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專題2.9 點、線間的對稱關系-重難點題型精講
1．點關于點的對稱
2．直線關于點的對稱
3．兩點關于某直線對稱
(4)幾種特殊位置的對稱：
4．直線關于直線的對稱
【題型1 點關于點的對稱問題】
【方法點撥】
點關于點對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎，一般用中點坐標公式解決這種對
稱問題.
【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)與B點關于點(2，1)對稱，則B點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·江蘇·高二專題練習）點關于點對稱的點的坐標為 ．
【變式1-2】（2021·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為 ．
【變式1-3】（2021·江西·高二階段練習（理））已知點關于點的對稱點為，則點到原點的距離是 .
【題型2 直線關于點的對稱問題】
【方法點撥】
【例2】（2022·河南·高二階段練習）直線關于點對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【變式2-1】（2020·山東·高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022·浙江紹興·高二期末）直線與直線關于原點對稱，則的值是
A．， B．，
C．， D．，
【變式2-3】（2022·全國·高二單元測試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關于點M對稱的直線方程為（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【題型3 點關于直線的對稱問題】
【方法點撥】
點關于直線的對稱問題有三種情況：
【例3】（2022·全國·高二課時練習）點關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點關于直線的對稱點為點，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）已知A(4，－3)關于直線l的對稱點為B(－2，5)，則直線l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【變式3-3】（2021·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【題型4 直線關于直線的對稱問題】
【方法點撥】
【例4】（2022·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·江蘇·高二專題練習）兩直線，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·江蘇·高二專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 光的反射問題】
【方法點撥】
光的反射問題，在這里主要是研究一條光線經過點P射到直線l上，然后反射經過點Q，求入射光線或反
射光線所在直線方程等問題，關鍵是利用光學知識得到入射光線所在直線與反射光線所在直線關于直線l
對稱，然后轉化為點(或直線)關于直線的對稱問題來解決.
【例5】（2022·江蘇·高二課時練習）若一束光線從點射入，經直線反射到直線上的點，再經直線反射后經過點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點射出，傾斜角為，遇軸后反射，則反射光線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習）在平面直角坐標系內，一束光線從點A（1，2）出發，被直線反射后到達點B（3，6），則這束光線從A到B所經過的距離為（ ）
A． B． C．4 D．5
【變式5-3】（2022·山東淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光線從F點出發射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 將軍飲馬問題】
【方法點撥】
將軍飲馬問題主要是點、線間的對稱問題，借助題干條件，找出其中蘊含的對稱關系，進行轉化求解即可.
【例6】（2022·江蘇·高二階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短 在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為.則“將軍飲馬“的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2021·遼寧沈陽·高二期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022·河南·高二階段練習）在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即認為回到軍營，則當“將軍飲馬”的總路程最短時，將軍去往河邊飲馬的行走路線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．5 C． D．專題2.9 點、線間的對稱關系-重難點題型精講
1．點關于點的對稱
2．直線關于點的對稱
3．兩點關于某直線對稱
(4)幾種特殊位置的對稱：
4．直線關于直線的對稱
【題型1 點關于點的對稱問題】
【方法點撥】
點關于點對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎，一般用中點坐標公式解決這種對
稱問題.
【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)與B點關于點(2，1)對稱，則B點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據中點坐標公式即可求解.
【解答過程】解：設，由題知，點和點的中點為，則
解得：，
所以點的坐標為
故選：B.
【變式1-1】（2022·江蘇·高二專題練習）點關于點對稱的點的坐標為 ．
【解題思路】由中點坐標公式求解即可
【解答過程】設點關于點對稱的點為，
則點為的中點．
解得．
點關于點對稱的點的坐標為．
故答案為：．
【變式1-2】（2021·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為 ．
【解題思路】設出A點關于B點的對稱點C的坐標，然后直接代入中點坐標公式計算．
【解答過程】設C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點是A，C的中點，
所以，解得．
所以C的坐標為．
故答案為：.
【變式1-3】（2021·江西·高二階段練習（理））已知點關于點的對稱點為，則點到原點的距離是 .
【解題思路】根據對稱性，結合中點坐標公式、兩點間距離公式進行求解即可.
