資源簡介

高中數學教學案例設計匯編
（中 部）
10、直線與平面平行的判定
一、教學內容分析:
本節教材選自人教A版數學必修②第二章第一節課，本節內容在立幾學習中起著承上啟下的作用，具有重要的意義與地位。本節課是在前面已學空間點、線、面位置關系的基礎作為學習的出發點，結合有關的實物模型，通過直觀感知、操作確認(合情推理，不要求證明)歸納出直線與平面平行的判定定理。本節課的學習對培養學生空間感與邏輯推理能力起到重要作用，特別是對線線平行、面面平行的判定的學習作用重大。
二、學生學習情況分析：
任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，但學習立幾所具備的語言表達及空間感與空間想象能力相對不足，學習方面有一定困難。
三、設計思想
本節課的設計遵循從具體到抽象的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，借助實物模型，通過直觀感知，操作確認，合情推理，歸納出直線與平面平行的判定定理，將合情推理與演繹推理有機結合，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示直線與平面平行的判定、理解數學的概念，領會數學的思想方法，養成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式，發展學生的空間觀念和空間想象力，提高學生的數學邏輯思維能力。
四、教學目標
通過直觀感知——觀察——操作確認的認識方法理解并掌握直線與平面平行的判定定理，掌握直線與平面平行的畫法并能準確使用數學符號語言、文字語言表述判定定理。培養學生觀察、探究、發現的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學生在觀察、探究、發現中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態度，提高學習的自我效能感。
五、教學重點與難點
重點是判定定理的引入與理解，難點是判定定理的應用及立幾空間感、空間觀念的形成與邏輯思維能力的培養。
六、教學過程設計
（一）知識準備、新課引入
提問1：根據公共點的情況，空間中直線a和平面有哪幾種位置關系？并完成下表：(多媒體幻燈片演示)
位置關系
公共點
符號表示
圖形表示
我們把直線與平面相交或平行的位置關系統稱為直線在平面外，用符號表示為a
提問2：根據直線與平面平行的定義(沒有公共點)來判定直線與平面平行你認為方便嗎？談談你的看法，并指出是否有別的判定途徑。
[設計意圖：通過提問，學生復習并歸納空間直線與平面位置關系引入本節課題，并為探尋直線與平面平行判定定理作好準備。]
（二）判定定理的探求過程
1、直觀感知
提問：根據同學們日常生活的觀察，你們能感知到并舉出直線與平面平行的具體事例嗎？
生1：例舉日光燈與天花板，樹立的電線桿與墻面。
生2：門轉動到離開門框的任何位置時，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行(由學生到教室門前作演示)，然后教師用多媒體動畫演示。
[學情預設：此處的預設與生成應當是很自然的，但老師要預見到可能出現的情況如電線桿與墻面可能共面的情形及門要離開門框的位置等情形。]
2、動手實踐
教師取出預先準備好的直角梯形泡沫板演示：當把互相平行的一邊放在講臺桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面的位置給人以平行的感覺，而當把直角腰放在桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面給人的印象就不平行。又如老師直立講臺，則大家會感覺到老師（視為線）與四周墻面平行，如老師向前或后傾斜則感覺老師(視為線)與左、右墻面平行，如老師向左、右傾斜，則感覺老師(視為線)與前、后墻面平行(老師也可用事先準備的木條放在講臺桌上作上述情形的演示)。
[設計意圖：設置這樣動手實踐的情境，是為了讓學生更清楚地看到線面平行與否的關鍵因素是什么，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，學自己身邊的數學，領悟空間觀念與空間圖形性質。]
3、探究思考
(1)上述演示的直線與平面位置關系為何有如此的不同？關鍵是什么因素起了作用呢？通過觀察感知發現直線與平面平行，關鍵是三個要素：①平面外一條線 ②平面內一條直線 ③這兩條直線平行
(2)如果平面外的直線a與平面內的一條直線b平行，那么直線a與平面平行嗎？
4、歸納確認：（多媒體幻燈片演示）
直線和平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線和這個平面平行。
簡單概括：（內外）線線平行線面平行
符號表示：
溫馨提示：
作用：判定或證明線面平行。
關鍵：在平面內找（或作）出一條直線與面外的直線平行。
思想：空間問題轉化為平面問題
（三）定理運用，問題探究（多媒體幻燈片演示）
1、想一想：
(1)判斷下列命題的真假？說明理由：
①如果一條直線不在平面內，則這條直線就與平面平行( )
②過直線外一點可以作無數個平面與這條直線平行( )
③一直線上有二個點到平面的距離相等，則這條直線與平面平行( )
(2)若直線a與平面內無數條直線平行，則a與的位置關系是( )
A、a || B、a C、a ||或a D、
[學情預設：設計這組問題目的是強調定理中三個條件的重要性，同時預設(1)中的③學生可能認為正確的，這樣就無法達到老師的預設與生成的目的，這時教師要引導學生思考，讓學生想象的空間更廣闊些。此外教師可用預先準備好的羊毛針與泡沫板進行演示，讓羊毛針穿過泡沫板以舉不平行的反例，如果有的學生空間想象力強，能按老師的要求生成正確的結果則就由個別學生進行演示。]
2、作一作：
設a、b是二異面直線，則過a、b外一點p且與a、b都平行的平面存在嗎？若存在請畫出平面，不存在說明理由？
先由學生討論交流，教師提問，然后教師總結，并用準備好的羊毛針、鐵線、泡沫板等演示平面的形成過程，最后借多媒體展示作圖的動畫過程。
[設計意圖：這是一道動手操作的問題，不僅是為了拓展加深對定理的認識，更重要的是培養學生空間感與思維的嚴謹性。]
3、證一證：
例1(見課本60頁例1)：已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，求證：EF || 平面BCD。
變式一：空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA中點，連結EF、FG、GH、HE、AC、BD請分別找出圖中滿足線面平行位置關系的所有情況。(共6組線面平行)
變式二：在變式一的圖中如作PQEF，使P點在線段AE上、Q點在線段FC上，連結PH、QG，并繼續探究圖中所具有的線面平行位置關系？(在變式一的基礎上增加了4組線面平行)，并判斷四邊形EFGH、PQGH分別是怎樣的四邊形，說明理由。
[設計意圖：設計二個變式訓練，目的是通過問題探究、討論，思辨，及時鞏固定理，運用定理，培養學生的識圖能力與邏輯推理能力。]
例2：如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1中點，求證：EF || 平面BDD1B1




