曲線的位置關(guān)系
(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：
一般通過(guò)直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.
①代入②得.
當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).
當(dāng)0，即時(shí)，=.
>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；
=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；
<0直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.
(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：
①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；
②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；
③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件.
2．弦長(zhǎng)問(wèn)題
①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.
②解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.
③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過(guò)程中，并沒(méi)有條件確定直
線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).
④雙曲線的通徑：
過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還
是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.
3．“中點(diǎn)弦問(wèn)題”
“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題：
①過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的
這類(lèi)問(wèn)題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).
②在解決此類(lèi)問(wèn)題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將
轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)，要注意轉(zhuǎn)化.
4．雙曲線的第二定義
平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.
5．雙曲線與其他知識(shí)交匯問(wèn)題
雙曲線通常與圓、橢圓、拋物線或向量、不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系綜合考查，應(yīng)用中應(yīng)注意對(duì)知識(shí)的
綜合及分析.
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及一些基本量，樹(shù)立基本量思想對(duì)于確定雙曲線方程和認(rèn)識(shí)其幾何
性質(zhì)有很大幫助.例如，“”可以通過(guò)來(lái)證明，也可以通過(guò)來(lái)證
明，證明解析幾何問(wèn)題的方法具有多樣性.
6．雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題
(1)解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，除了要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)概念，同時(shí)還要
注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.
(2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.
【題型1 判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與雙曲線的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.
【例1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解題思路】利用定義法，分充分性和必要性分類(lèi)討論即可.
【解答過(guò)程】充分性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”，所以直線與雙曲線相切或直線與進(jìn)行平行.故充分性不滿足；
必要性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”.故必要性滿足.
所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件.
故選：B.
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線的位置關(guān)系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定
【解題思路】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x，從而得出直線和雙曲線位置關(guān)系，得出答案.
【解答過(guò)程】由得 整理得，；
所以，故直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
又雙曲線的漸近線方程為：
與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).
所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．
故選：B.
【變式1-2】（2022·福建·高二期末）直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的值是（　　）
A． B．或 C．或 D．
【解題思路】直接聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0分析，二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)需要得到的二次方程的判別式等于0．
【解答過(guò)程】聯(lián)立，得①.
當(dāng)，即時(shí)，方程①化為一次方程，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，要使直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得：.
綜上，使直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的實(shí)數(shù)的值是或.
故選C.
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P（4，4）且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（ ）．
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【解題思路】把直線與雙曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，借助判別式求解，注意分類(lèi)討論．
【解答過(guò)程】解；雙曲線方程為：，
當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x＝4，與1的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)k存在時(shí)，直線為：y＝k（x﹣4）+4，代入雙曲線的方程可得：
，
（1）若＝0，k時(shí)，y＝（x﹣4）+4與雙曲線的漸近線yx平行，
所以與雙曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)，
（2）k時(shí)， ，
即k，此時(shí)直線y（x﹣4）+4與雙曲線相切，只有1個(gè)公共點(diǎn)．
綜上過(guò)點(diǎn)P（4，4）且與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線4條．
故選：D.
【題型2 弦長(zhǎng)問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
①解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般運(yùn)用弦長(zhǎng)公式.而用弦長(zhǎng)公式時(shí)，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡(jiǎn)化
運(yùn)算過(guò)程.
②涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方
程，由韋達(dá)定理得到 (或)，代入到弦長(zhǎng)公式即可.
【例2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)為，，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解題思路】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，直接解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算兩點(diǎn)間距離．
【解答過(guò)程】由，得，，
∴.
故選：C．
【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解
【解答過(guò)程】由題意可設(shè)雙曲線方程為，，
由得，則，，
不妨假設(shè)，則，
由圖象的對(duì)稱性可知，
可化為，
即，解得，
故雙曲線方程為：，
故選：C.
【變式2-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過(guò)其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，則截得的弦長(zhǎng)（ ）
A． B． C．10 D．
【解題思路】根據(jù)漸進(jìn)線方程得出,再根據(jù)焦點(diǎn)得出,結(jié)合,可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)點(diǎn)斜式得出直線方程,聯(lián)立方程組求出，,最后由弦長(zhǎng)公式即可求出截得的弦長(zhǎng).
【解答過(guò)程】∵雙曲線：的一條漸近線方程是，
∴，即，∵左焦點(diǎn)，∴
∴，∴，，
∴雙曲線方程為，直線的方程為，
設(shè)，由，
消可得，∴，，
∴．
故選:C.
