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專題2.7 直線的交點坐標與距離公式-重難點題型精講
1．兩條直線的交點坐標
(1)兩條直線的交點坐標
一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相
交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.
(2)兩條直線的位置關系與方程組的解的關系
設兩直線,直線.
2．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
3．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
4．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
5．中點坐標公式
公式：
設平面上兩點，線段的中點為，則.
【題型1 求兩直線的交點坐標】
【方法點撥】
(1)求兩直線的交點坐標，通常情況下解由兩直線方程組成的方程組即可.
(2)若已知交點坐標求直線方程中的變量，直接代入交點坐標即可.
【例1】（2022·全國·高二專題練習）直線與直線的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·貴州·高二學業考試）直線與直線的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知，，，則ABC垂心的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限內，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．或
【題型2 經過兩直線交點的直線方程】
【方法點撥】
①經過兩直線，的交點的直線方程為
(除直線)，其中是待定系數；結合已知條件求出，即可得解.
②聯立兩直線方程，求出交點坐標，結合已知條件設出所求直線方程，代入點即可得解.
【例2】（2022·全國·高二專題練習）過原點和直線與的交點的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022·北京高二期中）過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022·江蘇·高二課時練習）過兩條直線與的交點，傾斜角為的直線方程為( )
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習）已知直線，，則過和的交點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 兩點間的距離公式的應用】
【方法點撥】
平面上兩點間距離公式的應用主要有以下兩種：
(1)已知所求點的相關信息及該點到某點的距離滿足某些條件時，設出所求點的坐標，利用兩點間距離公式
建立關于所求點的坐標的方程或方程組求解.
(2)利用兩點間距離公式可以判斷三角形的形狀.從三邊長入手，如果有邊長相等，則可能是等腰或等邊三
角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形.
【例3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知點，，那么A，B兩點之間的距離等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
【變式3-1】（2021·廣西·高二期中）已知，，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直線：與直線：的交點為，則點與點間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線過定點，直線過定點，與相交于點，則（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【題型4 點到直線的距離公式的應用】
【方法點撥】
(1)求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式，直接應用點到直線
的距離公式求解即可.
(2)若已知點到直線的距離求參數或直線方程時，只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可.
(3)點到直線的距離是直線上的點與直線外一點的連線的最短距離，某些距離的最值問題可以轉化為點到直
線的距離問題來求解.
(4)因為角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，因此可用點到直線的距離公式解決有關角平分線的問題.
【例4】（2022·河南·高二階段練習）在平面直角坐標系中，點的坐標為，則點 原點到直線的距離不都為1的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·江蘇·高二階段練習）點到直線的距離大于5，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022·全國·高二課時練習）直線l經過點，且與點和點的距離之比為1：2，則直線l的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式4-3】（2022·河南·高二階段練習）已知平面上一點M（5，0），若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 兩條平行直線間的距離公式的應用】
【方法點撥】
第一步：將兩條直線的方程轉化為一般式方程；
第二步：轉化兩條直線的方程中的一個方程，使得它們x，y的系數對應相同；
第三步：使用公式直接求解兩條平行直線間的距離.
【例5】（2022·河北·高二階段練習）已知，若直線與直線平行，則它們之間的距離為（ ）
A． B． C． D．或
【變式5-1】（2022·河南·高二階段練習）已知直線與互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4 B． C． D．
【變式5-2】（2022·遼寧·高二開學考試）與兩平行線：，：等距離的直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式5-3】（2022·江蘇·高二課時練習）若直線與直線之間的距離不大于，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．或
【題型6 與距離有關的最值問題】
【方法點撥】
點到直線的距離是點與直線上的點的距離的最小值，兩條平行直線間的距離是在兩條平行直線上各任意取
一點所得兩點間距離的最小值，它們的應用非常廣泛，在某些證明問題或最值問題的解答中尤其常見.