分析：根據判定定理必須在平面BDD1B1內找(作)一條線與EF平行，聯想到中點問題找中點解決的方法，可以取BD或B1D1中點而證之。
思路一：取BD中點G連D1G、EG，可證D1GEF為平行四邊形。
思路二：取D1B1中點H連HB、HF，可證HFEB為平行四邊形。
[知識鏈接：根據空間問題平面化的思想，因此把找空間平行直線問題轉化為找平行四邊形或三角形中位線問題，這樣就自然想到了找中點。平行問題找中點解決是個好途徑好方法。這種思想方法是解決立幾論證平行問題，培養邏輯思維能力的重要思想方法]
4、練一練：
練習1：見課本6頁練習1、2
練習2：將兩個全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，設M、N分別為AC、BF中點，求證：MN || 平面BCE。
變式：若將練習2中M、N改為AC、BF分點且AM = FN，試問結論仍成立嗎？試證之。
[設計意圖：設計這組練習，目的是為了鞏固與深化定理的運用，特別是通過練習2及其變式的訓練，讓學生能在復雜的圖形中去識圖，去尋找分析問題、解決問題的途徑與方法，以達到逐步培養空間感與邏輯思維能力。]
（四）總結
先由學生口頭總結，然后教師歸納總結（由多媒體幻燈片展示）：
1、線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與這個平面平行。
2、定理的符號表示：
簡述：（內外）線線平行則線面平行
3、定理運用的關鍵是找（作）面內的線與面外的線平行，途徑有：取中點利用平行四邊形或三角形中位線性質等。
七、教學反思
本節“直線與平面平行的判定”是學生學習空間位置關系的判定與性質的第一節課，也是學生開始學習立幾演澤推理論述的思維方式方法，因此本節課學習對發展學生的空間觀念和邏輯思維能力是非常重要的。
本節課的設計遵循“直觀感知——操作確認——思辯論證”的認識過程，注重引導學生通過觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動，從多角度認識直線和平面平行的判定方法，讓學生通過自主探索、合作交流，進一步認識和掌握空間圖形的性質，積累數學活動的經驗，發展合情推理、發展空間觀念與推理能力。
本節課的設計注重訓練學生準確表達數學符號語言、文字語言及圖形語言，加強各種語言的互譯。比如上課開始時的復習引入，讓學生用三種語言的表達，動手實踐、定理探求過程以及定理描述也注重三種語言的表達，對例題的講解與分析也注意指導學生三種語言的表達。
本節課對定理的探求與認識過程的設計始終貫徹直觀在先，感知在先，學自己身邊的數學，感知生活中包涵的數學現象與數學原理，體驗數學即生活的道理，比如讓學生舉生活中能感知線面平行的例子，學生會舉出日光燈與天花板，電線桿與墻面，轉動的門等等，同時老師的舉例也很貼進生活，如老師直立時與四周墻面平行，而向前、向后傾斜則只與左右墻面平行，而向左、右傾斜則與前后黑板面平行。然后引導學生從中抽象概括出定理。
本節課對定理的運用設計了想一想、作一作、證一證、練一練等環節，能從易到難，由淺入深地強化對定理的認識，特別是對“證一證”中采用一題多解，一題多變的變式教學，有利于培養學生思維的廣闊性與深刻性。
本節課的設計還注重了多媒體輔助教學的有效作用，在復習引入，定理的探求以及定理的運用等過程中，都有效地使用了多媒體。
福建省寧德第一中學 葉洪康
點評
本節課教師利用教室現有實物，如日光燈管、地面、教師個人、門等做教具，讓學生認識和理解直線和平面平行的理由和條件。學生在應用觀察、猜想等手段探索研究判定定理時，能獲得視覺上的愉悅，增強探求的好奇心。學生經過思維活動，從中找出一類事物的本質屬性，最后通過概括得出新的數學概念。創設的問題情景有效，能遵循認識規律，從感性到理性，從具體到抽象。
本節課的設計符合新課程立幾中“直觀感知——操作確認——思辯論證”的教學理念。整體設計中規中矩，自然流暢。教師對問題、例題的設計都別具匠心，考慮到學生的實際，有意地設計了一些鋪墊和引導，既鞏固已有知識，又為新知識提供了附著點，充分體現學生的主體地位。
本節課蘊涵著化歸思想，設計中注重對學生進行思想方法的訓練，通過一題多解、一題多變，滲透了聯系與轉化的思想，使學生學會思考、掌握方法，有利于培養學生思維的廣闊性與深刻性。
11、循環結構
一、教學內容分析
《循環結構》是人民教育出版社課程教材研究所編著的《普通高中課程標準試驗教科書數學3（必修）》（A版）中§1。1。2的第二課時的內容。（1）算法是高中數學課程中的新內容，算法的思想是非常重要的，算法思想已逐漸成為每個現代人所必須具備的數學素養。（2）本節課的內容是循環結構，它與順序結構、條件分支結構是算法的三種基本邏輯結構，可以表示任何一個算法。并且循環結構是算法這一部分的重點和難點，它的重要性就是充分體現計算機的優勢，也即能以極快的速度進行重復計算。
二、學生學習情況分析
學生已經學習了有關算法和框圖的基礎知識。絕大多數同學對算法和框圖的學習有相當的興趣和積極性。但在探究問題的能力，應用數學的意識等方面發展不夠均衡，尚有待加強。
三、設計思想
建構主義學習理論認為，建構就是認知結構的組建，其過程一般是引導學生從身邊的、生活中的實際問題出發，發現問題，思考如何解決問題，進而聯系所學的舊知識，首先明確問題的實質，然后總結出新知識的有關概念和規律，形成知識點，把知識點按照邏輯線索和內在聯系，串成知識線，再由若干條知識線形成知識面，最后由知識面按照其內容、性質、作用、因果等關系組成綜合的知識體。也就是以學生為主體，強調學生對知識的主動探索、主動發現以及學生對所學知識意義的主動建構。基于以上理論，本節課遵循引導發現，循序漸進的思路，采用問題探究式教學，運用多媒體，投影儀輔助，倡導“自主、合作、探究”的學習方式。具體流程如下：
創設情景（課前準備、引入實例）→授新設疑（自主探索形成概念→理解概念能識別框圖）→質疑問難、論爭辯難（進一步加深對概念的理解→突破難點）→溝通發展（反饋練習→歸納小結）→布置作業。
四、教學目標
理解循環結構，能識別和理解簡單的框圖的功能，通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達，解決問題的過程，發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力；能運用循環結構設計程序框圖解決簡單的問題，感受和體會算法思想在解決具體問題中的意義，增強學生的創新能力和應用數學的意識。
五、教學重點與難點
重點：理解循環結構，能識別和畫出簡單的循環結構框圖。
難點：循環結構中循環條件和循環體的確定。
六、教學過程設計
（一）創設情境
引例：德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
　　老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。（課本例6）你能否寫出求的值的一個算法，并用框圖表示你的算法。
此例由學生動手完成，投影展示學生的做法，師生共同點評。鼓勵學生一題多解。
【設計意圖】通過高斯求和的故事，復習順序結構，提出遞推求和的方法，導入新課。此環節旨在提升學生的求知欲、探索欲，使學生保持良好、積極的情感體驗。
（二）授新設疑
1．循序漸進，理解知識
（1）引進“計數變量” 、“累加變量”。借助“計數變量”和 “累加變量”使學生經歷把“遞推求和”轉化為“循環求和”的過程，同時經歷初始化變量，確定循環體，設置循環終止條件3個構造循環結構的關鍵步驟。
①將“遞推求和”轉化為“循環求和”的緣由及轉化的方法和途徑
引例“求的值”這個問題的自然求和過程可以表示為：
用遞推公式表示為：　　
直接利用這個遞推公式構造算法在步驟中使用了共100個變量，計算機執行這樣的算法時需要占用較大的內存。為了節省變量，充分體現計算機能以極快的速度進行重復計算的優勢，需要從上述遞推求和的步驟中提取出共同的結構，即第步的結果＝第（－1）步的結果＋。若引進一個計數變量來表示計算到第幾步，一個累加變量來表示每一步的計算結果，則第步可以表示為賦值過程。
②“”、“”的含義
利用多媒體動畫展示計算機中計數器的工作原理，借助形象直觀對知識點進行強調說明
1）的作用是將賦值號右邊表達式的值賦給賦值號左邊的變量。
2）賦值號“＝”右邊的變量“”表示前一步累加所得的和，賦值號“=”左邊的“”表示該步累加所得的和，含義不同。
3）賦值號“＝”與數學中的等號意義不同。在數學中是不成立的。
4）的作用是將賦值號右邊表達式的值賦給賦值號左邊的變量。（類比 理解）
借助“計數變量”、“累加變量”既突破了難點，同時也使學生理解了“”、“”的含義。
③初始化變量，設置循環終止條件
由的初始值為0，的值由1增加到100，可以初始化循環變量和設置循環終止條件。
（2）循環結構的概念

從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的結構稱為循環結構。
教師學生一起共同完成引例的框圖表示，并由此引出本節課的重點知識循環結構的概念(循環變量、循環體、循環終止的條件)。
【設計意圖】這樣講解既突出了重點又突破了難點，同時學生在教師引導下，在已有探索經驗的基礎上，借助多媒體的形象直觀，共同完成問題的抽象過程和算法的構建過程。體現研究問題常用的“由特殊到一般”的思維方式。
2．類比探究，掌握知識
例1：改造引例的程序框圖表示
①求的值
②求的值
③求的值
此例可由學生獨立思考、回答，師生共同點評完成。
【設計意圖】通過對引例框圖的反復改造逐步幫助學生深入理解循環結構，體會用循環結構表達算法，關鍵要做好三點：
確定循環變量和初始值 ② 確定循環體 ③ 確定循環終止條件。
例2：根據程序框圖回答下面的問題

圖A 　　　　　　　　　　　　　圖B
（1） 圖中箭頭指向①時，輸出＝______;指向②時輸出＝_____。
（2）該程序框圖的算法功能是_______________________。
（3）去掉條件“”按程序框圖所蘊含的算法，能執行到底嗎，若能執行到底，最后輸出的結果是什么？
對比練習：
（1）圖B輸出＝_____。
（2）圖A指向②時與圖B有何不同？你能得到什么結論？
（3）對比“引例”與“例2”的程序框圖，試說明二者的區別和聯系？
可由學生小組討論，教師巡視，加強對學生的個別指導，再由學生分析。
例2是寫出程序框圖的運算結果，及其功能。
【設計意圖】設計此例的目的是讓學生通過類比意識到：
①循環結構不能是永無終止的死循環，一定要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來做出判斷，因此，循環結構一定包含條件結構。
②循環結構中語句的順序對算法的影響。
③當型循環結構與直到型循環結構的區別。
（三）質疑問難、論爭辯難
例3 圖（1），圖（2），圖（3），圖（4）是為計算而繪制的程序框圖。根據程序框圖回答下面的問題：

