資源簡介

1.1 集合
一．選擇題
1．下列說法正確的是 （ ）
A．某個村子里的年青人組成一個集合
B．所有小正數組成的集合
C．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一個集合
D．這些數組成的集合有五個元素
2．下面有四個命題：
（１）集合Ｎ中最小的數是否；
（２）０是自然數；
（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然數組成的集合；
（４）
其中正確的命題的個數是 （ ）
A．１個 Ｂ．２個 Ｃ．３個 Ｄ．４個
3．給出下列關系：
（１）
（２）
（３）
（４）
其中正確的個數為 （ ）
Ａ．１個 Ｂ．２個 Ｃ．３個 Ｄ．４個
4．給出下列關系：
（１）｛０｝是空集；
（２）
（３）集合
（４）集合
其中正確的個數為 （ ）
Ａ．１個 Ｂ．２個 Ｃ．３個 Ｄ．０個
５．下列四個命題：
（１）空集沒有了集；
（２）空集是任何一個集合的真子集；
（３）空集的元素個數為零；
（４）任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．
其中正確的有 （ ）
Ａ．0個 Ｂ．1個 Ｃ．2個 Ｄ．3個
６．已知集合那么等于 （　?。?br/>Ａ．｛１，２，３，４，５｝ Ｂ．｛２，３，４，５｝
Ｃ．｛２，３，４｝ Ｄ．
７．已知全集集合
（　?。?br/>Ａ．｛０｝ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二．填空題
８．方程的解集為用列舉法表示為____________.
９．用列舉法表示不等式組的整數解集合為____________.
10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四邊形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之間的關系是__________.
11．已知全集Ｕ＝Ｎ，集合，則用列舉法表示為_____________.
三．解答題
12．已知
13．已知．
14．若集合則滿足于條件的實數的個數有 （ ）
Ａ．１個 Ｂ．２個 Ｃ．３個 Ｄ．４個
15．設集合，則實數______________．
16．已知全集那么．
17．已知集合
18．設求a的取值范圍．
19．試用適當的符號把連接起來．
20．已知集合
的值或取值范圍．
參考答案
1.1 集合
一、選擇題
1、下列給出的對象中，能表示集合的是( )
A、一切很大的數 B、無限接近零的數
C、聰明的人 D、方程的實數根
2、給出下列命題：
i)N中最小的元素是1；
ii)若，則；
iii) 若，，則a+b的最小值是2。 ( )
其中所有正確命題的個數為（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3、由組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數a的取值可以是（ ）
A、1 B、-2 C、6 D、2
4、下列集合表示法正確的是（ ）
A.{1,2,2} B.{全體實數}
C.{有理數} D.不等式的解集為{}
5、設A={a},則下列各式正確的是（ ）
A、 B、 C、 D、a=A
6、集合{}的另一種表示法是（ ）
A、{0，1，2，3，4} B、{1，2，3，4}
C、{0，1，2，3，4，5} D、{1，2，3，4，5}
7、由大于-3且小于11的偶數所組成的集合是（ ）
A、{x|-3C、{x|-3二、填空題
8、已知集合A={2，4，}，若，則x=________________
9、在平面直角坐標系內第二象限的點組成的集合為_______________
10、方程的解集可表示為_____________________
11、方程的解集中含有_________個元素。
12、集合{}用列舉法表示為_________________
三、解答題
13、設集合A={(x,y)|x+y=6,} ，使用列舉法表示集合A。
14、關于x的方程，當a,b,c分別滿足什么條件時解集為空集、含一個集合、含兩個集合？
15、已知集合A={}只有一個元素，試求實數k的值，并用列舉法表示集合A。
參考答案
一、選擇題
1、D 2。A 3。C 4。C 5。C 6。B 7。D
二、填空題
8、3或-2 9、 10、{2，3} 11、3 12、{0，1，2，3}
三、解答題
13、解：集合A中的元素是點，點的橫坐標， 縱坐標都是自然數， 且滿足條件x+y=6。所以用列舉法表示為：A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}。
14、解：當，
當時，方程的解集含一個元素；
當
15、解：當k=0 時，原方程變為-8x+16=0，x=2,此時集合A={2} ；
當時要使一元二次方程有一個實根，需，即k=1。此時方程的解為。集合A={4}，滿足題意。
綜上所述，使數k的值為0或1當k=0時，集合A={2};當k=1時，集合A={4}.
1.1 集合
一、選擇題
1、已知集合滿足，則一定有（ ）
A、　　B、　 C、 D 、
2、集合A含有10個元素，集合B含有8個元素，集合A∩B含有3個元素，則集合A∪B的元素個數為（ ）
A、10個 B、8個 C、18個 D、15個
3、設全集U=R，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},則（CM）∪（CN）為（ ）
A、{x|x.≥0} B、{x|x<1 或x≥5}
C、{x|x≤1或x≥5} D、{x| x〈0或x≥5 }
4、設集合，，且，則滿足條件的實數的個數是（ ）
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
5、已知全集U＝{非零整數}，集合A＝{x||x+2|>4, xU}, 則CA＝（ ）
A、{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B、{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 }
C、{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 }
D、{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }
6、已知集合，則等于
A、{0,1,2,6}　　 B、{3,7,8,}
C、{1,3,7,8}　　　 D、{1,3,6,7,8}
7、定義A－B={x|xA且xB}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，則A－（A－B）等于（ ）
A、{2，3，6} B、 C 、 D 、
二、填空題
8、集合P= ，Q= ，則A∩B=
9、不等式|x-1|>-3的解集是
10、已知集合A= 用列舉法表示集合A=
11、已知U=
則集合A=
三、解答題
12、已知集合A=
1）若A是空集，求a的取值范圍；
2）若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；
3）若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍
13、已知全集U=R，集合A=
，試用列舉法表示集合A
14、已知全集U={x|x-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=，求CA，CB，A∩B，A∩（CB），（CA）∩B
15、關于實數x的不等式與x-3(a+1)x+2(3a+1)≤0
(a∈R)的解集依次為A，B求使成立的實數a的取值范圍
參考答案
一、選擇題
1.B；2.D；3.B；4.C；5.B ；6.C；7.B;
二、填空題
8. ; 9.R; 10. ; 11。
三、解答題
12、1)a> ; 2）a=0或a=；3）a=0或a≥
13、
14、CUA=
CUB=
A∩B=A
A∩（CUB）=
（CUA）∩B=
15、 a=－1或2≤a≤3.
1.1 集合
一、選擇題
1、設A={x},B={x},若AB={2,3,5},A、B分別為（ ）
A、{3，5}、{2，3} B、{2，3}、{3，5}
C、{2，5}、{3，5} D、{3，5}、{2，5}
2、設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為（ ）
A、R B、
C、{} D、{}
3、設全集U={（x,y）},集合M={（x,y）}，N={(x,y)},那么（CUM）（CUN）等于（ ）
A、{（2，-2）} B、{（-2，2）}
C、 D、（CUN）
4、若M={}，N={Z}，則MN等于（ ）
A、 B、{} C、{0} D、Z
5、下列各式中，正確的是（ ）
A、2
B、{}
C、{}
D、{}={}
6、設U={1，2，3，4，5}，A，B為U的子集，若AB={2}，（CUA）B={4}，（CUA）（CUB）={1，5}，則下列結論正確的是（ ）
A、3 B、3
C、3 D、3
7、若U、分別表示全集和空集，且（CUA）A，則集合A與B必須滿足（ ）
A、 B、A=U且AB
C、B= D、無限制
8、已知U=N，A={}，則CUA等于（ ）
A、{0，1，2，3，4，5，6} B、{1，2，3，4，5，6}
C、{0，1，2，3，4，5} D、{1，2，3，4，5}
二、填空題
9、若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，則x=
10、若A={x} B={x },全集U=R，則A=
11、設U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，則MN=
MN= CUM=
CUN= CU（MN）=
12、設全集U={x為小于20的非負奇數}，若A（CUB）={3，7，15}，（CUA）B={13，17，19}，又（CUA）（CUB）=，則AB=
三、解答題
13、設A={x,其中xR,如果AB=B，求實數a的取值范圍。
14、設全集U={x},集合A={x},B={x2+px+12=0},且（CUA）B={1，4，3，5}，求實數P、q的值。
15、集合A={（x,y）},集合B={（x,y）,且0}，又A，求實數m的取值范圍。
參考答案
一、選擇題
1、A；2、D；3、A；4 、A；5、D；6、C；7、D；8、A
二、填空題
9、{0，2，4} {0，2，3，5} ；
10、{x|}；
11、{等腰直角三角形}；{等腰或直角三角形}，{斜三角形}，{不等邊三角形}，{既非等腰也非直角三角形}；
12.{1,5,9,11}
三、解答題
13、 解: A={0，-4}，又AB=B，所以BA
（Ⅰ）B=時，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}時，0 得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實數a=1 或a-1
14、解：U={1，2，3，4，5} A={1，4}或A={2，3} CuA={2,3,5}或{1，4，5}
B={3，4}（CUA）B=（1，3，4，5），又B={3，4} CUA={1，4，5} 故A只有等于集合{2，3}
P=-（3+4）=-7 q=2×3=6
15、解：由AB知方程組
得x2+(m-1)x=0 在0x內有解，即m3或m-1。
若3，則x1+x2=1-m<0,x1x2=1,所以方程只有負根。
若m-1,x1+x2=1-m>0,x1x2=1,所以方程有兩正根，且兩根均為1或兩根一個大于1，一個小于1，即至少有一根在[0，2]內。
因此{m1.1 集合
一、選擇題
1、給出下列表述：1）聯合國常任理事國2）充分接近的實數的全體；3）方程 的實數根4）全國著名的高等院校。以上能構成集合的是（ ）
A、1）3） B、1）2） C、1）3）4） D、1）2）3）4）
2、集合{}中的x不能取得值是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
3、下列集合中表示同一集合的是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合（2）由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,
3}或{3,2,1}；（3）方程的所有解的集合可表示為{1，1，2}；（4）集合是有限集，正確的是 （ ）
A、只有（1）和（4） B、只有（2）和（3）
C、只有（2） D、以上語句都不對
5、如果，集合，則有（ ）
A、 B、
C、 D、
6、集合A={x} B={} C={}
又則有 （ ）
A、（a+b） A B 、(a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一個
7、下列各式中，正確的是 （ ）
A、-2
B、{}
C、{}
D、{}={}
二、填空題
8、由小于10的所有質數組成的集合是 。
9、由1，2，3這三個數字抽出一部分或全部數字（沒有重復）所組成的自然數有 。
10、若，則m=________________。
11、（1）方程組的解集用列舉法表示為____________。用描述法表示為___________。（2）兩邊長分別為3，5的三角形中，第三條邊可取的整數的集合用列舉法表示為__________，用描述法表示為______________。
三、解答題
12、用列舉法表示下列集合：
(1)
(2)
(3)
13、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求實數k的取值范圍。
14、設集合
試判斷元素1，元素2與集合B的關系；
用列舉法表示集合B.
15、設集合
試證明：一切奇數屬于集合M；
關于集合M，你能得出另外的一些結論嗎？
參考答案
選擇題
1、A；2、B；3、D；4、C ；5、C；6、B；7、C
填空題
8、{2，3，5，7}
9、1，2，3，12，21，23，32，13，31，123，132，213，231，321
10、-1或-2
11、 (1){()},
(2) {3，4，5，6，7}，
解答題
12、解：(1){1,2,3,4,5,6}；
(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}
(3){-1,0,3}。
13、解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
14、解：(1)當x=1時，；
當x=2時，
(2)只能取1,2,3,6x只能取0，1，4，則B={0,1,4}。
15、解：(1)對任意奇數a，a可以表示為2n+1，而，所以，得證。
(2)結論很多，能給出即可。如：
i)M中的所有元素都屬于Z；
ii)所有的完全平方數都屬于Z；
iii)因為a=4k=,所以。
1.1 集合
一、選擇題
1、下列八個關系式①{0}= ②=0 ③ {} ④{} ⑤{0} ⑥0 ⑦{0} ⑧{}其中正確的個數（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
2、集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A、5個 B、6個 C、7個 D、8個
3、集合A={x} B={} C={}
又則有（ ）
A、（a+b） A B、 (a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一個
4. 集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A、5個 B、6個 C、7個 D、8個
5、集合A={x} B={} C={}
又則有（ ）
A、（a+b） A B、 (a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一個
6、下列各式中，正確的是（ ）
A、2 B、{}
C、{}
D、{}={}
7、設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為（ ）
A、R B、
C、{} D、{}
8.下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為{1，1，2}；（4）集合{}是有限集，正確的是（ ）
A、只有（1）和（4） B、只有（2）和（3）
C、只有（2） D、以上語句都不對
二、填空題
9、在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為
10、設集合A={},B={x},且AB，則實數k的取值范圍是
。
11、若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是
12、集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是
13、方程x2-5x+6=0的解集可表示為方程組
三、解答題
14、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求實數k的取值范圍。
15、設a、b∈Z，E＝{(x,y)|(x－a)2＋3b≤6y}，點(2，1)∈E，但(1，0)E，(3，2)E。求a、b的值。
參考答案
一、選擇題
1、B；2。C；3。B；4。C；5。B；6。D；7。D；8。C
二、填空題
9、{(x,y) }
10、{}
11、 {}
12、,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};除去{a,b,c}外所有子集；除去及{a,b,c}外的所有子集
13、{2,3};{2,3}
三、解答題
14、解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
15、解：∵點(2,1)∈E，∴(2－a)2+3b≤6 ①
∵點(1,0)E，∴(1－a)2+3b>0 ②
∵點(3,2)E，∴(3－a)2+3b>12 ③
由①②得6－(2－a)2>－(1－a)2，解得a>－；類似地由①③得a<－。
∴－1.1 集合
一、選擇題
1、滿足條件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的個數是 （ ）
A、8 B、7 C、6 D、5
2、若集合，則下列結論中正確的是（ ）
A、A=0 B、 C、 D、
3、下列五個寫法中①，②，③，④，
⑤，錯誤的寫法個數是（ ）
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
4、若集合，則等于_____
A、 B、 C、 D、
5、不等式組的解集是_____
A、 B、 C、 D、
6、已知全集,則M=( )
A、{2，3} B、{1，2，3，4} C、{1，2，3，6} D、{-1，2，3，4}
7、集合，且M ，則實數a的范圍是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空題
8、調查某班50名學生，音樂愛好者40名，體育愛好者24名，則兩方面都愛好的人數最少是 ，最多是
9、已知集合A＝｛x∈R｜x2+2ax+2a2-4a+4＝0｝，若A，則實數a的取值是
10、已知集合A＝｛x∈N*｜∈Z｝，集合B＝｛x｜x＝3k+1,k∈Z｝，則 A與B的關系是
11、已知A＝｛x｜x＜3，B＝｛x｜x＜a
(1)若BA，則a的取值范圍是______
(2)若AB，則a的取值范圍是______
12、若｛1，2，3｝A｛1，2，3，4｝，則A＝______
三、解答題
13、設A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若BA，求實數a組成的集合、
14、已知A＝｛x，xy，1n(xy)｝，B＝｛0，｜x｜，y｝，且A＝B。求x，y的值。
15、已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且NM,求a 的取值范圍、
參考答案
一、選擇題
1、C；2、D ； 3、C ； 4、C ； 5、C；6、D；7、C
二、填空題
8、14，24； 9、 ｛2｝ 10、 AB 11、 (1)a≤3 (2)a＞3
12、｛1，2，3，4｝
三、解答題
13、解：A＝{3，5}，因為BA，所以若B＝時，則a＝0，若B≠時，則a≠0，這時有＝3或 ＝5，即a＝，或a＝，所以由實數a組成的集合為｛0，，｝、
14、x=-1,y=-1;
15、解：M={x | x2-2x-3=0}={3，-1}
∵NM
當N= 時，NM 成立
N={x | x2+ax+1=0}
∴a2-4＜0
∴-2＜a＜2
當N≠ 時，∵NM
∴3∈N或 -1∈N
當3∈N時，32-3a+1=0即a= -,N={3,}不滿足NM
當-1∈N時，（-1）2-a+1=0即a=2,N={-1} 滿足NM
∴ a的取値范圍是：-2＜x≤2
1.1 集合
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內（每小題5分，共50分）.
1．方程組的解構成的集合是 （ ）
A． B． C．（1，1） D．
2．下面關于集合的表示正確的個數是 （ ）
①；
②；
③=；
④；
A．0 B．1 C．2 D．3
3．設全集，，，那么∩= （ ）
A． B．{（2，3）} C ．（2，3） D．
4．下列關系正確的是 （ ）
A．
B．=
C．
D．=
5．已知集合A中有10個元素，B中有6個元素，全集U有18個元素，。設集合有個元素，則的取值范圍是 （ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
6．已知集合 ，，
，則的關系 （ ）
A． B． C． D．
7．設全集，集合，集合，則 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，且，則a的值（ ）
A．1或2 B．2或4 C．2 D．1
9．滿足的集合共有 （ ）
A．7組 B．8組 C．9組 D．10組
10．下列命題之中，U為全集時，不正確的是 （ ）
A．若= ，則
B．若= ，則= 或=
C．若= ，則
D．若= ，則
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）.
11．若，，用列舉法表示B .
12．設集合，，則 .
13．含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成，則 .
14．已知集合，，那么集合 ， ， .
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分).
15．（12分）數集A滿足條件：若，則.
①若2，則在A中還有兩個元素是什么；
②若A為單元集，求出A和.
16．（12分）設，，.
①=，求a的值；
②，且=，求a的值；
③=，求a的值；
17．（12分）設集合，，，求實數a的值.
18．（12分）已知全集，若，，，試寫出滿足條件的A、B集合.
19．（14分）在某次數學競賽中共有甲、乙、丙三題，共25人參加競賽，每個同學至少選作一題。在所有沒解出甲題的同學中，解出乙題的人數是解出丙題的人數的2倍；解出甲題的人數比余下的人數多1人；只解出一題的同學中，有一半沒解出甲題，問共有多少同學解出乙題？
20．（14分）集合滿足=A，則稱（）為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當時，（）與（）為集合A的同一種分拆，則集合A={}的不同分拆種數為多少？
參考答案
一、ACBCA BCCCB
二、11．{4，9，16}； 12．{}； 13．－1； 14．或；；或
三、15． 解：①和；
②（此時）或（此時）。
16．解：①此時當且僅當，有韋達定理可得和同時成立，即；
②由于，，故只可能3。
此時，也即或，由①可得。
③此時只可能2，有，也即或，由①可得。
17．解：此時只可能，易得或。
當時，符合題意。
當時，不符合題意，舍去。
故。
18．分析：且，所以{1，2}A，3∈B，4∈B，5∈B且1B，2B；
但，故{1，2}A，于是{1，2}A{1，2，3，4，5}。
19．分析：利用文氏圖，見右圖；
可得如下等式 ；
；；
；聯立可得。
20．解：當＝時，=A,此時只有1種分拆；
當為單元素集時，=或A，此時有三種情況，故拆法為6種；
當為雙元素集時，如={}，B=、、、，此時有三種情況，故拆法為12種；
當為A時，可取A的任何子集，此時有8種情況，故拆法為8種；
總之，共27種拆法。
1.1 集合
一、填空題.(每小題有且只有一個正確答案,5分×10=50分)
1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）

