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專題3.11 拋物線的標準方程和性質-重難點題型精講
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫
作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(2)集合語言表示
設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標準方程
拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
3．拋物線的幾何性質
拋物線的簡單幾何性質：
4．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：
①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是01，拋物線的離心率是
e=1；
⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；
⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.
5．與拋物線有關的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：由條件建立目標函數，然后利用函數求最值的方法進行求解，如利用二次函數在閉區間上最值的求法，利用函數的單調性等，亦可用均值不等式求解.
【題型1 動點的軌跡問題】
【方法點撥】
根據拋物線的定義，拋物線是平面內與一個定點F，和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡，
因此只要動點滿足拋物線的定義，就可以選擇利用定義法求出其軌跡方程.
【例1】（2022·上海市高三開學考試）在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線
【解題思路】根據拋物線的定義判斷即可.
【解答過程】解：因為點不在直線上，
則到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是以為焦點，
直線為準線的拋物線；
故選：D.
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點，直線，若動點到的距離等于，則點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
【解題思路】由拋物線的定義求解即可.
【解答過程】由拋物線的定義（平面內，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線）可知，點的軌跡是拋物線.
故選：C.
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點、準線得到方程即可.
【解答過程】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D.
【變式1-3】（2021·山東省滕州市高二階段練習）若點P到點的距離比它到直線的距離大1，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將點到點的距離比它到直線的距離大1轉化為點到點的距離等于它到直線的距離，根據拋物線的定義，即可求得點的軌跡為拋物線，進而可求出點的軌跡方程．
【解答過程】∵點到點的距離比它到直線的距離大1，
∴點到點的距離等于它到直線的距離，
∴點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，則點的軌跡方程是.
故選：D.
【題型2 利用拋物線的定義解題】
【方法點撥】
根據具體問題，利用拋物線的定義進行轉化求解.
【例2】（2022·云南·高二開學考試）若拋物線上的一點到它的焦點的距離為8，則（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【解題思路】根據題意，結合跑線的定義得到，即可求解.
【解答過程】由題意，拋物線上的一點到它的焦點的距離為8，
根據拋物線的定義，可得，解得.
故選：D.
【變式2-1】（2022·云南·高三階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（ ）
A．2 B． C． D．4
【解題思路】畫出圖像，利用拋物線的定義求解即可.
【解答過程】由題知，準線，設與軸的交點為，點在上，
由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，
解法1：因為 軸，所以直線斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，則.
解法3：過作于點，則為的中點，因為，則.
故選：D.
【變式2-2】（2022·廣東·高三階段練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解題思路】根據拋物線的定義結合已知可求得結果.
【解答過程】設，由A，B中點的橫坐標為2，
可得，
所以 ．
故選：C．
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習（理））已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，且，則M點到軸的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】設點的坐標，由焦半徑公式列出方程，求出點的橫坐標，從而求出縱坐標，得到答案.
【解答過程】由題意得，
所以準線為，
又因為，設點的坐標為，
則有，
解得：
將代入解析式，
得：，
所以M點到x軸的距離為．
故選：D．
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】
【方法點撥】
求拋物線的焦點坐標及準線方程的步驟：
第一步：把拋物線方程化為標準方程；第二步：明確拋物線開口方向；第三步：求出拋物線標準方程中參
數p的值；第四步：寫出拋物線的焦點坐標、準線方程.
【例3】（2022·遼寧鞍山·一模）拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據拋物線的標準方程以及焦點坐標求解即可
【解答過程】由題意，拋物線的焦點坐標為
故選：C.
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）拋物線的準線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先將拋物線方程化成標準式，即可解出．
【解答過程】可化為，所以拋物線的準線方程為．
故選：B．
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】化為標準方程，利用焦點坐標公式求解.
【解答過程】拋物線的標準方程為，
所以拋物線的焦點在軸上，且，所以，
所以拋物線的焦點坐標為.
故選：C.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）拋物線的焦點到其準線的距離是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】求出拋物線的焦點坐標與準線方程，即可得解；
【解答過程】解：拋物線的焦點為，準線方程為，
所以焦點到準線的距離；
故選：A.