圖(1)　　 　 　　　　　　　　　　 圖(2)

圖(3)　　　　　 　　　　　　　 圖(4)
①其中正確的程序框圖有哪幾個？錯誤的要指出錯在哪里。
②錯誤的程序框圖中，按該程序框圖所蘊含的算法，能執行到底嗎？若能執行到底，最后輸出的結果是什么？
③根據上面的回答總結出應用循環結構編制程序框圖應該注意哪幾方面的問題？
【設計意圖】通過類比，自主探究，幫助學生深入理解知識，完善知識結構，提升認知水平。通過小組討論，實現生生互動，師生互助，豐富情感體驗，活躍課堂氣氛。
（四）溝通發展、歸納小結
1．溝通發展
仿照本節課例題，同桌倆人一人編題一人解答。
【設計意圖】通過練習進一步鞏固所學知識，培養和提升學生的認知水平。溝通發展，有助于及時查漏補缺，保持學生學習的熱情和信心。
2．課后小節
①理解循環結構的邏輯。
②明確條件結構與循環結構的區別，聯系。
③當型循環結構與直到型循環結構的區別。
④數學思想方法：算法思想，類比方法。
【設計意圖】通過小結使學生對本節課的知識有一個全面的認識，掌握知識。為今后學習其它知識打基礎。
（五）布置作業
①課本P11 習題1－1 A組 2
②課外拓展：寫出一個求滿足1×2×3×…×n＞5000的最小正整數的算法并畫出相應的程序框圖。
【設計意圖】書面作業第一個層次要求所有學生完成，第二個層次，只要求學有余力的同學完成。體現了差異發展教學。
七、教學反思
循環結構這部分內容在算法中起著承上啟下的作用。本節施教過程中，基本完成設計構思，教學效果良好，但仍發現一些不足之處：
1、學生對循環終止條件的確定還存在一定困難，尤其循環體中“”、“”的順序對終止條件的影響。
2、教學過程中對循環體“”、“”中滲透的函數思想（數學本質）體現不夠。
對算法教學的思考：教材將“算法與程序框圖”和“基本算法語句”分開處理。是否將這兩部分內容結合起來處理，在講基本結構的時候，通過基本算法語句在計算機上演示計算結果，是否會更生動，效果會更好。強調基本結構，適當降低程序框圖和算法語句的難度（學生反映其中的一些例題結構太復雜，理解比較吃力）。
算法作為數學與計算機技術的橋梁，體現了數學研究的一個新的方向，其作用是勿庸質疑的，但作為高中數學課程中的新內容，如何將其更完美地展現給學生，還需大家共同努力！
龍巖第一中學章楊
點評
本節是概念課，是算法初步這一章節的重點與難點。概念的建構應該是多元的，但無論采用何種方式建構新的知識，都要關注課堂上一些顯現因素和課堂教學的內在因素，以教材為“生長點”，在師生、生生互動中，不斷創造出新的教學資源，使師生的思維和情感在和諧的“共振”中得到升華，讓學生對學習保持良好、積極的情感體驗，提升求知欲、探索欲。本設計以循環結構的典型模型“寫出求的值的一個算法”作為引入，并以它為核心進行剖析，表達概念的含義，從中抽象出循環結構的概念。設計中能夠緊緊圍繞如何確定循環變量和初始值及如何確定循環終止條件，通過變式訓練、正反例判斷，抓住重點，突破難點。
循環結構是三種結構中的一種結構，教材中只安排了一個例題“設計一個計算的值的一個算法，并畫出程序框圖”。設計中能夠充分發揮例題的功能，通過例題講清概念，通過例題的引伸，讓學生掌握本節知識。
當型與直到型的兩種循環結構是本節課的重要知識點，教學中要講清兩種結構的異同點。設計中已經注意到了這一點，但重視的程度還略顯不夠。
12、任意角的三角函數（1）
一、教學內容分析：
高一年《普通高中課程標準教科書·數學（必修4）》（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數第一課時。
本節課是三角函數這一章里最重要的一節課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義。在《課程標準》中：三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。
在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有變化規律的問題中的作用。
二、學生學習情況分析
我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發生發展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進行《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的教學設計就很值得思考探索。如何讓學生把對初中銳角三角函數的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數的定義中？
《普通高中數學課程標準(實驗)解讀》中在三角函數的教學中，教師應該關注以下兩點：
第一、根據學生的生活經驗，創設豐富的情境，例如單調彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現象的廣泛存在，認識周期現象的變化規律，體會三角函數是刻畫周期現象的重要模型以及三角函數模型的意義。
第二、注重三角函數模型的運用即運用三角函數模型刻畫和描述周期變化的現象（周期振蕩現象），解決一些實際問題，這也是《課程標準》在三角函內容處理上的一個突出特點。
根據《課程標準》的指導思想，任意角的三角函數的教學應該幫助學生解決好兩個問題：
其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數的模型；
其二：借助單位圓理解任意角三角函數的定義并認識其定義域、函數值的符號。
三、設計理念：
本節課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖像，讓學生感受到數學來源于生活，數學應用于生活，激發同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數學是過程的思想”，改變課程實施過程于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。
四、教學目標：
1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義；
2.從任意角的三角函數的定義認識其定義域、函數值的符號；
3.能初步應用定義分析和解決與三角函數值有關的一些簡單問題。
五、教學重點和難點：
1.教學重點：任意角三角函數的定義.?
2.教學難點：正弦、余弦、正切函數的定義域.
具體設計如下：
六、教學過程
第一部分——情景引入
問題1:如圖是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現在你坐在座艙中，從初始位置OA出發（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度為多少？過了45秒呢？過了秒呢？
【設計意圖】：高中學生已經具有豐富的生活經驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發生發展的理解。這個數學模型很好融合初中對三角函數的定交，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數的定義向任意角三角函數過渡，揭示函數的本質。
第二部分——復習回顧銳角三角函數
讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”
【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動30秒后到達P點位置，由題意知，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝，所以本問題轉變成求PH再次轉變為求PM。
要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即銳角的三角函數。
問題2：銳角的正弦函數如何定義？
【學生自主探究】：學生很容易得到
所以學生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度為多少？”
【教師總結】：在銳角的范圍中，
第三部分——引入新課
問題3：請問的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度為多少？能不能猜想？
【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數角函數。
問題4：如圖建立直角坐標系，設點，能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角的正弦函數的定義嗎？能否也定義其它函數（余弦、正切）？
【學生自主探究】：
，
問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？
【分析】：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質證明。
【設計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系。
通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。
問題6：大家根據第一象限角的正弦函數的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？
【學生自主探究】：學生通過上面已知知識得到
學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度？
通過摩天輪知道：
由此得到：
【設計意圖】：通過這個，讓學生檢驗在第二象限角是否正確？
問題7：在第三象限角或第四象限能成立嗎？
【設計意圖】：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發現正、負符號的偏差。
（可以讓學生取，從而得到＝，發現這與不相符，實際上是）
【教師總結】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內如何計算自已此時離地面的高度，用數學模型來表示，當摩天輪轉動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應該用點P的橫坐標來代替或，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數任意角的定義。
第三部分——給出任意角三角函數的定義
如圖3,已知點為角終邊上的點，點到頂點的距離為R，則
（）
（）
（）
【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離。
問題8：當摩天輪的半徑R＝1時，三角函數的定義會發生怎樣的變化。
【學生自主探究】：，，。
教師引導學生進行對比，學生通過對比發現取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化。
教師進一步給出單位圓的定義
給出下列表格，讓學生自己補充完整。
三角函數
定義一：
定義二：
定義域
及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握。
第三部分——例題講解
例1.（課本P14例2）已知角終邊經過點，求角的正弦、余弦和正切值。
【分析】：讓學生現學現賣，得用上面的定義二就可以得到答案。
例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正切值。
【學生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發現本題的難點。
【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關鍵是對本節課的三角函數定義的要點有沒有領會清楚（任意角三角函數的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P，如圖4可以知道，又點P在第四象限，得到，這樣就可以很容易得到本題答案。
不妨讓學生取，能否也得到點P的坐標，得到的三角函數值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數的定義。
第四部分——鞏固練習
練習1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。
練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉，三角函數的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數在各個象限內的三角函數值的符號?獨立完成課本P15的“探究”。
【設計意圖】：練習1、練習2的設計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數的本質特征，引導學生從定義出發利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數的有關問題的思想方法。并在特殊情形中體會數形結合的思想方法。
第五部分——小結與作業
學生自我總結
作業：P23習題1.2A組 1,2,3
七、教學反思
上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：
教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數的理解上。背景創設是學生熟悉的摩天輪，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發展規律——具體到抽象，現象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。
情景設計的數學模型很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，同時能夠揭示函數的本質。
通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數學與自然和社會的聯系、新舊知識的內在聯系，在體驗中領悟數學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。這和課程標準的理念是一致的。
《標準》把發展學生的數學應用意識和創新意識作為其目標之一, 在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創設應用實踐的空間, 促進學生在學習和實踐過程中形成和發展數學應用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數學地提出、分析、解決問題的能力, 發展學生的數學應用意識和創新意識,使其上升為一種數學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數學模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數學的角度運用學過的數學思想、數學思維、數學方法去觀察生活、分析自然現象、解決實際問題的策略, 使學生認識到數學原來就來自身邊的現實世界, 是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進行數學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數學的理解和應用數學的信心。
南安僑光中學 蘇飛文
點評
本節課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數的定義，以問題形式鞏固深化任意角三角函數值的計算，結合平位圖直觀作用，使學生經歷了由淺入深，由易到難，清楚展現了任意角三角函數的生成過程，加深了對任意角三角函數的認識。
新課程教材強調了學生的探究能力的培養，但不意味著每個知識點都需要人為創設情景加以探究，現實的教學由于受教學時數限制，總是希望課堂教學效率高些，任意角的三角函數的定義是否一定要創設情景讓學生探究？只要讓學生理解有必要引入任意角三角函數概念，然后直接下定義，從課堂教學效率而言，可能會更好些。
13、任意角的三角函數（2）
一、教學內容分析
本節課的教學內容是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（4）》（人教A版）。三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用.
直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數定義，緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數線、定義域、符號判斷、同角三角函數關系、多組誘導公式、圖象和性質。三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節教材的重點就是定義本身.
二、學生學習情況分析
在初中學生學習過銳角三角函數。因此本課的內容對于學生來說，有比較厚實的基礎，新課的引入會比較容易和順暢。學生要面對的新的學習問題是，角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發生是可能的，自然的。
三、設計思想
教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.
根據本節課內容、高一學生認知特點，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.
四、教學目標
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；
2、理解任意角的三角函數不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數.
3、通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數值的求法,最終得到任意角三角函數的定義.根據角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號.借助有向線段進一步認識三角函數.
4、通過任意三角函數的定義，認識銳角三角函數是任意三角函數的一種特例，加深特殊與一般關系的理解。
5、通過三角函數的幾何表示，使學生進一步加深對數形結合思想的理解，拓展思維空間。通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，培養合情猜測的能力，從中感悟數學概念的嚴謹性與科學性。
五、教學重點和難點
重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）.
難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；
六、教學過程設計
教學過程
一、復習引入、回想再認
（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數. 請回想：這三個三角函數分別是怎樣規定的？
學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調：