最值問題的常用求法有兩種：
(1)利用解析幾何知識，先設一個函數，然后用函數求最值的方法進行求解.
(2)幾何法：根據幾何圖形直觀判斷哪種情況下取得最值.
常用結論有：兩點之間線段最短；直角三角形的斜邊大于直角邊；三角形的兩邊之和(差)大(小)于第三邊.
【例6】（2022·全國·高三專題練習）原點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）設兩條直線的方程分別為，，已知a，b是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（ ）
A．1， B．， C．， D．1，
【變式6-2】（2022·江蘇·高二階段練習）直線分別交軸和于點，為直線上一點，則的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）過定點的直線與過定點的直線交于點，則的最大值為( )
A．1 B．3 C．4 D．2專題2.7 直線的交點坐標與距離公式-重難點題型精講
1．兩條直線的交點坐標
(1)兩條直線的交點坐標
一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相
交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.
(2)兩條直線的位置關系與方程組的解的關系
設兩直線,直線.
2．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
3．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
4．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
5．中點坐標公式
公式：
設平面上兩點，線段的中點為，則.
【題型1 求兩直線的交點坐標】
【方法點撥】
(1)求兩直線的交點坐標，通常情況下解由兩直線方程組成的方程組即可.
(2)若已知交點坐標求直線方程中的變量，直接代入交點坐標即可.
【例1】（2022·全國·高二專題練習）直線與直線的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】兩直線方程組成方程組，所得解即為兩直線交點坐標.
【解答過程】由，可得，則兩直線交點坐標為
故選：A.
【變式1-1】（2022·貴州·高二學業考試）直線與直線的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接解方程求出兩直線交點坐標即可.
【解答過程】由解得，則直線與直線的交點坐標為.
故選：A.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知，，，則ABC垂心的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，求出AB和BC邊上的高所在直線的方程，然后聯立方程，求解出交點坐標即為ABC垂心的坐標.
【解答過程】解：因為，，，
所以，，
所以AB邊上的高所在直線的方程為x＝1， BC邊上的高所在直線的斜率為1，方程為y＝x，
聯立，得，
所以垂心的坐標為．
故選：D．
【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限內，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】求出兩直線的交點坐標，再根據交點在第一象限建立不等式組求解.
【解答過程】方法一：由直線，有交點，得．由，得，即交點坐標為．又交點在第一象限內，所以，解得．
方法二：由題意知，直線過定點，斜率為k，直線與x軸、y軸分別交于點，．若直線與的交點在第一象限內，則必過線段AB上的點（不包括點A，B）．因為，，所以．故A，B，D錯誤.
故選：C．
【題型2 經過兩直線交點的直線方程】
【方法點撥】
①經過兩直線，的交點的直線方程為
(除直線)，其中是待定系數；結合已知條件求出，即可得解.
②聯立兩直線方程，求出交點坐標，結合已知條件設出所求直線方程，代入點即可得解.
【例2】（2022·全國·高二專題練習）過原點和直線與的交點的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出兩直線的交點，從而可得所求的直線方程.
【解答過程】由可得，
故過原點和交點的直線為即，
故選：C.
【變式2-1】（2022·北京高二期中）過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出兩直線交點，再由與直線平行得出斜率，由點斜式寫出方程即可求解.
【解答過程】由解得，則直線的交點，
又直線的斜率為，則所求直線方程為，整理得.
故選：C.
【變式2-2】（2022·江蘇·高二課時練習）過兩條直線與的交點，傾斜角為的直線方程為( )
A． B．
C． D．
【解題思路】聯立兩條直線的方程求出交點坐標，再根據直線方程的點斜式即可求解．
【解答過程】由解得，故兩直線交點為(－1，2)，
故直線方程是：，即．
故選：A．
【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習）已知直線，，則過和的交點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由于所求出直線與直線垂直，所以設所求直線為，然后求出兩直線的交點坐標，代入上式方程可求出，從而可求出直線方程
【解答過程】由于所求出直線與直線垂直，所以設所求直線為，
由，得，即和的交點為，
因為直線過點，
所以，得，
所以所求直線方程為，
故選：D.
