資源簡介

高中數學教學案例設計匯編
（下 部）
19、正弦定理（2）

一、教學內容分析
本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高二學生學習了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。
根據實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受“觀察——實驗——猜想——證明——應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。
二、學情分析
對普高高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。
三、設計思想：
本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發現和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和創造性思維的能力。
四、教學目標：
1．讓學生從已有的幾何知識出發, 通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創造性思維的能力。
3．通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。
4．培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。
五、教學重點與難點
教學重點：正弦定理的發現與證明；正弦定理的簡單應用。
教學難點：正弦定理的猜想提出過程。
教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。
六、教學過程：
（一）結合實例，激發動機
師生活動：
教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？
學生：思考提出測量角A，C
教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你 （圖1）
有辦法解決嗎？
學生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm，，
，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質可知AB約為
490m。
老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？
師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。
。 教師：引導，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？
學生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，教師板書。
解：過作于
在中，
，
在中，
教師：表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？
教師：引導學生再觀察剛才解題過程。
學生：發現，


教師：引導 ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發現什么？
學生：發現即然有，那么也有，。
教師：引導 ，，，我們習慣寫成對稱形式，，，因此我們可以發現，是否任意三角形都有這種邊角關系呢？
設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生思維，激發學生的求知欲，引導學生轉化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結論——猜想，培養學生從特殊到一般思想意識，培養學生創造性思維能力。
（二）數學實驗，驗證猜想
教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應的邊長a：b：c為1：1：1，對應角的正弦值分別為，，，引導學生考察，，的關系。（學生回答它們相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應的邊長a：b：c為1：1：，對應角的正弦值分別為，，1；（學生回答它們相等）
（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應的邊長a：b：c為1：：2，對應角的正弦值分別為，，1。（學生回答它們相等）（圖3）
（圖3）
教師：對于呢？
學生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,
則有，，又,
則
從而在直角三角形ABC中，
教師：那么任意三角形是否有呢？學生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學生閱讀實驗報告單，質疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算，附實驗報告單。）
學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數值，通過實驗數據計算，比較、、的近似值。
教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值仍然保持相等。
我們猜想：==
設計意圖：讓學生體驗數學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己進行實驗，體會到數學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。
（三）證明猜想，得出定理
師生活動：
教師：我們雖然經歷了數學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數學的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發？學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過程，根據學生回答情況進行敘述）
學生：思考得出
①在中，成立，如前面檢驗。
②在銳角三角形中，如圖5設，，
作：，垂足為
在中，
在中，
同理，在中，
③在鈍角三角形中，如圖6設為鈍角，，，
作交的延長線于
在中，

在中，


同銳角三角形證明可知

教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
還有其它證明方法嗎？
學生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意△ABC，由初中所學過的面積公式可以得出：，
而由圖中可以看出：，，
=
=
等式中均除以后可得，
即。
教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。

在剛才的證明過程中大家是否發現三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式
學生：
得到三角形面積公式
教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？
學生：在前面的檢驗中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉化為直角三角形。
證明：連續并延長交圓于
，
在中，
即
同理可證：，
教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學過，這與邊的長度和三角函數值有較為密切的聯系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？
學生：思考（聯系作高的思想）得出：
在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，

即


同理：

對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。
教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探索。
設計意圖：經歷證明猜想的過程，進一步引導啟發學生利用已有的數學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數學的學習過程。
（四）利用定理，解決引例
師生活動：
教師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學生：馬上得出
在中，