2 . 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一個元素，則a的值是 （ ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能確定
3. 設集合A={x|1＜x＜2＝，B={x|x＜a＝滿足A B，則實數a的取值范圍是 （ ）
A．｛a｜a ≥2｝ B．｛a｜a≤1｝ C.｛a｜a≥1｝． D.｛a｜a≤2｝．
5. 滿足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的個數是 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6. 集合A={a2，a＋1，-1}，B={2a－1，| a－2 |， 3a2＋4}，A∩B={-1}，則a的值是（ ）
A．－1 B．0 或1 C．2 D．0
7. 已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，則 （ ）
A．I＝A∪B B．I＝()∪B C．I＝A∪() D．I＝()∪()
8. 設集合M=，則 （ ）
A．M =N B． M N C．MN D．N
9 . 集合A={x|x=2n＋1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，則A與B的關系為 （ ）
A．AB B．A B C．A=B D．A≠B
10.設U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(UA)∩B={4}，（UA）∩(UB)={1，5}，則下列結論正確的是（ ）
A.3A且3B B.3B且3∈A C.3A且3∈B D.3∈A且3∈B
二.填空題（5分×5=25分）
11 .某班有學生55人,其中音樂愛好者34人,體育愛好者43人,還有4人既不愛好體育也不愛好音樂,則班級中即愛好體育又愛好音樂的有 人.
12. 設集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|=3}，則A= .
13. 集合M=｛y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N=｛y∣ y=5- x2,x∈ R｝,則M∪N=_ __．
14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列舉法表示集合M=_
15、已知集合A={－1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,則m的值為
三.解答題.10＋10＋10=30
16. 設集合A={x, x2,y2－1｝,B=｛0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值
17．設集合A={x|x2＋4x=0}，B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1=0} ，A∩B=B， 求實數a的值．
18. 集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．?
（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；
（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．
19.(本小題滿分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求實數a的取值范圍.
20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值范圍.
21、已知集合，B={x|2參考答案
C B A D C D C D C B
26 {(1,2)} R ｛4,3,2,-1｝ 1或－1或0
16、x=-1 y=-1
17、解：A={0，－4} 又
(1)若B=，則，
(2)若B={0}，把x=0代入方程得a=當a=1時，B=
(3)若B={－4}時，把x=－4代入得a=1或a=7.
當a=1時，B={0，－4}≠{－4}，∴a≠1.
當a=7時，B={－4，－12}≠{－4}， ∴a≠7.
(4)若B={0，－4}，則a=1 ，當a=1時，B={0，－4}， ∴a=1
綜上所述：a
18、.解： 由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.
(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B
于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的兩個根，由韋達定理知：
解之得a＝5.
(2)由A∩B ∩，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，
得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2?
當a=5時，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，與2A矛盾；
當a=－2時，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合題意.
∴a＝－2.
19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).
(1)當2＜a＜10時，Δ＜0,B=A;
(2)當a≤2或a≥10時，Δ≥0，則B≠.
若x=1，則1-a+3a-5=0,得a=2,
此時B={x|x2-2x+1=0}={1}A;
若x=2，則4-2a+3a-5=0，得a=1,
此時B={2,-1}A.
綜上所述，當2≤a＜10時，均有A∩B=B.
20、解：由已知A={x|x2+3x+2}得得 .（1）∵A非空 ，∴B=；（2）∵A={x|x}∴另一方面，，于是上面（2）不成立，否則，與題設矛盾.由上面分析知，B=.由已知B=結合B=,得對一切x恒成立，于是，有的取值范圍是
21、∵A={x|（x-1）（x+2）≤0}={x|-2≤x≤1}，
B={x|1∵，（A∪B）∪C=R，
∴全集U=R。
∴。
∵，
∴的解為x<-2或x>3，
即，方程的兩根分別為x=-2和x=3，
由一元二次方程由根與系數的關系，得
b=-（-2+3）=-1，c=（-2）×3=-6。
1.2 函數及其表示
1、判斷下列對應是否是從集合Ａ到集合Ｂ的函數：
（１）
（２）
（３）
2、已知函數 （　?。?br/>Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．７
3、已知，則的值等于 （　?。?br/>Ａ．０ Ｂ． Ｃ． Ｄ．９
4、已知函數的定義域為Ａ，函數的定義域為Ｂ，則 （　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、已知函數 （　　）
Ａ． Ｂ．６ Ｃ． Ｄ．１０
6、若的定義域是，則函數的定義域是 （　?。?br/>Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、函數的值域為_____________________.
8、已知是一次函數，且滿足求．
9、設函數的定義域為Ｒ，且對恒有若
（　?。?br/>Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
10．對于定義在Ｒ上的函數，如果存在實數使那么叫做函數的一個不動點．已知函數不存在不動點，那么a的取值范圍的 （　?。?br/>Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
11．在國內投寄平信，每封信不超過20克重付郵資80分，超過20克重而不超過40克重付郵資160分，將每封信的應付郵資(分)表示為信重克的函數，其表達式為＝________
12．函數在存在，使，則a的取值范圍是（　?。?br/>Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．在交通擁擠及事故多發地段，為了確保交通安全，規定在此地段內，車距d是車速v（公里／小時）的平方與車身長s（米）的積的正比例函數，且最小車距不得小于車身長的一半．現假定車速為50公里／小時時，車距恰好等于車身上，試寫出d關于v的函數關系式（其中s為常數）．
參考答案
1.2 函數及其表示
一、選擇題
1、設集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，從A到B的對應法則f不是映射的是（　　）
A、f：x→y＝x B、f：x→y＝x
C、f：x→y＝x D、f：x→y＝x
2、設M＝｛x｜－2≤x≤2｝，N＝｛y｜0≤y≤2｝，函數f（x）的定義域為M，值域為N，則f（x）的圖象可以是（　?。?br/>3、在映射，，且，則與A中的元素對應的B中的元素為（ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列各組函數的圖象相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、若，則的值為( )
A、0 B、1
C、 D、1或
6、如下圖可作為函數的圖像的是( )
A B C D
7、若能構成映射，下列說法正確的有 （ ）
（1）A中的任一元素在B中必須有像且唯一；（2）B中的多個元素可以在A中有相同的原像；（3）B中的元素可以在A中無原像；（4）像的集合就是集合B。
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
二、填空題
8、設函數f（x）＝則f（－4）＝____，又知f（）＝8，則＝____
9、如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數式是_____，這個函數的定義域為_______
10、給定映射f：（x，y）→（，x＋y），在映射f下象（2，3）的原象是（a，b），則函數f（x）＝ax2＋bx的頂點坐標是________
11、設，若，則x=____________。
12、已知，則___________。
三、解答題
13、設f(x)是R上的函數，且滿足f(0)=1，并且對任意實數x、y，有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表達式。
14、已知二次函數f(x)當x=2時有最大值16，它的圖像截x軸所得的線段長為8，求解析式y=f(x)。
15、已知二次函數f(x)=ax2+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：
f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在實數m,n（m參考答案
一、選擇題
A； 2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、C
二、填空題
8、　18　，　4或－；
9、　V＝｛x｜0＜x＜a/2｝
10、（，－）
11、
12、
三、解答題
13、解：因為對于有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1)
所以，所以。
所以。
14、解：由題意設，即。
方程的兩根， 滿足，
而，所以，所以a=-1
所以，
15、解：(1)∵方程ax2+bx－2x=0有等根，∴△=(b－2)2=0，得b=2。
由f(x－1)=f(3－x)知此函數圖像的對稱軸方程為x=－=1，得a=－1，
故f(x)=－x2+2x.
(2)∵f(x)=－(x－1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤.
而拋物線y=－x2+2x的對稱軸為x=1，∴當n≤時，f(x)在[m,n]上為增函數。
若滿足題設條件的m,n存在，則
即又m∴m=－2,n=0，這時，定義域為[－2，0]，值域為[－8，0].
由以上知滿足條件的m,n存在,m=－2,n=0.
1.2 函數及其表示
一、選擇題
1、下列集合到集合的對應是映射的是 （ ）
A、：中的數平方；
B、：中的數開方；
C、：中的數取倒數；
D、：中的數取絕對值；
2、設集合A=R，集合B=R＋，則從集合A到集合B的映射只可能是（ ）
A 、 B、
C、 D 、
3、已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5，6}，映射，且滿足1的象是4，則這樣的映射有（ ）
A 2個 B 4個 C 8個 D 9個
4、設集合，，則下述對應法則中，不能構成A到B的映射的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、函數y＝ax2＋a與y＝（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（　?。?br/>6、直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，
直線截該梯形所得位于左邊圖形面積為S，
則函數S=的圖像大致為（?。?br/>A B C D
7、若的定義域為[0，1]，則的定義域為（ ）
A、[0，1] B、[2，3] C、[－2，－1] D、無法確定
二、填空題
8、給定映射，點的原象是__________________。
9、設函數，則＝_______________________。
10、將二次函數的頂點移到后，得到的函數的解析式為_____________。
11、，的最大值是
12、若是一次函數，且，則= _________________。
三、解答題
13、畫出下列函數的圖象、
（1）y＝x2－2，x∈Z且｜x｜≤2；
（2）y＝－2x2＋3x，x∈（0，2］；
（3）y＝x｜2－x｜；
（4）
14、已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。
15、對于二次函數，（16分）
（1）指出圖像的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標；
（2）畫出它的圖像，并說明其圖像由的圖像經過怎樣平移得來；
（3）求函數的最大值或最小值；
參考答案
一、選擇題
1、A ； 2、C；3、D；4、D；5、D；6、C；7、C
二、填空題
8、或；
9、8；
10、
11、9；
12、
三、解答題
13、
答案如下圖
14、解：在作用下的像是；在作用下的原像是
15、解：（1）開口向下；對稱軸為；頂點坐標為；
（2）其圖像由的圖像向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到；
（3）函數的最大值為1。
1.3 函數的基本性質
1．已知是定義上的奇函數，且在上是減函數．下列關系式中正確的是 ( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．如果奇函數在區間[3，7]上是增函數且最小值為5，那么在區間上是 ( )
Ａ．增函數且最小值為 Ｂ．增函數且最大值為
Ｃ．減函數且最小值為 Ｄ．減函數且最大值為
3．下列函數中，在區間(0，2)上為增函數的是 ( )
A． B． C． D．
4．對于定義域是R的任意奇函數有 ( )
A． B．
C． D．
5．求函數的最大值，最小值．
6．將長度為l的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應為__________．
7．函數的單調性是____________．
8．函數是偶函數，而且在上是減函數，判斷在上是增函數還是減函數，并加以證明．
9．如果二次函數在區間上是增函數，求的取值范圍．
10．求函數的最大值．
11．已知函數．判斷在區間(0，1]和[1，+∞)上的單調性，說明理由．
12．已知函數是偶函數，且時，．求
(1) 的值，
(2) 時的值；
(3)當>0時，的解析式．
13．作出函數的圖象，并根據函數的圖象找出函數的單調區間．
參考答案
1.3 函數的基本性質
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內（每小題5分，共50分）。
1．下面說法正確的選項 （ ）
A．函數的單調區間可以是函數的定義域
B．函數的多個單調增區間的并集也是其單調增區間
C．具有奇偶性的函數的定義域定關于原點對稱
D．關于原點對稱的圖象一定是奇函數的圖象
2．在區間上為增函數的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．函數是單調函數時，的取值范圍 （ ）
A． B． C ． D．
4．如果偶函數在具有最大值，那么該函數在有 （ ）
A．最大值 B．最小值 C ．沒有最大值 D． 沒有最小值
5．函數，是 （ ）
A．偶函數 B．奇函數 C．不具有奇偶函數 D．與有關
6．函數在和都是增函數，若，且那么（ ）
A． B．
C． D．無法確定
7．函數在區間是增函數，則的遞增區間是 （ ）
A． B． C． D．
8．函數在實數集上是增函數，則 （ ）
A． B． C． D．
9．定義在R上的偶函數，滿足，且在區間上為遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
10．已知在實數集上是減函數，若，則下列正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）.
11．函數在R上為奇函數，且，則當， .
12．函數，單調遞減區間為 ，最大值和最小值的情況為 .
13．定義在R上的函數（已知）可用的=和來表示，且為奇函數， 為偶函數，則= .
14．構造一個滿足下面三個條件的函數實例，
①函數在上遞減；②函數具有奇偶性；③函數有最小值為； .
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分).
15．（12分）已知，求函數得單調遞減區間.
16．（12分）判斷下列函數的奇偶性
①； ②；
③； ④。
17．（12分）已知，，求.
18．（12分））函數在區間上都有意義，且在此區間上
①為增函數，；
②為減函數，.
判斷在的單調性，并給出證明.
19．（14分）在經濟學中，函數的邊際函數為，定義為，某公司每月最多生產100臺報警系統裝置。生產臺的收入函數為（單位元），其成本函數為（單位元），利潤的等于收入與成本之差.
①求出利潤函數及其邊際利潤函數；
②求出的利潤函數及其邊際利潤函數是否具有相同的最大值；
③你認為本題中邊際利潤函數最大值的實際意義.
20．（14分）已知函數，且，，試問，是否存在實數，使得在上為減函數，并且在上為增函數.
參考答案
一、CBAAB DBAA D
二、11．； 12．和，； 13．； 14． ；
三、15． 解： 函數，，
故函數的單調遞減區間為.
16． 解①定義域關于原點對稱，且，奇函數.
②定義域為不關于原點對稱。該函數不具有奇偶性.
③定義域為R，關于原點對稱，且，，故其不具有奇偶性.
④定義域為R，關于原點對稱，
當時，；
當時，；
當時，；故該函數為奇函數.
17．解： 已知中為奇函數，即=中，也即，，得，.
18．解：減函數令 ，則有，即可得；同理有，即可得；
從而有
*
顯然，從而*式，
故函數為減函數.
19．解：.
；
，故當62或63時，74120（元）。
因為為減函數，當時有最大值2440。故不具有相等的最大值.
邊際利潤函數區最大值時，說明生產第二臺機器與生產第一臺的利潤差最大.
20．解：.
有題設
當時，
，，
則 當時，
，，
則 故.
1.3 函數的基本性質
基礎訓練
1、設函數f(x)=(a-1)x+b是R是的減函數，則有（ ）
A、a≥1 B、a≤1 C、a.>-1 D、a<1
2、函數f(x)=+是（ ）
A、奇函數 B、偶函數
C、既是奇函數又是偶函數 D、既不是奇函數又不是偶函數
3、已知函數f(x)=x7+ax5+bx-5，若f(-100)=8,那么f(100)=( )
A、-18 B、-20 C、-8 D、8
4、函數f(x)=-x2+2x+3在區間[-2，2]上的最大、最小值分別為（）
A、4，3 B、3，-5 C、4，-5 D、5，-5
5、函數y=- 的單調區間是（）
A、R B、（-∞，0）
C、（-∞，2），（2，+∞） D、（-∞，2）（2，+∞）
6、函數y=(x≠-2)在區間[0，5]上的最大（小）值分別為（）
A、,0 B、,0 C、, D、,無最小值
7、函數f(x)=-x2+2(a-1)x+2在區間（-∞，2]上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A、[3，+∞) B、（-∞，3] C、（-∞，-3] D、[-3，+∞)
8、下列函數中是偶函數的是（ ）
A、y=x4 (x<0) B、y=|x+1| C、y= D、y=3x-1
9、函數f(x)是定義在區間[-5，5]上的偶函數，且f(1)A、f(0)>f(5) B、f(3)f(3) D、f(-2)>f(1)
10、已知函數f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)=x(1+x);當x<0時，f(x)=( )
A、-x(1-x) B、x(1-x) C、-x(1+x) D、x(1+x)
二、能力提高
11、函數y=-|x|在[a，+∞)上是減函數，則a的取值范圍是
12、函數y=-x2在(0，+∞)上是減函數，則a的取值范圍是
13、函數f(x)=1-的單調遞增區間是
14、如果奇函數f(x)在[2，5]上是減函數，且最小值是-5，那么f(x)在[-5,-2]上的最大值為
三、解答題
15、xR時，討論一次函數y=mx+b的單調性，并利用定義證明你的結論。
16、已知函數f(x)=ax2-2ax+3-b(a≠0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a、b的值。
17、已知函數f(x)=kx2-2x-4在[5，20]上是單調函數，求實數k的取值范圍。
四、探究與發現
18、已知函數f(x)=-x2+2x-3
(1)作出函數f(x)在圖象，并提出函數在區間[-1，2]的最大最小值。
（2）對于任意實數t，探究f(x)在閉區間[t,t+1]上的最大（?。┲?。
參考答案
1、D 2、D3、A4、C、5、D6、C7、B8、C9、D10、B
11、a≥0
12、a>0
13、（-∞，0) (0, +∞)
14、5
1.3 函數的基本性質
一、選擇題（每小題5分，共50分）
1、下列哪組中的兩個函數是同一函數
（A）與 （B）與
（C）與 （D）與
2、下列集合到集合的對應是映射的是
（A）：中的數平方；
（B）：中的數開方；
（C）：中的數取倒數；
（D）：中的數取絕對值；
3、已知函數的定義域是（ ）
（A）[－1，1] （B）{－1，1} （C）（－1，1） （D）
4、若函數在區間（a，b）上為增函數，在區間（b，c）上也是增函數，則函數在區間（a，c）上（ ）
（A）必是增函數 （B）必是減函數
（C）是增函數或是減函數 （D）無法確定增減性
5、是定義在R上的奇函數，下列結論中，不正確的是( )
（A） （B）
（C）·≤ （D）
6、函數的定義域為，且對其內任意實數均有：，則在上是
（A）增函數 （B）減函數
（C）奇函數 （D）偶函數
7、若函數為奇函數，則必有
（A） （B）
（C） （D）
8、設偶函數f(x)的定義域為R，當x時f(x)是增函數，則f(-2),f(),f(-3)的大小關系是（ ）
（A）f()>f(-3)>f(-2) （B）f()>f(-2)>f(-3)
（C）f()9、函數是上的增函數，若對于都有成立，則必有
（A） （B）
（C） （D）
10、已知函數f（x）、g（x）定義在同一區間D上，f（x）是增函數，g（x）是減函數，且g（x）≠0,則在D上 ( )
A、f(x)+g(x)一定是減函數
B、f(x)-g(x)一定是增函數
C、f(x)·g(x)一定是增函數
D、一定是減函數
二、填空題（每小題4分，共16分，請將答案填在橫線上）
11、已知函數，則函數的值域為＿＿＿＿＿＿＿＿
12、已知且，那么
13、若是一次函數，且，則= _________________.
14、已知函數的圖象關于直線對稱，且在區間上，當時，有最小值3，則在區間上，當____時，有最____值為_____.
三、解答題（共54分）
15．（10分）判斷函數的單調性并證明你的結論．
16、（10分）設函數．
 求它的定義域； 判斷它的奇偶性； 求證：．
17、（10分）在水果產地批發水果，100kg為批發起點，每100kg40元；100至1000kg8折優惠；1000kg至5000kg，超過1000部分7折優惠；5000kg至10000kg，超過5000kg的部分6折優惠；超過10000kg，超過部分5折優惠。
(1)請寫出銷售額y與銷售量x之間的函數關系；
(2)某人用2265元能批發多少這種水果？
18、（10分）快艇和輪船分別從A地和C地同時開出，如下圖，各沿箭頭方向航行，快艇和輪船的速度分別是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，經過多少時間后，快艇和輪船之間的距離最短？
19、（14分）若非零函數對任意實數均有，且當時，；
（1）求證： （2）求證：為減函數
（3）當時，解不等式
附加題：（10分）
請自行設計一個盛水容器（畫出大致形狀），并在容器右側作出向容器中勻速注水時，水深h關于注水量V（或注水時間t）函數的大致圖象.
2.1 指數函數
一、選擇題
1、 若指數函數在上是減函數，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知，則這樣的 （ ）
A、 存在且只有一個 B、 存在且不只一個
C、 存在且 D、 根本不存在
3、函數在區間上的單調性是（ ）
A、 增函數 B、 減函數
C、 常數 D、 有時是增函數有時是減函數
4、下列函數圖象中，函數，與函數的圖象只能是（ ）