設計意圖：
學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）. 溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少.
引伸鋪墊、創設情景
（情景2）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！
留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發引導.
能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數.
設計意圖：
從學生現有知識水平和認知能力出發，創設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創造”征程.
教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！
師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：
把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M，構造一個RtΔOMP，則∠ MOP=α（銳角），設P（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP∣=r.
根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數比值：
設計意圖：
此處做法簡單，思想重要. 為了順利實現推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形. 由于前一節已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數. 初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數定義. 這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數概念的關鍵之一，也是數學發現的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎.
（情景3）思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？
顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數：
; ; .
思考：上述銳角的三角函數值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節課就研究這個問題――任意角的三角函數.
先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導學生觀察圖3，聯系相似三角形知識，
探索發現：對于銳角α的每一個確定值，三個比值都是
確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.
三、探究新知
1.探究:結合上述銳角的三角函數值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數值呢?
顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.
2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義?
如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:
(1)叫做的正弦(sine),記做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；
（3）叫做的正切(tangent),記做,即.
注意:當α是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數值.
設計意圖：
初中學生對函數理解較膚淺，這里在學生思維的最近發展區進一步研究初中學過的銳角三角函數，在思維上更上了一個層次，扣準函數概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數知識演繹到三角函數知識的主要依據，是準確理解三角函數概念的關鍵，也是在認知上把三角函數知識納入函數知識結構的關鍵. 這樣做能夠使學生有效地增強函數觀念.

探索定義域
（情景4）1、函數概念的三要素是什么？
函數三要素：對應法則、定義域、值域.
正弦函數sinα的對應法則是什么？
正弦函數sinα的對應法則，實質上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即α→ y/r= sinα.
2、布置任務情景：什么是三角函數的定義域？請求出三個三角函數的定義域，填寫下表：
三角函數
sinα
cosα
tanα
定義域
引導學生自主探索：
如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.
關于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數集R.
對于tanα=y/x，α= kπ+π/2 時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈R，且α≠kπ+π/2 }. … … …
教師指出: sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟。
設計意圖：
定義域是函數三要素之一，研究函數必須明確定義域. 指導學生根據定義自主探索確定三角函數定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握.
五、符號判斷、形象識記
（情景5）能判斷三角函數值的正、負嗎？試試看！
引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r＞0,三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：
sinα= y/r：上正下負橫為0 cosα=x/r：左負右正縱為0
tanα=y/x：交叉正負
設計意圖：
判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求. 要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵.
練習鞏固、理解記憶
自學 例1：求的正弦、余弦和正切值。
角α的終邊經過點P（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.
課堂練習：
p17題1、2、3
處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義.
強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值.
設計意圖：
及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節課的課堂教學始終.
回顧小結、建構網絡
要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：
1．你是怎樣把銳角三角函數定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，---，在終邊上任意取定一點P，---）
2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？（根據定義，------）
3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數值的符號？（根據定義，想象坐標位置， -----）
設計意圖：
遺忘的規律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策. 此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優化知識結構，培養認知能力.
八、布置課外作業
1．書面作業：習題1.2第1、2題.
2．認真閱讀p20“閱讀與思考：三角學與天文學”，了解三角學在天文學中的重要作用。
七、教學反思
新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程，這節《任意角三角函數》的教案，主要圍繞這一點來設計。
到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢？讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的？因為一個概念是嚴謹的，科學的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數的定義有所沖突。在這個立－破的過程中，讓學生去體驗一個新的數學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數概念的理解。
再次，讓學生充分體會在任意角三角函數定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的。培養數形結合的思想。
上杭縣明強中學 范福太
點評
“任意角的三角函數的定義”這一節，是三角函數這一章的重要概念。本課從概念的生成發展及建構過程入手，通過幾個積極主動的數學活動進行有目的地概念建構和思維訓練，以嚴謹的、科學、理性的思考把“培養學生分析解決問題的能力”貫穿在課堂教學始終。本設計由復習直角三角形中的銳角三角函數開始，到以象限角為載體的銳角三角函數，再到象限角為載體的任意角的三角函數，從中展開問題教學，引導學生從已知到未知、從易到難、由淺入深地進行思維，探究得任意角的三角函數的生成過程。
課程安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結合，使得學生很好地理解了任意角的三角函數的定義。學生通過教師設計的變式練習，鞏固和加深了對三角函數定義的理解。同時此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優化知識結構，培養認知能力.這種設計，有效地展示了知識的發生與發展過程，加深了對函數一般概念的理解，體現了學生是學習主體的理念。
不足之處；各教學環節的階段性目標、重、難點內容的突出、入微的分析、突破難點的重要環節的思考分析不夠。
14、函數的圖象
一、教學內容分析
本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書》（人教A版）必修4 《§1.5函數的圖象》。它是在前面學習了正弦函數和余弦函數的圖象和性質的基礎上對正弦函數圖象的深化和拓展，由此進一步理解與的圖象間的變換關系，通過學習的圖象變換的學習有助于學生進一步理解正弦函數的圖象和性質，加深學生對其他函數圖象變換的理解和認識，加深數形結合在數學學習中的應用的認識，同時也為相關學科的學習打下扎實的基礎。
同時本節的課標要求是結合具體實例，了解的實際意義，能借助計算機畫出函數的圖象，并觀察參數對函數圖象變化的影響，同時結合具體函數圖象的變化，使學生領會由簡單到復雜，特殊到一般的化歸思想。
本節知識是學習函數圖象變換綜合應用的基礎，在教材地位上顯得十分重要。因此這節課的內容是本章的重點、難點之一。
二、學生學習情況分析
學生在已經學習了作正弦曲線的圖象和五點畫簡圖法,以及函數的性質和函數的周期等性質的求法，并且有了一定的讀圖能力，能根據圖象抽象概括出一些簡單的性質。但對于給出的兩個同類函數的變換關系要多次的變換讓他們暈頭轉向，例如必修4第63頁的幾個函數間的關系，他們的判斷方向顛倒，長度混亂。為了幫助學生很好的理解其中的內在聯系，我在這塊內容中加進了我的探索，我發現學生對初一學習代數式的意義認識比較深刻，我就把代數式的另一面：幾何形式展現出來，以形代數，以數現形。使的圖象變換的更加直觀，容易理解，函數的形式可以多種多樣，可以先伸縮再平移，也可以先平移再伸縮，任意的變換，暢通無阻。
三、設計理念
根據“誘思探究教學”中提出的教學模式，設計的教學過程，遵循“探索—研究—運用”亦即“觀察—思維—遷移”的三個層次要素，側重學生的“思”“探”“究”的自主學習，由舊知識類比得新知識，自主探究圖象與圖象之間的變換關系，讓學生動腦思，動手探，教師的“誘”要在點上，在精不用多。整個教學過程始終貫穿“體驗為主線，思維為主攻”，學生的學習目的要達到“探索找核心，研究獲本質”。
四、教學目標
本節課將借助計算機的Flash軟件輔助功能，探究參數對函數的圖象變化的影響，領會由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想。在教學中讓學生會用“五點法”畫出函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖，并結合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義。使學生掌握從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達到從感情認識到理性認識的飛躍。通過對曲線的伸縮、平移等變換，體會三角形函數曲線的平滑，流暢美。
五、教學重點和難點
教學重點：考察參數對函數圖象變化的影響，理解函數圖象到的圖象變化過程。
教學難點：對的圖象的影響規律的概括。
六、教學過程設計
教學
環節

