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專題2.3 直線的方程（一）：直線方程的幾種形式-重難點題型精講
1．直線的點斜式方程
(1)直線的點斜式方程的定義：
設直線l經過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.
(2)點斜式方程的使用方法：
①已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標都等于x1，所以直線方程為x= x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.
2．直線的斜截式方程
(1)直線的斜截式方程的定義：
設直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.
3．直線的兩點式方程
(1)直線的兩點式方程的定義：
設直線l經過兩點 ()，則方程叫作直線l的兩點式方程.
(2)兩點式方程的使用方法：
①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當時，直線方程為 (或).
③當時，直線方程為 (或).
4．直線的截距式方程
(1)直線的截距式方程的定義：
設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.
(2)直線的截距式方程的適用范圍：
選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行(或重合)的直線.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.
②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的坐標求解k，得到直線方程.
5．直線的一般式方程
(1)直線的一般式方程的定義：
在平面直角坐標系中，任何一個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.
對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)，
當B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當A=0時，它表示垂直于y軸的直線.
當B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.
(2)一般式方程的使用方法：
直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達式，它適用于任何一條直線.
6．辨析直線方程的五種形式
7．方向向量與直線的參數方程
除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質上是一致的.
如圖1，設直線l經過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據向量共線的充要條件，存在唯一的實數t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，實數t是對應點P的參變數，簡稱參數.
由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數t使①成立；反之，對于參數t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數方程.
【題型1 直線的點斜式方程】
【方法點撥】
(1)當直線的斜率存在時，已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用公式求直線方程.
(2)若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，此時直線方程為x=；
【例1】（2022·全國·高二課時練習）直線的點斜式方程可以表示（ ）.
A．任何一條直線 B．不過原點的直線
C．不與y軸垂直的直線 D．不與x軸垂直的直線
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）在等腰三角形中，，、，點在軸的正半軸上，則直線的點斜式方程為（　　）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022·四川樂山·高二期末（文））過點且斜率為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）過點且傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 直線的斜截式方程】
【方法點撥】
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用公式y=kx+b求直線方程.
【例2】（2021·全國·高二課時練習）過點與的直線的斜截式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2021·全國·高二課時練習）直線用斜截式表示，下列表達式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2021·遼寧·高一開學考試）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為6，則k值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 直線的兩點式方程】
【方法點撥】
已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用公式求直線方程.
注：①當時，直線方程為 (或).
②當時，直線方程為 (或).
【例3】（2022·全國·高二課時練習）過兩點的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知直線l經過、兩點，點在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）經過兩點、的直線方程都可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022·全國·高二課時練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 直線的截距式方程】
【方法點撥】
(1)已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用公式求直線方程.
(2)已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的坐標求解k，得到直線方程.
【例4】（2022·全國·高二）已知直線過點，且與，軸的正半軸分別交于，兩點．若的面積為12（為坐標原點），則直線的截距式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高一課時練習）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為　(　　)
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2021·全國·高二專題練習）過兩點A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程為．
【變式4-3】（2021·全國·高一課時練習）已知直線經過點和點，求直線的一般式方程和截距式方程，并根據方程指出直線在x軸、y軸上的截距．
【題型5 直線的一般式方程】
【方法點撥】
(1)設所求直線的一般式方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0)，根據條件，列出方程（組），解方程（組），
得出直線方程.
(2)根據條件，選擇適當的直線方程形式，設出直線方程，結合條件，進行求解，最后化為直線的一般式方
程.
【例5】（2022·全國·高二課時練習）直線經過第一、三、四象限，則（　　）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）若方程表示一條直線，則實數m滿足（ ）
A． B．
C． D．且且
【變式5-2】（2022·吉林·高二階段練習（理））經過點，斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）關于x、y的方程表示的直線（圖中實線）可能是（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 由直線的方向向量求直線方程】
【方法點撥】
根據直線的方向向量求出直線的斜率，結合直線所過的點，利用點斜式方程的求法即可求出直線方程.
【例6】（2022·全國·高二專題練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2021·全國·高二課時練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2022·上海·高三專題練習）過點，且與直線有相同方向向量的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2021·全國·高二課時練習）過點 ，且以為方向向量的直線方程為（　　）
A． B．y＝2x+1 C． D．專題2.3 直線的方程（一）：直線方程的幾種形式-重難點題型精講
1．直線的點斜式方程
(1)直線的點斜式方程的定義：
設直線l經過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.
(2)點斜式方程的使用方法：
①已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標都等于x1，所以直線方程為x= x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.
2．直線的斜截式方程
(1)直線的斜截式方程的定義：
設直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.
