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專題7 平面向量
一、平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度或模．
2．零向量：長度為0的向量叫做零向量，記為．當(dāng)有向線段的起點與終點重合時，．
3．單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．與共線的單位向量為：（即）．
4．共線向量：方向相同或相反的非零向量叫做共線向量或平行向量．，，規(guī)定．
5．相等向量：長度相等且方向相同的向量稱為相等向量．
6．相反向量：與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．
二、平面向量的線性運算
1．向量加法運算：
（1）三角形法則：(首尾相接、首尾連)．
（2）平行四邊形法則：以向量為鄰邊作平行四邊形，則．
（3）向量加法滿足的運算律：交換律，結(jié)合律．
2．向量減法運算：
（1）三角形法則：(共起點、連終點，指向被減向量終點)．
（2）平行四邊形法則：以向量為鄰邊作平行四邊形，則．
3．向量數(shù)乘運算：
（1）規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘運算，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)時，與方向相同；當(dāng)時，與方向相反；當(dāng)時，．
（2）向量數(shù)乘運算滿足的運算律：
①； ②； ③；
④； ⑤；
⑥．（）
（3）向量共線定理：存在，使得．
三、平面向量的坐標(biāo)運算
1．平面向量的坐標(biāo)運算：設(shè)，則
⑴， ⑵， ⑶，
⑷設(shè)點，，則，
2．平面向量共線定理的坐標(biāo)表示：已知，若．
四、平面向量的數(shù)量積：
1．已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則．
2．平面向量數(shù)量積滿足的運算性質(zhì)：
⑴； ⑵； ⑶．
3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角：
⑴設(shè)非零向量，則
①，
②，
③．
⑵設(shè)，則，或；
設(shè)點，，則，．
題型1 平面向量的線性運算
例1．如圖，在平行四邊形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則分析求解.
【詳解】因為為平行四邊形，所以.
故選：B.
例2．如圖，ABC中，，，，用，表示，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形法則得，然后將即可得出答案.
【詳解】,
故選：D.
題型2 平面向量的數(shù)量積--數(shù)量積的計算
例1．已知等邊三角形邊長為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義域運算，即可求解.
【詳解】由向量的數(shù)量積的運算，可得.
故選：A.
例2．已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律計算即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：C.
例3．已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積公式，即可求得本題答案.
【詳解】，
故選：C
題型3 平面向量的數(shù)量積--夾角的計算
例1．若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的夾角公式進行計算即可.
【詳解】設(shè)向量與的夾角是，
則．
又因為，所以．
故選：A．
例2．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律和夾角公式求解.
【詳解】由題意，得，即，
所以，所以，
故選:C．
題型4 平面向量的數(shù)量積--模的計算
例1．已知，是夾角為60°的單位向量，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求，從而得到.
【詳解】，
故.
故選：C
例2．已知，且，則等于（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量垂直得出其數(shù)量積為0，即可根據(jù)向量的模長求法得出答案.
【詳解】，，
，
故選：A.
題型5 平面向量的坐標(biāo)運算--加減數(shù)乘
例1．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運算即可得解.
【詳解】因為，，
所以.
故選：D.
例2．若向量，，則向量的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算可得答案.
【詳解】向量，，
則向量.
故選：A.
題型6 平面向量的坐標(biāo)運算--數(shù)量積、模
例1．已知向量，，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可.
【詳解】由題意，， ，因此.
故選：B
例2．設(shè)，，，則（ ）
A．11 B．5 C．-14 D．10
【答案】A
【分析】先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出，的坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】因為，，，所以，，
所以.
故選：A
例3．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用平面向量減法和模的坐標(biāo)運算公式求解即可.
【詳解】由題意知，，所以.
故選：A.
例4．已知向量，，則（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)運算求出，再由向量模公式求解即可.
【詳解】因為，
所以.
故選：B
題型7 平面向量的坐標(biāo)運算--平行垂直、夾角
例1．已知向量，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求出，根據(jù)平行得到方程，求出答案.
【詳解】，
由可得，解得.
故選：D
例2．已知平面向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算列方程求解.
【詳解】因為，
所以，
解得．
故選：A.
例3．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夾角公式直接求解.
【詳解】，則，所以C正確.
故選：C.
例4．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】因為，
所以.
故選：C.
1．在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】
因為，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
2．如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量相等的概念及向量的加法法則判斷選項即可.
【詳解】因為四邊形是菱形，
所以根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，，
，故C對D錯；
因為向量方向不同，所以，，故AB錯誤.
故選：C
3．已知，，且，則（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解.
【詳解】因為，
結(jié)合已知向量垂直知：，
故選:C.
4．已知均是單位向量，，則（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】將兩邊平方，再根據(jù)數(shù)量積得運算律即可得解.
【詳解】因為均是單位向量，所以，
又，則，
即，所以.
故選：D.
5．已知非零單位向量的夾角為，若與垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解即可.
【詳解】若與垂直，
則，
又單位向量的夾角為，
則，，，
所以，解得.
故選：D
6．已知向量，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律直接計算.
【詳解】由，，
得，
故選：D.
7．已知，且，則向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的數(shù)量積運算律和夾角公式求解.
【詳解】由可得，，
所以，
所以，又因為，所以，
故選：A.
8．若平面向量，的夾角為60°，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，再分別求出對應(yīng)的向量數(shù)量積，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，向量，的夾角為60°，且，
A項，，故A不正確;
B項，因為，∴，故B正確;
C項，，故C不正確;
D項，，故D不正確.
