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專題3.13 直線與拋物線的位置關系-重難點題型精講
1．直線與拋物線的位置關系
(1)直線與拋物線的三種位置關系：
(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關于x的方程
.
①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當<0時，直線與拋物線相離，無交點.
②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
2．弦長問題
設直線與拋物線交于A,B兩點，則
|AB|==或
|AB|== (k為直線的斜率，k≠0).
3．拋物線的焦點弦問題
拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px
(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).
設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：
4．拋物線的切線
過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.
拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).
5．直線與拋物線中的最值問題
求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，
解與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，借助目標函數(shù)最值的求法解決.
6．拋物線有關的應用問題
(1)解答與拋物線有關的應用問題時，除了要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要
注意拋物線的定義及性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系的靈活應用.
(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.
【題型1 判斷直線與拋物線的位置關系】
【方法點撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與拋物線的三種位置關系，進行判斷，即可得解.
【例1】（2022·全國·高二課時練習）直線與拋物線的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【解題思路】直線過定點，在拋物線內(nèi)部，即可得出結(jié)論．
【解答過程】直線過定點，
∵，
∴在拋物線內(nèi)部，
∴直線與拋物線相交，
故選：A．
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知直線l過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則符合要求的直線l的條數(shù)為（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據(jù)直線與拋物線的位置關系判斷．
【解答過程】當直線平行于軸（即拋物線的）時，直線與拋物線只有一個公共點，
直線與拋物線的軸不平行時，由于在拋物線的外部（與焦點在不同區(qū)域），因此過點有的拋物線的切線有兩條．
綜上，符合要求的直線有3條．
故選：D．
【變式1-2】（2021·全國·高二專題練習）拋物線的焦點為F，A為準線上一點，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關系為（　?。?br/>A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【解題思路】求出直線AF的中垂線方程，代入，可得，即可得出結(jié)論．
【解答過程】設，，則的中點坐標為，，所以中垂線的斜率為，所以直線的中垂線方程為，代入，可得
∴，∵線段FA的中垂線與拋物線相切.
故選：B.
【變式1-3】（2021·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)根的判別式即可得出結(jié)論．
【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標為（﹣2，1），
代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，
∴a＝4，
∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．
將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，
得到拋物線C3：y＝4x2，
聯(lián)立，消整理得，
，
所以直線l與拋物線C3相交，
故選：A．
【題型2 弦長問題】
【方法點撥】
①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關系“設而不求”，可大大簡化
運算過程.
②涉及弦長問題，應聯(lián)立直線與拋物線的方程，并設法消去未知數(shù)y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方
程，由韋達定理得到 (或)，代入到弦長公式即可.
【例2】（2021·江蘇·高三階段練習）已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點為M(1，1)，則|AB|＝（ ）
A．4 B．5
C． D．
【解題思路】設，點差法可得，得到直線AB的方程為 ，與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式即得解
【解答過程】由題意，設，
線段AB的中點為M(1，1)，
故，
且，
兩式相減得：，
故，
故直線AB的方程為：，即，
將直線與拋物線聯(lián)立：，
即，
，
則，
故選：C.
【變式2-1】（2022·江蘇南通·模擬預測）已知直線與拋物線交于兩點，為的中點，為坐標原點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解題思路】直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組求得交點坐標，再求得中點坐標，計算出，即可得．
【解答過程】由得，，，
則，，
所以，，
，
為的中點，則，
，，
所以．
故選：D．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，則（ ）
A．7 B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意可知和拋物線的焦點為，由此可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，可求出點坐標，再根據(jù)弦長公式即可求出結(jié)果.
【解答過程】由題意可知，軸，
又光線從點射入，經(jīng)過上的點，
所以，
又拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程，整理可得，所以或
所以，所以.
故選：D．
【變式2-3】（2022·湖南岳陽·高二期末）已知直線與拋物線相交于兩點，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件設出直線的方程與拋物線聯(lián)立方程組，再利用韋達定理得出根的關系，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標運算及弦長公式即可求解.
【解答過程】由題意可知，直線不可能與軸平行，設直線的方程為，
由，消去，得，
設，則，
所以，
因為，所以，解得或（舍），
，
當且僅當即時，取的最小值為,
所以的最小值為,
故選：C.
【題型3 拋物線的焦點弦問題】
【方法點撥】
根據(jù)拋物線的焦點弦公式，結(jié)合具體條件，進行求解即可.
【例3】（2022·湖南·高三期末（文））已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【解題思路】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，根據(jù)韋達定理與焦半徑的公式即可求出的值.