【題型4 求拋物線的標準方程】
【方法點撥】
①直接法：直接利用題中已知條件確定參數p.
②待定系數法：先設出拋物線的方程，再根據題中條件，確定參數p.
③定義法：先判定所求點的軌跡符合拋物線的定義，進而求出方程.
【例4】（2022·全國·高二課時練習）頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設出拋物線方程，利用待定系數法求解作答.
【解答過程】依題意，設拋物線方程為，于是得，解得，
所以所求拋物線方程是.
故選：B.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）焦點在直線上的拋物線的標準方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解題思路】分別求得直線與x軸，y軸的交點得到拋物線的焦點即可.
【解答過程】解：直線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，-3），
當以（4，0）為焦點時，拋物線的標準方程為，
當由（0，-3）為焦點時，拋物線的標準方程為，
故選：B.
【變式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.
【解答過程】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.
故選：A.
【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）若拋物線（）上一點P（2，）到其焦點的距離為4，則拋物線的標準方程為（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【解題思路】由拋物線的定義可解答.
【解答過程】拋物線上一點到焦點的距離等于到其準線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標準方程為.
故選：D.
【題型5 與拋物線有關的最值問題】
【方法點撥】
求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，解
與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的
轉化，數形結合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變
量的代數式，借助目標函數最值的求法解決.
【例5】（2022·河南·高三開學考試（文））已知是拋物線上的兩點，且，則線段的中點到軸的距離的最小值為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】過作準線的垂線，設的中點為，過作軸的垂線，根據梯形中位線和拋物線的定義可知，由此可求得最小值.
【解答過程】由拋物線方程知其焦點為，準線為；
分別過作準線的垂線，垂足分別為，與分別交軸于，
則，．
設的中點為，過作軸的垂線，垂足為，
（當且僅當三點共線時，等號成立）
線段的中點到軸的距離的最小值為．
故選：B.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓上，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解題思路】利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，再根據三點共線求最小距離.
【解答過程】如圖，過點向準線作垂線，垂足為，則，
當垂直于拋物線的準線時，最小，
此時線段與圓的交點為，因為準線方程為，，
半徑為，所以的最小值為.
故選：C.
【變式5-2】（2022·云南模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，此時最小，再根據點到直線距離公式即可求解.
【解答過程】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，
如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.
，則．
故選：B．
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）已知拋物線焦點的坐標為，P為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【解題思路】先根據焦點坐標求出，結合拋物線的定義可求答案.
【解答過程】因為拋物線焦點的坐標為，所以，解得．
記拋物線的準線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當且僅當P為BA與拋物線的交點時，等號成立．
故選：A.
【題型6 與拋物線有關的實際應用問題】
【方法點撥】
①要解決這些實際問題中有關的計算，我們可以利用坐標法建立拋物線方程，利用拋物線的標準方程和其
幾何性質進行推理、運算.
②解決此類問題要注意實際問題中的量與拋物線相關量之間的坐標轉化.
【例6】（2022·全國·高二課時練習）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內側曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知，，點到直線的距離為，則此拋物線頂端到的距離為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立直角坐標系，待定系數法求拋物線方程，即可求解到的距離.
【解答過程】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，由題意設，，，則，解得，所以此拋物線頂端到的距離為．
故選:B．
【變式6-1】（2022·湖南·高二期末）如圖，某橋是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2，水面寬4，那么水下降1后，水面寬為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】建立直角坐標系，利用代入法，結合拋物線的方程進行求解即可.
【解答過程】如圖，以拱頂為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標系，則該拋物線方程為，依題點在其上，所以，，拋物線方程為.設，則，，所以水面寬為，
故選：D.
【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）一種衛星接收天線如圖（1）所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖（2）所示.已知接收天線的口徑為，深度為.若為接收天線上一點，則點與焦點F的最短距離為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據題意建立直角坐標系，設拋物線方程為，代入得到，再根據拋物線的幾何意義求解即可.
【解答過程】在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，
焦點在軸上，如圖所示：
設拋物線方程為，由題知：點在拋物線方程上，
所以，解得.
則點與焦點F的最短距離為.
故選：B.
