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中考專題復(fù)習(xí)——專題04.--垂美四邊形模型
全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形
圖1 圖2 圖3
條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；
結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半。
【變形1】
條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP； 結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2
【變形2】
條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2
用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。
1．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)．若，，則 ．
2．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．
（1）若，，，則 ；（2）若，，則 ；
（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
3．定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）下面四邊形是垂等四邊形的是　 　；（填序號(hào)）
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）圖形判定：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作BD垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠DBC＝45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形．
（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半．應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半徑．
4．（2021春 紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）性質(zhì)探究：
①如圖1，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．寫出你的猜想，并給出證明；
②如圖3，在Rt△ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）問(wèn)題解決：
如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的長(zhǎng)．
5．（2023春·陜西西安·八年級(jí)校考期末）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問(wèn)四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)性質(zhì)探究：如圖1，試探索垂美四邊形兩組對(duì)邊、與、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
(3)問(wèn)題解決：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，連接，，，已知，，求的值．

6．（2022春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)尺規(guī)作圖：以已知線段為對(duì)角線作一個(gè)垂美四邊形，使其對(duì)角線交于點(diǎn)O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)已知四邊形是垂美四邊形，且，則它的面積為________；
(3)如圖，四邊形是垂美四邊形，，探究a、b、c、d的數(shù)量關(guān)系；
(4)如圖，已知D、E分別是中邊的中點(diǎn)，，請(qǐng)運(yùn)用上題的結(jié)論，求的長(zhǎng)．
7．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中肯定是垂美四邊形的是 　 ．
（2）性質(zhì)探究：如圖1，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系 　　 ．
（3）問(wèn)題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BE，CG，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．
8．【知識(shí)感知】我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美邊形．
（1）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）【性質(zhì)探究】如圖1，試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10，求GE長(zhǎng)．
9．（2023秋·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）模型介紹
（1）定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為垂美四邊形．性質(zhì)：垂美四邊形對(duì)邊的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，請(qǐng)結(jié)合圖1證明這個(gè)結(jié)論．　
（2）如圖2，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點(diǎn)，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的長(zhǎng)．
10．2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）[定義]有一組對(duì)角是直角的四邊形是垂美四邊形．
[理解]如圖①，將一對(duì)相同的直角三角尺按如圖所示的方式拼成四邊形ABCD， 每個(gè)三角尺三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是 30°、60°和 90°．四邊形ABCD是什么四邊形，∠ABC+∠ADC等于多少度；
[探究]如圖②，四邊形ABCD是垂美四邊形．∠A=90°．∠B=80°，E 是邊 AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，求∠C和∠CDE的度數(shù)．
[應(yīng)用]如圖③，四邊形 ABCD 是垂美四邊形，∠A=90°，BE 和DF分別是∠ABC和∠ADC的平分線，交 AD、BC 于點(diǎn) E、F．試說(shuō)明 BE∥DF．
11．定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)稱為和美四邊形的中心．
（1）寫出一種你學(xué)過(guò)的和美四邊形　 　；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是　 　．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無(wú)法確定
（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接OE、OF、OG、OH，記四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面積為S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由）
（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的長(zhǎng)．
12．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
(1)如圖1，已知四邊形是垂美四邊形．①若，則它的面積為_____________；
②若，探究的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，已知分別是中邊的中點(diǎn)，，，請(qǐng)運(yùn)用②中的結(jié)論，直接寫出的長(zhǎng)為___________________．
13（2023深圳）．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE＝DG且BE⊥DG．
小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請(qǐng)給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），試問(wèn)當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE＝DG仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE2+BG2的值是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值．

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