【變式2-3】（2011·云南德宏·高二期末）經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)出直線方程代入，整理可得，利用韋達(dá)定理,結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論.
【解答過(guò)程】由 ，
所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，
經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為，
代入,整理可得，
設(shè)交點(diǎn),則直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)是 ，
故選：B.
【題型3 雙曲線的“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題常用點(diǎn)差法，點(diǎn)差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可以用于解決對(duì)稱問(wèn)題，因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題
也與弦中點(diǎn)和斜率有關(guān). 與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題有平行弦的中點(diǎn)軌跡、過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在的直線
方程等. 在解決此類(lèi)問(wèn)題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.
【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)直線MN為，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求k值，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.
【解答過(guò)程】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過(guò)的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：
設(shè)，則，所以，解得，
則，.
弦長(zhǎng)|MN|.
故選：D.
【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，在雙曲線上，線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求解的長(zhǎng).
【解答過(guò)程】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達(dá)定理得：，，則
故選：D.
【變式3-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)為（ ）
A． B． C．6 D．
【解題思路】設(shè)出直線，與聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可求出的值，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦的長(zhǎng)．
【解答過(guò)程】解：雙曲線，則，所以右焦點(diǎn)，
根據(jù)題意易得過(guò)的直線斜率存在，設(shè)為，
聯(lián)立，
化簡(jiǎn)得，
所以，
因?yàn)橹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為4，所以，
解得，所以，
則，
則．
故選D．
【變式3-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【解題思路】解法一，設(shè)直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的斜率，并代入弦長(zhǎng)公式求；解法二，利用點(diǎn)差法，求直線的斜率，再代入弦長(zhǎng)公式.
【解答過(guò)程】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故選:D.
解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，所以直線AB的斜率k＝＝1.則直線AB的方程為y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故選：D.
【題型4 雙曲線中的面積問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
雙曲線中的面積問(wèn)題主要有三角形面積和四邊形面積問(wèn)題，三角形面積問(wèn)題的解題步驟是：聯(lián)立直線與雙
曲線方程，求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊
形面積問(wèn)題可化為兩個(gè)三角形面積來(lái)求解.
【例4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；
(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積．
【解題思路】（1）依題意用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得c，然后由漸近線斜率和幾何量關(guān)系列方程組可解；
（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達(dá)定理表示出直線，的斜率可得直線的方程，數(shù)形結(jié)合可解.
【解答過(guò)程】（1）
由題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
則
因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以，
又，解得，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
離心率為．
（2）
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，
則，
所以，
由
，
解得或（舍去），
所以，
：，令，得，
，
所以的面積為.
【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．
【解題思路】（1）由已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求得，再由離心率即可求出；
（2）雙曲線C和直線l的方程聯(lián)立，求出原點(diǎn)O到直線l的距離，和，即可得出△OAB的面積
【解答過(guò)程】（1）
雙曲線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為，
所以焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．
因?yàn)殡p曲線C的離心率為，
所以，解得，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
設(shè)，，
聯(lián)立，得，，
所以，．
由，
解得t＝1（負(fù)值舍去），
所以，．
直線l：，所以原點(diǎn)O到直線l的距離為，
，
所以△OAB的面積為．
【變式4-2】（2022·高二階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若雙曲線E的離心率，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求的面積的取值范圍.
【解題思路】（1）由離心率公式得出，進(jìn)而解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）先得出雙曲線E的方程，再聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得出，再由的范圍得出的取值范圍.
【解答過(guò)程】(1)
，，
，，解得；
(2)
由（1）可知，，雙曲線E的方程為，
設(shè)，過(guò)點(diǎn)A的直線方程為，
由可得，
，，
由，解得，
，
故.
【變式4-3】（2021·吉林高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知過(guò)點(diǎn)的雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)分別是，，的面積為，求實(shí)數(shù)的值.
【解題思路】（1）由漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程是，將點(diǎn)代入解得，可得結(jié)果；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，由三角形的面積公式可得，列出關(guān)于的方程，解出即可.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)殡p曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是，
所以可設(shè)雙曲線的方程是，則，解得.
所以雙曲線的方程是.
（2）由消去整理，得.
由題意知解得且.
設(shè)，，則
，.