教 學 程 序

設 計 意 圖

創
設
情
景
表
明
意
圖
演示課件《彈簧振子位移——時間的圖象》通過聯想類比，去發現它與前面學過的正弦曲線、余弦曲線的聯系，去揭示該函數圖象與我們即將要學的函數 ，（A>0, ω>0）的圖象之間聯系.
從學生已熟悉的彈簧振子的
位移——時間的圖象去明確研究
函數，（）的圖象的目的，使新課
引入顯得自然、易于接受.
讓學生明確理論是從實踐中
來，又回到實踐中去。使學生
學習研究目的性更加明確.
舉
例
分
析
演
示
歸
納
引
導
探
索
觀
察
規
律

利用五點法在同一坐標系中作出與的簡圖.并指出它們的圖象與的關系.
利用五點法在同一坐標系中作出與的簡圖.并指出它們的圖象與的關系.
利用五點法在同一坐標系中作出與的簡圖并指出它們的圖象與
作出函數的圖象，并指出它的圖象與的關系.
例題的完成過程是指導學生利用五點法作圖并引導學生如何選取五點.并利用課件演示變化過程，通過觀察、分析從而揭示規律.
①說明五點法作圖如何取到關鍵的
五點的坐標，并結合正弦曲線的特點指出如何成圖.
②從例1、例2、例3,通過演示圖象的伸縮、左、右、上、下平移，引導學生觀察、分析，從特殊到一般，從具體到抽象，去總結出、、、
與的圖象之間的聯系.
③在前四個例子的基礎上作出例4的圖象，并演示出其變化過程，引導學生觀察、分析圖象，歸納出不同的伸縮、平移變化次序及變化的量之間的聯系，從而總結出函數的圖象與的圖象的關系及不同的變換方法.