【題型3 兩點間的距離公式的應用】
【方法點撥】
平面上兩點間距離公式的應用主要有以下兩種：
(1)已知所求點的相關信息及該點到某點的距離滿足某些條件時，設出所求點的坐標，利用兩點間距離公式
建立關于所求點的坐標的方程或方程組求解.
(2)利用兩點間距離公式可以判斷三角形的形狀.從三邊長入手，如果有邊長相等，則可能是等腰或等邊三
角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形.
【例3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知點，，那么A，B兩點之間的距離等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
【解題思路】利用平面內兩點間的距離公式直接計算作答.
【解答過程】因點，，則，
所以A，B兩點之間的距離等于3.
故選：C.
【變式3-1】（2021·廣西·高二期中）已知，，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】根據兩點間距離公式即可求解.
【解答過程】因為，，
所以，
故選：C.
【變式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直線：與直線：的交點為，則點與點間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題聯立得，再根據距離公式求解即可.
【解答過程】解：聯立方程，解得，
所以，所以
故選：D.
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線過定點，直線過定點，與相交于點，則（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【解題思路】由題意，直線與直線互相垂直且垂足為點，又直線過定點，直線過定點，在中，根據勾股定理及兩點間的距離公式即可求解.
【解答過程】解：因為，所以直線與直線互相垂直且垂足為點，
又因為直線過定點，直線，即過定點，
所以在中，，
故選：B.
【題型4 點到直線的距離公式的應用】
【方法點撥】
(1)求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式，直接應用點到直線
的距離公式求解即可.
(2)若已知點到直線的距離求參數或直線方程時，只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可.
(3)點到直線的距離是直線上的點與直線外一點的連線的最短距離，某些距離的最值問題可以轉化為點到直
線的距離問題來求解.
(4)因為角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，因此可用點到直線的距離公式解決有關角平分線的問題.
【例4】（2022·河南·高二階段練習）在平面直角坐標系中，點的坐標為，則點 原點到直線的距離不都為1的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分別利用點到直線距離公式即可確定答案.
【解答過程】根據點到直線的距離公式可得，對于A，
點到直線的距離為，
點到直線的距離為，所以A錯誤；
對于B，點到直線的距離為，
點到直線的距離為，所以B正確；
對于C，點直線的距離為，
點O到直線的距離為，所以選項C錯誤；
對于D，點到直線的距離為，
點O到直線的距離為，所以選項D錯誤.
故選:B.
【變式4-1】（2022·江蘇·高二階段練習）點到直線的距離大于5，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用點到直線的距離公式列不等式即可求得.
【解答過程】因為點到直線的距離大于5，
所以，解得：或，
所以實數的取值范圍為.
故選：B.
【變式4-2】（2022·全國·高二課時練習）直線l經過點，且與點和點的距離之比為1：2，則直線l的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【解題思路】根據直線l是否存在斜率，結據點到直線距離公式分類討論進行求解即可.
【解答過程】當直線l斜率不存在時，則方程為，顯然此時該直線與點和點的距離之比為1：3，不符合題意，
當直線l斜率存在時，設為，則此時方程為：，
因為直線與點和點的距離之比為1：2，
所以有，或，
即，或，即，或，
故選：C.
【變式4-3】（2022·河南·高二階段練習）已知平面上一點M（5，0），若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，只需要點M到直線的距離不超過4，則該直線為“切割型直線”，故只需要求各選項的點線距離即可判斷.
【解答過程】根據題意，只需要點M到直線的距離不超過4，則該直線為“切割型直線”，
對于A，可化為，故，故A錯誤；
對于B，易求M到直線距離為，故B錯誤；
對于C，可化為，故，故C正確；
對于D，可化為，故，故D錯誤.