【解答過程】解：由題意可知，所以直線與的方程為，
聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，
設
則，
所以 .
故選：D.
【變式3-1】（2022·河南·高三開學考試（文））過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若的中點的橫坐標為2，則線段的長為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】結(jié)合拋物線的弦長公式求得正確答案.
【解答過程】設點的橫坐標分別為，則.
由過拋物線的焦點的弦長公式知：.
故選：C.
【變式3-2】（2022·河南·高三階段練習（文））直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)拋物線的焦點坐標，結(jié)合焦點弦長公式求解即可
【解答過程】因為拋物線的焦點坐標為，
又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．
故選：B.
【變式3-3】（2022·全國·模擬預測（文））入射光線由點出發(fā)，沿軸反方向射向拋物線：上一點，反射光線與拋物線交于點，則的值為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【解題思路】根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，結(jié)合拋物線的焦點弦公式求解即可
【解答過程】易得的縱坐標為，代入可得.根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)可得，因為入射光線由點出發(fā)，沿軸反方向射向拋物線，故反射光線經(jīng)過拋物線的焦點，故的斜率為.設，則直線的方程為，聯(lián)立可得，故
故選：B.
【題型4 拋物線中的面積問題】
【方法點撥】
拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與拋
物線方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊
形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線上一點到焦點的距離．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線準線上一點，且，求的面積．
【解題思路】（1）由題知，進而解方程即可得答案；
（2）結(jié)合（1）得直線的方程為，進而與拋物線方程聯(lián)立得，的坐標分別為，，再設的坐標為，進而結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算或，再分別計算與點到直線的距離即可得面積.
【解答過程】（1）
解：因為拋物線上一點到焦點的距離，
所以，拋物線的定義得．
所以， ，解得．
所以，拋物線的方程為；
（2）
解：由（1）知點，所以直線的方程為．
所以，聯(lián)立方程得，
設，，則，，，
點，的坐標分別為，．
設點的坐標為，則，，
所以，解得或，
所以，
點到直線的距離為，故或．
當時，的面積為．
當時．的面積為．
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點到定點的距離比它到x軸的距離大．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)在（1）的條件下，且時，過軌跡C的焦點且傾斜角為45°的直線交軌跡C于點A、B，求△AOB的面積．
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得點的軌跡的方程.
（2）求得直線的方程，利用弦長公式、點到直線的距離公式求得三角形的面積.
【解答過程】（1）
依題意①，，
兩邊平方得，
②，
兩邊平方得，
整理得，
可得或，
當時，②轉(zhuǎn)化為，所以，
此時①轉(zhuǎn)化為，所以.
所以點的軌跡的方程為或.
（2）
當時，軌跡的方程為，是拋物線，
，所以軌跡的焦點為.
所以直線的方程為，，
由消去并化簡得，
設，則，
所以.
原點到直線的距離為.
所以三角形的面積為.
【變式4-2】（2022·河南·高二期末（文））已知拋物線上的點到焦點的距離等于圓的半徑．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點，直線交于，兩點，求四邊形面積的最小值．
【解題思路】（1）根據(jù)圓的半徑及拋物線的定義可得方程；
（2）分別聯(lián)立兩條直線與拋物線，可得線段與長度，進而可得面積，結(jié)合基本不等式可得最小值.
【解答過程】（1）由題設知，拋物線的準線方程為，由點到焦點的距離等于圓的半徑，而可化為，即該圓的半徑為，所以，解得，所以拋物線的標準方程為；
（2）由題意可知，直線與直線的斜率都存在，且焦點坐標為，
因為，不妨設直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，得，恒成立．
設，，則，，
所以，
同理，得，
所以四邊形的面積 ，（當且僅當時等號成立），
所以四邊形的面積的最小值是．
【變式4-3】（2022·上海市高三階段練習）如圖，已知點為拋物線 的焦點．過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點A在第一象限，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè)，記，的面積分別為，．
(1)求p的值及拋物線的準線方程；
(2)設A點縱坐標為，求關于t的函數(shù)關系式；
(3)求的最小值及此時點G的坐標．
【解題思路】（1）由焦點坐標確定p的值和準線方程即可；
（2）設出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理求得面積的表達式，再用代換并化簡即可；
（3）根據(jù)已求的函數(shù)關系式，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值和點G的坐標.
【解答過程】（1）
因為點為拋物線 的焦點，
所以，即，準線方程.