（五）了解解三角形概念
設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性
教師：一般地，把三角形的三個角、、和它們的對邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。
設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發學生不斷探索新知識的欲望。
（六）運用定理，解決例題
師生活動：
教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。
師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規范解題步驟。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流
學生：反饋練習（教科書第5頁的練習）
用實物投影儀展示學生中解題步驟規范的解答。
設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。
（七）嘗試小結：
教師：提示引導學生總結本節課的主要內容。
學生：思考交流，歸納總結。
師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現：
（1）正弦定理的內容（）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。
（3）分類討論的數學思想。
設計意圖：通過學生的總結，培養學生的歸納總結能力和語言表達能力。
（八）作業設計
作業：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。
思考題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現一解，兩解，無解的原因。
課外鏈接：課后通過查閱相關書籍，上網搜索，了解關于正弦定理的發展及應用（相關網址：www.fayz.com）
七、設計思路：
本節課，學生在不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在教師預設的思路中，學生積極主動參與一個個相關聯的探究活動過程，通過“觀察——實驗——歸納——猜想——證明”的數學思想方法發現并證明定理，讓學生經歷了知識形成的過程，感受到創新的快樂，激發學生學習數學的興趣。其次，以問題為導向設計教學情境，促使學生去思考問題，去發現問題，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。
結合實例，激發動機
數學源于現實，從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生學習的興趣，引導啟發學生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進行計算，方法二轉化解直角三角形。讓學在解決問題中發現新知識，提出猜想，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創新意識。
2、數學實驗，驗證猜想
通過特例檢驗，讓學生動手實驗，提高了學生實驗操作、分析思考和抽象概括的能，激發學生的好奇心和求知欲望，體會到數學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。
3、證明猜想，得出定理
引導啟發學生從角度進行證明定理，展示自己的知識，培養學生解決問題的能力，增強學習的興趣，愛好，在知識的形成、發展過程中展開思維，培養推理的意識。
附一：
實驗報告單
組長: 組員：
試驗目的
研究三角形中各邊和它對角的正弦值的比(，，)是否相等。
實驗器材
計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統一發）
實驗方法
畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。
實驗內容
三邊：a= b= c=
三角：A= B= C=
計算：= = =
（精確到小數點后兩位）
結論：
福安一中 陳楨仔 林旭
點評：
本節定理教學課，教師把重點放在定理的發現與證明上，符合新課標重視過程與方法的理念，克服了傳統教學只注重結論的傾向。首先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，在解決實際問題中，引導學生發現“三角形三邊與其對應角的正弦值的比相等”的規律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角形成立；接著證明了這個定理。在課堂上展示了定理的發現過程，使學生感受到創新的快樂，激發學生學習數學的興趣，同時讓學生體驗了“觀察—實驗—歸納—猜想—證明”的數學思想方法，經歷了知識形成的過程，符合新課標重視過程與方法的理念。其次，在解決引例中的測量問題時利用用初中相似三角形知識、正弦定理的不同證法（轉化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現了 “在已有知識體系的基礎上去建構新的知識體系”的理念，加強了知識間的聯系，培養了學生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類 、轉化的數學思想。但是，本節課的教學內容還是偏多，在時間分配上要有規劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條件更加明確直接，以免產生歧義，沖淡主體，浪費時間。
總之，本節課有效地采用了探究式教學，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發現和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察——實驗——猜想——證明——應用”等環節，教學過程流暢，在知識的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和創造性思維的能力。
20、正弦定理（3）
一、教學內容分析
“正弦定理”是《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修5）》（人教版）第一章第一節的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。
本節課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
二、學生學習情況分析
學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數學在實際中的應用，從而激發學生學習數學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。
三、設計思想
培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。
四、教學目標
1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。
2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數學發現和創造的歷程。
3、情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。
五、教學重點與難點
重點：正弦定理的發現和推導
難點：正弦定理的推導
六、教學過程設計
（一）設置情境
利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請你確定轉運方案。已知船在靜水中的速度，水流速度。
【設計意圖】培養學生的“數學起源于生活，運用于生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。
（二）提出問題
師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。
待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：
1、船應開往B處還是C處？
2、船從A開到B、C分別需要多少時間？
3、船從A到B、C的距離分別是多少？
4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？
5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？
【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現教師的主導作用。
師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？
大家經過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。
師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。
生1：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：
，
用計算器可求得
船從A開往C的情況如圖3，，，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個問題。
師：請大家思考，這兩個問題的數學實質是什么？
部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。
【設計意圖】將問題數學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養學生的數學意識。
師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？
生3：不知道。
師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？
生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。
師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？
【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發學生將問題進行轉化，培養學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。
生5：能，過點D作于點G（如圖4），
，
師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？
【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創造一個教與學的和諧環境，既激發學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。
（三）解決問題
1、正弦定理的引入
師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？
眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。
師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。
（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。
（2）展示學生研究的結果。
【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。
師：請說出你研究的結論？
生7：
師：你是怎樣想出來的？
生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊。
師：有沒有其它的研究結論？（根據實際情況，引導學生進行分析判斷結論正確與否，或留課后進一步深入研究。）
師：對一般三角形是否成立呢？
眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。
師：這是個好主意。那么對等邊三角形是否成立呢？
生9：成立。
師：對任意三角形是否成立，現在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數學實驗，……
【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。
2、正弦定理的探究
（1）實驗探究正弦定理
師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。
結論：對于任意三角形都成立。
【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。
師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是否一致。
生10：（通過計算）與生5的結果相同。
師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡單多了。
【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。
（2）點明課題：正弦定理
（3）正弦定理的理論探究
師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。
探究方案：
直角三角形——已驗證；
銳角三角形——課堂探究；
鈍角三角形——課后證明。
【設計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。
師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？
生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則，所以
，同理可得
師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發，構造等量關系從而達到證明的目的。注意： 表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！
【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，為后續兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。
師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？
學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：
證法二：如圖6，設AD、BE、CF分別是的三條高。則有
，
，
。
　
證法三：如圖7，設是外接圓的直徑，則，
同理可證：
【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式
及一并牽出，使知識的產生自然合理。
師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？
師：任意中，三個向量、、間有什么關系？
生12：
師：正弦定理體現的是三角形中邊角間的數量關系，由轉化成數量關系？
生13：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。
師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意？又如何選擇向量?
生14：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮讓向量與三個向量中的一個向量（如向量）垂直，而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。
師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？
教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。
證法四：如圖8，設非零向量與向量垂直。
因為，
所以
即
所以，同理可得
師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）
師：有什么幾何意義？
生15：把移項可得，由向量數量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。
生16：我還有一種證法
師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）
證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即