5、函數，使成立的的值的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、函數使成立的的值的集合（ ）
A、 是 B、 有且只有一個元素
C、 有兩個元素 D、 有無數個元素
7、若函數（且）的圖象不經過第二象限，則有 （ ）
A、且 B、且
C、且 D、且
8、F(x)=(1+是偶函數，且f(x)不恒等于零，則f(x)( )
A、是奇函數 B、可能是奇函數，也可能是偶函數
C、是偶函數 D、不是奇函數，也不是偶函數
二、填空題
9、 函數的定義域是_________。
10、 指數函數的圖象經過點，則底數的值是_________。
11、 將函數的圖象向_________平移________個單位，就可以得到函數的圖象。
12、 函數，使是增函數的的區間是_________
三、解答題
13、已知函數是任意實數且，
證明：
14、已知函數 求函數的定義域、值域
15、已知函數
（1）求的定義域和值域；
（2）討論的奇偶性；
（3）討論的單調性。
參考答案
一、選擇題
B；2、A；3、B；4、C；5、C；6、C；7、D；8、A
二、填空題
9、
10、
11、 右、2
12、
三、解答題
13、 證明：
即
14、 解：由得
∵x(R, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
15、 解：（1）的定義域是R，
令
，解得
的值域為
（2）
是奇函數。
（3）
設是R上任意兩個實數，且，則
當時，，從而，，，即，為R上的增函數。
當時，，從而，，，，即為R上的減函數。
2.1 指數函數
一、選擇題
1．函數f（x）=(a2-1)x在R上是減函數，則a的取值范圍是（ ）
A、 B、 C、a< D、1<
2.下列函數式中，滿足f(x+1)=f(x)的是( )
A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x
3.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）
A、奇函數 B、偶函數
C、非奇非偶函數 D、既奇且偶函數
4．函數y=是（ ）
A、奇函數 B、偶函數
C、既奇又偶函數 D、非奇非偶函數
5．函數y=的值域是（ ）
A、（-） B、（-0）（0，+）
C、（-1，+） D、（-，-1）（0，+）
6．下列函數中，值域為R+的是（ ）
A、y=5 B、y=()1-x
C、y= D、y=
7．已知0A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
二、填空題
8．函數y=的定義域是
9．函數y=()(-3)的值域是
10．直線x=a(a>0)與函數y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的圖像依次交于A、B、C、D四點，則這四點從上到下的排列次序是
11．函數y=3的單調遞減區間是
12．若f(52x-1)=x-2,則f(125)=
三、解答題
13、已知關于x的方程2a－7a+3=0有一個根是2, 求a的值和方程其余的根
14、設a是實數，試證明對于任意a,為增函數
15、已知函數f(x)=(a－a)(a>0且a1)在(－, +)上是增函數, 求實數a的取值范圍
參考答案
一、選擇題
1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A
二、填空題
8.(-,0)(0,1) (1,+ )
9．[（）9，39]
10．D、C、B、A。
11．（0，+）
12．0
三、解答題
13、解: 2a－7a+3=0, a=或a=3.
a=時, 方程為: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3
a=2時, 方程為: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2
14、證明：設∈R,且
則
由于指數函數 y=在R上是增函數,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因為此結論與a取值無關，所以對于a取任意實數，為增函數
15、解: 由于f(x)遞增， 若設x則f(x)－f(x)=[(a－a)－(a－a)]=(a －a)(1+a·a)<0, 故(a－9)( (a －a)<0.
(1), 解得a>3; (2) , 解得0綜合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。
2.1 指數函數
基礎訓練
1、的值是（ ）
A、3 B、-3 C、3 D、81
2、()-的值是（）
A、 B、 C、 D、-
3、設m,n∈R,a,b>0,則下列各式中正確的有（ ）
(1)am.an=amn (2)(am)n=amn (3)(ab)n=anbn (4)()m=am-bm (5) ()m=amb-m
A、5 B、4 C、3 D、2
4、(a>0)的值是（ ）
A、1 B、a C、a D、a
5、在某種細菌培養過程中，每30分鐘分裂一次（一個分裂為兩個），經過4個小時，這種細菌由一個可繁殖成（ ）
A、8 B、16 C、256 D、32
6、如圖，設a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐標系中的圖象如圖，則a,b,c,d的大小順序（ ）
A、aC、b7、函數f(x)=(a-1)x在R上是減函數，則a的取值范圍（ ）
A、01 D、a>2
8、下列各不等式中正確的是（ ）
A、()>() B、2>2 C、()>2 D、()<2
9、對于a>0,r,s∈Q，以下下運算中正確的是（ ）
A、aras=ars B、(ar)s=ar+s C、()r=arb-r D、arbs=(ab)r+s
10、函數y=2x-1的值域是（ ）
A、R B、（-∞，0） C、（-∞，-1） D、（-1，+∞）
能力提高
11、（xy-）12=
12、當813、y=(2-a)x在定義域內是減函數，則a的取值范圍是
14、設a成立的x的集合是
三、解答題
15、已知x+x-1=3，求x2+x-2的值。
16、函數f(x)=ax(a>0,且a1)在區間[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值。
發現與探究
17、給定a,b的一些取值（如a=1,b=1,a=2,b=2…），作出函數y=2-x+a+b的圖象，并由此探究如何由y=2x的圖象得到y=2-x+a+b的圖象。
參考答案
1、A 2、B3、C4、D5、C6、C7、B8、D9、C10、D
11、x4y-9
12、2a-18
13、114、{x|x<4}
15、7
16、當0當a>1時,a=
2.1 指數函數
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內（每小題5分，共50分）.
1．下列各式中成立的一項 （ ）
A． B．
C． D．
2．化簡的結果 （ ）
A． B． C． D．
3．設指數函數，則下列等式中不正確的是 （ ）
A．f(x+y)=f(x)·f(y) B．
C． D．
4．函數 （ ）
A． B．
C． D．
5．若指數函數在[－1,1]上的最大值與最小值的差是1，則底數a等于 （ ）
A． B． C． D．
6．當時，函數和的圖象只可能是 （ ）
7．函數的值域是 （ ）
A． B． C． D．R
8．函數，滿足的的取值范圍 （ ）
A． B．
C． D．
9．函數得單調遞增區間是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知，則下列正確的是 （ ）
A．奇函數，在R上為增函數 B．偶函數，在R上為增函數
C．奇函數，在R上為減函數 D．偶函數，在R上為減函數
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）.
11．已知函數f (x)的定義域是（1，2），則函數的定義域是 .
12．當a＞0且a≠1時，函數f (x)=ax－2－3必過定點 .
13．計算= .
14．已知－1三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分).
15．（12分）求函數的定義域.
16．（12分）若a＞0，b＞0，且a+b=c，
求證：(1)當r＞1時，ar+br＜cr；(2)當r＜1時，ar+br＞cr.
17．（12分）已知函數在區間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
18．（12分）（1）已知是奇函數，求常數m的值；
（2）畫出函數的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3Ｘ－１｜＝k無
解？有一解？有兩解？
19．（14分）有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量. 現假設下雨和蒸發平衡，且污染物和湖水均勻混合.
用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數（我們稱其湖水污染質量分數），表示湖水污染初始質量分數.
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染初始質量分數；
（2）分析時，湖水的污染程度如何.
20．（14分）已知函數(a＞1).
（1）判斷函數f (x)的奇偶性；
（2）求f (x)的值域；
（3）證明f (x)在(－∞，+∞)上是增函數.
參考答案
一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．； 14． ；
三、
15． 解：要使函數有意義必須：
∴定義域為：
16． 解：，其中.
當r＞1時，，所以ar+br＜cr；
當r＜1時，，所以ar+br＞cr.
17．解： ， 換元為，對稱軸為.
當，，即x=1時取最大值，略
解得 a=3 (a= －5舍去)
18．解： （1）常數m=1
（2）當k<0時，直線y=k與函數的圖象無交點,即方程無解;
當k=0或k1時, 直線y=k與函數的圖象有唯一的交點，所以方程有一解;
當019．解： （1）設，
因為為常數，，即， 則；
（2）設，
=
因為，，. 污染越來越嚴重.
20．解：(1)是奇函數.(2)值域為(－1，1).(3)設x1＜x2，
則。=
∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a. 又∵a+1＞0，a+1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
函數f(x)在(－∞，+∞)上是增函數.
2.3 冪函數
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內（每小題5分，共50分）.
1．下列函數中既是偶函數又是 （ ）
A． B． C． D．
2．函數在區間上的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列所給出的函數中，是冪函數的是 （ ）
A． B． C． D．
4．函數的圖象是 （ ）
A． B． C． D．
5．下列命題中正確的是 （ ）
A．當時函數的圖象是一條直線
B．冪函數的圖象都經過（0，0）和（1，1）點
C．若冪函數是奇函數，則是定義域上的增函數
D．冪函數的圖象不可能出現在第四象限
6．函數和圖象滿足 （ ）
A．關于原點對稱 B．關于軸對稱
C．關于軸對稱 D．關于直線對稱
7． 函數，滿足 （ ）
A．是奇函數又是減函數 B．是偶函數又是增函數
C．是奇函數又是增函數 D．是偶函數又是減函數
8．函數的單調遞減區間是 （ ）
A． B． C． D．
9． 如圖1—9所示，冪函數在第一象限的圖象，
比較的大?。? ）
A．
B．
C．
D．
10． 對于冪函數，若，則
，大小關系是（ ）
A． B．
C． D． 無法確定
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）.
11．函數的定義域是 .
12．的解析式是 .
13．是偶函數，且在是減函數，則整數的值是 .
14．冪函數圖象在一、二象限，不過原點，則的奇偶性為 .
三、解答題：解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟(共76分) .
15．（12分）比較下列各組中兩個值大小
（1）
16．（12分）已知冪函數
軸對稱，試確定的解析式.
17．（12分）求證：函數在R上為奇函數且為增函數.
18．（12分）下面六個冪函數的圖象如圖所示，試建立函數與圖象之間的對應關系.
（A） （B） （C） （D） （E） （F）
19．（14分）由于對某種商品開始收稅，使其定價比原定價上漲x成（即上漲率為），漲價后，商品賣出個數減少bx成，稅率是新定價的a成，這里a,b均為正常數，且a<10，設售貨款扣除稅款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.
20．（14分）利用冪函數圖象，畫出下列函數的圖象（寫清步驟）.
（1）．
參考答案
一、CCBAD DCADA
二、11． ； 12．； 13．5； 14．為奇數，是偶數；
三、15． 解：（1）
（2）函數上增函數且
16． 解：由
17．解： 顯然，奇函數；
令，則，
其中，顯然，
=，由于，，
且不能同時為0，否則，故.
從而. 所以該函數為增函數.
18．解：六個冪函數的定義域，奇偶性，單調性如下：
（1）定義域[0，，既不是奇函數也不是偶函數，在[0，是增函數；
通過上面分析，可以得出（1）(（A），（2）(（F），（3）(（E），（4）(（C），（5）(（D），（6）(（B）.
19．解：設原定價A元，賣出B個，則現在定價為A(1+)，
現在賣出個數為B(1－)，現在售貨金額為A(1+) B(1－)=AB(1+)(1－)，
應交稅款為AB(1+)(1－)·，
剩余款為y= AB(1+)(1－)= AB，
所以時y最大 要使y最大，x的值為.
20．解：（1）把函數的圖象向左平移1個單位，
再向上平移1個單位可以得到函數的圖象.
（2）的圖象可以由圖象向右平移2個單位，再向下平移
1個單位而得到.圖象略
1.1.1集合的含義與表示
教學目的：要求學生初步理解集合的概念，理解元素與集合間的關系，掌握集合的表示法，知道常用數集及其記法.
教學重難點：1、元素與集合間的關系
2、集合的表示法
教學過程：
集合的概念
實例引入：
⑴ 1~20以內的所有質數;
⑵ 我國從1991~2003的13年內所發射的所有人造衛星;
⑶ 金星汽車廠2003年生產的所有汽車;
⑷ 2004年1月1日之前與我國建立外交關系的所有國家;
⑸ 所有的正方形;
⑹ 黃圖盛中學2004年9月入學的高一學生全體.
結論：一般地，我們把研究對象統稱為元素；把一些元素組成的總體叫做集合，也簡稱集.
集合元素的特征
（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.
（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素.
（3）無序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數列之類的特殊集合時，通常按照習慣的由小到大的數軸順序書寫
練習：判斷下列各組對象能否構成一個集合
⑴　2，3，4 ⑵ （2，3），（3，4） ⑶　三角形
⑷　2，4，6，8，… ⑸　1，2，（1，2），{1，2}
⑹我國的小河流 ⑺方程x2+4=0的所有實數解
⑻好心的人 ⑼著名的數學家 ⑽方程x2+2x+1=0的解三 、 集合相等
構成兩個集合的元素一樣，就稱這兩個集合相等
集合元素與集合的關系
集合元素與集合的關系用“屬于”和“不屬于”表示：
（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a∈A
五、常用數集及其記法
非負整數集（或自然數集），記作N；
除0的非負整數集，也稱正整數集，記作N*或N+；
整數集，記作Z；
有理數集，記作Q； 實數集，記作R.
練習：（1）已知集合M={a，b，c}中的三個元素可構成某一三角形的三條邊，那么此三角形一定不是（ ）
A直角三角形 B 銳角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形
（2）說出集合{1，2}與集合{x=1，y=2}的異同點？
六、集合的表示方式
（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內；
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具體方法）
例 1、 用列舉法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然數組成的集合；
（2）方程x2=x的所有實數根組成的集合；
（3）由1~20以內的所有質數組成。
例 2、 試分別用列舉法和描述法表示下列集合：
（1）由大于10小于20的的所有整數組成的集合；
（2）方程x2-2=2的所有實數根組成的集合.
注意：(1)描述法表示集合應注意集合的代表元素
(2)只要不引起誤解集合的代表元素也可省略
七、小結
集合的概念、表示；集合元素與集合間的關系；常用數集的記法.
八、作業
§1.1.2 集合間的基本關系
教學目的: 讓學生初步了解子集的概念及其表示方法,同時了解相等集合、真子集和空集的有關概念.
教學重難點：1、子集、真子集的概念及它們的聯系與區別；
2、空集的概念以及與一般集合間的關系.
教學過程：
一、 復習（結合提問）：
1．集合的概念、集合三要素
2．集合的表示、符號、常用數集、列舉法、描述法
3．關于“屬于”的概念
二 、新課講授
（一）子集的概念
1. 實例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引導觀察.
結論: 對于兩個集合A和B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,則說:這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作A(B (或B(A)，讀作“A含于B”（或“B包含A”）.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A(B 已(或B(A)
（二）空集的概念
不含任何元素的集合叫做空集，記作φ，并規定: 空集是任何集合的子集.
（三）“相等”關系
1、實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B（即如果A(B 同時 B(A 那么A=B）.
2、 ① 任何一個集合是它本身的子集. A(A
② 真子集：如果A(B ,且A(B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B
③ 空集是任何非空集合的真子集.
④ 如果 A(B, B(C ,那么 A(C.
證明：設x是A的任一元素，則 x(A
A(B,x(B 又 B(C x(C 從而 A(C
同樣；如果 A(B, B(C ,那么 A(C
（三）例題與練習
例1、 設集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}
A(B，求a的值
練習1：寫出集合A={a，b，c}的所有子集，并指出哪些是真子集？有多少個？
例2 、 求滿足{x|x2+2=0} M({x|x2-1=0}的集合M.
例3、 若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|ax+1=0}
且B A，求a的值.
練習2： 集合M={x|x=1+a2，a(N*}， P={x|x=a2-4a+5，a(N*}
下列關系中正確的是（ ）
A M P B P M
C M=P D M P 且 P M
三、小結
子集、真子集、空集的有關概念.
四、作業
§1.1.3 集合的基本運算
教學目的：
1、深刻理解并掌握交集與并集的概念及有關性質；
2、掌握全集與補集的概念及其表示法.
教學重難點：交集與并集的概念、性質及運算
教學過程：
復習：子集的概念及有關符號與性質
提問（板演）：用列舉法表示集合：A={6的正約數}，B={10的正約數}，C={6與10的正公約數}，并用適當的符號表示它們之間的關系.
解： A=(1，2，3，6}， B={1，2，5，10}， C={1，2} C(A，C(B
（二） 全集
定義： 如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，
集合就可以看作一個全集.通常用U來表示.
如：把實數R看作全集U, 則有理數集Q的補集CUQ是全體無理數的集合.
（三） 補集
1、實例：S是全班同學的集合，集合A是班上所有參加校運會同學的集合，集合B是班上所有沒有參加校運動會同學的集合.集合B是集合S中除去集合A之后余下來的集合.
結論：設S是一個集合，A是S的一個子集（即），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集
記作： CsA 即 CsA ={x ( x(S且 x(A}
2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} CsA ={2，4，6}
（四）并集與交集
1、實例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}
公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
定義：
（1）交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合，稱為集合A和集合B的交集，記作A∩B，即A∩B ={x|x(A且x(B}.
（2）并集：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A和集合B的并集，記作A∪B ，即A∪B={x|x(A或x(B}.
（五）例題與練習
例1、(1) 若S={2，3，4}，A={4，3}，則CsA= .
(2) 若S={三角形}，A={銳角三角形} ，則CsA= 。
(3) 若U={1，3，a2+2a+1 }，A={1，3} ，則a= 。
(4) 若A={0，2，4}，CUA={-1，2}， CUB={-1，0，2}，求B= 。
練習1：判斷正誤
（1）若U={四邊形}，A={梯形}，則CUA={平行四邊形}
（2）若U是全集，且A(B，則CUA(CUB
（3）若U={1，2，3}，A=U，則CUA=(
思考：已知A={x|x<3}，B={x|x（1）若A(B，CRB(CRA是否成立？
（2） CRA(CR(CR(CRB)，求a的取值范圍.
例2、新華中學開運動會，設A={x|x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學}，B={x|x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學}，求A∩B .
例3、設平面內直線l1上點的集合為L1，直線l2上點的集合為L2，用集合的運算表示l1、l2的位置關系.
練習2：
1、設A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形}， 求A∩B.
2、設A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.
3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5} ， 分別求出滿足下列條件的a的取值范圍 : (1) A∩B=( (2) A∩B=A
例4、已知集合A={4，5，6，8},B={3，5，7，8}，求A∪B.
例5、已知A={x|-1＜x＜2}, B= {x|1＜x＜3}求A∪B.
例6、已知U={x|x是小于9的正整數}, A={1，2，3} ，B= {3，4，5，6}，求CUA，CUB.
練習3：
2、 全集U={x|x≤8,且x∈N*},A U,B U 且A∩B={4,5},
(CUB)∩A={1,2,3} ,(CUA)∩(CUB)={6,7,8},求集合A和B.
3、已知A={x|-1＜x＜3},A∩B=(,A∪B=R,求B.
4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0} ，C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求a,m的值.
（六）小結
全集、補集、交集、并集的有關概念和性質及其運算
（七）作業
3.1 函數與方程
§3.1.1 方程的根與函數的零點
教學目的：
1、結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的關系；
2、根據具體函數的圖象，能夠借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。
教學重點：函數的零點的概念及求法；能夠借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解。
教學難點：利用函數的零點作簡圖；對二分法的理解。
課時安排：3課時
教學過程：
引入課題
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象有什么關系？
2、指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根與函數y= x2-2x-3的圖象之間的關系；
（2）方程x2-2x+1=0的根與函數y= x2-2x+1的圖象之間的關系；
（3）方程x2-2x+3=0的根與函數y= x2-2x+3的圖象之間的關系.新課教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y= ax2+bx+c (a≠0)的圖象有如下關系：
判別式
△=b2-4ac
△>0
△(0
△<0
二次函y=ax2+bx+c
的圖象