（2）
設，
設直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：
，故：，
，
設點C的坐標為，由重心坐標公式可得：
， ，
令可得：，則.即，
由斜率公式可得：，
直線AC的方程為：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，則，
則 ，
令 ，得.
即關于t的函數(shù)關系式為.
（3）
設，則，
當且僅當，即，，時等號成立，
即的最小值為，
此時，，則點G的坐標為.
【題型5 拋物線中的定點、定值、定直線問題】
【例5】（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經(jīng)過點F時，點A恰好為線段PF中點．
(1)求p的值；
(2)是否存在定點T， 使得為常數(shù)？ 若存在，求出點T的坐標及該常數(shù)； 若不存在，說明理由．
【解題思路】（1）結(jié)合中點坐標公式表示出點A的坐標帶入拋物線的方程即可求出結(jié)果；
（2）設出直線的方程與拋物線聯(lián)立，進而結(jié)合根與系數(shù)的關系得到的表達式，從而可得，因此解方程組即可求出結(jié)果.
【解答過程】（1）
因為，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在拋物線上，所以，即，解得
（2）
設，可知直線l斜率存在；設l：，
聯(lián)立方程得：，所以，
所以，
又：
，
令，解之得：，即，此時.
【變式5-1】（2022·上海市高二期末）已知拋物線的焦點為F，，過F作直線l交拋物線C于，兩點.
(1)若直線l的斜率為1，求線段AB的中點坐標；
(2)設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：是定值.
【解題思路】（1）根據(jù)拋物線和直線的位置關系，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理來求交點坐標的中點坐標即可；
（2根據(jù)題意假設直線方程，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，對所需證明的式子化簡即可.
【解答過程】（1）根據(jù)題意點，而直線的斜率為1，
所以的方程為，聯(lián)立拋物線方程，
根據(jù)韋達定理有，點均在直線上，
所以，
所以中點坐標為即.
（2）根據(jù)題意直線與拋物線有兩個交點，所以直線的斜率不可能為0，
設直線方程為，聯(lián)立拋物線方程有，
據(jù)韋達定理有，
，
所以為定值0.
【變式5-2】（2022·四川·教科所三模（理））設拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準線截得的弦長為8．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的兩條直線分別與曲線交于點A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點在直線上．
【解題思路】（1）設到的距離為，由題意可得：，可解得，即可求出拋物線的方程.
（2）設，，由，表示出點的坐標，代入拋物線的方程結(jié)合題意可得，同理可得：，又因為，是關于的方程的兩根，則， 即可證明.
【解答過程】(1)
：的準線：
設到的距離為，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程為
(2)
設，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵點N在拋物線內(nèi)部，∴，，∴
同理
∴，是關于的方程的兩根，
∴，∴
∴的中點在直線上．
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）如圖，F(xiàn)是拋物線的焦點，Q是準線與x軸的交點，斜率為k的直線l經(jīng)過點Q．
(1)當k取不同數(shù)值時，求直線l與拋物線公共點的個數(shù)；
(2)若直線l與拋物線相交于A、B兩點，求證：是定值．
(3)在x軸上是否存在這樣的定點M，對任意的過點Q的直線l與拋物線相交于A、B兩點，均能使得為定值，若有，找出滿足條件的點M;若沒有，請說明理由．
【解題思路】（1）求得直線的方程并代入拋物線的方程，對進行分類討論，由此求得正確答案.
（2）結(jié)合根與系數(shù)關系，計算出.
（3）設，求得的表達式，從而求得時，為定值.
【解答過程】（1）
拋物線的焦點為，，
設，代入并化簡得①．
當，直線的方程為，與的交點為原點，直線l與拋物線有個公共點；
當，，
若，即，直線l與拋物線有個公共點；
若，即時，直線l與拋物線有個公共點；
若，即或，直線l與拋物線沒有公共點．
（2）
由于直線與拋物線有兩個交點，由（1）得.
設交點、，
由①得，
，
所以為定值0．
（3）
若存在滿足條件的點，使得為定值．
則
僅當，即時，為定值．
【題型6 拋物線有關的應用問題】
【方法點撥】
利用拋物線解決實際問題的基本步驟：
①建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?br/>②求出拋物線的標準方程；
③根據(jù)拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關系來解決實際應用問題.
【例6】（2022·全國·高二課時練習）某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊組成，尺寸如圖所示（單位：m），某卡車載一集裝箱，車寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？說明理由．
【解題思路】建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，當車走中間時，代入拋物線求縱坐標，與車貨總高比較即可.