故，同理可得
師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！
【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當的啟發引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。
（四）小結
師：本節課我們是從實際問題出發，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發現了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數學實驗。我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。
（五）作業
1、回顧本節課的整個研究過程，體會知識的發生過程；
2、思考：證法五與證法一有何聯系？
3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？
4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。
【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節課進行完善，因此作業的布置也為下節課做一些必要的準備。
七、教學反思
為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據上述精神，結合教學內容，具體做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修4）》（人教版）第二章習題 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。
總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現。
大田一中 陳永民
點評：
本節課是典型合作探究課，教師先設計一個實際問題引導學生討論問題解決方案，將方案數學化，歸納出一類數學問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊”，順利地引入新課，實現了從“現象”到“本質”的飛躍，培養了學生提出問題、分析問題、數學建模的能力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形的邊角關系進行探索，在特殊情況（直角三角形）下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗證，堅定了結論成立的猜想，最后通過嚴格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學生親身經歷了“情境思考”—“提出問題”—“研究特例”—“歸納猜想”—“實驗探究”—“理論探究”—“解決問題”—“反思總結”的歷程，學會研究數學問題的方法，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂。在對具體的一般三角形驗證成立的過程中，利用《幾何畫板》軟件，不斷變換三角形，觀察上式成立，提高了效率，現代教育技術的運用恰到好處。
21、余 弦 定 理
一、教學內容分析
人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。通過利用向量的數量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發學生探究數學，應用數學的潛能。
二、學生學習情況分析
本課之前，學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。總體上學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學美時，能夠激發學生熱愛數學的思想感情；從具體問題中抽象出數學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。
三、設計思想
新課程的數學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數學發現和創造的歷程，力求對現實世界蘊涵的一些數學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實施者、探究開發者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識和創新意識，深刻地體會數學思想方法及數學的應用，激發學生探究數學、應用數學知識的潛能。
四、教學目標
繼續探索三角形的邊長與角度間的具體量化關系、掌握余弦定理的兩種表現形式，體會向量方法推導余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質。通過相關教學知識的聯系性，理解事物間的普遍聯系性。
五、教學重點與難點
教學重點是余弦定理的發現過程及定理的應用；教學難點是用向量的數量積推導余弦定理的思路方法及余弦定理在應用求解三角形時的思路。
六、教學過程：
教學環節
合作探究活動
學情分析與設計意圖
知識
回顧
1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？
2、三角形的正弦定理內容，主要解決哪幾類問題的三角形？
回顧舊知，防止遺忘
創設
引入
你能判斷下列三角形的類型嗎？
1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形
以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形
以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形
2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長嗎？
引導學生從平面幾何、實踐作圖方面進行估計判斷。
學生可能比較茫然，幫助學生分析相關內容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。
提出
問題
你能夠有更好的具體的量化方法嗎？
幫助學生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發學生的積極討論。
引導學生從相關知識入手，選擇簡潔的工具。
合作探究
利用向量法推導余弦定理：
如圖：設，
由三角形法則有
同理，讓學生利用相同方法推導，
學生對向量知識可能遺忘，注意復習；在利用數量積時，角度可能出現錯誤，出現不同的表示形式，讓學生從錯誤中發現問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數學中的轉化思想：化未知為已知。
歸納概括
余弦定理：
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。
知識歸納比較，發現特征，加強識記
結構分析
觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關系，并發現a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時發現三邊長的平方在余弦定理中同時出現
使學生明確對應關系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊”問題
知識聯系
余弦定理的推論：
　　　
解決“邊、邊、邊”
問題
方法應用
怎樣準確地解答引入中的兩個問題？
怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？
用準確的量化關系去解決問題，用邊長去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。
知識應用
例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，　　　　　A＝41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）
例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精確到1′）
應用數學知識求解問題加強計算器的運算功能，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理知識，發現兩種知識方法在解三角形中的綜合應用。
知識深化
例3：已知△ABC中求c邊長
分析：（1）用正弦定理分析引導
（2）應用余弦定理構造關于C的方程求解。
（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優越性。
繼續深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優越于余弦定理。并讓學生初步發現“邊、邊、角”問題解法，為下節學習輔墊。
練習檢測
1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關系為（　　）
A：>　 　　 B：=
C：< 　　　D：大小不確定
2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，則a取值為（　　）
A：（1,3）　　　　　　B：（1,）　　
C：（，2）　　　　D：（，）
3、在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若呢？
用練習去鞏固所學知識，使學生逐步形成良好的知識結構，加強數學知識應用能力的培養。
課堂小結
1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？
2、從本課中你學到了哪些知識和方法？
通過知識回顧，使學生各自體會收獲。
板書設計
1、推導余弦定理及其推論
2、例3、例4
3、練習指導
4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識
作業設計
1、討論余弦定理的其它解法設計思路。
2、第11頁A組3、4題
鞏固知識
多角度看待問題
七、教學反思