歸
納
小
結
總結出函數，（）的圖象與的圖象的關系.
指明
（）
中相應的名稱及由引起的變化的名稱.
讓學生認真總結，在探索與交流中去體會不同的變化順序對變化的影響.
引導學生對所學的知識、數學思想方法進行小結.
引導學生對學習過程進行反思，為今后的學習中進行有效調控打下良好的基礎.
布置
作業
鞏固
提高
課本：
題組1：課本P65 2題；3題.
題組2：作y＝2sin（＋）、y＝sin(2x－)的圖象，并說明與y＝sinx圖象關系.
布置作業有彈性，避免一刀切.
使學有余力的學生進一步訓練逆向思維，使知識掌握更加深刻.
（一）創設情境，揭示課題
首先，本人通過Flash軟件的動畫功能很直觀反映物理中的簡諧振動（彈簧振子的擺動） 通過以上設計能夠使學生通過Flash的動畫功能，形象、直觀的把彈簧振子的擺動演示給學生，這樣的設計意圖能激發學生原有的知識和經驗，為其運用作好準備；設置懸念，引出課題。同時通過這樣創設問題情景，使學生能夠感受大眾數學的意義，使學生明白數學其實就發生在我們的身邊，使學生在學習過程中感受數學的和諧美，激發學生學習數學的興趣，提高學生學習數學的積極性，更好地促進學生的發展，體現了新課標的要求。
（二）探究新知，突破難點
其次在講解新課前，先提出數學問題，然后讓學生在用Flash進行數學實驗時能抓住本課要點,明確本節課的重要內容，帶著問題集中注意力探索問題，激發學生的求知欲望。設計如下數學問題：
1、如何由函數的圖象經過變換得到函數的圖象？
2、函數的圖象與字母的關系是怎樣的？
3、如何由函數的圖象經過變換得到函數的圖象？
這樣設計一系列問題，層層解剖，層層推進，引導學生研究問題要從具體的函數到抽象的一般函數的科學態度和方法。提出問題后，設法引導學生動手探究函數的圖象經過怎樣的變換得到函數，那么Flash課件是較好的數學教學軟件工具，通過Flash的動態演示功能可以很形象直觀的觀察到三角函數的圖象的變化。函數的圖象一節內容已經上了一課時,第二課時主要的問題是用五點法畫函數的圖象,并由此總結出由函數的圖象到函數的圖象的變化規律,這樣就必然涉及到大量的圖象,在以往的教學中對這個問題的處理總是不能達到很好的效果,于是采自制的Flash課件，
采用計算機輔助教學就成為必然的選擇，本人認為,計算機輔助教學必須充分體現“以學生發展為本”。以學生為主體,讓學生積極參與,自行探索,獲得親身體驗,對數學的概念和內涵有更為深入的理解,從而達到可持續發展的要求。所以運用Flash的動畫功能將函數的圖象經過怎樣的變換得到函數的圖象，很直觀形象的演示出來，并且課堂上學生通過Flash功能可以動手自行探索,獲得親身體驗,對數學的概念和內涵有更為深入的理解,從而達到可持續發展的要求。以下是學生用Flash探索圖象得到函數圖象的變化過程：
1. 探究對函數的影響
例1畫出函數 ； 的圖象（簡圖）
探究與歸納：與的圖象作比較，結論：
1．， (0且)的圖象可以看作把正數曲線上的所有點的縱坐標伸長()或縮短()到原來的倍得到的
2．它的值域[-,] 最大值是, 最小值是-
3．若<0 可先作的圖象 ，再以軸為對稱軸翻折
稱為振幅，這一變換稱為振幅變換
2.探究對函數的影響：
例2 畫出函數 ； 的圖象（簡圖）
探究與歸納：與的圖象作比較 ：
1．函數, (且)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短()或伸長()到原來的倍（縱坐標不變）
2．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖
決定了函數的周期，這一變換稱為周期變換
3.探究對函數的影響：
畫出以下兩個函數的圖象：
， ，的簡圖
探究與歸納：
一般地，函數， (其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當＞0時)或向右(當＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到 (用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)
與的圖象只是在平面直角坐標系中的相對位置不一樣，這一變換稱為相位變換
對以上的圖象的六種變化先讓學生猜想，然后讓學生通過Flash的軟件親自動手探索圖象的變化過程,獲得親身體驗，驗證三角函數圖象變化的規律，使學生獲得成功的喜悅感，培養學生學習、探索數學問題的興趣，增強學生探索幾何問題的信心，培養學生的創新和勇于探究問題的能力。以下是我用Flash設計好動畫的圖象，讓學生按照自己的思路，利用Flash的動畫功能進行三角函數變換,觀察三角函數的圖象，將會得到怎樣的結果.通過電腦的演示,讓學生在錯誤的結果與正確的結果之間進行比較，轉變了學生的思維.在此基礎上，最后給出問題：
4、如何由變換得到
引導學生自行畫出草圖，老師并在此基礎上用課件演示整個變化過程
兩種方法殊途同歸
⑴相位變換周期變換振幅變換
⑵周期變換 相位變換 振幅變換
鞏固練習
1、，則原來的函數表達式為( )
A) B
C D－
答案：A
2、如何變換得
3、 如何變換得. 詳細的過程！
讓學生觀察，通過分組演示，觀察的變化是如何影響三角函數圖象的，然后由學生概括出函數的圖象變換到函數的圖象的變化規律，并且掌握函數的圖象與字母的關系是怎樣的，借助計算機Flash 軟件的動態播放功能,在課堂教學中,很容易地得到豐富的三角函數圖象.這樣,學生就很容易通過自己的參與、探索與歸納,深刻理解這三個系數對三角函數圖象的影響，大大地增加了教學容量,活躍了課堂氣氛,提高了教學效率,為進一步研究其他函數圖象的性質,打下了堅實的基礎,從而培養學生掌握從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍；又從一般到特殊，從抽象到具體的辨證思維方法；運用Flash 軟件的動畫功能提供學生思考問題和探索問題的空間。特殊到一般的學習方法比較符合學生的認知規律，同時也培養了學生抽象概括能力。這“形”中的直觀和“數”中的嚴謹，讓學生在“一驚一喜”中達到一悟皆通的效果。
我們的教學不能總是：先學原理，再舉例總結運算步驟，也不一定是“講清——總結——練習”的程序。雖然提出一定的運算程式，便于學生模仿操作，但過分強調程序，就會造成學生思維的呆板化。長期這樣學生就產生了一種很強的依賴性。可以是“情景——誘導——猜想——探索——總結”教學過程模式，以學生發展為本，讓學生站到第一線來，打破傳統觀念。所以上課時我主要采用了“引導探究式教學法”，“引導探究式教學法”主要以問題為中心，通過不斷提出問題、探索問題、分析問題、解決問題，使學生掌握新知識，并形成一定的探究和創新等能力。在本節課中設計三個函數圖象變化的數學問題,通過
Flash軟件的動畫功能,帶著問題不斷的探索函數圖象的變化，激發學生對數學的求知欲望,探索多種函數圖象變化的方法,開闊學生的新視野, 使學生掌握本節課的重要知識，并形成一定的探究數學問題的創新能力.而本節課中主要的教學主線是：“積極前進，循環上升；淡化形式，注重實質；開門見山，適當集中；先做后說，師生共做”.上課所在的班學生的成績普遍較好,學生在課堂上表現出了很高的參與的熱情,學生在回答教師提問時用不著教師刻意指名回答，而是學生隨意的主動地站起來回答。本課知識相對集中復雜，由于課時的壓縮，節余的時間用來進行鞏固深化，函數圖象變化較復雜，那么通過設計問題啟發學生能夠用Flash從千變萬化的變式中尋找到三角函數變化規律本質，從而使學生能夠很好掌握函數從圖象到的圖象六種變化過程的方法。 學生的主體地位得到了較好的體現，既加深了對知識的透徹理解，又培養了學生研究問題的科學方法，這是的引導探究式教學法優勢所在。利用幾何畫板動態測量、跟蹤軌跡和快速作圖功能進行數學實驗,使學生體會到做數學的樂趣。“以學生發展為本”是我們進行課件設計時的重要指導思想.也是課改的重要指導思想。
七、教學反思
這節課用簡諧振動中的位移與時間的圖象引入新課,創設情境，激發學生學習新知的情意；操作上，每次不是讓電腦代替學生去作圖，而是讓學生先動手通過計算機實驗作圖，樹立起數形結合的思想，然后利用電腦動態演示圖象的變換過程，學生直觀的看到各參數對函數圖象的影響，突破傳統教學上的難點；圖象變換的根本原因加深了學生對已有知識和經驗的認識和理解。通過實踐練習，整個教學過程中，讓學生動手探究，教師點撥，使學生的學習達到“探索得資料，研究獲本質”。同時學生認識到數學來源于生活并應用于生活，起到了良好的效果。體現了新課標的理念：每個知識都應該由學生通過活動、探究、體驗來獲得。但是這樣一來，使得課堂上時間明顯不夠，訓練量不夠，學生的知識的鞏固程度令人放心不下，這也是實施新課程中我們應該著力去研究的問題。另外，從新課程的理念：改變學生的學習方式這一角度來看，運用Flash的動畫功能提供學生思考問題和探索問題的空間。觀察函數中的參數的變化帶來的圖象的變化，從而根本上改變學生的學習方式，使計算機的信息技術能夠很好的運用于新課程改革，使學生真正成為學習課程的主體。
惠安一中 孫經
點評
函數的圖象這一單元的重點是用參數思想討論函數的圖象變換過程，難點是圖象變換與函數解析式變換的內在聯系的認識。孫老師在設計中從一個物理問題《彈簧振子位移——時間的圖象》引入，根據從具體到抽象的原則，通過參數賦值，從具體函數的討論開始，把從函數的圖象到函數的圖象的變換過程，分解為先分別考察參數對函數圖象的影響，然后整合為對的整體考察。鑒于作函數的圖象有一定的復雜性，孫老師在設計中自已制作了Flash課件，讓計算機動態地演示參數對函數圖象的影響，這對學生認識函數圖象特點非常有好處。當然培養學生的作圖能力，特別是用五點法作函數的圖象，也是這一單元不可缺少的一個環節，孫老師在教學設計中也注意到了這一點。
從函數的圖象出發，經過圖象變換得到函數圖象，其變換途徑不唯一，教學中可以提出不同變換途徑的問題，讓學生自己去研究。
15、向量的加法及其幾何意義
一、教材分析
《普高中課程標準數學教科書數學（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的線性運算的第一節“向量的加法及其幾何意義”（89--94頁）。《向量》這一章是前一輪教材中新增的內容。高考考綱有明確說明,同時新課標也提出向量是數學的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在兩個方面：①向量的基本概念和基本運算；②向量作為工具的應用。另外，在今后學習復數的三角形式與向量形式時，還要用到向量的有關知識及思想方法，向量也是將來學習高等數學以及力學、電學等學科的重要工具。 教材的第2．1節通過物理實例引入了向量的概念，介紹了向量的模、相等的向量、負向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本節課是繼向量基本概念的第一節課。向量的加法是向量的第一運算，是最基本、最重要的運算，是學習向量其他運算的基礎。它在本單元的教學中起著承前啟后的作用，同時它在實際生活、生產中有廣泛的應用。正如第二章的引言中所說：如果沒有運算，向量只是一個“路標”，因為有了運算，向量的力量無限。
二、學生學習情況分析
學生在高一學習物理中的位移和力等知識時，已初步了解了矢量的合成，而物理學中的矢量相當于數學中的向量，這為學生學習向量知識提供了實際背景。
三、設計理念
教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心，會學是目的。因此，在教學中要不斷指導學生學會學習。在教學過程中，從教材和學生的實際出發，按照學生認知活動的規律，精練、系統、生動地講授知識，發展學生的智能，陶冶學生的道德情操；要充分發揮學生在學習中的主體作用，運用各種教學手段,調動學生學習的主動性和積極性，啟發學生開展積極的思維活動，通過比較、分析、抽象、概括，得出結論；進一步理解、掌握和運用知識，從而使學生的智力、能力和其他心理品質得到發展。
四、教學目標
根據新課標的要求: 培養數學的應用意識是當今數學教育的主題，本節課的內容與實際問題聯系緊密，更應強化數學來源于實際又應用于實際的意識。及本節教材的特點和高一學生對矢量的認知特點，我把本節課的教學目的確定為：
1、 理解向量加法的意義，掌握向量加法的幾何表示法，理解向量加法的運算律。
2、理解和體驗實際問題抽象為數學概念的過程和思想，增強數學的應用意識。
3、培養類比、遷移、分類、歸納等能力。
4、進行辯證唯物主義思想教育，數學審美教育，提高學生學習數學的積極性。
五、教學重點與難點
1、教學重點：兩個向量的和的概念及其幾何意義。（兩個向量的和的概念是向量加法的基礎，而向量加法是向量運算的基礎，向量的線性運算的另一個特點是它有深刻的物理背景和幾何意義，因此在引入一種向量運算后，總是要考察一下它的幾何意義，正因為向量的幾何意義，使得向量在解決幾何問題時可以發揮很好的作用。）2、教學難點：向量加法的運算律。（設計讓學生先猜想后驗證來學習運算律，需要利用類比的思想進行猜測，還要在猜測的基礎上加以驗證，有一定難度。）
六、教學過程設計
1、問題引入（約5分鐘）
引例：有兩條拖輪牽引一艘駁船，它們的牽引力分別是＝3000牛，＝2000牛，牽繩之間的夾角θ＝60°。如果只用一條拖輪來牽引，而產生的效果跟原來的相同，試求出這條拖輪的牽引力下的大小和方向。
在物理中，我們已知道，兩個不在一條直線的共點力與的合力是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線所表示的力。這就是說，是與相加所得到的和。
[設計說明] 引導學生利用物理中合力的概念，來解決這個實際問題,以現有的知識為出發培養學生的知識類比、遷移能力。
[學情預設] 把實際問題抽象為數學概念是學生的認知難點。
2、概念形成（約5分鐘）
一般地，把以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線，叫做與兩個向量的和，記作＋。求兩個不平行向量的和可按平行四邊形法則進行。
問題1：如何求兩個平行向量的和向量？
問題2：任意一個向量與一個零向量的和是什么？
求兩個向量的和的運算叫做向量的加法。
[設計說明] 補充說明兩個向量和的概念，同時讓學生體驗分類的思想。
3、概念深化（約15分鐘）
練習 根據圖中所給向量畫出向量
（1）； （2）。
解法1：將兩個向量起點重合，應用平行四邊形法則畫出兩個向量的和向量。
解法2：將一個向量的起點與另一向量的終點重合，也可以畫出兩個向量的和向量。
[設計說明] 1、學生通過練習題（1）可加深對向量加法概念的理解。另外，可由此引出向量加法的三角形法則。2、通過對比的方式讓學生了解向量的加法既可以按照平行四邊形法則進行，也可以按照三角形法則進行。在向量加法運算中，通過向量的平移使兩個向量首尾相接，可使用三角形法則。
引申 求個向量的和向量。
[設計說明] 求個向量的和向量時，讓
學生進一步體會應用首尾相接的三角形法則的優越性。
　[學情預設] 學生對從特殊到一般的理解較抽象。　結論：求個向量的和向量可應用多邊形法則。
運算律的歸納
問題：向量的加法既然是一種運算，它應該具有哪些運算律？如何進行驗證呢？
[設計說明] 引導學生類比實數加法的運算律，得出向量加法的運算律，培養學生的類比、遷移歸納能力。
4、應用舉例（約10分鐘）
（1）已知平面內有三個非零向量、、， 它們的模都相等，并且兩兩的夾角都是120°，求證：＋＋＝；（2）在平面內能否構造三個非零向量、、，使＋＋＝；（3）能否說出（2）的實際模型？
[設計說明] 題（1）是基本的例題；題（2）是題（1）的拓展；題（3）能體現數學來源于實際又應用于實際的思想。
5、研究討論（約5分鐘） 已知、是非零向量，則|＋|與||＋||有什么關系？
[設計說明] 設置這一研討題可以將本節課與上節課的知識聯系起來，并進一步滲透分類的思想。
6、小結歸納：（約4分鐘）
讓學生自主回顧和歸納本節的內容。
[設計說明]1、向量加法的意義；2、理解實際問題數學化的思想，增強數學的應用意識；3、理解分類討論等數學思想，培養類比、遷移等能力
[學情預設] 要求學生不僅對知識體系進行歸納，還要對本節課中所體現的數學思想方法及數學能力進行總結有一定的難度。
7、作業布置：（約1分鐘） 練習冊P.21的6、10、19。
[設計說明]1、鞏固所學的內容。2、對所學內容的檢測、反饋與及時補充不足。
七．教學反思
在本節課中我采用“探究----討論”教學法。“探究----研討”教學法是美國哈佛大學教育專家蘭本達所倡導的。“探究----研討”教學法把教學過程分為兩個步驟：第一步驟是“探究”。我所設計的問題引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，將有關材料有層次地提供給學生，讓學生獨立地支配它，進而探索，研究它。學生通過對這些“有結構”的材料進行探究，獲得對向量加法的感性認識和形成各自對向量加法概念的了解。 第二步驟是“研討”，即在探究的基礎上，組織學生研討自己在探究中的發現，通過互相交流、啟發、補充、爭論，使學生對向量加法的認識從感性的認識上升到理性認識，獲得一定水平層次的科學概念。這節課主要是教給學生“動手做，動腦想；多訓練，勤鉆研。”的研討式學習方法。這樣做，增加了學生主動參與的機會，增強了參與意識，教給學生獲取知識的途徑；思考問題的方法。使學生真正成為教學的主體。也只有這樣做，才能使學生“學”有新“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”。學生才會逐步感到數學美，會產生一種成功感，從而提高學生學習數學的興趣；也只有這樣做，才能適應素質教育下培養“創新型”人才的需要。
永安市第一中學 黃衛華
點評：
本節課采用“探究——討論”的模式，強調概念形成及概念的遞進，學生通過探究，獲得對向量加法的感性認識和對向量加法概念的了解。在探究的基礎上，通過互相交流、啟發、補充、爭論，使學生對向量加法的認識從感性的認識上升到理性認識，獲得一定水平層次的科學概念。增加了學生主動參與的機會，增強了參與意識，使學生成為教學的主體。
但是，教案較粗糙，如圖表的編號，數學符號、公式的輸入不規范。設置的目標不夠具體。
16、平面向量數量積的物理背景及其含義（1）