與x軸有兩個交點（x1,0）,(x2,0)
與x軸有唯一的交點（x1,0）
與x軸沒有交點
一元一次方程
ax2+bx+c=0
的根
有兩個不等的
實數根x1，x2
x1有兩個相等實數
根x1=x2
沒有實數根

2、函數零點的概念
對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點(zero point).
方程f(x)=0有實數根 函數y=f(x)的圖象與x軸 有交點 函數y=f(x)有零點
連續函數在某個區間上存在零點的判別方法：
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.
例1 求函數f(x)=lnx+2x-6的零點個數.P103 第1、2題．
思考：怎樣求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
對于在區間[a,b]上連續不斷、且f(a) · f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷把函數f(x)的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。
步驟：1、確定區間[a,b]，驗證f(a) · f(b)<0，給定精確度ε
2、求區間(a,b)的中點x1
3、計算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,則x1就是函數的零點(2) 若f(a) · f(x1)<0,則令b= x1(此時零點x0∈(a,x1))
(3) 若f(b)· f(x1)<0,則令a= x1(此時零點x0∈(x1,b))
4、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|< ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則得復2～4。
例2、借助電子計算器或計算機用二分法求方程
的近似解（精確到0.1）。
第1、2題．三、歸納小結，強化思想
本節主要學習了函數的零點的概念及求法；借助計算器或
計算機用二分法求相應方程的近似解。四、作業布置
必做題：教材P108習題3．1（A組） 第1－6題．
選做題：教材P109習題3．1（B組） 第2題課題：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教學目的：（1）通過用”二分法”求方程的近似解,使學生體會函數的零點與方程根之間的聯系,初步形成函數觀點處理問題的意識；
（2）通過”二分法”的學習使學生初步接觸算法的思想；
教學重點：用”二分法”求方程的近似解．
教學難點：”二分法”求方程的近似解的思想和步驟．
教學過程：
復習引入
① 零點的概念:對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點
② 連續函數在某個區間上存在零點的判別方法：
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.
③ 一元二次方程可以用公式求根,但沒有公式來求Inx+2x-6=0的根.聯系函數的零點與相應方程根的關系,能否利用函數的有關知識來求它的根呢？
新課教學
（一）用二分法求方程的近似解
1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解
想法:如果能夠將零點所在的范圍盡量縮小,那么在一定精確度的要求下,我們可以得到零點的近似值.
一般地,我們把 稱為區間(a,b)的中點.
2．二分法概念
對于在區間[a,b]上連續不斷、且f(a)*f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷把函數f(x)的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法
思考:
為什么由|a-b|< ε,便可判斷零點的的似值為a(或b)?