故選：B.
9．已知，，，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量夾角公式即可代入求解.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為θ，則，
因為，所以.
故選:D.
10．已知空間向量，滿足，，，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】目標(biāo)式平方，利用轉(zhuǎn)化法求解可得
【詳解】因為，，，
所以，
所以.
故選：C
11．已知向量、的夾角為，，，則（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】利用向量數(shù)量積和向量模的定義解決本題.
【詳解】由向量、的夾角為，，，得出.
則.
故選：C
12．已知向量，，，若，則（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】運用共線向量的坐標(biāo)表達式即得.
【詳解】由，，又由，可得：，解得.
故選：A.
13．已知向量滿足，則（ ）
A． B．0 C．5 D．7
【答案】C
【分析】先求出，進而利用向量數(shù)量積公式求出答案.
【詳解】因為，所以，
故.
故選：C
14．已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式計算即可.
【詳解】由，
得，
因為，所以，解得.
故選：B.
15．已知平面向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化的加法運算即可得到答案.
【詳解】，
故選：C.
16．已知向量，則（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用數(shù)量積坐標(biāo)公式計算即可.
【詳解】.
故選：D
17．已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可解得.
【詳解】由可得，
即，解得.
故選：A
18．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出，進而利用模長公式求出答案.
【詳解】由題意得，解得，
則，則.
故選：A
19．設(shè)，，向量，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直和平行求得，進而求得.
【詳解】由于，所以；
由于，所以；
所以，
所以.
故選：B
20．已知向量，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量與夾角為，求出、和的值，進而計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)向量與夾角為，
向量，，
則，，，
則．
故選：A．
21．已知平面向量，，則與夾角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量夾角公式直接求解即可.
【詳解】設(shè)與的夾角為，則，
，.
故選：B.專題7 平面向量
一、平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度或模．
2．零向量：長度為0的向量叫做零向量，記為．當(dāng)有向線段的起點與終點重合時，．
3．單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．與共線的單位向量為：（即）．
4．共線向量：方向相同或相反的非零向量叫做共線向量或平行向量．，，規(guī)定．
5．相等向量：長度相等且方向相同的向量稱為相等向量．
6．相反向量：與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．
二、平面向量的線性運算
1．向量加法運算：
（1）三角形法則：(首尾相接、首尾連)．
（2）平行四邊形法則：以向量為鄰邊作平行四邊形，則．
（3）向量加法滿足的運算律：交換律，結(jié)合律．
2．向量減法運算：
（1）三角形法則：(共起點、連終點，指向被減向量終點)．
（2）平行四邊形法則：以向量為鄰邊作平行四邊形，則．
3．向量數(shù)乘運算：
（1）規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘運算，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)時，與方向相同；當(dāng)時，與方向相反；當(dāng)時，．
（2）向量數(shù)乘運算滿足的運算律：
①； ②； ③；
④； ⑤；
⑥．（）
（3）向量共線定理：存在，使得．
三、平面向量的坐標(biāo)運算
1．平面向量的坐標(biāo)運算：設(shè)，則
⑴， ⑵， ⑶，
⑷設(shè)點，，則，
2．平面向量共線定理的坐標(biāo)表示：已知，若．
四、平面向量的數(shù)量積：
1．已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則．
2．平面向量數(shù)量積滿足的運算性質(zhì)：
⑴； ⑵； ⑶．
3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角：
⑴設(shè)非零向量，則
①，
②，
③．
⑵設(shè)，則，或；
設(shè)點，，則，．
題型1 平面向量的線性運算
例1．如圖，在平行四邊形中，（ ）
A． B． C． D．
例2．如圖，ABC中，，，，用，表示，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型2 平面向量的數(shù)量積--數(shù)量積的計算
例1．已知等邊三角形邊長為，則（ ）
A． B． C． D．
例2．已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．2
例3．已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
題型3 平面向量的數(shù)量積--夾角的計算
例1．若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（ ）
A． B． C． D．
例2．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
題型4 平面向量的數(shù)量積--模的計算
例1．已知，是夾角為60°的單位向量，則（ ）
A．1 B． C． D．
例2．已知，且，則等于（ ）
A．5 B． C． D．
題型5 平面向量的坐標(biāo)運算--加減數(shù)乘
例1．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
例2．若向量，，則向量的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
題型6 平面向量的坐標(biāo)運算--數(shù)量積、模
例1．已知向量，，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
例2．設(shè)，，，則（ ）
A．11 B．5 C．-14 D．10
例3．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
例4．已知向量，，則（ ）
A． B．5 C． D．4
題型7 平面向量的坐標(biāo)運算--平行垂直、夾角
例1．已知向量，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
例2．已知平面向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．4
例3．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
例4．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
1．在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B． C． D．
3．已知，，且，則（ ）
A．1 B． C． D．5
4．已知均是單位向量，，則（ ）
A． B．0 C． D．1
5．已知非零單位向量的夾角為，若與垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，則向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
8．若平面向量，的夾角為60°，且，則（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
10．已知空間向量，滿足，，，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
11．已知向量、的夾角為，，，則（ ）
A．4 B． C．5 D．
12．已知向量，，，若，則（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
13．已知向量滿足，則（ ）
A． B．0 C．5 D．7
14．已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
15．已知平面向量，，則（ ）
A． B． C． D．
16．已知向量，則（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
17．已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
18．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．5
19．設(shè)，，向量，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．10
20．已知向量，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．1
21．已知平面向量，，則與夾角的大小為（ ）
A． B． C． D．

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