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專題3.1 橢圓及其標準方程-重難點題型精講
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內與兩個定點,的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫
作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.
(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.
2．橢圓的標準方程
橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
3．橢圓方程的求解
(1)用定義法求橢圓的標準方程
根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數法求橢圓的標準方程
①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待
定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.
②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點
在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
4．橢圓的焦點三角形
(1)焦點三角形的概念
設M是橢圓上一點，,為橢圓的焦點，當點M,,不在同一條直線上時，它們構成一個三角形——
焦點三角形，如圖所示.
(2)焦點三角形的常用公式
①焦點三角形的周長L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③設，，則.
【題型1 曲線方程與橢圓】
【方法點撥】
根據所給曲線方程表示橢圓，結合橢圓的標椎方程進行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】（2021·全國·高二專題練習）“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 橢圓的定義】
【方法點撥】
利用橢圓的定義解決涉及焦點相關問題的計算：一般地，遇到有關焦點問題時，首先應考慮用定義來解題，
如題目中有橢圓上的點到兩焦點的距離可考慮用定義解題，另外，對定義的應用也應有深刻理解，知道何
時應用、怎樣應用.
【例2】（2023·全國·高三專題練習）點P為橢圓上一點，，為該橢圓的兩個焦點，若，則（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）設P為橢圓上的點，，分別為橢圓C的左、右焦點，且，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 橢圓方程的求解】
【方法點撥】
(1)用定義法求橢圓的標準方程
根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數法求橢圓的標準方程
根據所給條件設出橢圓的標準方程，代入點，即可得解.
【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是和，且橢圓經過點，則該橢圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·寧夏二模（文））已知橢圓C的一個焦點F（0，-），P為C上一點，滿足則橢圓C的標準方程為（　　）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2021·全國·高二課時練習）橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，則橢圓的方程為（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
【題型4 動點軌跡方程的求法】
【方法點撥】
解橢圓有關的動點軌跡問題主要有以下兩種思路：
(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表
達，我們只需把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.
(2)定義法：若動點的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量.
【例4】（2021·全國·高二課時練習）已知A(0，－1)，B(0，1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
【變式4-1】（2021·全國·高二課前預習）若動點始終滿足關系式，則動點M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·江蘇·高二開學考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習）已知的周長等于10，，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點的軌跡方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 橢圓中的焦點三角形問題】
【方法點撥】
①關于橢圓的焦點三角形問題，可結合橢圓的定義列出=2a，利用這個關系式便可求出結果，
因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.
②在橢圓中，焦點三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經常利用定義結合正弦定理、余弦定理及
勾股定理等來解決，還經常用到配方法、解方程及把看成一個整體等.
【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）若F為橢圓C：的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【變式5-2】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習）設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（ ）
A．為銳角三角形 B．為鈍角三角形
C．為直角三角形 D．，，三點構不成三角形
【題型6 橢圓中的最值問題】
【例6】（2022·全國·高二課時練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（ ）
A．3 B．5 C． D．13
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習），分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓上的動點，設點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）已知點P是橢圓上一動點，Q是圓上一動點，點，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知，是橢圓的左焦點，點P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值分別為（ ）
A．； B．； C．； D．；專題3.1 橢圓及其標準方程-重難點題型精講
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內與兩個定點,的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫
作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.
(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.
2．橢圓的標準方程
橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
3．橢圓方程的求解
(1)用定義法求橢圓的標準方程
根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數法求橢圓的標準方程
①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待
定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.
②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點
在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
4．橢圓的焦點三角形
(1)焦點三角形的概念
設M是橢圓上一點，,為橢圓的焦點，當點M,,不在同一條直線上時，它們構成一個三角形——
焦點三角形，如圖所示.
(2)焦點三角形的常用公式
①焦點三角形的周長L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③設，，則.
【題型1 曲線方程與橢圓】
【方法點撥】
根據所給曲線方程表示橢圓，結合橢圓的標椎方程進行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據已知曲線的方程和橢圓的方程特點，結合充分條件和必要條件的判定即可
【解答過程】若曲線是橢圓，則有：
解得：，且
故“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件
故選：C.