本課的教學應具有承上啟下的目的。因此在教學設計時既要兼顧前后知識的聯系，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構建比較完整的知識系統。所以在余弦定理的表現方式、結構特征上重加指導，只有當學生正確地理解了余弦定理的本質，才能更好地應用求解問題。本課教學設計力求在型（模型、類型），質（實質、本質），思（思維、思想方法）上達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯系的內容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設計中抓住前后知識的聯系，重視數學思想的教學，加深對數學概念本質的理解，認識數學與實際的聯系，學會應用數學知識和方法解決一些實際問題。學生應用數學的意識不強，創造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統不夠完善。因此本課運用聯系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立自己的良好知識結構。
福建漳平市第一中學李永彬
點評：
本課是在學生學習了三角函數、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎上而設置的教學內容，因此本課的教學有較多的處理辦法。李老師從解三角形的問題出發，提出解題需要，引發認知沖突，激起學生的求知欲望，調動了學生的學習積極性；在定理證明的教學中，引導學生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，注意分析思路，揭示蘊含在證明中的數學思想，最后引導學生用向量知識推導出公式，在給出余弦定理的三個等式和三個推論之后，又對知識進行了歸納比較，發現特征，便于學生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學生的思維層次。
命題的應用是命題教學的一個重要環節，學習命題的重要目的是應用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關重要的。設計中的例1、例2是常規題，讓學生應用數學知識求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理知識。例3是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯系，深化了對兩個定理的理解，培養了解決問題的能力。但李老師在對例3解法的總結時，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優越性。”這結論有點片面。
本課在繼承了傳統數學教學模式優點，結合新課程的要求進行改進和發展，以發展學生的數學思維能力為主線，發揮教師的設計者，組織者作用，在使學生掌握知識的同時，幫助學生摸索自己的學習方法。
22、等差數列
一、教學內容分析
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學5》（人教版）第二章數列第二節等差數列第一課時。
數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分；另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。
二、學生學習情況分析
我所教學的學生是我校高二（2）班的學生，經過一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展。
三、設計思想
1．教法
⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。
⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。
⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。
2．學法
引導學生首先從四個現實問題（數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。
用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。
在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。
四、教學目標
通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數學建模”的思想方法并能運用；并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；使學生認識事物的變化形態，養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。并通過一定的實例激發同學們的民族自豪感和愛國熱情。
五、教學重點與難點
重點：
①等差數列的概念。
②等差數列的通項公式的推導過程及應用。
難點：
①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。
②理解等差數列是一種函數模型。
關鍵：
等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。
六、教學過程
教學環節
情境設計和學習任務
學生活動
設計意圖
創設情景
上節課我們學習了數列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數列。
傾聽
課堂引入
探索研究
由學生觀察分析并得出答案：
在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，___,___,___,___,…
2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數列（單位：kg）：48，53，58，63。
水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內各年末的本利和分別是：
時間
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10 000
10 072
第2年
10 000
10 144
第3年
10 000
10 216
第4年
10 000
10 288
第5年
10 000
10 360
各年末的本利和（單位：元）組成了數列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
觀察分析，發表各自的意見
引向課題
發現規律
思考：同學們觀察一下上面的這四個數列：
0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看這些數列有什么共同特點呢？
觀察分析并得出答案:
引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：
對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ；
對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ；
對于數列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 -2.5 ；
對于數列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 72 ；
由學生歸納和概括出，以上四個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。
通過分析，激發學生學習的探究知識的興趣，引導揭示數列的共性特點。
總結提高
[等差數列的概念]
對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：
等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。
這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。
學生認真閱讀課本相關概念，找出關鍵字。
通過學生自己閱讀課本，找出關鍵字，提高學生的閱讀水平和思維概括能力，學會抓重點。
提問：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？
由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道：A-a=b-A
所以就有
讓學生參與到知識的形成過程中，獲得數學學習的成就感。
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。
不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。
如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。
9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。
看來，
從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q
則
深入探究，得到更一般化的結論
引領學習更深入的探究，提高學生的學習水平。
總結提高
[等差數列的通項公式]
對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。
⑴、我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這四組等差數列的通項公式。
由學生經過分析寫出通項公式：
①這個數列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個數列的通項公式是
② 這個數列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是
③ 這個數列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數列的通項公式是
④這個數列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是10216（=10072+72×2），第4項是10288（=10072+72×3），第5項是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是
學會發現規律，并加以總結。
⑵、那么，如果任意給了一個等差數列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？