【解答過程】根據中點坐標公式，得，且．
解得，，所以點P的坐標為，
則點到原點的距離．
故答案為：.
【題型2 直線關于點的對稱問題】
【方法點撥】
【例2】（2022·河南·高二階段練習）直線關于點對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【解題思路】首先設對稱直線上任意一點，得到關于對稱點為，再代入直線即可得到答案。
【解答過程】設直線關于點對稱的直線上任意一點，
則關于對稱點為，
又因為在上，
所以，即，
故選：B.
【變式2-1】（2020·山東·高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.
【解答過程】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，
則其關于點對稱的點的坐標為，
因為點在直線上，
所以即.
故選：D.
【變式2-2】（2022·浙江紹興·高二期末）直線與直線關于原點對稱，則的值是
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），分別代入已知的直線方程，即可求得結論．
【解答過程】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），則
∵點（m，n）是直線ax+3y﹣9＝0上任意一點
∴a＝﹣1，b＝﹣9
故選A．
【變式2-3】（2022·全國·高二單元測試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關于點M對稱的直線方程為（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【解題思路】先求出定點M的坐標，再設出與直線2x＋3y－6＝0關于點M對稱的直線方程，利用點到直線距離公式求出答案.
【解答過程】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
設直線2x＋3y－6＝0關于點M對稱的直線方程為，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直線2x＋3y－6＝0關于點M對稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．
故選：B．
【題型3 點關于直線的對稱問題】
【方法點撥】
點關于直線的對稱問題有三種情況：
【例3】（2022·全國·高二課時練習）點關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據點關于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關系即可求解.
【解答過程】設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得.
所以點的坐標為
故選：A.
【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點關于直線的對稱點為點，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意設對稱點坐標為，從而可得，解方程組即可.
【解答過程】設點關于直線對稱的點為，
則，解得，故對稱的點為.
故選：D.
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）已知A(4，－3)關于直線l的對稱點為B(－2，5)，則直線l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【解題思路】求出AB的中點，根據A，B兩點連線的斜率可求出直線l的斜率，即可求出直線方程.
【解答過程】由題意得AB的中點C為(1，1)，又A，B兩點連線的斜率為，
所以直線l的斜率為，因此直線l的方程為，即3x－4y＋1＝0．
故選：B．
【變式3-3】（2021·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【解題思路】先利用線段的中點公式求出線段AB的中點坐標，再把中點坐標代入直線x+2y﹣2＝0，結合斜率關系列方程組，求得，從而求得m+n的值．
【解答過程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關于直線x+2y﹣2＝0對稱，
∴線段AB的中點C（，）在直線x+2y﹣2＝0上，
∴2+n﹣2＝0．
∴m+2n＝7，
而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4，
解方程組，可得m＝3，n＝2，
∴m+n＝5.
故選：C.
【題型4 直線關于直線的對稱問題】
【方法點撥】
【例4】（2022·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先聯立方程得，再求得直線的點關于直線對稱點的坐標為，進而根據題意得所求直線過點，，進而得直線方程.
【解答過程】解：聯立方程得，即直線與直線的交點為
設直線的點關于直線對稱點的坐標為，
所以，解得
所以直線關于直線對稱的直線過點，
所以所求直線方程的斜率為，
所以所求直線的方程為，即
故選：C.
【變式4-1】（2022·江蘇·高二專題練習）兩直線，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出兩直線的交點，在直線上任取一點，求出其關于的對稱點，利用點斜式求出直線方程.
【解答過程】聯立方程，解得，
在直線上任取一點，其關于的對稱點為，
則直線關于直線對稱的直線方程為，即
故選：D.
【變式4-2】（2022·江蘇·高二專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【解題思路】結合兩平行線間的距離公式求得正確選項.
【解答過程】設對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
故選：B.
【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用兩條直線平行的性質求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.
【解答過程】因為直線：與：，
所以，
又兩條平行直線：與：之間的距離是，
所以解得
即直線：，：，
設直線關于直線對稱的直線方程為，
則，解得，
故所求直線方程為，
故選：A.