一 .教學內容分析：
本課內容選自普通高中課程標準實驗教科書數學必修4（人教A版）§2.4 平面向量的數量積的第一課時,本課主要內容是向量的數量積的定義及運算律,本節課讓學生了解從特殊到一般再由一般到特殊的這種認識規律和體會概念法則的學習過程.
二.學生學習情況分析：
學生在學習本節內容之前，已熟知了實數的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法。 在功的計算公式和研究向量運算的一般方法的基礎上,學生基本上能類比得到數量積的含義和運算律,對于運算律不一定給全或給對,對運算律的證明可能會存在一定的困難,教學中老師要注意引導學生分析判斷.
三.設計思想：
遵循新課標以人為本的理念，以啟發式教學思想和建構主義理論為指導，采用探究式教學，以多媒體手段為平臺，利用問題讓學生自主地參與探究，在探究過程中注重學生學習過程的體驗和數學能力的發展，
引導學生積極將知識融入自己的知識體系。
四.教學目標：
1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義；
2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系，理解掌握數量積的性質和運算律，并能運用性質和運算律進行相關的判斷和運算；
3、體會類比的數學思想和方法，進一步培養學生抽象概括、推理論證的能力。
五.教學重點和難點:
重點是平面向量數量積的概念、用平面向量數量積表示向量的模及夾角；難點是平面向量數量積的定義及運算律的理解，平面向量數量積的應用。
六.教學過程設計：
活動一：創設問題情景，引出新課
1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？
答：向量的加法、減法及數乘運算。這些運算的結果是向量。
2、提出問題2：請同學們繼續回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？
答：物理模型→概念→性質→運算律→應用
3、新課引入：本節課我們仍然按照這種研究思路來研究向量的另外一種運算。導入課題：平面向量數量積的物理背景及其含義
［設計意圖］：1.明白新舊知識的聯系性。2.明確研究向量的數量積這種運算的途徑。
活動二：探究數量積的概念
1、給出有關材料并提出問題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。
（2）這個公式有什么特點？請完成下列填空：
①W（功）是 量，②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，④α是 。
（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?
答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積
（4）如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述？
答：兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。
2、明晰數量積的定義
數量積的定義：
已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數量︱︱·︱︱cosθ叫做與的數量積（或內積），記作：·，即：·= ︱︱·︱︱cosθ
（2）定義說明：
①記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “規定”：零向量與任何向量的數量積為零。
［設計意圖］：1.認識向量的數量積的實際背景。2.使學生在形式上認識數量積的定義。3.從數學和物理兩個角度創設問題情景，使學生明白為什么研究這種運算,從而產生強烈的求知欲望
3、提出問題4：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？
答：線性運算的結果是向量，而數量積的結果則是數量，這個數量的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角有關。
4、學生討論，并完成下表：
θ的范圍
0°≤θ<90°
θ=90°
90°<θ≤180°
·的符號
［設計意圖］：引導學生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的數量積的符號，進一步從細節上理解向量數量積的定義。
5、研究數量積的幾何意義
（1）給出向量投影的概念：
如圖，我們把││cosθ（││cosθ）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
記做：OB1=││cosθ
（2）提出問題5：數量積的幾何意義是什么？
答：數量積·等于的長度︱︱與在的方向上的投影︱︱cosθ的乘積。
［設計意圖］：這里將數量積的幾何意義提前，使學生從代數和幾何兩個方面對數量積的特征有了更加充分的認識
6、研究數量積的物理意義
（1）請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積 。
（2）嘗試練習：一物體質量是10千克，分別做以下運動：①、豎直下降10米；②、豎直向上提升10米；③、在水平面上位移為10米； ④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米；分別求重力做功的大小。?
［設計意圖］：通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數量積，鞏固對定義的理解；另一方面使學生理解數量積的物理意義，明白學科間的聯系，同時也為數量積的性質埋下伏筆。
活動三：探究數量積的運算性質
1、提出問題6：
（1）將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？
（2）比較︱·︱與︱︱︱︱的大小，你有什么結論？
2、請證明上述結論。
3、明晰：數量積的性質
［設計意圖］：
［設計意圖］：將嘗試練習的結論推廣得到數量積的運算性質，使學生感到親切自然，同時也培養了學生由特殊到一般的思維品質和類比創新的意識。
活動四：探究數量積的運算律
1、提出問題7：我們學過了實數乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？
答:①交換律：ab=ba ②結合律：(ab)c=a(bc)
③分配律：(a+b)c=ac+bc
猜想：·= · ② （·）= (·)
③（ + ）· =· + ·
2、分析猜想：
猜想①的正確性是顯而易見的。
關于猜想②的正確性，請同學們先討論：猜測②的左右兩邊的結果各是什么？它們一定相等嗎？
答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測②是不正確的。
［設計意圖］：要求學生通過對過去所學過的運算律的回顧類比得出數量積的運算律。通過討論糾錯來理解不同運算的運算律不盡相同，看到數學的法則與法則間的相互聯系與區別，體會法則，學習研究的重要性。
3、明晰：數量積的運算律：
4、學生活動：證明運算律2
在證明時，學生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：當λ<0時，向量與λ，與λ的方向的關系如何？此時，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？
5、師生活動：證明運算律（3）
［設計意圖］：學會利用定義證明運算律（1）(2)，運算律(3)的圖形構造有些困難，先讓學生討論，后根據學生的情況加以指導或共同完成。
活動五：應用與提高
1、學生獨立完成：已知︱︱=5,︱︱=4, 與的夾角θ=120°，求·。
［設計意圖］：通過計算鞏固對定義的理解。
2、師生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種實數運算？
3、學生獨立完成：對任意向量 ，b是否有以下結論：
（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
［設計意圖］：讓學生體會解題中運算律的作用，比較向量運算與數運算的異同。
4、師生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？并討論：通過本題，你有什么體會？
［設計意圖］：學會利用數量積來解決垂直問題，體會用數量積將幾何問題轉化為方程求解，體現向量的工具性。
5、反饋練習
（1）判斷下列各題正確與否：
①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0．
②、若≠0，·＝·，則＝．
已知△ABC中，=, =，當· <0或·＝0時，試判斷△ABC的形狀。
［設計意圖］：1.加強學生的練習。2.通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況有了進一步的了解和把握。
活動六：小結
1、本節課我們學習的主要內容是什么？
2、平面向量的數量積有哪些應用？
3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數學思想？
4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數量積？
［設計意圖］：通過學生討論總結，加強了學生概念法則的理解和掌握，體會整個內容的研究過程，明白了為什么要學這些內容，學了這些內容可以做什么，這對以后的學習有什么指導意義。
活動七：布置作業
1、課本P119習題2.4A組1、2、3。
2、拓展與提高：
已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直，-4與 7-2垂直，求與的夾角。（本題供學有余力的同學選做）
［設計意圖］：通過設計不同層次的作業既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高，從而達到激發興趣和“減負”的目的。
七.教學反思：本節課從總體上說是一節概念教學，從數學和物理兩個角度創設問題情景來引入數量積概念能激發學生的學習興趣，。通過安排學生討論影響數量積結果的因素并完成表格和將數量積的幾何意義提前有助于學生更好理解數量積的結果是數量而不是向量。數量積的性質和運算律是數量積概念的延伸，這兩方面的內容按照創設一定的情景，讓學生自己去探究、去發現結論,教師明晰后，再由學生或師生共同完成證明。這樣能更清楚地看到數學法則與法則間的聯系與區別,體會法則學習研究的重要性,例題和練習的選擇都是圍繞數量積的概念和運算律展開的,這能使學生更好在掌握概念法則.