引導學生根據等差數列的定義進行歸納：

所以


……
引導學生進行理性分析與推導，從而得出公式。
總結提高
思考：那么通項公式到底如何表達呢？
……
進一步的分析。
得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為
也就是說，只要我們知道了等差數列的首項和公差d，那么這個等差數列的通項就可以表示出來了。
思考，并發表各自的意見。
讓學生有自主思考的時空。
應用鞏固
例1、⑴求等差數列8，5，2，…的第20項.
⑵-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？
讓兩個學生分別對這兩小題加以分析。
讓學生參與課堂。
分析：
⑴要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數列的公差，由公差的定義可以求出公差；
⑵這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數是不是數列中的項，就是要看它是否滿足該數列的通項公式，并且需要注意的是，項數是否有意義。
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數n,使得-401=-4n-1成立。
解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項。
例題評述：從該例題中可以看出，等差數列的通項公式其實就是一個關于、、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數是不是數列中的項，當判斷是第幾項的項數時還應看求出的項數是否為正整數，如果不是正整數，那么它就不是數列中的項。
聆聽教師點評
通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。
隨堂練習：課本45頁“練習”第1題；
完成練習
講練結合，有利提高學生的知識應用水平
例2．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？
解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數列來計算車費.
令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費
答：需要支付車費23.2元。
學以致用，將所學知識應用到具體生活中去，加深對概念的理解。
例題評述：這是等差數列用于解決實際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數列模型，用等差數列的知識解決實際問題。
聆聽教師點評
通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。
隨堂練習：課本45頁“練習”第2題；
完成練習
講練結合，有利提高學生的知識應用水平
例3 已知數列的通項公式為其中p、q為常數，且p≠0，那么這個數列一定是等差數列嗎？
分析思考，然后分組討論，讓兩組學生代表發表自己的見解。
培養學生分析問題的能力，在小組討論中提高組長的組織與歸納組內成員想法的能力。
分析：判定是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個與n無關的常數。
解：取數列中的任意相鄰兩項（n＞1），
求差得
它是一個與n無關的數.
所以是等差數列。
課本左邊“旁注”：這個等差數列的首項與公差分別是多少？
這個數列的首項公差。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數列，一定是等差數列，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是p+q.
例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數列是否是等差數列的方法：如果一個數列的通項公式是關于正整數n的一次型函數，那么這個數列必定是等差數列。
對所得結論進行更深入一步的探究，激發學生的學習興趣。
探索研究
引導學生動手畫圖研究完成以下探究：
⑴在直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點？
⑵在同一個直角坐標系中，畫出函數y=3x-5的圖象，你發現了什么？據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。
分析：⑴n為正整數，當n取1，2，3，……時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；
⑵畫出函數y=3x-5的圖象一條直線后發現數列的圖象（點）在直線上，數列的圖象是改一次函數當x在正整數范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數列的圖象是一次函數y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數集上對應的點的集合。
該處還可以引導學生從等差數列中的p的幾何意義去探究。
學生動手畫圖，并進行學習小組討論，發表見解。
通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數列與函數的內在關系。
課堂小結
本節主要內容為：
①等差數列定義：即(n≥2)
②等差數列通項公式：(n≥1)
推導出公式：
以學習小組為單位，在學習小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結歸納。
學生自己小結，使學生對自己所學知識有更深刻的認識。
評價設計
1、已知是等差數列.
⑴ 是否成立？
呢？為什么？
⑵ 是否成立？據此你能得出什么結論？
是否成立？據此你又能得出什么結論？
2、已知等差數列的公差為d.求證：
作業是課堂的延續，除了檢驗學生對本節課知識的理解程度，還在于引導學生對本課知識的進一步探究，讓學生在更大的深度與廣度之間進行思考。
七、教學反思
本節課通過生活中一系列的實例讓學生觀察，從而得出等差數列的概念，并在此基礎上學會求等差數列的公差及通項公式，培養了學生觀察、分析、歸納、推理的能力。充分體現了學生做數學的過程，使學生對等差數列有了從感性到理性的認識過程，也使本節課的三維目標真正落到實處。
福州金橋高級中學 林岳水
點評：
本設計從生活中的數列模型，如舉重級別、水庫水位、儲蓄的本息計算等問題引入，進而提出有待探索的問題，這有助于發揮學生學習的主動性。在探索的過程中，學生通過分析、觀察，逐步抽象概括得出等差數列定義，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程。
本課各環節的設計環環相扣、簡潔明了、重點突出，引導分析細致、到位、適度。如：判斷某數列是否成等差數列，這是促進概念理解的好素材；又如：把通項公式與一次函數發生聯系，利用函數這一“上位”概念，來“同化”等差數列的概念，體現函數思想；還有讓學生經歷列表、畫圖象的過程，從“形”的角度，感受函數與數列的聯系；此外，用方程的思想指導等差數列基本量的運算等等。學生在經歷過程中，加深了對概念的理解和鞏固。
本節課教學體現了課堂教學從“灌輸式”到“引導發現式”的轉變，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。教學手段和教學方法的選擇合理有效，體現了新課程所倡導的“培養學生積極主動，勇于探索的學習方式”。
值得商討的問題，在等差數列中，對于任意正整數，若則這一性質的在第一課時提出是否不合時宜，并且只是這樣蜻蜒點水是否忽視了其重要性。
23、等差數列的前n項和
一、教學內容分析
本節課教學內容是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（5）》（人教A版）中第二章的第三節“等差數列的前n項和”（第一課時）．本節課主要研究如何應用倒序相加法求等差數列的前n項和以及該求和公式的應用．等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的一類問題．同時，求數列前n項和也是數列研究的基本問題，通過對公式推導，可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法．
二、學生學習情況分析
在本節課之前學生已經學習了等差數列的通項公式及基本性質，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學提供了基礎；同時學生已有了函數知識，因此在教學中可適當滲透函數思想．高斯的算法與一般的等差數列求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是學生學習的障礙．
三、設計思想
建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程，因此，應該讓學生在具體的問題情境中經歷知識的形成和發展，讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建構．在教學過程中，根據教學內容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的前n項和的求法．通過設計一些從簡單到復雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考、學會學習．同時根據我校的特點，為了促進成績優秀學生的發展，還設計了選做題和探索題，進一步培養優秀生用函數觀點分析、解決問題的能力，達到了分層教學的目的．
四、教學目標
1. 理解等差數列前n項和公式的推導過程；掌握并能熟練運用等差數列前n項和公式；了解倒序相加法的原理；
2. 通過公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，滲透函數思想與方程（組）思想，培養學生觀察、歸納、反思的能力；通過小組討論學習，培養學生合作交流、獨立思考等良好的個性品質．
五、教學重點和難點
本節教學重點是探索并掌握等差數列前n項和公式，學會用公式解決一些實際問題；難點是等差數列前n項和公式推導思路的獲得．