3．直線的兩點式方程
(1)直線的兩點式方程的定義：
設直線l經過兩點 ()，則方程叫作直線l的兩點式方程.
(2)兩點式方程的使用方法：
①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當時，直線方程為 (或).
③當時，直線方程為 (或).
4．直線的截距式方程
(1)直線的截距式方程的定義：
設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.
(2)直線的截距式方程的適用范圍：
選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行(或重合)的直線.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.
②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的坐標求解k，得到直線方程.
5．直線的一般式方程
(1)直線的一般式方程的定義：
在平面直角坐標系中，任何一個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.
對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)，
當B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當A=0時，它表示垂直于y軸的直線.
當B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.
(2)一般式方程的使用方法：
直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達式，它適用于任何一條直線.
6．辨析直線方程的五種形式
7．方向向量與直線的參數方程
除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質上是一致的.
如圖1，設直線l經過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據向量共線的充要條件，存在唯一的實數t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，實數t是對應點P的參變數，簡稱參數.
由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數t使①成立；反之，對于參數t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數方程.
【題型1 直線的點斜式方程】
【方法點撥】
(1)當直線的斜率存在時，已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用公式求直線方程.
(2)若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，此時直線方程為x=；
【例1】（2022·全國·高二課時練習）直線的點斜式方程可以表示（ ）.
A．任何一條直線 B．不過原點的直線
C．不與y軸垂直的直線 D．不與x軸垂直的直線
【解題思路】由點斜式方程的定義可得答案.
【解答過程】點斜式方程適用的前提條件是斜率存在，故其可表示不與x軸垂直的直線．
故選：D.
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）在等腰三角形中，，、，點在軸的正半軸上，則直線的點斜式方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】設線段的中點為，連接，可知軸，求出點的坐標，進而可求得直線的點斜式方程.
【解答過程】設線段的中點為，連接，
，則軸，則點，故點，
所以，直線的斜率為，
所以直線的點斜式方程為．
故選：D．
【變式1-2】（2022·四川樂山·高二期末（文））過點且斜率為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用點斜式可得出所求直線的方程.
【解答過程】由題意可知所求直線的方程為，即.
故選：B.
【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）過點且傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據直線的點斜式方程即可得出答案.
【解答過程】解：因為直線的傾斜角為135°，所以直線的斜率，
所以直線方程為，即.
故選：D．
【題型2 直線的斜截式方程】
【方法點撥】
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用公式y=kx+b求直線方程.
【例2】（2021·全國·高二課時練習）過點與的直線的斜截式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設所求直線的斜截式方程為，將點、的坐標代入直線方程，求出、的值，即可得解.
【解答過程】設所求直線的斜截式方程為，則，解得，
因此，直線的斜截式方程為.
故選：B.
【變式2-1】（2021·全國·高二課時練習）直線用斜截式表示，下列表達式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】化方程為斜截式即可.
【解答過程】直線用斜截式表示為，
故選：B．
【變式2-2】（2021·遼寧·高一開學考試）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為6，則k值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線與軸交點和與軸交點的坐標，利用面積公式計算即可.
【解答過程】對于直線，能與兩坐標軸圍成三角形，則，
令，得，所以直線與軸交點坐標為，
令，得，所以直線與軸交點坐標為，
所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，
解得.
故選：D.
【變式2-3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據直線斜率與軸上的截距的關系判斷選項即可得解.
【解答過程】，
直線的方程在軸上的截距不小于2，且當時，軸上的截距為2，
故D正確，當時，, 故B不正確，當時，或，由圖象知AC正確.
故選：B.
【題型3 直線的兩點式方程】
【方法點撥】
已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用公式求直線方程.
注：①當時，直線方程為 (或).
②當時，直線方程為 (或).
【例3】（2022·全國·高二課時練習）過兩點的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據兩點式方程直接求解即可.
【解答過程】解：∵直線過兩點和，
∴直線的兩點式方程為＝，整理得.
故選：C.
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知直線l經過、兩點，點在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解題思路】根據直線的兩點式方程即可求解.
【解答過程】由題意知不與軸平行，故由直線的兩點式方程可得，解得：，
故選：C.
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）經過兩點、的直線方程都可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據兩點式直線方程即可求解.
【解答過程】當經過、的直線不與軸平行時，所有直線均可以用，
由于可能相等，所以只有選項C滿足包括與軸平行的直線.
故選:C.
【變式3-3】（2022·全國·高二課時練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.
【解答過程】由直線的兩點式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
【題型4 直線的截距式方程】
【方法點撥】
(1)已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用公式求直線方程.
(2)已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的坐標求解k，得到直線方程.