【變式6-3】（2021·全國·高二課時練習）為響應國家“節能減排，開發清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面（拋物線繞對稱軸旋轉得到）形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為，鏡深，為達到最佳吸收太陽光的效果，容器灶圈應距離集光板頂點（ ）
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
【解題思路】首先畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，設拋物線方程，由條件求出，由集光板的原理可知，若達到最佳吸收陽光的效果，容器灶圈應在拋物線的焦點處.
【解答過程】若使吸收太陽光的效果最好，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，
如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，設拋物線方程
集光板端點 ，代入拋物線方程可得，
所以拋物線方程，
故焦點坐標是.
所以容器灶圈應距離集光板頂點.
故選：B.專題3.11 拋物線的標準方程和性質-重難點題型精講
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫
作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(2)集合語言表示
設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標準方程
拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
3．拋物線的幾何性質
拋物線的簡單幾何性質：
4．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：
①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是01，拋物線的離心率是
e=1；
⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；
⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.
5．與拋物線有關的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：由條件建立目標函數，然后利用函數求最值的方法進行求解，如利用二次函數在閉區間上最值的求法，利用函數的單調性等，亦可用均值不等式求解.
【題型1 動點的軌跡問題】
【方法點撥】
根據拋物線的定義，拋物線是平面內與一個定點F，和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡，
因此只要動點滿足拋物線的定義，就可以選擇利用定義法求出其軌跡方程.
【例1】（2022·上海市高三開學考試）在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點，直線，若動點到的距離等于，則點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2021·山東省滕州市高二階段練習）若點P到點的距離比它到直線的距離大1，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 利用拋物線的定義解題】
【方法點撥】
根據具體問題，利用拋物線的定義進行轉化求解.
【例2】（2022·云南·高二開學考試）若拋物線上的一點到它的焦點的距離為8，則（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【變式2-1】（2022·云南·高三階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（ ）
A．2 B． C． D．4
【變式2-2】（2022·廣東·高三階段練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習（理））已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，且，則M點到軸的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】
【方法點撥】
求拋物線的焦點坐標及準線方程的步驟：
第一步：把拋物線方程化為標準方程；第二步：明確拋物線開口方向；第三步：求出拋物線標準方程中參
數p的值；第四步：寫出拋物線的焦點坐標、準線方程.
【例3】（2022·遼寧鞍山·一模）拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）拋物線的準線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）拋物線的焦點到其準線的距離是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型4 求拋物線的標準方程】
【方法點撥】
①直接法：直接利用題中已知條件確定參數p.
②待定系數法：先設出拋物線的方程，再根據題中條件，確定參數p.
③定義法：先判定所求點的軌跡符合拋物線的定義，進而求出方程.
【例4】（2022·全國·高二課時練習）頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）焦點在直線上的拋物線的標準方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）若拋物線（）上一點P（2，）到其焦點的距離為4，則拋物線的標準方程為（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【題型5 與拋物線有關的最值問題】
【方法點撥】
求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，解
與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的
轉化，數形結合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變
量的代數式，借助目標函數最值的求法解決.
【例5】（2022·河南·高三開學考試（文））已知是拋物線上的兩點，且，則線段的中點到軸的距離的最小值為（ ）．
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓上，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【變式5-2】（2022·云南模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）已知拋物線焦點的坐標為，P為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【題型6 與拋物線有關的實際應用問題】
【方法點撥】
①要解決這些實際問題中有關的計算，我們可以利用坐標法建立拋物線方程，利用拋物線的標準方程和其
幾何性質進行推理、運算.
②解決此類問題要注意實際問題中的量與拋物線相關量之間的坐標轉化.
【例6】（2022·全國·高二課時練習）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內側曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知，，點到直線的距離為，則此拋物線頂端到的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·湖南·高二期末）如圖，某橋是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2，水面寬4，那么水下降1后，水面寬為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）一種衛星接收天線如圖（1）所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖（2）所示.已知接收天線的口徑為，深度為.若為接收天線上一點，則點與焦點F的最短距離為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2021·全國·高二課時練習）為響應國家“節能減排，開發清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面（拋物線繞對稱軸旋轉得到）形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為，鏡深，為達到最佳吸收太陽光的效果，容器灶圈應距離集光板頂點（ ）
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米

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