六、教學過程設計
（一）創設情景，喚起學生知識經驗的感悟和體驗
世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？
體展示三角形圖案）
[設計意圖] 情境學習理論認為：數學學習總是與一定的知識背景，即“情境”　相聯系．從實際問題入手，圖中蘊含算數，能激發學生學習新知識的興趣，并且可引導學生共同探討高斯算法更一般的應用，為新課的講解作鋪墊．
[知識鏈接] 高斯，德國著名數學家，被譽為“數學王子”。200多年前，高斯的算術教師提出了下面的問題：
1＋2＋3＋…+100＝？
據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.
[學情預設]高斯的算法蘊涵著求等差數列前n項和一般的規律性．教學時，應給學生提供充裕的時間和空間，讓學生自己去觀察、探索發現這種數列的內在規律．學生對高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對的方法來求和，但估計他們對這種方法的認識可能處于記憶階段，為了促進學生對這種算法的進一步理解，設計了以下三道由易到難的問題．
（二）由易到難，在自主探究與合作中學習
問題1 圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？
該題組織學生分組討論，在合作中學習，并把小組發現的方法一一呈現．
[學情預設] 學生可能出現以下求法
方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51
方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51
方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26
以上方法實際上是用了“化歸思想”，將奇數個項問題轉化為偶數個項求解，教師應進行充分肯定與表揚．
[設計意圖] 這是求奇數個項和的問題，若簡單地摹仿高斯算法，將出現不能全部配對的問題，借此滲透化歸思想．
問題2：求圖案中從第1層到第n層（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少顆寶石？
[學情預設] 學生通過激烈的討論后，發現n為奇數時不能配對，可能會分n為奇數、偶數的情況分別求解，教師如何引導學生避免討論成為該環節的關鍵．
[設計意圖] 從求確定的前n個正整數之和到求一般項數的前n個正整數之和，讓學生領會從特殊到一般的研究方法，旨在讓學生對“首尾配對求和”這一算法的改進．
啟發：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側倒放一個全等的三角形與原圖補成平行四邊形．
[設計意圖] 借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現提供了一個直接的模型．
通過以上啟發學生再自主探究，相信容易得出解法：
∵1 + 　2 + 　3 +…（n－1） + n
n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1
____________________________________________________________________
(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)
∴1+2+3+…+n=
問題3： 在公差為d的等差數列{an}中，定義前n項和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量鋪墊，學生應容易得出如下過程：
∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n－1)d]
Sn=an + (an－d) +（an－2d）+…+[an－(n－1)d]
∴
(公式1)
組織學生討論：
在公式1中若將an=a1+（n－1）d代入又可得出哪個表達式?
即：（公式2）
（三）設置典例，促進學生對公式的應用
對于以上兩個公式，初學的學生在解決一些問題時，往往不知道該如何選取．教師應通過適當的例子引導學生對這兩個公式進行分析，根據公式各自的特點，幫助學生恰當地選擇合適的公式．
例1 為了參加冬季運動會的5000m長跑比賽，某同學給自己制定了7天的訓練計劃（單位：m）如下表：
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
問這個同學7天一共將跑多長的距離？
[設計意圖] 該例題是將課本P53習題2.3A組第3題改編成表格形式，可以鍛煉學生處理數據信息的能力和選用公式的能力。學生可以從首項、末項、項數出發，選用公式1；也可以從首項、公差、項數出發，選用公式2，通過兩種方法的比較，引導學生在解題時注意選擇適當的公式，以便于計算．
例2 已知等差數列5，4 ，3 ，…
求(1)數列｛an｝的通項公式；
(2)數列｛an｝的前幾項和為？
(3)Sn的最大值為多少？并求出此時相應的n的值。
[設計意圖] 通項公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個基本元素，如果已知其中三個，就可求其余兩個，主要是訓練學生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學生初步接觸用函數觀點解決數列問題，為以后函數與數列的綜合打下基礎．
[知識鏈接]（1）由若令可知當時，點是在常數項為0的二次函數圖象上，可由二次函數的知識解決的最值問題；
（2）若數列的前n項和（），則數列一定是等差數列；
（3）由，可知，點在直線上；
（4）在等差數列中，當時，最大，當時，最小。
（四）反饋調控，實現學生對知識的掌握
練習1 已知等差數列｛an｝的前10項和是310，前20項的和是1220，求前n項和Sn.
練習2 等差數列｛an｝中，a1= － 4， a8= －18， n=8，求公差d及前n項和Sn.
選做題 已知函數f（x）= ，則f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值為
[設計意圖] 分層練習使學生在完成必修教材基本任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實現“以人為本”的教育理念．
（五）回顧反思，深化知識
組織學生分組共同反思本節課的教學內容及思想方法，小組之間互相補充完成課堂小結，實現對等差數列前n項和公式的再次深化．
1.從特殊到一般的研究方法；
2.體會倒序相加的算法，掌握等差數列的兩個求和公式，領會方程（組）思想；
3. 前n項和公式的函數意義
4、用梯形面積公式記憶等差數列的前n項和公式；
[知識鏈接]
（六）布置作業
1.課本P52習題2．3，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題
2.探索題
（1）數列{}的前n項和= + + + …+ ，求；
（2）若公差為d(d≠0）的等差數列{}中，= + + +…+ ，你能否由題（1）的啟發，得到的表達式？
七、教學反思
“等差數列前n項和”的推導不只一種方法，本節課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的求和．該方法反映了等差數列的本質，可以進一步促進學生對等差數列性質的理解，而且該推導過程體現了人類研究、解決問題的一般思路．本節課教學過程的難點在于如何獲得推導公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點，在教學中采用了以問題驅動的教學方法，設計的三個問題體現了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題．在教學過程中，通過教師的層層引導、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了．
德化第一中學陳麗真
點評
本節課以故事引課，增強學生的好奇心，激發學生的學習欲望和熱情。以問題為紐帶，通過三個問題組織學生討論，由特殊（自然數的前51項和）到一般（自然數的前幾項和），再到一類（等差數列前幾項和），循序漸進。通過類比Causs配對求和方法，借助幾何直觀，啟發學生獨立思考，討論交流，對問題進行層層遞進的探究，使學生從不同的思維角度掌握了等差數列的前幾項和公式，從中深刻領會推導過程所蘊涵的邏輯推理方法和數學思維方法，培養了學生思維的深刻性、尖銳性和批判性。通過精選例題，分層次練習，使學生既鞏固了知識又形成了技能。在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養學生自主學習、合作學習的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質。必須指出的是，在用Causs配對法得到前幾項和公式后，如能對此方法做更深入分析，指出其實質是等差數列的重要性質——等距性（即∈N,m+n=k+l,則am+an=a+a）的應用，在作業中的探索題中如能加上：數列{an}是等差數列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1則可得到一類問題（由等差連續項或連續項倒數）組成的數列求和問題的解決，深化學生對相關問題的理解。
24、等比數列的前n項和
一、教學內容分析
本節課選自《普通高中課程標準數學教科書·數學（5）》（人教版）第二章第5節第一課時。從在教材中的地位與作用來：看《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。
二、學生學習情況分析
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。
三、設計思想