因?yàn)榕c雙曲線的交點(diǎn)分別在左 右兩支上，所以，
所以，所以，
則.
所以，
即，
解得或，又，
所以.
【題型5 雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】
【例5】（2022·廣東·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).
【解題思路】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過(guò)的定點(diǎn).
【解答過(guò)程】（1）
雙曲線：的漸近線方程為，
不妨設(shè)，
因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，
所以，又，所以.
（2）
雙曲線的方程為：，所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
若直線與軸交于點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，則，
聯(lián)立，得，
且，
化簡(jiǎn)得且，
所以，，
因?yàn)橹本€的斜率存在，所以直線的斜率也存在，
因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，
即，即，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，所以經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).
【變式5-1】（2022·遼寧朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)點(diǎn)，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若坐標(biāo)原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.
【解題思路】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，設(shè)，得到，
得出直線的方程求得和，結(jié)合為的中點(diǎn)，列出方程求得，求得為定值，利用直角的性質(zhì)，即可求解.
【解答過(guò)程】（1）
解：由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，所以雙曲線的方程為.
（2）
解：由題意知，直線的的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則且，
設(shè)，則，
直線的方程為，
令，可得，即,
同理可得，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，則直線方程為，即，
此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合題意；
若時(shí)，則直線方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，
所以為定值，
又由為直角三角形，且為斜邊，
所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，.
【變式5-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左 右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為3.
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請(qǐng)求出該定直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）由已知條件可得為直角三角形,利用雙曲線的定義和勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得a,b,c,然后由漸近線公式可得答案.
（2）對(duì)直線的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，寫(xiě)出直線和直線的方程，并聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可.
【解答過(guò)程】（1）
由得，且
所以
即解得
又,
故雙曲線的漸近線方程為.
（2）
由（1）可知雙曲線的方程為.
（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，
（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，易得直線l不和漸近線平行，且斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得
，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，兩邊平方得，
又滿足，
.
，
，或，（舍去.
綜上，在定直線上，且定直線方程為.
【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，且，到C的漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）由題意可得，，再結(jié)合可求出，從而可求出雙曲線方程，
（2）設(shè)直線：，，，，將直線方程代入雙曲線方程消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線的方程，可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示，，然后計(jì)算化簡(jiǎn)即可
【解答過(guò)程】（1）
由題意得，，漸近線方程為，
則到漸近線的距離為，
又因?yàn)椋?br/>所以，，，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)直線：，，，，
聯(lián)立方程組得，
所以，.
因?yàn)橹本€的方程為，
所以的坐標(biāo)為，同理可得的坐標(biāo)為.
因?yàn)椋?br/>所以
，
即為定值.
【題型6 雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
利用雙曲線解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：
①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；
②求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
③根據(jù)雙曲線的方程及定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
【例6】（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開(kāi)的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類(lèi)似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線 反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.
（1）已知，是在直線兩側(cè)且到直線距離不相等的兩點(diǎn)，為直線上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)的位置滿足什么條件時(shí)，取最大值；
（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對(duì)稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).
【解題思路】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)，直線與x軸的交點(diǎn)即為取最大值時(shí)的點(diǎn)P，由三角形兩邊之差小于第三邊可證；
（2）設(shè)入射光線從出射，入射點(diǎn)，則點(diǎn)在（曲線在入射點(diǎn)處的）切線上，先證明是切線上唯一使得取最大值的點(diǎn)，再由結(jié)論（1）可得切線即的角平分線，即反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).
【解答過(guò)程】（1）不妨設(shè)點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到直線的距離大，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).
當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即為的平分線時(shí)，
有，
當(dāng)，，三點(diǎn)不共線，即不是的平分線時(shí)，取這樣的點(diǎn)，則，，能構(gòu)成一個(gè)三角形，
故(兩邊之差小于第三邊)，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奈恢檬沟脼榈钠椒志€時(shí)，取最大值.
（2）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為b，左右焦點(diǎn)分別為，，入射光線從出射，入射點(diǎn)，反射光線，雙曲線在點(diǎn)處的切線，在點(diǎn)處的垂線，
由光的反射定律，，關(guān)于對(duì)稱，故，關(guān)于對(duì)稱，
要證：反射光線過(guò)點(diǎn)，
只要證：是的角平分線，
定義雙曲線焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的內(nèi)部，漸近線所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的外部，
由雙曲線的定義，，雙曲線上任意一點(diǎn)滿足方程為，
若，滿足不等式，即與焦點(diǎn)同在雙曲線內(nèi)部；
若，滿足不等式，即在雙曲線外部.