區間
中點的值
中點函數近似值
(2,3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53125
-0.009
(2.53125,2.2625)
2.546875
0.029
(2.53125,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625)
2.53515625
0.001
3、用二分法求方程的近似解的步驟
①、確定區間[a,b]，驗證f(a)*f(b)<0，給定精確度ε
②、求區間(a,b)的中點x1
③、計算f(x1);
若f(x1)=0,則x1就是函數的零點
若f(x1)<0,則令b= x1(此時零點x0∈(a,x1))
若f(x1)>0,則令a= x1(此時零點x0∈(x1,b))
④、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|< ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則得復2～4
（二）典型例題
例2、借助電子計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.1）
解：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用計算器或計算機作出函數f(x)=2x+3x-7 對應值表與圖象（如下):
x
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)=2x+3x-7
-6
-2
3
10
21
40
75
142

區間
中點的值
中點函數近似值
(1,2)
1.5
0.33
(1,1.5)
1.25
-0.87
(1.25,1.5)
1.375
-0.28
(1.375,1.5)
1.4375
0.02
(1.375,1.4375)
?
?
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此時區間(1.375,1.4375)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4。
鞏固練習：（教材P106練習1）

歸納小結，強化思想
二分法是求方程近似解的一種常用方法，它是利用方程的根與對應的函數零點的關系，將求解方程轉化為求解函數的零點的近似解。
作業
復習二分法求解方程近似解的步驟
“用二分法求方程的近似解”教學設計
（一）學習目標：
（1）理解求方程近似解的二分法的基本思想與步驟；能夠借助科學計算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解．
（2）通過啟發學生利用直觀想象分析問題來培養學生的直觀想象能力，加強學生對數學通性通法的學習，體驗二分法的算法思想，培養學生自主探究的能力．
（3）體驗求方程近似解的二分法的探究形成過程，感受方程與函數之間的聯系；通過了解數學家的史料來培養學生數學素養，并增強其學習數學的興趣；體會由特殊到一般的認識規律，體會概括結論和規律的過程，培養學生認識事物的正確方法．
（二）重點難點：
重點 理解二分法的基本思想，掌握運用二分法求函數零點的近似值的步驟和過程．
難點 理解精確度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步驟
（三）教學內容安排
1.提出問題：（教師可以利用多媒體等手段展示問題）有一條5km長的電話線路（大約100多根電線桿），某一天線路發生了故障．想一想，維修線路的工人師傅如何迅速查出故障所在？
教師可以鼓勵學生討論，研究此問題，并提出一個可行的方案．
2.新課導入：
求下列函數的零點：
（1）（2）學生回答計算的結果．
教師總結：簡單高次函數可以因式分解求出零點，不能因式分解的高次函數我們不能求出其零點，但是我們可以想辦法來求零點的近似值．
3.介紹數學史：
介紹法國數學家伽羅瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)與挪威數學家阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）的事跡，并引出二分法．
4.例題講解：
例題：求函數的一個正實數零點（精確到）
此時應采取教師引導，學生合作探究的教學模式．教師需引導學生解決下列問題：
（1）如何尋找零點的近似解？（即二分法的原理，操作方法）
（2）分到何時才能滿足誤差要求？（即二分法的精度要求）
找到解決這兩個問題的方法之后，首先由師生共同選擇初始區間，教師可以利用數軸演示二分法的原理；讓學生討論絕對誤差與區間長度的關系．教師引導學生用表格演示二分法逐次計算的結果．最后由學生歸納二分法解題的一般步驟，教師做最后總結．（可以通過計算機作圖來驗證學生的計算結果）
5.練習鞏固
使用計算器，用二分法求函數的一個正零點的近似值（誤差不超過0.01）．
教師巡視，學生作練習．要求同桌配合，一名同學負責作記錄，另一名負責用計算器求值，盡快求解．　　　　6.拓展加深 由二分法到算法．
（1）教師總結二分法的用途，拓展到算法，鼓勵學生在學習前人算法的基礎上，去尋求解決各類問題的算法．
（2）介紹函數圖象求解法．
7.歸納小結：
教師總結二分法的解題步驟，讓學生并領會、回顧本節所學的知識與方法，以逐步提高學生自我獲取知識的能力，有利于發展教與學中存在的問題并能及時糾正．
8.布置作業：
教材P100練習 2. 教材P102習題3.1 B組 1
（四）教學資源建議
建議在教學過程中可以讓學生使用計算器來計算相關的函數值，這樣可以節省學生的計算時間．教師則可以利用多媒體教學手段協助學生發現、歸納方法，并且驗證學生的計算結果．
（五）教學方法與學習指導策略建議
1.教學目標的落實：
新的高中數學課程標準強調了課堂教學要以學生的發展為本，如何在課堂教學中根據學生的心理特點、不同水平的學生提供其感興趣的教學材料，創設有趣且適合學生學習的教學情景，激勵學生主動學習和探索，在交流和親自參與中獲得知識，是我們教師一項十分重要的任務．從實例引入能充分調動學生的興趣，引起學生的求知欲．引入中的實例是為引入二分法的原理做準備，也說明二分法原理源于現實生活，并作用與現實生活．整個教學過程應遵循從特殊到一般的思想，學生更容易接受知識；另外應以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點、解決重點，這樣有利于學生對知識的掌握，并強化對二分法原理的理解；這樣可以使學生在討論、合作中解決問題，充分體驗成功的愉悅．在教學過程中教師可以鼓勵學生采用獨立思考與小組活動相結合的辦法解決問題，倡導合作學習；并且讓學生進行模仿練習，能及時的鞏固所學知識與方法．
2.學生的能力、價值觀培養：
數學教學不僅要重視數學知識的傳授和技能的形成，更重要的是在教學過程中應以“問題”為主線，不斷地創設問題情境，培養學生的探究意識．這樣有利于培養學生學習數學的情感，增強學生學習數學的自信心，提高解決問題的能力．而且本節課中學生體驗了一個由二分法的研究學習上升到對數學通性通法的學習與研究的過程．在教學過程中注重學習方法，注重思維方法，注重探索方法，讓學生主動獲取知識，同時也讓學生知道這些知識是如何被發現的，結論是如何獲得的，讓學生在學習過程中去體驗數學和經歷數學，體現了“方法比知識更重要”這一新的教學價值觀，在此過程中教師可以引導學生充分認識到算法思想的重要性，并提高學生數學的應用意識和探究能力．
3.重視“以學生為本”：
　　《標準》指出：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間，學生之間交往互動與共同發展的過程．”根據優化課堂教學的需要對教材進行適當的加工處理，根據教學要求，從學生的實際出發，創設學生熟悉的教學情境，設計富有情趣的教學活動，鼓勵每個學生動手、動口、動腦，積極參與數學的學習過程．在整個教學過程中，教師注意發揮學生的主體性，給學生留下充分的時間與空間．在課堂上，學生不僅學會了有條理地表述自己的觀點想法，還學會了相互接納、贊賞與互助，并不斷對自己和別人的想法進行批判和反思．通過學生間的多向交流，可以使他們從多角度看到問題解決的途徑．
第七組：呂曉琳 張燕菱 鄒斌 王國棟 佟昀 司九偉 胡軍 唐平 劉宗平 王春芳
§2.3函數的應用（Ⅰ）第一課時
（一）學習目標
1．知識目標：能夠找出簡單實際問題中的函數關系式，應用一次函數、二次函數模型解決實際問題，初步掌握數學建模的一般步驟和方法．
2．能力目標：通過具體實例，感受運用函數建立模型的過程和方法，體會一次函數、二次函數模型在數學和其他學科中的重要性，初步樹立函數的觀點．
3．情感目標：了解數學知識來源于生活，又服務于實際，從而培養學生的應用意識．
（二）重點難點
教學重點：運用一次函數、二次函數模型解決實際問題．
教學難點：增強運用函數思想理解和處理問題的意識，理解數學建模中將實際問題抽象、轉化為數學問題的一般方法．
（三）教學內容安排
1、復習一次、二次函數的有關知識
2、創設情景，揭示課題
引例：大約在一千五百年前，大數學家孫子在《孫子算經》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔？你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎？你有什么更好的方法？老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”. 這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數量與它們頭的數量之差，就是兔子數，即：47－35＝12；雞數就是：35－12＝23.
此例激發學生學習興趣，增強其求知欲望.
可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.
3、結合實例，探求新知
例1、 某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發10min開出13km后，以120km/h勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關系，并求出離開北京2h時火車行駛的路程．
探索：
1）本例所涉及的變量有哪些？它們的取值范圍怎樣；
2）變式思考：試寫出火車勻速行駛的路程y與火車行駛的時間x之間的函數關系
3）所涉及的變量的關系如何？
4）寫出本例的解答過程.
老師提示：路程S和自變量t的取值范圍（即函數的定義域），注意t的實際意義.
學生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析.
說明：本例是一次函數模型的例子，在審題中重點是理解各變量的含義及相互間的依賴關系，難點是求自變量t的取值范圍．可設一次函數為，使用待定系數法求解．對于第二問，我們可以引導學生體會函數與方程，一般與特殊的關系，加深對函數本質的理解．
例2、某農家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間客房每日增加2元，客房出租數就會減少10間．若不考慮其它因素，旅游公司將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？
引導學生探索過程如下：
1）本例涉及到哪些數量關系？
2）應如何選取變量，其取值范圍又如何？
3）應當選取何種函數模型來描述變量的關系？
4）“總收入最高”的數學含義如何理解？
根據老師的引導啟發，學生自主，建立恰當的函數模型，進行解答，然后交流、進行評析.
[略解：]
設客房日租金每間提高2元，則每天客房出租數為300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30
設客房租金總上收入元，則有：=（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）
由二次函數性質可知當=10時，=8000.
所以當每間客房日租金提高到20＋10×2=40元時，客戶租金總收入最高，為每天8000元.
課堂練習 1、要建一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，試求應當怎樣設計，才能使水池總造價最低？并求此最低造價.
2、如圖，把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長為x，面積為y試將y表示成x的函數，并畫出函數的大致圖象，并判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大？
例3
某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2的拋物線表示。
（1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函數關系式；寫出圖2表示的種植成本與時間的函數關系式。
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
? （注：市場售價和種植成本的單位：元／百千克，時間單位：天）
解:? 由圖1可得市場售價與時間t的函數關系：，由圖2可得種植成本與時間t的函數關系：，由上消去t得Q與P的對應關系式：
。
?
因為認定市場售價P與種植成本Q之差為純收益，所以當且時，；由二次函數性質可知當P＝250時，t＝50，此時P－Q取得最大值100；
? 當且時，；由二次函數性質可知當P＝300時，t＝300，此時P－Q取得最大值87.5．因為100＞87.5，所以當t＝50時，P－Q取得最大值100，即從二月一日起的第50天上市的西紅柿收益最大。
4、歸納整理，發展思維.
引導學生共同小結，歸納一般的應用題的求解方法步驟：
合理選取變量，建立實際問題中的變量之間的函數關系，從而將實際問題轉化為
函數模型問題：
2）運用所學知識研究函數問題得到函數問題的解答；
3）將函數問題的解翻譯或解釋成實際問題的解；
4）在將實際問題向數學問題的轉化過程中，能畫圖的要畫圖，可借助于圖形的直觀
性，研究兩變量間的聯系. 抽象出數學模型時，注意實際問題對變量范圍的限制.
5、布置作業
作業：教材P68習題2.3（A組）第3 、4、5題：習題2.3（B組）第1、2題
（四）教學資源建議
教師教學用書
（五）教學方法與學習指導策略建議
函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，因此函數的應用是學習函數的主要目的之一．本節課學習一次和二次函數模型的應用，讓學生在熟悉的知識背景下理解用函數的思想分析問題、解決問題的方法，初步掌握建立數學模型的一般步驟，為第二次學習函數的應用打好基礎．教材這樣處理既符合學生的認知規律又體現了螺旋式上升的設計理念．在函數應用的教學中，學生通過動手操作、模仿，參與解決實際問題，體驗從實際問題中抽象出數學關系的方法，從而感受函數的應用價值，增強數學應用的意識；學生在體驗數學與日常生活和其它學科領域的聯系中樹立起正確的世界觀；數學建?；顒?，在激發學生學習數學的興趣，發展學生創新精神和實踐能力方面起到重要的作用．結合本節內容的學習，使學生形成用函數思考問題的習慣．總之，對于函數應用的教學主要是培養學生數學應用的意識，用函數模型刻畫客觀世界的規律的能力．關鍵在模型的建立中要合理選擇變量和尋求變量間的依賴關系，掌握數學建模的一般方法．
第七組：呂曉琳 張燕菱 鄒斌 王國棟 佟昀 司九偉 胡軍 唐平 劉宗平 王春芳