《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對這一目標本人認為更加注重培養學生作為學習主體的能動性、獨立性、創造性、發展性。心理學家研究發現，9~22歲的學生正處于創新思維的培養期，高中生正好處于這一關鍵年齡段，作為數學教師應因勢力導，培養學生的創新思維能力。利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現對弱勢學生更多的關心。
四、教學目標
理解并掌握等比數列前n項和公式的推導過程、公式的特點，在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的問題。
通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉化、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。通過對公式推導方法的探索與發現，優化學生的思維品質，滲透事物之間等價轉化和理論聯系實際的辯證唯物主義觀點。
五、教學重點、難點
教學重點是公式的推導、公式的特點和公式的運用。
教學難點是公式的推導方法和公式的靈活運用。公式推導
所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。
教學準備：
包括資源的收集、課件的制作、活動的準備等
1.全日制普通高級中學教科書（必修）第一冊（上）
2.普通高中課程標準教科書數學（必修）5及配套光盤
3.兩種教材的主要差異對比
4.課件《等比數列的前n項和》改編
六、教學過程設計：
學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，
盡可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我設計了如下的教學過程：
（一）創設情境，提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印
度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？
【設計意圖】：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發學
生的興趣，調動學習的積極性。故事內容緊扣本節課的主題與重點。
此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引
導學生寫出麥粒總數 。帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和。這時我對他們的這種思路給予肯定。
【設計意圖】：在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍
不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆。
（二）師生互動，探究問題
在肯定他們的思路后，我接著問： 是什么數列？有何特征？ 應歸結為什么數學問題呢？
【學情預設】：探討1：設 ，記為
（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）
探討2： 如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，
（1）式兩邊同乘以2則有 ，記為（2）式。比較（1）(2）兩式，你有什么發現？
【設計意圖】：留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n
項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而抓住培養學生的辯證思維能力的良好契機。
經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式有許多相同
的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到： 。老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
（三）類比聯想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列，首
項為，公比為，如何求前n項和？這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板，然后對個別學生進行指導。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已
知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
【學情預設】：在學生推導完成后，我再問：由得對不對？這里的能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？時是什么數列？此時？（這里引導學生對進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）
再次追問：結合等比數列的通項公式,如何把用
、、表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）
【設計意圖】：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認
識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
在此基礎上，我提出：探究等比數列前n項和公式，還有其
它方法嗎？我們知道,
那么我們能否利用這個關系而求出呢？根據等比數列的定義又有，能否聯想到等比定理從而求出呢？
【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓
學生主動觀察、思考、討論的氛圍. 以上兩種方法都可以化歸到
, 這其實就是關于的一個遞推式，遞推數列有非
常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源
于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用.
（五）變式訓練,深化認識
例1：求等比數列前8項和；
變式 1、等比數列前多少項的和是；
變式2、等比數列求第5項到第10項的和；
變式3、等比數列求前2n項中所有偶數項的和。
首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生上臺來幻燈演示他們的解答，其它同學進行評價，然后師生共同進行總結。
【設計意圖】：采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認
識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成。通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生的參與意識和競爭意識。
（六）例題講解，形成技能
例2：求和
【設計意圖】：解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥，
該題有意培養學生對含有參數的問題進行分類討論的數學思想。
（七）總結歸納，加深理解
以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學
生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。
【設計意圖】：以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能
力。
（八）故事結束，首尾呼應
最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小
麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾。
【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克
服疲倦、繼續積極思維。
（九）課后作業，分層練習
必做：P66練習1：(1)、(2)；2
選作：思考題：（1）求和
（2）“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請
問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，
讓學有余力的學生有思考的空間。
七、教學反思：對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導方法，理解公式的成立條件，充分體現公式之間的聯系。在教學中，我采用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段。
廈門市翔安一中張文雅
點評：
本節課開始，設置了“棋盤上的數學”一例，讓學生感受數學文化的熏陶，引起學生的興趣，挑起學生探索新知識的欲望，進而提出了等比數列求和的問題。
教學設計重視“過程與方法”，符合新課標的理念，把重點放在公式的推導上。在探索公式的過程中，用到了許多重要的數學方法，如錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯系，揭示本質；等比定理：回歸定義，自然樸實。學生從中深刻地領會到推導過程中所蘊含的數學思想，這個推導過程有效地培養了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性，培養了學生解決問題的能力。
本節課例子設計精巧。通過精講一題（例1），發散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能；通過例題講解（例2），進一步滲透分類討論的思想，培養分類討論的思想和思維的縝密性；設計選作思考題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少，思考題體現數學的文化價值。這節課在民主和諧的課堂氛圍里，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質。
25、簡單的線性規劃問題

