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例談導數在解函數問題中的應用
近幾年隨著導數進入高中教材，為研究函數的性質提供了新的工具，從而使函數問題的解決帶有一定的程序性，利用導數解決函數問題已成為高考命題的一個新的熱點。本文擬從幾個方面舉例說明導數的應用
求函數的解析式
例1、設函數y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸的交點為P，且曲線在P點的切線方程為24x+y－12=0,若函數在x=2處取得極值－16，試求函數解析式。
解 由y′=3ax2+2bx+c 得f′(0)=c,∵切線24x+y－12=0的斜率k=－24,∴c= －24
將x=0代入24x+y－12=0得y=12,得P點坐標為（0，12）。將P（0，12）代入y=f(x)得d=12,所以f(x)= ax3+bx2－24x+12，又由函數f(x)在x=2處取得極值－16，則得∴f(x)=x3+3x2－24x+12
二、求函數的極值、最值及值域
例2、已知函數f(x)= (x-1)3 (x+2)2,則f(x)滿足（ ）
A、x=1、－2、處取得極值 B、既有極大值，也有極小值
C、只有極大值，沒有極小值 D、沒有極大值，只有極小值
解 f′(x)=3(x－1)2(x+2)2+2(x－1)3(x+2)=(x+2)(x－1)2(5x+4).
令f′(x)=0，得x1=－2,x2=,x3=1.這三點將數軸分成四個區間：
（－∞, －2）,( －2, ),(,1),(1,+∞).易知f′(x)在這四個區間的符號
分別為+、－、+、+。
因此，f(x)在x=－2處取得極大值，在x=處取得極小值，
而在x=1處沒有極值。所以選B
例3、函數y=x4－x3在[－2，3]上的最大值為
解 由y′=4x3－3x2=x2(4x－3)=0得x=0或x=.當x=－2時，y=32;
當x=0時，y=0;當x=時，y=;
當x=3時，y=27.所以y的最大值為32
三、判斷函數的單調性
例4、證明：函數f(x)=ex+e-x在（0，+∞）上是增函數
證明：f′(x)= ex－e-x=e-x（e2x－1），當x>0時，有e-x >0,e2x－1>0
此時f′(x)>0,所以f(x)在（0，+∞）上是增函數
例5、求實數a,使得函數f(x)=在（0，+∞）上具有單調性
解 f′(x)= 為使函數在（0，+∞）上具有單調性，
必須f′(x)>0或f′(x)<0，即有在區間（0，+∞）上恒成立
∵x∈（0，+∞）時∈(0,1),
故當a≤0時>a恒成立，此時f′(x)>0，函數在（0，+∞）上是增函數。
當a≥1時，∴當a≤0或a≥1時，f(x) 在（0，+∞）上具有單調性
四、解（證）不等式
例6、解不等式
解 構造函數f(x)=lnx+x－1(x>0),則f′(x)= >0,∴f(x)在（0，+∞）上是增函數。
原不等式為∴
故當m>0時，其解集為（m,2m）;當m<0時，其解集為（2m,m）.
例7、已知i、m、n是正整數且1(1+n)m
證明：∵1設f(x)=
∵x≥2 ∴
∴f′(x)<0, f(x)在上是減函數
∵2≤m即nln(1+m)>mln(1+n) ∴(1+m)n>(1+n)m
例8、已知函數f(x)=x3+ax+b滿足f(0)= f(1)，P(x1,y1),Q(x2,y2)是其圖象上任意兩個點，
若
解 由f(0)= f(1)得a=－1，從而f(x)=x3－x+b.令f′(x)=3x2－1≥0,有,
即f(x)在上為減函數。
所以當x∈[－1,1]時fmax(x)=max,
fmin(x)=min.
而所以恒有
五、求參數的取值范圍
例9、已知兩個函數f(x)=7x2－28x－c,g(x)=2x3+4x2－40x
⑴若對任意x∈[－3,3]都有f(x)≤g(x)成立，求實數c的范圍
⑵若對任意x1∈[－3,3], x2∈ [－3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求實數c的范圍
解 ⑴根據題意可以轉化為對于任意x∈[－3,3]都有g(x) －f(x) ≥0恒成立，
令F(x)= g(x) －f(x)=2x3－3x2－12x+c,只要對于x∈[－3,3]有Fmin(x) ≥0成立。
F′(x)=6x2－6x－12,讓F′(x)=0，得x1=－1,x2=2.這兩點將數軸分成三個區間：
（-∞, －1）,( －1,2), (2,+∞).易知F′(x)在這三個區間的符號分別為+、－、+。
因此，F(x)在x=2處取得極小值－28+c，在x=－3處的值為－45+c,
而在x=3處的值為－9+c。所以Fmin(x)= －45+c。
因此，要滿足題目條件，只需－45+c≥0，可得c≥45
∴實數c的取值范圍為
⑵根據題意可以轉化為對于任意x∈[-3,3]都有gmin(x) ≥fmax(x) 成立
由g′(x)=6x2+8x-40=0,得x1=,x2=2. 這兩點將數軸分成三個區間：
（－∞, ）,( ,2), (2,+∞).易知F′(x)在這三個區間的符號分別為+、－、+。
由f′(x)=14x－28=0,得x=2，這一點將數軸分成兩個區間：（－∞，2），(2,+∞)。
易知f′(x) 在這兩個區間的符號分別為+，－。
因此在x∈[－3,3]，gmin(x)=g(2)= －48 ,fmax(x)=f(－3)=147－c.