【題型5 光的反射問題】
【方法點撥】
光的反射問題，在這里主要是研究一條光線經過點P射到直線l上，然后反射經過點Q，求入射光線或反
射光線所在直線方程等問題，關鍵是利用光學知識得到入射光線所在直線與反射光線所在直線關于直線l
對稱，然后轉化為點(或直線)關于直線的對稱問題來解決.
【例5】（2022·江蘇·高二課時練習）若一束光線從點射入，經直線反射到直線上的點，再經直線反射后經過點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題可求A關于直線的對稱點為及關于直線的對稱點為，可得直線的方程，聯立直線，即得.
【解答過程】設A關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
設關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
∴直線的方程為：代入，
可得，故.
故選：C.
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點射出，傾斜角為，遇軸后反射，則反射光線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據對稱關系可求得反射光線斜率和所經過點，利用點斜式可得直線方程.
【解答過程】點關于軸的對稱點為，
又反射光線傾斜角為，斜率，
反射光線所在直線方程為：，即.
故選：C.
【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習）在平面直角坐標系內，一束光線從點A（1，2）出發，被直線反射后到達點B（3，6），則這束光線從A到B所經過的距離為（ ）
A． B． C．4 D．5
【解題思路】作出點A關于直線的對稱點，連接，利用光線關于直線對稱得到即為光線經過路程的最小值，再利用兩點間的距離公式進行求解.
【解答過程】作出點A關于直線的對稱點，
連接，交直線于點，
則即為光線經過路程的最小值，
且，
此即光線從A到B所經過的距離為.
故選：B．
【變式5-3】（2022·山東淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光線從F點出發射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據光線的入射光線和反射光線之間的規律，可先求F點關于直線BC的對稱點P，再求P關于直線AC的對稱點M,由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進而求的其斜率的取值范圍.
【解答過程】由題意可知：直線 的方程為 ，直線的方程為，如圖：
設關于直線的對稱點為，
則,
解得，故，
同理可求關于直線的對稱點為,
連接,交于N，
而MN方程為y=2,聯立得N點坐標為，
連接，分別交于,
方程為：，和直線方程聯立，
解得H點坐標為,
PN的方程為x=2,和直線方程聯立解得，
連接,
則之間即為動點D點的變動范圍，
而 ,
故FD斜率的取值范圍是 ，
故選B.
【題型6 將軍飲馬問題】
【方法點撥】
將軍飲馬問題主要是點、線間的對稱問題，借助題干條件，找出其中蘊含的對稱關系，進行轉化求解即可.
【例6】（2022·江蘇·高二階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短 在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為.則“將軍飲馬“的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】作出圖形，求出點關于直線的對稱點的坐標，在直線上取點，利用、、三點共線時取得最小值即可得解.
【解答過程】如下圖所示，設點關于直線的對稱點為，
由題意可得，解得，即點，
在直線上取點，由對稱性可得，
所以，，
當且僅當、、三點共線時，等號成立，
因此，“將軍飲馬“的最短總路程為.
故選：C.
【變式6-1】（2021·遼寧沈陽·高二期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出點關于直線的對稱點為，則可得即為“將軍飲馬”的最短總路程，求出的坐標，即可求出.
【解答過程】如圖，點關于直線的對稱點為，則即為“將軍飲馬”的最短總路程，
設，
則，解得，
則，
故“將軍飲馬”的最短總路程為10.
故選：D.
【變式6-2】（2022·河南·高二階段練習）在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即認為回到軍營，則當“將軍飲馬”的總路程最短時，將軍去往河邊飲馬的行走路線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求圓心C關于直線的對稱點B的坐標，結合圖形分析可得.
【解答過程】軍營所在區域為，即軍營在以為圓心，1為半徑的圓內和圓上.
設圓心C關于直線的對稱點的坐標為B，
則，解得.
如圖，由對稱性可知，
所以，當將軍去往河邊飲馬的行走路線所在的直線經過，兩點時，“將軍飲馬”的總路程最短，
因為，所以該直線方程為，即.
故選：B.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．5 C． D．
【解題思路】先找出B關于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.
【解答過程】如圖所示，
設點關于直線的對稱點為，在直線上取點P，連接PC，
則．
由題意可得，解得，即點，
所以，當且僅當A，P，C三點共線時等號成立，
所以“將軍飲馬”的最短總路程為．
故選：A．

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