一、教學內容分析
普通高中課程標準教科書數學5（必修）第三章第3課時
這是一堂關于簡單的線性規劃的“問題教學”．
線性規劃是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，它能解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題.
簡單的線性規劃（涉及兩個變量）關心的是兩類問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成.突出體現了優化的思想．
教科書利用生產安排的具體實例，介紹了線性規劃問題的圖解法，引出線性規劃等的概念，最后舉例說明了簡單的二元線性規劃在飲食營養搭配中的應用.

二、學生學習情況分析
本節課學生在學習了不等式、直線方程的基礎上，又通過實例，理解了平面區域的意義，并會畫出平面區域，還能初步用數學關系式表示簡單的二元線性規劃的限制條件，將實際問題轉化為數學問題. 從數學知識上看，問題涉及多個已知數據、多個字母變量，多個不等關系，從數學方法上看，學生對圖解法的認識還很少，數形結合的思想方法的掌握還需時日，這都成了學生學習的困難．
三、設計思想
本課以問題為載體，以學生為主體，以數學實驗為手段，以問題解決為目的，以幾何畫板作為平臺，激發他們動手操作、觀察思考、猜想探究的興趣。注重引導幫助學生充分體驗“從實際問題到數學問題”的建構過程，“從具體到一般”的抽象思維過程，應用“數形結合”的思想方法，培養學生的學會分析問題、解決問題的能力。
四、教學目標
1．了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念；理解線性規劃問題的圖解法；會利用圖解法求線性目標函數的最優解．
2．在實驗探究的過程中，讓學生體驗數學活動充滿著探索與創造，培養學生的數據分析能力、探索能力、合情推理能力及動手操作、勇于探索的精神；
3、在應用圖解法解題的過程中,培養學生運用數形結合思想解題的能力和化歸能力，體驗數學來源于生活，服務于生活，體驗數學在建設節約型社會中的作用.
五、教學重點和難點
求線性目標函數的最值問題是重點；從數學思想上看，學生對為什么要將求目標函數最值問題轉化為經過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？以及如何想到要這樣轉化？存在一定疑慮及困難；教學應緊扣問題實際，通過突出知識的形成發展過程，引入數學實驗來突破這一難點．
六、教學過程設計
（一）引入
（1）情景
某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h.該產每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？
請學生讀題，引導閱讀理解后，列表 →建立數學關系式 → 畫平面區域，學生就近既分工又合作，教師關注有多少學生寫出了線性數學關系式，有多少學生畫出了相應的平面區域，在巡視中并發現代表性的練習進行展示，強調這是同一事物的兩種表達形式數與形.
【問題情景使學生感到數學是自然的、有用的，學生已初步學會了建立線性規劃模型的三個過程：列表 →建立數學關系式→ 畫平面區域，可放手讓學生去做，再次經歷從實際問題中抽象出數學問題的過程，教師則在數據的分析整理、表格的設計上加以指導】
教師打開幾何畫板，作出平面區域.
（2）問題
師：進一步提出問題，若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大？
學生不難列出函數關系式.
師：這是關于變量的一次解析式，從函數的觀點看的變化引起z的變化，而是區域內的動點的坐標，對于每一組的值都有唯一的z值與之對應，請算出幾個z的值. 填入課前發下的實驗探究報告單中的第２—４列進行觀察,看看你有什么發現？
學生會選擇比較好算的點，比如整點、邊界點等.
【學生思維的最近發現區是上節的相關知識，因此教師有目的引導學生利用幾何直觀解決問題，雖然這個過程計算比較繁瑣，操作起來有難度，但是教學是一個過程，從中讓學生體會科學探索的艱辛，這樣引導出教科書給出的數形結合的合理性，也為引入信息技術埋下伏筆】
（二）實驗
教師打開畫板，當堂作出右圖，在區域內任意取點，進行計算,請學生與自己的數據對比，繼續在實驗探究報告單上補充填寫畫板上的新數據.
教師引導學生提出猜想：點M的坐標為（４，２）時，=取得最大值14.
【在信息技術與課程整合過程中，為改變老師單機的演示學生被動觀看的現狀，讓學生參與進來，老師（可以根據學生要求）操作，學生記錄，共同提出猜想，在當前技術條件受限時不失為一個好方法】
師：這有限次的實驗得來的結論可靠嗎？我們畢竟無法取遍所有點，因為區域內的點是無數的！況且沒有計算機怎么辦，數據復雜手工無法計算怎么辦？ 因此，有必要尋找操作性強的可靠的求最優解的方法.
【形成認知沖突，激發求知欲望，調整探究思路，尋找解決問題的新方法】
繼續觀察實驗報告單，聚焦每一行的點坐標和對應的度量值，比如M（3.2, 1.2）時方程是，填寫表中的第6—7列，引導學生先在點與直線之間建立起聯系 ------點M的坐標是方程的解，那么點M就應該在直線上，反過來直線經過點M，當然也就經過平面區域，所以點M的運動就可轉化為直線的平移運動。
教師拖動直線并跟蹤，學生看到直線平移時可以取遍區域內的所有點！這樣我們的猜想就非常合乎情理了.然后順利過渡到直線與平面區域之間的關系.
師：由于我們可以將x，y所滿足的條件用平面區域表示了，你能否也給利潤z=2x+3y作出幾何解釋呢？
學生很自然地聯想到上面實驗的結果，將等式z=2x+3y視為關于x，y的一次方程，它在幾何上表示直線，當z取不同的值時可得到一族平行直線.
請把你猜想1換一種說法：
猜想與假設2_______________________________________________________
直線=經過點（４，２）時，=取得最大值14.
將直線=改寫為，這時你能把猜想2再換一種說法嗎？
此時水到渠成.
猜想與假設3_______________________________________________________
直線經過點Ｍ時，在y軸上的截距最大，此時=取得最大值14.
最后探究出“=最值問題可轉化為經過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題”來解決，實現其圖解的目的.
【借助計算機技術用運動變化的方法，創設實驗環境，形成多元聯系，展示數學關系式、平面區域、表格等各種形態的表現形式，在數、圖、表的關聯中進行觀察、分析，從而逐步幫助學生進行有層次的猜想，也為我們的研究提供一種方向，這是新課程積極倡導的合情推理】
教師介紹線性規劃、線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域和最優解等概念.
(三)探究
師：在上述問題中，若生產一件甲產品獲利３萬元，生產一件乙產品獲利２萬元，又應當如何安排生產才能獲得最大的利潤？再換幾組數據試試（課本第100頁）
讓學生“主動”更換數據，教師借助幾何畫板“被動”地進行操作演示，師生繼續實驗 …，發現結論同樣成立. 進一步發現目標函數直線的縱截距與z的最值之間的關系，有時并不是截距越大，z值越大.
實驗結論_______________________________________________________
“目標函數的最值問題可轉化直線z =2x+3y與平面區域有公共點時，在區域內找一個點M，使直線經過點M時在y軸上的截距最大”
【從筆算到計算，從點到直線再到平面（區域），從一個函數到多個函數，從特殊到一般，從具體到抽象的認識過程，使學生經歷數學知識形成、發現、發展的過程，獲得問題的解決，這有助于培養學生的科學素養】
（四）練習小結
學生練習Ｐ104第1題.
[及時檢驗學生利用圖解法解線性規劃問題的情況，練習目的：會用數形結合思想，將求的最大值轉化為直線與平面區域有公共點時，在區域內找一個點Ｍ，使直線經過點Ｍ時在y軸上的截距最小的問題，為節省時間，教師可預先畫好平面區域，讓學生把精力集中到求最優解的解決方案上]
（五）實例展示
（課本第100頁例5飲食營養搭配）
營養學家指出，成人良好的日常飲食至少應該提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg的蛋白質，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白質，0.14kg的脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質，0.07k

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