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中考專題復習——專題19 垂美四邊形模型
全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
規定：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形
圖1 圖2 圖3
條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；
結論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半。
【變形1】
條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP； 結論：DP2+BP2=AP2+PC2
【變形2】
條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內部任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結論：AP2+PC2=DP2+BP2
用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯想到垂美四邊形。
1．（2022秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個解，則四邊形的面積是（ ）
A．60 B．30 C．16 D．32
2．（2022秋·河南信陽·九年級統考階段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
3．（2023春·八年級課時練習）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點E為對角線BD上任意一點，連接AE、CE． 若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于( )
A．7 B．9 C．16 D．25
4．圖中每個小格都是正方形，點A，B，C，D都落在格點上，則圖中∠BCD的度數為 　 　．
5對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝　 　．
6．如圖1，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解，在四邊形ABCD中，以下是垂美四邊形的是 　 　．
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．
（2）性質探究，小美同學猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等”，即，如圖1，在四邊形ABCD中，若AC⊥BD，則AB2+CD2＝AD2+BC2．請判斷小美同學的猜想是否正確，并說明理由．
（3）問題解決：如圖2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC的中點，連接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
7（2021 南明區模擬）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；
②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝　 　．
8（2022秋·全國·八年級期中）我們定義對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
如圖點E是四邊形ABCD內一點，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，對角線AC與BD交于O點，BD與EC交于點F，AC與ED交于點G．
（1）求證：四邊形ABCD是垂美四邊形；
（2）猜想四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間的數量關系并說明理由；
（3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，則CD的長為　 　．
9定義∶我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形
⑴概念理解;如圖1，在四邊形 ABCD中，如果 AB=AD，CB= CD，那么四邊形 ABCD是垂美四邊形嗎 請說明理由.
⑵性質探究：如圖2，垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB，CD與 BC，AD之間有怎樣的數量關系 寫出你的猜想，并說明理由。
⑶問題解決∶如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，連接 CE，BG，GE①求證∶△GAB≌△CAE.
②若 AC=2，AB=5，則 GE=__________。
10．（2021·江西贛州·八年級期末）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）性質探究：試探究垂美四邊形兩組對邊，與，之間的數量關系，寫出證明過程（先畫出圖形）
（3）問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，已知，，求的長．
11．如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，請回答下列問題：
（1）若AB∥CD，求證：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圓O的半徑為3，求AB的長；
（3）在（2）的條件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
12．（2023·湖北·九年級專題練習）學習新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內任意一點，則有以下重要結論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結論的證明不難，同學們通過勾股定理即可證明．
應用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．
13．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關系式中成立的是（　　）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
14．如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
15．（2022·山東濟寧·統考一模）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱________，________．
(2)如圖（1），已知格點（小正方形的頂點），，，請你直接寫出一個以格點為頂點，，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形的頂點M的坐標為________；
(3)如圖（2），將繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到，連接，，．求證：，即四邊形是勾股四邊形；
(4)若將圖（2）中繞頂點B按順時針方向旋轉a度，得到，連接，，則________°，四邊形是勾股四邊形．

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