【變式1-1】（2021·全國·高二專題練習）“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據橢圓的標準方程可得，解不等式組得出且，再利用必要不充分條件定義即可求解.
【解答過程】若方程表示橢圓，則有
因此且，
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：B.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題知，再解不等式即可.
【解答過程】解：方程表示焦點在軸上的橢圓，
，解得：．
故選：D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意可得，解之即可得解.
【解答過程】解：因為方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，
所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：C.
【題型2 橢圓的定義】
【方法點撥】
利用橢圓的定義解決涉及焦點相關問題的計算：一般地，遇到有關焦點問題時，首先應考慮用定義來解題，
如題目中有橢圓上的點到兩焦點的距離可考慮用定義解題，另外，對定義的應用也應有深刻理解，知道何
時應用、怎樣應用.
【例2】（2023·全國·高三專題練習）點P為橢圓上一點，，為該橢圓的兩個焦點，若，則（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
【解題思路】寫出橢圓的標準方程，由橢圓的定義得到，從而求出答案.
【解答過程】橢圓方程為：，由橢圓定義可知：，
故，
故選：D.
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）設P為橢圓上的點，，分別為橢圓C的左、右焦點，且，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【解題思路】先利用橢圓得到，根據橢圓的定義可得到，結合可算出，，即可算出答案
【解答過程】解：由橢圓可得即，
因為P為橢圓上的點，所以，
因為，所以，，故，
故選：B．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【解題思路】根據橢圓方程求得，再由橢圓的定義可得，利用基本不等式即可求解．
【解答過程】解：由橢圓可得，所以，
因為點在上，所以，
所以，
當且僅當時等號成立，最大值為9.
故選：C．
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據橢圓方程求得，由橢圓的定義，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【解答過程】解：由題意，橢圓方程，可得，
所以焦點，
又由橢圓的定義，可得，因為，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故選:C．
【題型3 橢圓方程的求解】
【方法點撥】
(1)用定義法求橢圓的標準方程
根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數法求橢圓的標準方程
根據所給條件設出橢圓的標準方程，代入點，即可得解.
【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先設，，再利用焦點三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【解答過程】設，，因為，，，所以，，所以，所以，所以．因為，所以．所以橢圓的方程是．
故選：C.
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是和，且橢圓經過點，則該橢圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據橢圓的焦點可求，根據經過點，可得，進而可求解，即可得橢圓方程.
【解答過程】因為焦點坐標為和，所以.橢圓經過點，且焦點在x軸上，所以，所以，則橢圓的標準方程為.
故選:A.
【變式3-2】（2022·寧夏二模（文））已知橢圓C的一個焦點F（0，-），P為C上一點，滿足則橢圓C的標準方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】設出點,根據題意列出等式即可求出點.再將其帶入橢圓即可求出答案.
【解答過程】由題意可知橢圓的焦點在軸上，設橢圓為；
由題意知：設.
則.
將代入橢圓：
所以橢圓C的標準方程為.
故選:B.
【變式3-3】（2021·全國·高二課時練習）橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，則橢圓的方程為（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
【解題思路】由橢圓定義求得，已知焦點坐標得，再求出可得橢圓方程．
【解答過程】∵橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0)，橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，
∴橢圓的焦點在x軸上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴橢圓的方程為＝1．
故選：A．
【題型4 動點軌跡方程的求法】
【方法點撥】
解橢圓有關的動點軌跡問題主要有以下兩種思路：
(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表
達，我們只需把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.
(2)定義法：若動點的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量.
【例4】（2021·全國·高二課時練習）已知A(0，－1)，B(0，1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
【解題思路】用定義法求出軌跡方程，把上下兩個頂點去掉.
【解答過程】解析：因為2c＝|AB|＝2，所以c＝1，
所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
所以頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)．
因此，頂點C的軌跡方程為(y≠±2)．
故選：B.