【解答過程】以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，如圖，
則點A的坐標為．
設拋物線的標準方程為（）．
將點A的坐標代入上式，得，即．
所以拋物線的標準方程為．
將代入拋物線的標準方程，得，則．
這說明，即使集裝箱處于隧道的正中位置，車與集裝箱的總高也會高于BD，所以此車不能安全通過隧道．
【變式6-1】（2022·安徽·高二期末）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm．
(1)以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；
(2)為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長．
【解題思路】（1）設拋物線的標準方程為，由題意可得拋物線過點，將此點代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，
（2）設此時的口徑長為，則拋物線過點，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案
【解答過程】(1)
由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為，
因為頂點深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點，
所以，得，所以拋物線方程為；
(2)
若將磨具的頂點深度減少，設此時的口徑長為，
則可得，得，所以此時該磨具的口徑長．
【變式6-2】（2022·江蘇南通·高二期末）如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長40米，池塘的最遠端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路，且均與小池塘岸線相切，記.
（1）求小路的總長，用表示；
（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，的值.
【解題思路】（1）建立合適的平面直角坐標系，求出小池塘的邊界拋物線方程，然后設出直線的方程，和拋物線聯(lián)立，可求出切點坐標， 同時可求出的坐標，表示出，變形即可得結(jié)果；
（2）要所需鋪草坪面積最小，需要梯形面積最小，利用（1）的結(jié)果表示出梯形面積，利用基本不等式求出最值．
【解答過程】解：（1）以為原點，所在直線為軸，過點作垂直于軸的直線為軸，建立直角坐標系，所以，

因為小池塘的邊界為拋物線型，設邊界所在的拋物線方程為，
因為是曲線上一點，
所以，即拋物線方程為.
設所在的直線方程：，
聯(lián)立，即，
因為與拋物線相切，
所以①.
記直線與拋物線切于點，
所以點的橫坐標為，即.
易得點，點，由對稱性可知，點.
所以小路總長為，
由①及可知
；
（2）記草坪面積為，梯形面積為，小池塘面積為，
所以，因為小池塘面積為定值，要使得草坪面積最小，則梯形面積最小
，
由①知，當且僅當“”取得“＝”
所以當時，梯形面積最小，即草坪面積最?。?br/>【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）如圖，河道上有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面為8m，拱圈內(nèi)水面寬16m．，為保證安全，要求通過的船頂部（設為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一條船船頂部寬4m，要使這艘船安全通過，則船在水面以上部分高不能超過多少米？
（2）近日因受臺風影響水位暴漲2.7m，為此必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞．試問：一艘頂部寬m，在水面以上部分高為4m的船船身應至少降低多少米才能安全通過？
【解題思路】（1）建立平面直角坐標系，設拋物線方程，求得拋物線方程，最后令其x＝2即可得出船在水面以上部分高不能超過多少米；
（2）把x＝2代入拋物線的方程求得y值，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.
【解答過程】（1）以過拱橋的最高點且平行水面的直線為軸，最高點O為原點建立直角坐標系，如下所示：
設拋物線方程為，根據(jù)題意，該拋物線過點，故，
故拋物線方程是，
將x＝2代入得，
故要使該船安全通過，則船在水平以上的部分高不能超過，
故船在水面以上部分高不能超過7米．
（2）將代入方程得，
要滿足題意，船身應至少降低，
故船身應至少降低0.2米.專題3.13 直線與拋物線的位置關系-重難點題型精講
1．直線與拋物線的位置關系
(1)直線與拋物線的三種位置關系：
(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關于x的方程
.
①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當<0時，直線與拋物線相離，無交點.
②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
2．弦長問題
設直線與拋物線交于A,B兩點，則
|AB|==或
|AB|== (k為直線的斜率，k≠0).
3．拋物線的焦點弦問題
拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px
(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).
設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：
4．拋物線的切線
過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.
拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).
5．直線與拋物線中的最值問題
求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，
解與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，借助目標函數(shù)最值的求法解決.
6．拋物線有關的應用問題
(1)解答與拋物線有關的應用問題時，除了要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要
注意拋物線的定義及性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系的靈活應用.
(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.
【題型1 判斷直線與拋物線的位置關系】
【方法點撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與拋物線的三種位置關系，進行判斷，即可得解.
【例1】（2022·全國·高二課時練習）直線與拋物線的位置關系為（　?。?br/>A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知直線l過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則符合要求的直線l的條數(shù)為（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1-2】（2021·全國·高二專題練習）拋物線的焦點為F，A為準線上一點，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【變式1-3】（2021·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（　?。?br/>A．相交 B．相切
C．相離 D．以上都有可能
【題型2 弦長問題】
【方法點撥】
①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關系“設而不求”，可大大簡化
運算過程.