2.3函數的應用（Ⅰ）第二學時
（一）學習目標
1．能夠找出簡單實際問題中的函數關系式，應用一次函數、二次函數模型解決實際問題并初步掌握數學建模的一般步驟和方法。
2．通過具體實例，感受運用函數建立模型的過程和方法，體會一次函數、二次函數模型在數學和其他學科中的重要性，初步樹立函數的觀點．
3．學生在運用函數的思想和方法理解和處理其它學科、現實生活中的簡單問題中體會數學應用的廣泛性，樹立事物間相互聯系的辯證觀。在數學建模中體會客觀世界是有規律可循的，形成正確的世界觀。通過函數應用的學習，讓學生感受到數學就在身邊，從而激發學生學習的興趣，增強學習的自信心。
（二）重點難點
教學重點：運用一次函數、二次函數模型解決實際問題，引導學生探索從實際問題中抽象出函數關系。
教學難點：增強運用函數思想理解和處理問題的意識，理解數學建模中將實際問題抽象、轉化為數學問題的一般方法。
（三）教學內容安排
1、處理課本的例4
例4：建立函數數學模型的例子.
問題：我國1999-2002年國內生產總值（單位：萬億元）如下表所示：
年份
1999
2000
2001
2002
x
0
1
2
3
生產總值
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）、畫出函數圖形，猜想他們之間的函數關系，近似地寫出一個函數關系式；
（2）、利用得出的關系式求生產總值，與表中實際生產總值比較；
（3）、利用關系式估計2003年我國的國內生產總值.
例4是建立一個真實的函數模型解決實際問題的例子，所提供的數據沒有作任何處理，它里面包含的信息很豐富，要求學生根據需要抓住主要矛盾，建立模型解決問題，要求也更高。 鑒于學生是第一次接觸數學建模，課本采取分步設問的辦法，引導學生分析數據，建立模型解決問題，使學生經歷一個完整的數學建模過程。本題可以根據學生實際的認知水平作不同的處理，若學生沒有建模的基礎，就采取教材的處理方式，然后再歸納總結建模的方法，提煉數學建模的思想。若學生基礎較好或有一定的建?；A，教師可以只提供數據，讓學生提出自己感興趣的問題，然后自主探究，解決問題，師生交流，達成共識，落實方法。這樣處理除了向學生滲透數學建模的思想方法之外，還關注學生的問題意識，提高學生的創新能力。在例4的教學過程中要充分利用計算機幫助學生解決問題，豐富學生的學習方式。
2、補充練習：
在測量某物理量的過程中,因儀器和觀察的誤差,使得n次測量分別得到共n個數據.我們規定所測量物理量的“最佳近似值”是這樣一個量：與其它近似值比較,它與各測量數據的差的平方和最小.依此規定,從推出的最佳近似值=____.
解：設最佳近似值為x，設x與各測量數據的差的平方和為y，則
，因為n>0，由二次函數的性質可得，y取最小值時，x的值為，即最佳近似值為
補充練習條件比較簡單，但所建數學模型為二次函數，包含了找出應用題中的核心數學概念、正確理解并列出與核心數學概念相關的數量關系、結合題意利用列出的數量關系正確的建立數學模型和能正確辨認數學模型的數學實質，利用已學數學知識正確求解數學模型這幾個關鍵步驟，是對課本例4的補充和鞏固。
（四）教學資源建議
教師教學用書附錄scilab 3.0作圖命令簡介
（五）教學方法與學習指導策略建議
函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，因此函數的應用是學習函數的主要目的之一。在函數應用的教學中，學生通過動手操作、模仿，參與解決實際問題，體驗從實際問題中抽象出數學關系的方法，從而感受函數的應用價值，增強數學應用的意識；學生在體驗數學與日常生活和其它學科領域的聯系中樹立起正確的世界觀；數學建?；顒?，在激發學生學習數學的興趣，發展學生創新精神和實踐能力方面起到重要的作用。結合后兩節內容的學習，使學生形成用函數思考問題的習慣。
總之，對于函數應用的教學主要是培養學生數學應用的意識，用函數模型刻畫客觀世界的規律的能力。關鍵在模型的建立中要合理選擇變量和尋求變量間的依賴關系，掌握數學建模的一般方法，使學生初步做到以下五點：
1、會審題：找出實際問題中的核心數學概念
2、會理解：正確理解并列出與核心數學概念相關的數量關系
3、會建模：結合題意利用列出的數量關系正確的建立數學模型
4、會求解：能正確辨認數學模型的數學實質，利用已學數學知識正確求解數學模型
5、會反思：要反思模型結論在實踐中的應用；反思求解數學模型的思維過程
第七組：呂曉琳 張燕菱 鄒斌 王國棟 佟昀 司九偉 胡軍 唐平 劉宗平 王春芳
函數與方程教學設計
農大附中 張曉東
一、教材分析
1．本單元的教學內容范圍
2.4 函數與方程
2.4.1 函數的零點
2.4.2 求函數零點近似解的一種計算方法——二分法
2．本單元的教學內容在模塊中的地位和作用
函數的應用是學習函數的主要目的之一。本模塊安排了2.3, 2.4, 3.4三節函數應用的學習，2.3, 3.4節主要是關注函數在生活實踐及其它領域中的應用，而本節內容重點放在函數在數學內部的應用，使函數的學習構成一個完整的有機體，同時本模塊的結構也給學生呈現了研究一個問題完整的思路和方法。本節內容不但揭示函數、方程、不等式等內容的橫向聯系，又體現螺旋上升的學習函數的縱向聯系。在二分法求函數零點近似解的過程中滲透的算法思想，為模塊3學習算法作了必要的準備，另外，也為進入大學學習介值定理、區間套定理，體會極限的思想等起到基礎性的作用。函數與方程的學習，對學生進一步理解函數的概念和性質，樹立數學應用的意識，形成正確的世界觀起到重要的作用。
3．本單元教學內容的總體教學目標
（1）進一步了解函數的廣泛應用
（2）結合二次函數的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數零點與方程根的聯系
（3）根據具體函數的圖像，能夠借助計算器用二分法求函數零點的近似解，了解這種方法是求函數零點近似解的常用方法
4．本單元的教學內容重點和難點分析
重點：理解函數零點的概念，判定二次函數零點的個數，會求函數的零點，能夠借助計算器或計算機用二分法求函數零點的近似解。
難點：函數零點的性質，二分法求函數零點近似解的原理及隱含其中的數學思想方法的理解。
5．其它相關問題
本單元的兩節內容屬于新增內容，涉及函數在數學內部的應用。大綱教材講函數應用主要是講函數在解決實際問題中的應用，而未涉及數學內部的應用。課標這樣處理對于學生完整地理解函數的應用，掌握分析、研究問題的方法大有好處。函數與方程安排在這個位置也是恰當的，前面學習的函數性質，二次函數的相關知識，為本節的學習提供了必要的準備，反過來通過本節的學習可以更好的認識和鞏固前面的知識，溫故知新，體現了本套教材低起點，循序漸進，螺旋式上升的特色。再者，教材內容的呈現力圖使學生在對二次函數的零點與方程的根的關系研究過程中體會由特殊到一般的思維方法；在經歷用二分法求函數零點近似解的探索過程中,初步體會數形結合、逼近、算法等重要的數學思想方法；在經歷無限逼近的過程中,感受整體與局部、定性與定量、精確與近似的對立統一辯證觀，體會事物間相互轉化的辯證思想；在數學閱讀中了解數學發展史，了解數學文化；在批注中拓展知識。這也是課標強調對數學本質認識和注重提高學生的數學思維能力的體現。
二、本單元教學方式和教學方法的概述
本單元可以根據學生的情況分別采取以下教學方式：（1）根據“倡導積極主動、勇于探索的學習方式；注重信息技術與數學課程整合”理念和學生基礎較好的實際情況，選用利用計算器或計算機自主探究、學習的方式進行教學。在教學中教師的作用是促使學生獲得知識，形成能力，提煉思想方法。（2）根據學生基礎較薄弱的實際和“注重提高學生的數學思維能力”的課程理念，選用師生互動下的講授式教學模式。教師的講要適度，不要代替學生的學，教師的作用放在啟發和必要時提供幫助上。
三、本單元所需教學資源的概述
教師教學用書配套光盤1課件集錦中課件1210，教參中的“資源拓展”所提供的相關資料. 教材中的“練習”、“習題”。
四、本單元學時建議
2.4 函數與方程
2.4.1 函數的零點 1課時
2.4.2 求函數零點近似解的一種計算方法——二分法 1課時
教案設計：
方案一
　　　　　　　　　　函數的零點
農大附中　毛春桃
一、教學目標
知識與技能：
（1）理解函數零點的概念與性質，會求函數的零點。
（2）能判斷二次函數零點的存在性，了解函數的零點與方程的根之間的關系，初步形成用函數的觀點處理問題的意識。
過程與方法：
（1）在對二次函數的零點與方程根的關系研究過程中，體會由特殊到一般的思維方法。
（2）通過由零點的性質作函數圖像的過程及函數零點的性質的總結，滲透“數形結合”的思想方法。
情感、態度與價值觀：在函數與方程的聯系中，讓學生初步體會事物間相互轉化的辯證思想；在教學中讓學生體驗探究的過程、發現的樂趣。
二、教學重點、難點
教學重點：函數零點的概念、求法及性質；
教學難點：函數零點的應用。
三、教學方法
本節課是對初中內容的加深，學生對相關知識比較熟悉，因此采用以學生活動為主體，自主探究，合作交流的教學方法。
四、教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
復習引入
（1）二次方程是否有實根的判定方法。
（2）二次函數的頂點坐標、對稱軸方程等相關內容。
學生思考后回答
復習舊知，利于學生理解本節課的知識。
函數零點的概念
實例引入
例1：已知函數，
（1）當取何值時，
（2）作出函數的簡圖。
或是函數的零點。
問題一：觀察函數的零點在其圖像上的位置。
學生動手解題，并觀察思考，教師總結例1。
讓學生感知知識發展的過程，了解函數零點與方程根的關系，滲透數形結合的思想。
函數的零點
一般地，如果函數在實數處的值等于零，即，則叫做這個函數的零點
問題二：結合引例給函數的零點下定義。學生思考后回答
培養學生類比的思想，讓學生體會由特殊到一般的思維方法
二次函數零點判定
例2：已知函數，
分別求函數的零點。
學生計算、畫圖后回答。
體驗二次函數零點的各種情形，對一般二次函數零點的總結做出鋪墊。
二次函數零點的判定
二次函數的零點個數，方程的實根個數見下表。
判別式
方程的根
函數的零點
兩個不相等的實根
兩個零點
兩個相等的實根
一個二重零點
無實根
無零點
問題三：對于二次函數是否一定有零點？如何判定？
學生討論，小組代表發言。師生共同總結，并完成表格。
培養學生的歸納能力，讓學生體驗成功的快樂。利用表格的形式，有利于學生對比記憶。
概念深化
深化概念
引導學生回答下列問題：
（1）如何求函數的零點？函數的零點與圖像的關系。
結合例1、例2指出函數、方程、不等式三者間存在的聯系。
引伸：
（2）如果函數在其定義域內為單調函數，則函數在其定義域內最多有幾個零點？
（3）如果偶函數的定義域為，且，那么函數在其定義域內的零點的個數有什么規律？對上奇函數呢？
學生思考、回答，老師點評、總結
（1）求函數的零點即為求出相應方程的解或函數圖象與軸交點的橫坐標。
（2）單調函數在其定義域內最多有一個零點
進一步深化學生對函數零點概念的理解；理清函數與方程間的聯系；讓學生思考問題2、3不僅可以復習舊知識，而且讓學生體驗了函數圖象與方程的關系，感受到“數形結合”在解題中的魅力。
函數零點的性質及應用
練習：求函數的零點，并指出時，的取值范圍。
學生思考、回答。
為引出函數零點的性質作出鋪墊
函數零點的性質及應用
5.二次函數零點的性質
①二次函數的圖像是連續的，當它通過零點時（不是二次零點），函數值變號。
②相鄰兩個零點之間的所有的函數值保持同號。
引伸：對任意函數，只要它的圖像是連續不間斷的，上述性質同樣成立。
二次函數的零點的應用
①利用二次函數的零點研究函數的性質，作出函數的簡圖。
②根據函數的零點判斷相鄰兩個零點間函數值的符號，觀察函數的一些性質。
引伸：二次函數的零點的應用可推廣到一般函數。
結合例1，
教師引導
學生總結
引導學生初步了解函數零點的性質及應用，有利于培養學生觀察、分析、歸納的能力，深化對函數零點的認識。
6.函數零點的應用
例3.求函數的零點，并畫出它的圖像
（1）學生求出函數的零點。
（2）3個零點把軸分成4個區間。
（3）由函數零點的性質，在每一個區間上所有函數值保持同號，啟發學生分別在每一個區間內，取的一些值，根據點的變化趨勢畫出函數的圖象。
學生求出零點，教師引導，師生共同完成作圖，并歸納作圖的方法。
滲透數形結合的思想，說明函數零點的應用。
降低課本例題難度，主要考慮學生分組分解法分解因式的困難，對課本例題可布置學生按所講例題的思路課后思考
7.課堂練習
教材第72頁練習A1（1）（4）（5），練習B1（２）
學生練習。
進一步鞏固本節所學內容
歸納小結
8.課堂小結
（1）一個定義（函數的零點）
（2）二個性質（函數零點的性質）
（3）三個思想（函數，特殊到一般，數形結合）
學生總結，教師補充完善。
讓學生回顧本節所學知識與方法，使知識結構更系統、更完善。
課外拓展
函數在下列哪些整數間有零點
①－2與－1之間②－1與0之間③0與1之間
④1與2之間⑤2與3之間
學生課外思考
讓學生體驗正確運用所學知識自主探求問題的方法，激發學生獲取新知識的興趣，為學習新知識作準備。
布置作業
教材第72頁練習A1（6）練習B1（1）（3），2
學生練習。
鞏固所學內容。為下節課學習做準備。
補充練習：
1.若函數y= ax2-x-1只有一個零點，求實數a的零點。
2.若函數f(x)= x2-ax-b的兩個零點是2和3，求函數g(x)=bx2-ax-1的零點。
3.若函數f(x)=x2+2x+a沒有零點，求實數a的取值范圍.
4.若函數f(x)=ax+b有一個零點是2，求函數g(x)=bx2-ax的零點
5.若方程的兩根分別在區間（0,1），（1,2）內，求的取值范圍。
6.函數必有一個零點的區間是（ ）．
A．(-5, -4) B．(-4,3) 　　C．(-1, 0) D．(0,2)
方案二
函數的零點
溫泉二中 楊冬香
教學目標
（1）知識與技能：
了解函數零點與方程根的關系；能判斷二次函數零點的存在性，掌握函數零點的
概念；會求簡單函數的零點。
（2）、過程與方法：
由二次函數為載體探究方程的根與函數的零點的關系，以探究的方法發現在某區
間上圖象連續的函數存在零點的判定方法；通過探討函數零點性質的形成過程，
培養學生觀察、歸納、探究的能力。
（3）、情感、態度、價值觀：
體會數形結合的數學思想，從特殊到一般的歸納思想。在函數與方程的聯
系中發展學生對定性與定量的認識，滲透事物整體與局部的關系，讓學生初步體
會對立與統一的辯證思想。
教學重點、難點
重點：函數零點的概念及存在性的判定；函數零點的求法；
難點 ：發現與理解方程的根與函數零點的關系；探究發現函數存在零點的方法。
利用函數的零點作圖；數學思想的滲透。
教學方法
本節課是對初中內容的加深，學生對相關知識比較熟悉，因此采用以學生活動為主體，自主探究，合作交流的教學方法較多。利用多媒體輔助教學。
教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
復習引入
解方程
情況
實數根
無實根
對應函數
圖象



與軸交點
（1，0）
無交點
學生思考后動筆填表
復習一元二次函數的有關知識，再次滲透數形結合的思想
發動點
概念形成
提出問題：對于函數，，
當取何值時，
作出函數的簡圖。
結合引例給函數
的零點下定義，
觀察圖象與x軸
交點的橫坐標與
方程根的大小關
系。并引出函數
零點概念。
畫圖、思考、并
歸納出結論：函
數圖象與x軸交
點的個數等于對
應方程根的個
數；函數圖象與
軸的焦點的橫坐
標的大小與對應
方程的根的大小
相等。
它既是幾個特殊的函數與方程，又具有很強的概括性，包括方程有兩不相等的根、兩相等的根、無根的情況，研究它們有利于培養學生思維的完整性，也為學生歸納方程與函數的關系鋪好了臺階。
一、函數的零點的有關概念：
1定義：
一般地，如果函數在實數處的值等于零，即，則叫做這個函數的零點。
歸納：函數的零點并不是“點”，它不是以坐標的形
式出現。
2、函數零點的意義：
函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．
歸納：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．
教師提出問題，學生思考回答，師生完善。
思考：
1、零點是不是點？
2、零點是不是f(0)？
此部分的設置一方面讓學生理解函數零點的含義，另一方面通過對比讓學生再次加深對二者關系的認識，使函數圖象與x軸交點的橫坐標到函數零點的概念轉變，變得更自然、更易懂。通過對比教學揭示知識點之間的密切關系。
理解點
概念深化
3、函數零點的求法：
引導學生回答下列問題：
（1）如何求函數的零點？
（2）函數的零點與圖像的關系。
（3）函數的零點與方程的關系
結合引例指出函數、方程、不等式三者間存在的聯系。
Ⅰ：可以解方程而得到（代數法）；
Ⅱ：可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．（幾何法）
學生思考、回答、師生點評、總結。
遵循由淺入深、循序漸進的原則
掌握點
練習鞏固
例1：求函數的零點，并指出時，的取值范圍。
解略：
先學生練習，然后教師帶領大家一起尋找方法，落實方法。
注意由淺入深、循序漸進地建立函數與方程的關系：
內化點
應用舉例
4、歸納二次函數零點的判定
二次函數的零點個數，二次方程的實根個數見下表。
判別式
方程的根
函數的零點
兩個不相等的實根
兩個零點
兩個相等的實根
一個二重零點
無實根
無零點
5、函數零點的性質（以二次函數為例）
二次函數的圖像是連續的，當它通過零點時（不是二次零點），函數值變號。
相鄰兩個零點之間的所有的函數值保持同號。
引伸：對任意函數，只要它的圖像是連續不間斷的，上述性質同樣成立。
提問1：對于二次函數是否一定有零點？如何判定？
提問2： 函數的零點有哪些特性？
學生討論，小組代表發言。師生共同總結，并完成表格。歸納出二次函數零點的性質。
從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形．
掌握點
應用舉例
二、函數的零點的應用
提出問題：本節的前半節一直以二次函數作為模本研究，如果不是我們熟知的函數怎樣求它的零點呢？
例 求函數的零點，并畫出它的圖像
解略：
歸納：
（1）利用二次函數的零點研究函數的性質，作出函數
的簡圖。
（2）根據函數的零點判斷相鄰兩個零點間函數值的符號，觀察函數的一些性質。

可以借助計算器完成部分數據的計算
學生求出零點，教師引導，師生共同完成作圖，并歸納作圖的方法。
鞏固函數零點的求法，滲透二次以外的函數的零點情況?？偨Y討論二次函數的零點的存在情況
本節的前半節一直以二次函數作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結了二次函數零點情況，給學生一個清晰的解題思路。進而培養學生總結歸納能力。
內化點
鞏固練習
課堂練習
教材第72頁練習A 1（2）（4）B 1（1）（3）
學生練習。
教師單獨指導
進一步加深對函數零點的理解及掌握求法
拓展延伸
觀察與思考：
觀察下面函數的圖象
填空：在區間上______(有/無)零點；_____0（＜或＞）．
在區間上______(有/無)零點；_____0（＜或＞）．
在區間上______(有/無)零點；_____0（＜或＞）．