故：對(duì)于雙曲線內(nèi)部的任意一點(diǎn)，有，
對(duì)于雙曲線外部的任意一點(diǎn)，有，
又是雙曲線在點(diǎn)處的切線，故在上有且僅有一點(diǎn)使得，
上其他點(diǎn)均有，
故是上唯一使得取最大值的點(diǎn)，
又，到直線距離不相等，根據(jù)(1)中結(jié)論，可知是的角平分線，
故反射光線過(guò)點(diǎn)，命題得證.
【變式6-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為捍衛(wèi)釣魚(yú)島及其附屬島嶼的領(lǐng)土主權(quán)，中國(guó)派出艦船“唐山號(hào)”、“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”在釣魚(yú)島領(lǐng)海巡航.某日，正巡邏在A處的“唐山號(hào)”突然發(fā)現(xiàn)來(lái)自P處的疑似敵艦的某信號(hào)，發(fā)現(xiàn)信號(hào)時(shí)“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”正分別位于如圖所示的B、C兩處，其中A在B的正東方向相距6海里處，C在B的北偏西30°方向相距4海里處.由于B、C比A距P更遠(yuǎn)，因此，4秒后B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為每秒1海里），試確定疑似敵艦相對(duì)于A點(diǎn)“唐山號(hào)”的位置.
【解題思路】以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P所在的軌跡方程即可計(jì)算作答.
【解答過(guò)程】取A、B所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖，，
依題意，，則點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支上，方程為，
又B、C同時(shí)測(cè)得同一信號(hào)，即有，則點(diǎn)P又在線段BC的中垂線上，
而線段BC的中點(diǎn)，直線BC的斜率為，
線段BC的中垂線方程為，即，
由方程組，解得，即，直線的斜率，
即直線AP的傾斜角為，，
所以P在A的北偏東30°方向，相距10海里處.
【變式6-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P為航天員的著陸點(diǎn)．某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4s后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)．已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角．
【解題思路】結(jié)合雙曲線的定義求得點(diǎn)的軌跡方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得在處發(fā)現(xiàn)的方位角.
【解答過(guò)程】因?yàn)锽，C同時(shí)接收到信號(hào)，
所以PC＝PB，則P在BC的中垂線上．
因?yàn)锽，C比A處晚4s收到信號(hào)，
所以有PB－PA＝4×1<6＝AB，
從而P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，
所以2a＝4，c＝3，從而b2＝c2－a2＝5.
以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中垂線為y軸，正東方向?yàn)閤軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A(3，0)，B(－3，0)，，
所以雙曲線的方程為，
BC的中垂線的方程為.
聯(lián)立，解得或(舍去)，
即，從而，
所以PA的傾斜角為60°，則P在A的北偏東30°方向．
【變式6-3】（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，某野生保護(hù)區(qū)監(jiān)測(cè)中心設(shè)置在點(diǎn)處，正西、正東、正北處有三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，且，一名野生動(dòng)物觀察員在保護(hù)區(qū)遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)均收到求救信號(hào)，點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間早秒（注：信號(hào)每秒傳播千米）.
（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；
（2）若已知點(diǎn)與點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間相同，求觀察員遇險(xiǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)，以及與檢測(cè)中心的距離；
（3）若點(diǎn)監(jiān)測(cè)點(diǎn)信號(hào)失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測(cè)點(diǎn)為圓心進(jìn)行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑至少是多少公里？
【解題思路】（1）根據(jù)題意，其軌跡滿足雙曲線的定義，故直接寫(xiě)出方程即可；
（2）垂直平分線與雙曲線的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值即可.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)觀察員可能出現(xiàn)的位置的所在點(diǎn)為
因?yàn)辄c(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間早秒
故
故點(diǎn)的坐標(biāo)滿足雙曲線的定義，設(shè)雙曲線方程為
由題可知，解得，
故點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）因?yàn)椋O(shè)的垂直平分線方程為
則，則的垂直平分線方程為
聯(lián)立可得，故
故觀察員遇險(xiǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為
與檢測(cè)中心的距離為.
（3）設(shè)軌跡上一點(diǎn)為，
則
又因?yàn)椋傻?br/>代入可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故掃描半徑至少是.

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