【變式4-1】（2021·全國·高二課前預習）若動點始終滿足關系式，則動點M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由等式表示的幾何意義，結合相應圓錐曲線定義即可得解.
【解答過程】因動點滿足關系式，
則該等式表示點到兩個定點的距離的和為8，而，
即動點M的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓，于是短半軸長b有，
所以動點M的軌跡方程為.
故選：B.
【變式4-2】（2022·江蘇·高二開學考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由橢圓定義確定點軌跡是橢圓，然后求出，可得其方程．
【解答過程】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以，
所以，而，
所以點軌跡是以為焦點，長軸長是4的橢圓．
設其方程為，
，，，
則，
所以點軌跡方程是．
故選：C．
【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習）已知的周長等于10，，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點的軌跡方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據橢圓的定義進行求解即可.
【解答過程】因為的周長等于10，，
所以，
因此點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不在直線上，
因此有，
所以頂點的軌跡方程可以是，
故選：A.
【題型5 橢圓中的焦點三角形問題】
【方法點撥】
①關于橢圓的焦點三角形問題，可結合橢圓的定義列出=2a，利用這個關系式便可求出結果，
因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.
②在橢圓中，焦點三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經常利用定義結合正弦定理、余弦定理及
勾股定理等來解決，還經常用到配方法、解方程及把看成一個整體等.
【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由橢圓的定義結合余弦定理解得，通過三角形面積公式即可求得答案.
【解答過程】由， ，又，解得，
.
故選：A.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）若F為橢圓C：的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【解題思路】設為橢圓的左焦點，則由橢圓的定義可得：，當共線時，△ABF周長取得最大值，從而可得出答案.
【解答過程】解：設為橢圓的左焦點，
則由橢圓的定義可得：
，
當共線時，，
當不共線時，，
所以△ABF周長的最大值為20.
故選：D.
【變式5-2】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運用橢圓的定義進行求解即可.
【解答過程】由.
因為，是橢圓的上的點，、是橢圓的焦點，
所以，
因此的周長為，
故選：D.
【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習）設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（ ）
A．為銳角三角形 B．為鈍角三角形
C．為直角三角形 D．，，三點構不成三角形
【解題思路】根據橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.
【解答過程】由題意可知，，
由橢圓的定義可知，而，
聯立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.
故選：D.
【題型6 橢圓中的最值問題】
【例6】（2022·全國·高二課時練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（ ）
A．3 B．5 C． D．13
【解題思路】由，結合圖形即得.
【解答過程】因為橢圓，
所以，，
則橢圓的右焦點為，
由橢圓的定義得：，
當點P在點處，取等號，
所以的最大值為5，
故選：B.
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習），分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓上的動點，設點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由橢圓方程得，連接，進而根據橢圓定義將問題轉化為，再根據得，進而得，進而得答案.
【解答過程】解：由橢圓方程得，
如圖，連接，由于，
所以，
所以，
因為，當且僅當三點共線時等號成立，
所以
所以
故選：A.
【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）已知點P是橢圓上一動點，Q是圓上一動點，點，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】易知圓的圓心是為橢圓的左焦點，利用橢圓的定義得到，然后由求解.
【解答過程】如圖所示：
由，得，
則，
則圓的圓心是為橢圓的左焦點，
則右焦點為，
由橢圓的定義得，
所以，
又，
所以，
，
故選：C.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知，是橢圓的左焦點，點P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值分別為（ ）
A．； B．； C．； D．；
【解題思路】根據橢圓定義可知，取得最值時，即最值，根據可得答案.
【解答過程】解：由已知可得，得，
根據橢圓定義：，
∴取得最大值時，即 最大，
取得最小值時，即 最小，
根據三角形的兩邊之差小于第三邊有，
當三點共線，且點P不在線段上時， ，
即，
如圖所示：，
，
當P點在線段的延長線上，即P運動到圖中點N的位置時取得最大值．
當P點在線段的延長線上，即P運動到圖中點M的位置時取得最小值．
∴的最大值和最小值分別為 ；.
故選：A.

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