歸納：你可以得出什么樣的結論？
由于時間的關系可以留作課下學生討論交流完成課后練習。
結論的得出為下節課的二分法作下鋪墊
數學教學的新理念，就是想法設法在教學中培養學生的創新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養學生的探究能力，問題設計層層遞進、層層加深。有助于學生理解概念，這樣設計不僅符合學生的認知特點，也無形中給學生滲透從特殊到一般的方法與過程。
歸納小結
課堂小結
知識方面
學習了函數的零點的定義及其求法，利用函數的零點作函數的簡圖?？偨Y歸納了函數零點的性質
數學思想方法
滲透了從特殊到一般、數形結合的思想。
學生總結，
師生補充完善。
布置作業
教材第75頁練習A1（1）2（2）3（2）5（1）
學生練習。
補充練習：
1、觀察二次函數的圖象：
 在區間上有零點嗎？______；_______，_______,
_____0（＜或＞）．
思考：若<0，那么函數在上一定有零點嗎?
 在區間上有零點______；____0（＜或＞）．
思考：若，那么函數在[]上一定有零點嗎?
思考：若函數滿足，在區間上一定有零點嗎？
若函數滿足，在區間上一定有零點嗎？
2、求下列函數的零點：
（1）； （2）
3、求函數，并畫出它的大致圖象．
4、．利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的大致區間：
（1）；
（2）．
方案三
函數的零點
—— 北京市第六十七中學 賈康康
一、教學目標
知識與技能：
（1）理解函數零點的意義，會求函數的零點。
（2）能判斷二次函數零點的存在性，了解函數的零點與方程的關系，初步形成用函數的觀點處理問題的意識。
過程與方法：
（1）以具體的二次函數為例，求出零點，并通過作圖加以說明，從而給出函數零點的概念，體會由特殊到一般的思維方法。
（2）通過由零點的性質作函數圖像的過程及函數零點的性質的總結，滲透數形結合的思想方法。
情感、態度與價值觀：讓學生初步體會事物間相互轉化的辯證思想。
教學重點、難點
教學重點：函數零點的概念、求法及性質；
教學難點：函數零點的應用。
教學方法
本節課是對初中內容的加深，學生對相關知識比較熟悉，因此采用以學生活動為主體，自主探究，合作交流的教學方法。
四、教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
復習引入
一元二次方程是否有實根的判定方法
二次函數的頂點坐標、對稱軸方程等相關內容。
學生思考后回答
以舊引新，利于學生構建知識網絡。為函數的零點判定及其應用作出鋪墊。
函數零點的概念
實例引入
例1：已知函數，
當取何值時，
作出函數的簡圖。
或是函數的零點。
問題一：觀察函數的零點在其圖像上的位置。學生動手解題，并觀察思考，教師總結引例。
讓學生感知知識發展的過程，了解函數零點與方程根的關系，滲透數形結合的思想。
函數的零點
一般地，如果函數在實數處的值等于零，即，則叫做這個函數的零點
問題二：結合引例給函數的零點下定義。教師提出問題，學生思考回答，師生完善。
培養學生歸納能力，讓學生體會由特殊到一般的思維方法。
二次函數零點判定
引導學生填寫下列表格：
一元二次方程
二次
函數
函數圖像
方程的根
圖像與x軸交點
(-1，0)
（3，0）
=1
（1，0）
無實根
沒有
交點
問題三：引導學生填寫表格，并思考對于二次函數如何求函數的零點？是否所有的二次函數都有零點? 學生討論，小組代表發言。
體驗二次函數零點的各種情形，對一般二次函數零點的總結做出鋪墊。
二次函數零點的判定
二次函數的零點個數，方程的實根個數見下表。
判別式
方程的根
函數的零點
兩個不相等的實根
兩個零點
兩個相等的實根
一個二重零點
無實根
無零點
師生共同總結，并完成表格。
進一步深化學生對函數零點概念的理解。利用表格的形式，有利于學生對比記憶。
函數零點性質及應用
練習：求函數的零點，并指出時，的取值范圍。
學生思考、回答。
為引出零點的性質作出鋪墊
二次函數零點的性質
二次函數的圖像是連續的，當它通過零點時（不是二次零點），函數值變號。
相鄰兩個零點之間的所有的函數值保持同號。
對任意函數，只要它的圖像是連續不間斷的，上述性質同樣成立。
二次函數的零點的應用
利用二次函數的零點研究函數的性質，作出函數的簡圖。
② 根據函數的零點判斷相鄰兩個零點間函數值的符號，觀察函數的一些性質。
結合引例，教師引導學生總結。
引導學生初步了解函數性質零點的性質及應用，有利于培養學生觀察、分析、歸納的能力，深化對函數零點的認識。
例 求函數的零點，并畫出它的圖像
總結步驟：
（1）求函數的零點；
（2）零點把x軸分成多個區間；
（3）取點、列表；
（4）描點、作圖。
學生求出零點，教師引導，師生共同完成作圖，并歸納作圖的方法。
滲透數形結合的思想，說明函數零點的應用。
鞏固練習
課堂練習
教材第72頁練習A1（1）（4）（5），練習B1（２）
學生練習。
進一步鞏固本節所學內容
思考題：若，函數在區間上零點的存在情況。
課后練習。
讓學生體驗正確運用所學知識自主探求問題的方法，激發學生獲取新知識的興趣，為進一步學習新知識作準備。
歸納小結
課堂小結
知識方面
學習了函數的零點的定義、性質及其求法，利用函數的零點作函數的簡圖。
數學思想方法
主要有由特殊到一般的思想和數形結合的思想。
學生總結，師生補充完善。
讓學生回顧本節所學知識與方法，使知識結構更系統、更完善。
布置作業
教材第72頁練習A1（6）練習B1（1）（3）
學生練習。
讓學生鞏固所學內容。為下節課的學習做好準備。
教案：2.4.1函數的零點
北京農大附中 洪彬
一、教學目標：
1、知識與技能：了解函數的零點與方程根的關系。理解函數零點的意義，能判斷二次函數零點的存在性，會求簡單函數的零點。培養學生對事物的觀察、歸納能力和探究能力。
2、過程與方法：通過描繪函數圖像，分析零點的存在性. 體驗函數零點概念的形成過程，提高數學知識的綜合應用能力。
3、情感態度與價值觀：培養學生的數形結合思想,滲透由抽象到具體思想,使學生理解動與靜的辨證關系,在函數與方程的聯系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值．讓學生初步體會事物間相互轉化的辯證思想。
二、教學重點、難點：
重點是函數零點的概念及求法；難點是利用函數的零點作圖。
三、教學方法：
本節課是對初中內容的加深，學生以相關知識比較熟悉，因此采用以學生活動為主，自主探究，合作交流的教學方法為宜。
四、教學流程：

五、教學過程：
教學
環節
教學內容
師生互動
設計意圖
復習
引入
（1）一元二次方程是否有實根的判定方法：
（2）二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標，對稱軸方程等相關內容。
學生思考后回答
以舊引新，利于學生建構知識網絡。
實例引入
引例：已知函數y=x2-x-6
（1）當x取何值時，y=0？
（2）作出函數的簡圖
x=-2 或x=3是函數y=x2-x-6的零點。
問題：觀察函數的零點在其圖象上的位置。

學生動手解題，并觀察思考，教師總結引例,引導學生解方程，畫函數圖象，分析方程的根與圖象和軸交點坐標的關系。
讓學生動手動腦來感知知識發生發展的過程，了解函數的零點和方程根的聯系，提高作圖與識圖以及自主解決問題的能力，使學生養成獨立思考的好習慣。通過數與形的結合說明函數圖像與性質的關系。
概念引入
2、深化概念
引導學生回答下列問題：
①如何求函數的零點？
②函數的零點與圖象的關系。
③結合引例指出函數、方程、不等式三者間存在的聯系。
學生思考、回答，師生點評、總結。
結合圖像認真理解函數零點的意義，并對零點出現的條件進行思考，根據函數零點的意義探索其求法．
以問題研討形式替代教師的說明，有利于學生對知識的掌握，并進一步深化對函數零點概念的理解。通過函數零點概念的形成過程，讓學生對零點的概念由初步的認識到掌握，并且對一般概念的形成過程有一個更深認識
鞏固練習
3、練習：求函數y=x2-2x+3的零點，并指出y>0,y<0時，x的取值范圍。
學生練習
讓學生進行模仿練習，能及時鞏固所學知識與方法，也突出了對二次函數零點的應用。
概念形成
4、函數零點的概念：
對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點．
函數零點的意義：
函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．
即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．二次函數零點的判定
二次函數y=ax2+bx+c的零點個數，方程ax2+bx+c=0的實根個數見下表。
判別式
方程的根
函數的零點
△>0
兩個不相等的實根
兩個零點
△=0
兩個相等的實根
一個二重零點
△<0
無實根
無零點
問題：對于二次函數y=ax2+bx+c是否一定有零點？如何判定？
學生討論，小組代表發言，師生共同總結，并完成表格。
通過函數零點概念的形成過程，讓學生對零點的概念由初步的認識到掌握，并且對一般概念的形成過程有一個更深刻的認識。
倡導學生合作學習，讓學生體驗成功的快樂，激發學生的學習興趣，利用表格的形式，有利于學生對比記憶。
概念形成
5、二次函數零點的性質
①二次函數的圖象是連續的，當它通過零點時（不是二重零點），函數值變號。
②相鄰兩個零點之間的所有的函數值保持同號。
對任意函數，只要它的圖象是連續不間斷的，上述性質同樣成立。
6、二次函數的零點的應用
①利用二次函數的零點研究函數的性質，作出函數的簡圖；
②根據函數的零點判斷相鄰兩個零點間函數值的符號，觀察函數的一些性質。
結合引例，教師引導學生總結。引導學生運用函數零點的意義探索二次函數零點的情況．
根據函數零點的意義，探索研究二次函數的圖像的性質，完全獨立完成對二次函數零點情況的分析 ，總結概括形成結論，并進行交流。
結合引例，引導學生初步了解函數零點的性質及應用，既有利于突出重點，又有利于培養學生觀察、分析、歸納的數學能力，同時也深化了對函數零點的認識。
應用舉例
例 :求函數y=x32x2-x+2的零點，并畫出它的圖象。
通過以上兩例題你能總結出求函數零點的求法嗎？
引導學生歸納：
 （代數法）求方程的實數根；
②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．
學生求出零點，教師引導，師生共同完成作圖，并歸納作圖的方法。
例1，例2是兩個類型，通過對比使學生能總結出一般的函數零點求法。
培養學生的歸納概括能力及對數學問題的反思意識。
學生利用零點作圖有一定的困難，故師生共同分析怎樣列表、取值、畫函數的簡圖，突出重點，解決難點。引導學生探索判斷函數零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數的圖象，結合圖象確定零點所在的區間，然后利用函數單調性判斷零點的個數．
結合圖象對函數有一個零點形成直觀的認識．
鞏固練習
7、課堂練習
教材第72頁練習A第1（2）（4）題，第2（1）題。
學生練習
進一步鞏固本節所學內容
鞏固練習
8、觀察下面函數的圖象
 在區間上______(有/無)零點；
·_____0（＜或＞）．
 在區間上______(有/無)零點；·_____0（＜或＞）．
 在區間上______(有/無)零點；·_____0（＜或＞）．
由以上兩步探索，小組討論，你們可以得出什么樣的結論？
課后練習
讓學生體驗正確運用所學知識自主探求問題的方法，激發學生獲取新知識的興趣，為進一步學習新知識做準備。
歸納小結
課堂小結
（1）知識方面
學習了函數的零點的定義及其求法，利用函數的零點作函數的簡圖。
（2）數學思想方法
主要有轉化的思想、數形結合的思想。
學生總結，師生補充完善。

讓學生回顧本節所學知識與方法，以逐步提高學生自我獲取知識的能力，有利于發現教與學中存在的問題，并及時反饋糾正，使知識結構更系統、更完善。
布置作業
教材第72頁練習B第1（3），2（2）題
學生練習
讓學生鞏固所學內容，為下節課的學習做好準備。
六．補充練習：
1．利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，請探究方程的根．如果方程有根，指出每個根所在的區間（區間長度不超過1）．
3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：
（1）為何值時，函數的圖象與軸有兩個零點；
（2）如果函數至少有一個零點在原點右側，求的值．
設計意圖：結合圖象考察零點所在的大致區間與個數，結合函數的單調性說明零點的個數；讓學生認識到函數的圖象及基本性質（特別是單調性）在確定函數零點中的重要作用．培養動手，和分析圖表的能力．列表，借助計算機或計算器來畫函數的圖象幫助分析．相對應例題給出一元四次函數及指數型的函數零點的探究，拓展學生的思維，以達到觸類旁通。鞏固學生這節課所學的知識，通過學生的作業反饋，來找出學生掌握不足的地方，再給予糾正，真正實現“學數學用數學”。
七．學生學習評價表：
“主動探究學習”模式把知識作為一種過程而非結果，肯定學生的學習是一種建構獨特意義的過程，強調學生的主動參與，旨在提高學生的創新精神和創新能力。因此，評價決不是單一的、封閉的，而應該是一個開放的、多元的動態過程，它除了注重對學生的學習作評判之外，更主要的是不斷地為學生的學習活動提供可資借鑒的資料，促進學生深入地更有效地進行主動探究學習。
1．堅持評價目標的全面性；
2．堅持評價內容的多維性；
3．堅持評價方式的多樣性；
4．堅持評價主體的多元性；
5．堅持評價的發展性；
6．堅持評價的及時性．
評價主體
評價內容
評價等級（5、4、3）
總結評定
任
課
教
師
1．善于觀察，認真思考
2．善于表達，大膽實踐
3．分析得當，解答具有合理性、條理性
4．作業完成良好
5．積極主動地面對困難
學
生
自
身
1．主動探究，猜測驗證
2．善于觀察，大膽實驗，勤于操作實踐
3．積極討論，發表觀點

（后附：本節課的教學設計）

函數的零點
北京農大附中 洪彬
學習目標：
1、知識目標：理解函數零點的意義，能判斷二次函數零點的存在性，會求簡單函數的零點，了解函數的零點與方程根的關系。
2、能力目標：體驗函數零點概念的形成過程，提高數學知識的綜合應用能力。培養學生對事物的觀察、歸納能力和探究能力。
3、情感目標：培養學生的數形結合思想,滲透由抽象到具體思想,使學生理解動與靜的辨證關系,在函數與方程的聯系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值．讓學生初步體會事物間相互轉化的辯證思想。
二、教學重點、難點：
重點是函數零點的概念及求法；難點是利用函數的零點作圖。
三、教學內容安排：
2.4.1 函數的零點
1、本小節重點是理解函數零點的概念，判定二次函數零點的個數，會求函數的零點，能夠借助計算器或數學軟件用二分法求相應方程的近似解．難點是函數零點的應用。
2、函數的零點．教材以二次函數y＝x2-x-6為例，求出零點，并通過作圖加以說明，從而給出了函數零點的概念，體現了由特殊到一般的思維方法．教學中，應引導學生自主探索，通過抽象、概括形成概念．值得注意的是：不是所有函數都有零點，如y＝1，y＝x2+1就不存在零點．
3、函數零點個數的判定．將二次函數y=ax2+bx+c的零點個數的判定，轉化為二次方程ax2+bx+c＝0實根個數的判定，這是初中已學過的內容，可以由學生自己歸納總結.
4、零點的兩條性質．教學時，應結合函數圖象加以說明．這兩條性質對其他連續函數也適用．
5、求三次函數的零點，并作出圖象．求零點的關鍵是學生能正確地進行因式分解，而作出它的圖象，可先由零點分析出函數值的正負變化情況，再進行適當的取點．通過例題進一步總結求函數零點的方法，以及零點在作圖中的應用．
教學流程：