泉州市泉港五中 林文財
點評：
本節課是概念數學課，教師設計了從物理和數學兩個角度創設情景，注重概念產生背景及概念深化的過程，使學生認識了數量積的數學模形。通過問題形式引導學生自主探究數量積的性質及運算律，培養了學生類比、從特殊到一般的歸納概括能力，通過練習使學生掌握了數量積的計算，最后教師通過知識技能、思維方法兩個方面加以總結，使學生深化對數量積的認識，形成了良好的認知結構。
數量積的性質在解題中有許多應用，同時也應是本節課的重、難點，如何突破，教師在教學設計中似乎“單薄”些。如重要性質應配備練習來加以鞏固。

17、平面向量數量積的物理背景及其含義（2）
一、教學內容分析
以物體受力做功為背景引入數量積的概念，使向量數量積運算與物理知識聯系起來；向量數量積與向量的長度及夾角的關系；進一步探究兩個向量的夾角對數量積符號的影響及有關的性質、幾何意義和運算律。
本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修4》（A版）第二章、第4節第1課時。它是平面向量的核心內容，向量的平行、垂直關系是向量間最基本、最重要的位置關系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數量特征，向量的數量積恰好是解決問題的一個重要工具。
本節的知識結構：
二、學生學習情況分析
本節以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數量積。但是，學生作為初學者不清楚向量數量積是數量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當然，以及對運算律的理解和平面向量的數量積的靈活應用。通過情景創設、探究和思考引導學生認知、理解并掌握相關的內容。利用向量數量積運算討論一些幾何元素的位置關系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量學生容易混淆。利用數量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系解決問題，是學生學習本節內容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深入淺出、符合學生的認知規律，也有利于明確本節課的教學任務，激發學生的學習興趣和求知欲望。
三、設計思想
《高中數學課程標準》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，轉變學生的學習方式，激發學生的學習積極性，讓學生樂于參與到探索性和創造性的學習活動中來，這是新課程數學教學的基本要求。《高中數學課程標準》還明確提出了提高學生的知識與技能、重視學生的學習過程與方法，培養學生的情感態度、價值觀的三維目標。為此，結合本節課的教學內容，教學中注重過程、方法，注重引導學生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態度與價值觀。
四、教學目標
通過師生互動、學生的自主探究，（1）理解平面向量數量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數量積的性質和運算律，會進行平面向量數量積的運算；（3）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個向量的垂直關系；（4）通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學生的類比思想；通過數量積的性質、運算律的靈活應用，發展學生從特殊到一般的能力，培養學生學習的主動性和合作交流的學習習慣。
五、教材重點和難點
重點是平面向量的數量積的概念和性質；用平面向量數量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數量積的運算律的探究及應用。
難點是平面向量的數量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數量積的靈活應用。
六、教學過程設計
[情景1]
問題 回憶物理中“功”的計算，它的大小與哪些量有關？
結合向量的學習你有什么想法？若一個物體在力的作用下產
生的位移為，那么力所做的功等于多少？
[設計意圖]
以物理問題為背景，初步認識向量的數量積，為引入向量的數量積的概念做鋪墊。
[師生互動]
生： （其中是和的夾角）。
師：功是一個矢量還是標量？它的大小由那些量來確定？
顯然功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。從中我們得到一個啟發：能否將功看成是兩個“向量相乘”的一種運算的結果呢？從而得出平面向量的“數量積”的概念。
[情景2]
1、定義向量數量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關系？運算結果是向量還是數量？
2、如何確定兩個非零向量的數量積的符號，什么情況下值為零？
[設計意圖]
使學生從感性到理性去認知數量積的定義。通過對概念的認識、分析和探究，使學生加深理解，并掌握相關的性質及幾何意義。同時加深對投影的認識。
[師生互動]
1、仿照物理問題建構“數學模型”。引入“向量數量積”的概念：已知兩個非零向量與，把數量叫做與的數量積（或內積），記作：，即（其中是與的夾角）。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。
2、規定：零向量與任何向量的數量積為。
3、（1）數量積運算結果的符號取決于與的夾角（）的大小；（2）兩個向量的數量積是一個數量，它與兩個向量的長度及其夾角有關；（3）符號不能寫成或的形式；（4）找向量的夾角時，應將兩向量的起點平移到同一個點上。
4、探究其性質：
（1）（與都是非零向量）；
設置情景：若，則向量與至少有一個是零向量？類比時，若或。而且此性質在解決有關線段垂直問題時具有很好的作用。
（2）當向量與共線同向時，；當向量與共線反向時，。特別地或（與二次根式性質：進行類比）。這是求向量長度的又一重要方法。
[情景3]
由學生自主學習來完成書本例題1。
[設計意圖]
通過計算鞏固對數量積定義的理解。進一步引導學生對和的大小關系進行一般的研究比較。
[師生互動]
從例1容易得出性質和數量積的幾何意義。
[情景4]
給學生分鐘時間，閱讀教材，并對前面所學的內容及研究方法作一個歸納小結。
[設計意圖]
培養學生的閱讀能力和及時進行歸納小結的學習習慣。把課堂還給學生，體現師生間的合作探究，不管是老師還是課件，都是為學生服務的，都在同步配合學生的學習和探索。
[師生互動]
學生通過自主閱讀、總結并發表自己的看法，老師可以有針對性進行學習方法點撥并指出對學習過程進行及時反思的重要性。
[情景5]
運算律和運算是緊密相聯的，類比實數運算中的運算律，探究平面向量數量積的運算律。
[設計意圖]
通過類比、探究使學生得出數量積的運算律，?

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