所以147－c≤－48,得c≥195
∴實數c的取值范圍為
例10、已知函數
⑴若f(x)的圖象有與x軸平行的切線，求b的取值范圍;
⑵若f(x)在x=1時取得極值，且x∈[－1,2]時，f(x)解 ⑴f′(x)=3x2－x+b。設切點P(x0,y0),則f(x)在點P的切線的斜率
k= f′(x0)= ,由題意f′(x0)= =0有解，
故有△=1－12b≥0∴b≤
⑵∵f(x)在x=1時取得極值
∴x=1為方程f′(x)=3x2－x+b=0的一個根 ∴b=－2
∴由3x2－x－2=0可得f′(x)=0的另一根為x2=
∵當x<或x>1時，f′(x)>0,
∴當x∈[－1,2]時，f(x)在[－1，]上為增函數，在(,1)上為減函數，
在[1，2]上為增函數。∴f(x)有極大值f()=,又f(2)=2+c.
∴x∈[－1,2]時, f(x)有最大值f(2)=2+c
∵f(x)∴2+c∴c<－1或c>2
六、求曲線的切線方程
例11、已知曲線y=
⑴求曲線在點P(1,1)處的切線方程
⑵求曲線過點Q(1,0)的切線方程
⑶求滿足斜率為的曲線的切線方程
解 ⑴∵y′=.又P(1,1)是曲線上的點
∴P為切點，所求切線的斜率為k= f′(1)= －1
所以曲線在P點處的切線方程為y－1=－(x－1),即y=－x+2
⑵顯然Q(1,0)不在曲線上，則可設過該點的切線的切點為A(a, ),
則該切線斜率為k1= f′(a)= 則切線方程為
將Q(1,0)代入得 ∴a=,
故所求切線方程為y=－4x+4
⑶設切點坐標為A(a, )，則切線的斜率為k2==解得
a=代入點斜式方程得
即切線方程為
例12、已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=－x2+a,如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線。
問a為何值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程
解 函數y=x2+2x的導函數是y′=2x+2,
曲線C1在點的切線方程是
①
函數y=－x2+a的導函數是y′=－2x。
曲線C2在點的切線方程是
②
如果l是過P和Q的公切線，則①和②都是l的方程，則有
=4－4×2(1+a)=0,即a=時，x1=,此時P、Q重合。
∴a=時，C1和C2有且僅有一條公切線，公切線的方程為y=x
七、解決實際應用問題
例13、如圖，直線MN為寬度忽略不計的一條小溪，小溪的一側是沙地，另一側是草地，沙地上的點A到小溪MN的距離AC=20km，草地上的點B到小溪MN的距離BD=30km，且CD=70km,現有一位騎士要把情報從A送到B，已知騎士在草地上行進的速度是在沙地上行進速度的2倍，騎士應選擇怎樣的行進路線才能盡快將情報送出？
解 設騎士行進路線為AOB(O在直線MN上),以10km為單位，
令CO=x,則OD=7－x(0≤x≤7),
不妨設騎士在沙地上的速度為1，則在草地上的速度為2，
騎士行進的總時間為y=
令y′=0，得唯一的極值點x=1.
所以當O點選在離C點10km處時，能使騎士從A到B用時最少。
例14、從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數t，如圖所示
⑴把鐵盒的容積V表示為x的函數，并指出其定義域;
⑵x為何值時，容積V有最大值。
解 ⑴由已知得盒子底面正方形的邊長為2a－2x,高為x，
則V=(2a－2x)2x=4x(a－x)2
⑵V=4x(a－x)2=4x3－8ax2+4a2x,
∴V′=12x2－16ax+4a2,令V′=0,則x=,或x=a(舍去)
若≤,即t≥時
x
(0, )
(,)
V′
+
0
－
∴當x=時,V取極大值，而V存在最大值
∴當x=時,V取最大值。
若>,即00
∴V在上是增函數，∴當x=時V取最大值
綜上所述，當t≥，x=時，容積V取最大值
當0例15、在直線軌道上運行的一列火車，從剎車到停車這段時間內，測得剎車后t秒內列車前進的距離s=36t－0.45t2 (單位是米)。這列車在剎車后幾秒鐘才停車？剎車后又運行了多少米？
解 ∵s=36t－0.45t2,∴s′=36－0.9t,令36－0.9t=0，得t=40(秒)
s=36×40－0.45×402=2160（米）
答：這列車在剎車后40秒鐘才停車，剎車后又運行了2160米。
通過上述例子，可以看出利用導數法解決函數問題，具有一定的程序性。比如要求過點的切線方程，首先判斷這一點是否是切點，若是，則求函數的導函數，并將此點的橫坐標代入得到的值就是過此切點的切線斜率，再用點斜式寫出所求切線方程。若不是，則先設切點坐標，然后求函數的導函數，并將切點的橫坐標代入得到的值就是過此切點的切線斜率，再用點斜式寫出所求切線方程，最后把已知的點坐標代入切線方程求出待定系數，從而求出切線方程。再如要求函數的單調區間或判斷單調性，首先求函數的導函數，讓導函數的值大于零，解出的為增區間;反之，讓導函數的值小于零，解出的為減區間。又如要求函數在某區間上的極值、最值及值域，首先求函數的導函數，令導函數等于零，解出根，這時這些根把數軸分成幾個部分，再判斷導函數在這幾部分內的正負性，從而得出函數的單調性，進而求出函數的極大值和極小值，再求出函數在區間端點值的函數值，進行比較，最小的為函數的最小值;最大的為函數的最大值，從而就可以求出相應的極值、最值及值域。
綜上所述，利用導數法來研究函數問題是較為有效的方法。因此熟練掌握基本初等函數的求導公式和深刻理解利用導數解題的方法是非常必要的。同時也要注意導數與函數、函數與方程、不等式之間的內在聯系，更要注意結合函數的周期性、奇偶性及對稱性等初等函數基本性質，把導數作為解函數的一種工具更加具體深入的體現出來。

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