②涉及弦長問題，應聯(lián)立直線與拋物線的方程，并設法消去未知數(shù)y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方
程，由韋達定理得到 (或)，代入到弦長公式即可.
【例2】（2021·江蘇·高三階段練習）已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點為M(1，1)，則|AB|＝（ ）
A．4 B．5
C． D．
【變式2-1】（2022·江蘇南通·模擬預測）已知直線與拋物線交于兩點，為的中點，為坐標原點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，則（ ）
A．7 B． C． D．
【變式2-3】（2022·湖南岳陽·高二期末）已知直線與拋物線相交于兩點，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 拋物線的焦點弦問題】
【方法點撥】
根據(jù)拋物線的焦點弦公式，結(jié)合具體條件，進行求解即可.
【例3】（2022·湖南·高三期末（文））已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【變式3-1】（2022·河南·高三開學考試（文））過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若的中點的橫坐標為2，則線段的長為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式3-2】（2022·河南·高三階段練習（文））直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【變式3-3】（2022·全國·模擬預測（文））入射光線由點出發(fā)，沿軸反方向射向拋物線：上一點，反射光線與拋物線交于點，則的值為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【題型4 拋物線中的面積問題】
【方法點撥】
拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與拋
物線方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊
形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線上一點到焦點的距離．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線準線上一點，且，求的面積．
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點到定點的距離比它到x軸的距離大．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)在（1）的條件下，且時，過軌跡C的焦點且傾斜角為45°的直線交軌跡C于點A、B，求△AOB的面積．
【變式4-2】（2022·河南·高二期末（文））已知拋物線上的點到焦點的距離等于圓的半徑．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點，直線交于，兩點，求四邊形面積的最小值．
【變式4-3】（2022·上海市高三階段練習）如圖，已知點為拋物線 的焦點．過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點A在第一象限，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè)，記，的面積分別為，．
(1)求p的值及拋物線的準線方程；
(2)設A點縱坐標為，求關于t的函數(shù)關系式；
(3)求的最小值及此時點G的坐標．
【題型5 拋物線中的定點、定值、定直線問題】
【例5】（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經(jīng)過點F時，點A恰好為線段PF中點．
(1)求p的值；
(2)是否存在定點T， 使得為常數(shù)？ 若存在，求出點T的坐標及該常數(shù)； 若不存在，說明理由．
【變式5-1】（2022·上海市高二期末）已知拋物線的焦點為F，，過F作直線l交拋物線C于，兩點.
(1)若直線l的斜率為1，求線段AB的中點坐標；
(2)設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：是定值.
【變式5-2】（2022·四川·教科所三模（理））設拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準線截得的弦長為8．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的兩條直線分別與曲線交于點A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點在直線上．
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）如圖，F(xiàn)是拋物線的焦點，Q是準線與x軸的交點，斜率為k的直線l經(jīng)過點Q．
(1)當k取不同數(shù)值時，求直線l與拋物線公共點的個數(shù)；
(2)若直線l與拋物線相交于A、B兩點，求證：是定值．
(3)在x軸上是否存在這樣的定點M，對任意的過點Q的直線l與拋物線相交于A、B兩點，均能使得為定值，若有，找出滿足條件的點M;若沒有，請說明理由．
【題型6 拋物線有關的應用問題】
【方法點撥】
利用拋物線解決實際問題的基本步驟：
①建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?br/>②求出拋物線的標準方程；
③根據(jù)拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關系來解決實際應用問題.
【例6】（2022·全國·高二課時練習）某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊組成，尺寸如圖所示（單位：m），某卡車載一集裝箱，車寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？說明理由．
【變式6-1】（2022·安徽·高二期末）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm．
(1)以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；
(2)為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長．
【變式6-2】（2022·江蘇南通·高二期末）如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長40米，池塘的最遠端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路，且均與小池塘岸線相切，記.
（1）求小路的總長，用表示；
（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，的值.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）如圖，河道上有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面為8m，拱圈內(nèi)水面寬16m．，為保證安全，要求通過的船頂部（設為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一條船船頂部寬4m，要使這艘船安全通過，則船在水面以上部分高不能超過多少米？
（2）近日因受臺風影響水位暴漲2.7m，為此必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞．試問：一艘頂部寬m，在水面以上部分高為4m的船船身應至少降低多少米才能安全通過？

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