【例4】（2022·全國·高二）已知直線過點，且與，軸的正半軸分別交于，兩點．若的面積為12（為坐標原點），則直線的截距式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設出直線的截距式方程，根據題意求出待定系數，可得結論．
【解答過程】解：設直線的方程為，則的面積為①．
因為直線過點，所以②．
聯立①②，解得，，
故直線的方程為，
故選：A．
【變式4-1】（2022·全國·高一課時練習）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為　(　　)
A． B．
C． D．
【解題思路】由中點坐標公式得到點的坐標，即可得到直線的兩點式方程，由兩點式方程轉化為截距式方程即可.
【解答過程】解：因為三頂點坐標為，
又為的中點，為的中點，由中點坐標公式可得：，
則直線的兩點式方程為：，故截距式方程為.
故選：A．
【變式4-2】（2021·全國·高二專題練習）過兩點A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程為．
【解題思路】根據已知兩點可直接得出.
【解答過程】解析：由于直線過A(0，3)，B(－2，0)兩點，所以直線在x軸、y軸上的截距分別為－2，3.由截距式可知，方程為.
故答案為：.
【變式4-3】（2021·全國·高一課時練習）已知直線經過點和點，求直線的一般式方程和截距式方程，并根據方程指出直線在x軸、y軸上的截距．
【解題思路】根據直線過求得兩點式方程，再轉化其他形式即可.
【解答過程】解：
∵直線過，
∴由兩點式得．
整理得一般式方程為，
兩邊同除以，整理得截距式方程為，
由截距式方程可知，直線在x軸、y軸上的截距分別為、16．
【題型5 直線的一般式方程】
【方法點撥】
(1)設所求直線的一般式方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0)，根據條件，列出方程（組），解方程（組），
得出直線方程.
(2)根據條件，選擇適當的直線方程形式，設出直線方程，結合條件，進行求解，最后化為直線的一般式方
程.
【例5】（2022·全國·高二課時練習）直線經過第一、三、四象限，則（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】數形結合根據斜率與截距列不等式求解即可.
【解答過程】直線經過第一、三、四象限，如圖所示，
則，且，則．
故選：B．
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）若方程表示一條直線，則實數m滿足（ ）
A． B．
C． D．且且
【解題思路】若表示一條直線，則不能同時為0，即.
【解答過程】當時，m＝1或m＝－1；當時，m＝0或m＝1.
要使方程表示一條直線，則，不能同時為0，
所以，
故選：B.
【變式5-2】（2022·吉林·高二階段練習（理））經過點，斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出直線方程的點斜式，然后化為一般式即可.
【解答過程】解：由題意得，經過點，斜率為的直線方程為，
即.
故選：C.
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）關于x、y的方程表示的直線（圖中實線）可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意可得直線的斜率為，在軸上的截距為，直線的斜率和它在軸上的截距的乘積為，逐個分析判斷即可.
【解答過程】關于x、y的方程表示的是直線，且直線的斜率為，在軸上的截距為，直線的斜率和它在軸上的截距的乘積為，
對于A，直線的斜率和它在軸上的截距都是正數，不滿足題意，所以排除A，
對于B，直線的斜率小于1，它在軸上的截距大于小于零，不滿足題意，所以排除B，
對于C，直線的斜率和它在軸上的截距都是負數，不滿足題意，所以排除C，
對于D，直線的斜率小于，它在軸上的截距大于零小于1，能滿足條件，所以D可能成立，
故選：D.
【題型6 由直線的方向向量求直線方程】
【方法點撥】
根據直線的方向向量求出直線的斜率，結合直線所過的點，利用點斜式方程的求法即可求出直線方程.
【例6】（2022·全國·高二專題練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.
【解答過程】由方向向量得直線的斜率為－，所以得直線方程為，即．
故選：C.
【變式6-1】（2021·全國·高二課時練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.
【解答過程】因為所求直線的方向向量為，所以該直線的斜率為．
又該直線過點，所以所求直線的方程為，即．
故選：C.
【變式6-2】（2022·上海·高三專題練習）過點，且與直線有相同方向向量的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用直線的方向向量與直線平行與斜率的關系，即可得出．
【解答過程】由可得，3x+5y+8＝0，即直線的斜率，
由題意可知所求直線的斜率k，
故所求的直線方程為y（x+1）即3x+5y+3＝0．
故選：B．
【變式6-3】（2021·全國·高二課時練習）過點 ，且以為方向向量的直線方程為（　　）
A． B．y＝2x+1 C． D．
【解題思路】求出以為方向向量的直線的斜率，再根據直線過點，用點斜式求直線的方程可得答案.
【解答過程】根據直線的方向向量的概念，得以為方向向量的直線的斜率等于，
再根據直線過點，用點斜式求出直線方程為，即，
故選：A.

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