故選：C.
【題型5 兩條平行直線間的距離公式的應用】
【方法點撥】
第一步：將兩條直線的方程轉化為一般式方程；
第二步：轉化兩條直線的方程中的一個方程，使得它們x，y的系數對應相同；
第三步：使用公式直接求解兩條平行直線間的距離.
【例5】（2022·河北·高二階段練習）已知，若直線與直線平行，則它們之間的距離為（ ）
A． B． C． D．或
【解題思路】根據平行關系確定參數，結合平行線之間的距離公式即可得出．
【解答過程】解：直線與直線平行，
，解得或，
又，所以，
當時，直線與直線距離為.
故選：A.
【變式5-1】（2022·河南·高二階段練習）已知直線與互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4 B． C． D．
【解題思路】取直線上的定點，再計算到的距離即可.
【解答過程】取直線上的定點，
則到的距離即到的距離為.
故選：D.
【變式5-2】（2022·遼寧·高二開學考試）與兩平行線：，：等距離的直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【解題思路】設與兩直線平行的直線方程為，再根據平行直線間的距離公式求解即可.
【解答過程】設與兩直線平行的直線方程為，
又：，：，故，
即，故或，故，
所求直線方程為，即.
故選：A.
【變式5-3】（2022·江蘇·高二課時練習）若直線與直線之間的距離不大于，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】利用平行線之間的距離列出不等式求解即可.
【解答過程】直線化為，
則兩直線之間的距離，即，
解得.
所以實數的取值范圍為.
故選：B.
【題型6 與距離有關的最值問題】
【方法點撥】
點到直線的距離是點與直線上的點的距離的最小值，兩條平行直線間的距離是在兩條平行直線上各任意取
一點所得兩點間距離的最小值，它們的應用非常廣泛，在某些證明問題或最值問題的解答中尤其常見.
最值問題的常用求法有兩種：
(1)利用解析幾何知識，先設一個函數，然后用函數求最值的方法進行求解.
(2)幾何法：根據幾何圖形直觀判斷哪種情況下取得最值.
常用結論有：兩點之間線段最短；直角三角形的斜邊大于直角邊；三角形的兩邊之和(差)大(小)于第三邊.
【例6】（2022·全國·高三專題練習）原點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線過的定點，當時，原點到直線距離最大，則可求出原點到直線距離的最大值；
【解答過程】因為可化為，
所以直線過直線與直線交點，
聯立可得
所以直線過定點，
當時，原點到直線距離最大，最大距離即為，
此時最大值為，
故選：C.
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）設兩條直線的方程分別為，，已知a，b是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（ ）
A．1， B．， C．， D．1，
【解題思路】利用韋達定理求出，由可求得，再由平行線間的距離公式得到，即可求出兩條平行直線之間的距離的最大值和最小值.
【解答過程】因為a，b是方程的兩個實根，
所以，，
所以．
又，所以，所以．
由于直線與直線平行，
所以它們之間的距離，
所以，即所求距離的最大值和最小值分別為，．
故選：C．
【變式6-2】（2022·江蘇·高二階段練習）直線分別交軸和于點，為直線上一點，則的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】先求得兩點的坐標，求得關于對稱點的坐標，根據三點共線求得的最大值.
【解答過程】依題意可知，
關于直線的對稱點為，，
即求的最大值，
，
當三點共線，即與原點重合時，取得最大值為，
也即的最大值是.
故選：A.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）過定點的直線與過定點的直線交于點，則的最大值為( )
A．1 B．3 C．4 D．2
【解題思路】由題意可得，且兩直線始終垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【解答過程】由題意可知，動直線經過定點，
動直線即，經過定點，
∵過定點的直線與過定點的直線始終垂直，又是兩條直線的交點，
∴，∴．
故 (當且僅當時取“”)．
故選：C．

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