四、教學資源建議：
1．利用TI計算器繪制某類特殊函數圖像，找出零點，并嘗試進行系統的總結．
可以利用TI圖形計算器分析二次函數（供有條件的學校使用）
的函數值符號隨在一定范圍內變化而變化的特點．


利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）


2．補充練習：
1．利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，請探究方程的根．如果方程有根，指出每個根所在的區間（區間長度不超過1）．
3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：
（1）為何值時，函數的圖象與軸有兩個零點；
（2）如果函數至少有一個零點在原點右側，求的值．
3．通過函數求值、函數的作圖建立信息技術與數學的整合，培養學生使用計算機技術學習數學的習慣與技能。
培養師生使用計算機技術學習數學和講授數學，現今變得非常緊迫和必要．在教學中，應當由教師制作課件進行演示，向師生使用數學軟件學習數學和研究數學轉變．教材向師生提供了三套軟件：Scilab、工作表和幾何畫板。
五．教學方法與學習指導策略建議
1．教學方法：本節課是對初中內容的加深，學生以相關知識比較熟悉，因此采用以學生活動為主，自主探究，合作交流的教學方法為宜。
2．學習指導策略建議
（1）認知起點
建構主義的基本主張認為學習是一個積極主動的建構過程，學習者不是被動地接受外在信息，而是根據先前認知結構主動地有選擇性地知覺外在信息，建構當前事物的意義，所以課程實施決不是教師給學生灌輸知識、技能，也不是學生只被動地陷于接受、記憶、模仿和練習等低等而乏味的活動。高中數學課程應該是學生在自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式下，師生之間、學生之間進行愉快而有效的多邊互動。所有這些活動都需要學生在知識起點方面有所準備。通過初中數學的學習，學生已經對一次函數、二次函數的性質與圖像有了深刻了解，以此為基礎課本在第二章《基本初等函數》介紹了指數函數、對數函數、冪函數的基本性質，并且要求學生能夠運用計算機繪制它們的圖像，此時學生已經對初等函數的本質屬性、初等函數的圖像與性質的聯系有了較高層次的認識，所以在本節課提出函數零點的概念，不會顯得突然，反而對學生的認知過程有很好的幫助。
（2）． 學習興趣
有了良好的知識基礎，學生的知識起點自然就會比較平順的與本節課的內容進行銜接，這樣學生的學習興趣會得到的保障。另外，在現代化教學設備方面，我們配備了最型新TI計算器，而這種計算器的功能強大，可以幫助學生簡單、準確地描繪函數圖像，所以學生的興趣又得到了的提高。其實這些都是次要的，重要的是學生對知識的渴望，這種對未知世界的好奇感可以指引他們的學習向著正確的方向發展。
（3）．學習障礙
本節課的學習障礙為零點概念的認識。零點的概念是在分析了眾多圖像的基礎上，由圖像與軸的位置關系得到的一個象形的概念，學生可能會設法畫出圖像找到所有任意函數的可能存在的所有零點，但是并不是所有函數的圖像都能具體的描繪出，所以在概念的接受上有一點的障礙。
（4）．學習難度
新教材關注學生的學習興趣和認知特點，一方面注意控制教材內容總量精選學生終身學習必備的基礎知識和基本技能，一方面適當降低某些知識的難度要求，改變原理性知識偏重思辨和過深、過難的現象，本節課就充分體現了這一點 。難度適中，知識要點突出，層次分明，符合學生的思維特點。
求函數零點近似解的一種計算方法──二分法
楊 琳
教學目標
知識目標：通過具體實例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函數零點的原理，從中體會函數與方程之間的聯系及其在實際問題中的應用．
能力目標：能借助計算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數學思想，為學習算法做準備．
情感目標：感受“無限逼近”過程，引導學生體會“用有理數逼近無理數”的思想方法。
教學重點、難點
重點是學會用二分法求函數的零點；難點理解用二分法求函數零點的原理。
教學方法
本節課采用以學生活動為主體，自主探究，合作交流的教學方法。
四、教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
復習引入
求下列函數的零點：
y= - 3x+2
（只需求一個實數零點）
學生思考后回答，前三道題沒有困難，第四題學生求不出來，教師可引導學生我們雖不能求出零點的精確值，但我們可以求出零點的近似解。
學生已經會求一次函數、二次函數以及簡單的三次函數的零點，但是有一些三次函數或更高次的函數我們不會或不能求出它們的零點的精確值，這時我們就要尋求一種求零點近似值的方法。
方法形成
前三道題大家已經可以解出零點，但第四題用分解因式的方法我們不能求出相應的零點，不能求出零點的精確值，那么我們能不能用別的方法求出函數零點的近似值呢？
大家看過李詠主持的《幸運52》節目嗎？ 下面請同學猜一部MP3的價格？
分小組討論，怎樣才能又快又準的猜出MP3的價格。
步驟：
先說出一個你認為合理的最高價格a0及最高價格b0，使得手機價格
說出的平均價格x0，
①若x0為MP3價格則結束；
②若x0高于MP3價格，算出a0與x0的平均價格為x1,令
③若x0高于MP3價格，算出b0與x0的平均價格為x1,令
(3) 說出的平均價格x1，
①若x1為MP3價格則結束；
②若x1高于MP3價格，算出a1與x1的平均價格為x2,令
③若x1高于MP3價格，算出b1與x1的平均價格為x2,令
┄┄
繼續上述步驟，直到猜出手機價格為止。
上述動態過程，每次都將所給最高價格和最低價格一分為二，進行比較后得到新的最高價格、最低價格，再一分為二，如此下去，逐步逼近MP3的價格。這種思想就是二分法。
學生猜MP3的價格，然后讓學生說出他們在猜MP3價格時的思路。引導學生，得出結論。
通過猜MP3的價格，讓學生體會逐漸逼近的過程，并歸納出二分法。若學生沒有直接取中點，可多叫幾個學生，比較方法的優劣，逐漸向二分法靠攏。
方法深化
我們體會到了二分法在實際生活中的用處，其實它在數學中也有很大的用處。大家看我們能不能用這種方法去求的正實數零點的近似解呢？（精確到0.1）
學生分小組討論函數的正實數零點的近似解。
前面已深入討論了二分法的實施步驟，學生可以模仿上面的步驟得到正實數零點的近似解。
總結方法
二分法及步驟：
繼續實施上述步驟，直到區間,函數的零點總位于區間上，當按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數y=f(x)的近似零點，計算終止。這時函數y=f(x)的近似零點滿足給定的精確度。
分組討論二分法的具體步驟，教師點評完善。
讓學生自己歸納總結二分法步驟，可能有一定困難，在學生總結的基礎上，進一步規范化。
練習鞏固
教材P75練習B 1、2
學生練習。
進一步鞏固所學知識
思考題：1 你能否把二分法步驟用表格的形式表示出來？
2 除了二分法，能否還有其他的方法求函數的零點。
學生練習。
給數學感興趣的同學拓寬視野。
小結
課堂小結
二分法是一種求函數零點近似解的通法。
利用二分法來解函數零點近似解的操作步驟。
體現了極限及無限逼近的數學思想方法
注：二分法求零點，本教材所指為變號零點，變號零點的概念大家回去看書（P72）。
師生共同總結
總結回顧
作業
1 P75 A 7 B 1、2
2 閱讀P72-74
課后練習
鞏固課堂所學知識
求函數零點近似解的計算方法——二分法
溫泉二中 劉紅蓮
教學目標
知識目標：了解函數變號零點與不變號零點的區別，會判斷函數變號零點的存在性，掌握求函數變號零點的近似解的常用方法——二分法
能力目標：體驗求函數零點的近似解的常用方法——二分法的求解過程，提高數學知識的綜合應用能力。
情感目標：讓學生初步體會二分法是解決一類問題的一種算法，是一種通法可以通過程序化進行，進一步的是自己去尋找計算函數零點的另一種算法。
教學重點、難點
重點：學會用二分法求函數零點；
難點：二分法求函數零點近似解的原理及隱含其中的數學思想方法的理解。
教學方法
本節課可以通過實例領會函數變號零點的求法——二分法，并會將二分法的過程與步驟作程式化總結，以便于應用計算機求解。
四、教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
引入
央視節目《幸運52》中有一個猜商品價格的游戲，選手若猜中，則商品歸自己所有，在規定的一分鐘內誰都想盡量多猜中幾件商品的價格。
師：假如你是這個游戲的參加者，你有什么方法能盡可能快的猜出所展示的商品的價格嗎？
學生：思考、回答
一方面可以激發學生的學習興趣；
另一方面可以從游戲中讓學生明白二分法的原理
方法形成
接下來看這樣的問題：有一段10千米的長的線路發生故障如何查出故障所在的位置。
請同學們想一想：我們通過怎樣的方法才能在最短的時間內線路的故障所在呢？
學生互動，討論交流；師生共同總結解決問題的簡潔途徑。
通過就具體問題的討論得出二分法是解決問題的一種有效計算方法，
問題：二分法除了可以解決以上的實際問題，是否還可以解決我們數學中的什么問題？——求函數的零點的近似解問題
問題：二分法除了可以解決以上的實際問題，是否還可以解決我們數學中的什么問題？教師提出問題，學生思考
引出課題：求函數零點近似解的計算方法——二分法
方法深化
例1用二分法求函數的一個正零點（精確到）
解：⑴由，可知函數的一個正零點在區間中；
⑵取的區間中點；
⑶計算；
⑷由于，則有零點的新區間為
⑸取的區間中點；
⑹計算；
⑺由于，則有零點的新區間為；
⑻取的區間中點；
⑼計算；
⑽由于，則有零點的新區間為；
⑾取的區間中點；
⑿計算；
⒀由于，則有零點的新區間為；
⒁取的區間中點
⒂計算；
⒃由于，則有零點的新區間為；
⒄取的區間中點；
⒅計算；
⒆由于，
⒇由于，則有零點的新區間為；又因為零點要求精確到，而區間兩端點近似值相同都是2.24所以函數的一個正零點為：2.24
例2用二分法求函數的一個正零點（精確到）
教師：要注意判斷函數是否可用二分法求零點。
類比上述方法師生共同完成此題的求解過程
注：用二分法求函數零點的近似值，首先要選好計算的初始區間，這個區間既要符合條件，又要使其長度盡可能的小，以便減少運算量。
用二分法求函數零點的一般步驟講解，通過師生共同對例1中二次函數零點的近似解求解過程及教參中的課件展示，使學生對這個求解的過程有一個直觀的認識，進一步熟悉求解原理及步驟，再次體現二分法的思想
接下來由學生求解例2中三次函數零點的近似解，從而達到掌握用二分法求函數零點的方法。
自主探索
用二分法求函數零點的一般步驟：
第一步：在D內取一個閉區間，使與異號，即，零點位于區間中。
第二步：取區間的中點，則此中點對應的坐標為
。
計算和，并判斷：
①如果，則就是的零點，計算終止；
②如果，則零點位于區間中，令；
③如果，則零點位于區間中，令
第三步：取區間的中點，則此中點對應的坐標為
。
計算和，并判斷：
①如果，則就是的零點，計算終止；
②如果，則零點位于區間中，令；
③如果，則零點位于區間中，令
……
繼續實施上述步驟，直到區間，函數的零點總位于區間上，當和按照給定的精確度索取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數的近似零點，計算終止。這是函數的近似零點滿足給定的精確度。
師：引導學生歸納、總結用二分法求函數零點的一般步驟并仔細體會此步驟的實現過程，感悟其中的思想方法．
生：仔細體會二分法原理，并根據用二分法求函數零點的步驟解決一些實際問題
1.結合以上兩個題目的求解過程由學總結出求解步驟
2.同時讓學生理解二分法求函數零點的近似解的基本思想是：逐漸縮小有零點區間長度，知道滿足精確度的要求。
即：向學生滲透隱含其中的逼近、近似的思想。
練習反饋
練習：用二分法求函數的一個負零點（精確到）
學生練習
知識的熟練與鞏固
拓展應用
例如：函數能否用二分法求近似零點。
教師：所有函數是否都可用二分法求零點。
學生：嘗試利用二分法求解
明確二分法應用的條件：
對函數的圖像是連續不間斷的一類變號零點有效。
通過上面題目的求解，我們可以看到用“二分法”求解函數在某個區間上的零點的近似之一般都很復雜，表現在進行大量的重復計算，運算量大，這種按部就班的求解問題的過程實質上是一種算法，這類題一般都要借助于計算機來完成。但它是一種通法
滲透一些算法的思想
課堂練習
教材第74-75頁練習A1 B1
學生練習。
知識的熟練與掌握
歸納小結
課堂小結
（1）知識方面
了解了函數變號零點與不變號零點的區別，判斷函數變號零點的存在性，求函數變號零點的近似解的常用方法——二分法。
（2）數學思想方法
主要有特殊到一般的思維方法、逼近的思想、數形結合的思想、算法的思想。
學生總結，
師生補充完善。
幫助學生梳理一下本節課的知識點
布置作業
求函數的零點，并畫出它的圖像
學生練習。
知識的熟練與掌握
求函數零點近似解的計算方法——二分法
溫泉二中 華玲
教學目標
知識目標：了解函數變號零點與不變號零點的區別，會判斷函數變號零點的存在性，掌握求函數變號零點的近似解的常用方法——二分法
能力目標：體驗求函數零點的近似解的常用方法——二分法的求函數零點近似解的過程，初步體會屬性結合逼近、近似、算法等重要數學思想方法，提高學習數學知識的綜合應用能力。
情感目標：經歷無限逼近的過程，感受整體與局部、精確與近似的對立統一辯證觀，讓學生初步體會二分法是解決一類問題的一種算法，是一種通法可以通過程序化進行，進一步的是自己去尋找計算函數零點的另一種算法。
教學重點、難點
重點是學會用二分法求函數近似零點；難點是理解用二分法求函數的零點的原理。
教學方法
本節課可以通過實例領會函數變號零點的求法——二分法，并會將二分法的過程與步驟作程式化總結，以便于應用計算機求解。
四、教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
引入
在日常生活中，經常遇到電線、網線、或電話線等線路出現故障：
例如有一段10千米的長的電話線路發生故障如何查出故障所在的位置。
線段演示，學生思考、各抒己見
引出課題
方法形成
有一段10千米的長的線路發生故障如何查出故障所在的位置。
尋找解決問題的途徑
學生互動，討論交流；師生共同總結解決問題的簡潔途徑。介紹二分法
通過就具體問題的討論得出二分法是解決問題的一種有效計算方法，
問題：我們由上節課知道并非所有函數都能像一次、二次函數可用公式法求出零點，
二分法除了可以解決以上的實際問題，是否還可以解決求函數的零點的近似解問題？
問題：
教師提出問題，學生思考
問題的具體化
方法深化
例1用二分法求函數的一個正零點（精確到）
解法說明:1應用函數零點的性質選取包含零點的初始區間[2,3]（滿足f(2)×f(3)<0
2求區間[2,3]的中點及f()
3利用性質判斷f(2)·f()<0，確定區間[2，]
以此類推……
4[2，][]，][，]
[，]……
可知2.24是該函數的一個零點近似值。
例2用二分法求函數的一個正零點（精確到）
教師：。
類比上述方法師生共同完成此題的求解過程
注：用二分法求函數零點的近似值，首先要選好計算的初始區間，這個區間既要符合條件，又要使其長度盡可能的小，以便減少運算量。
通過上面題目的求解，我們可以看到用“二分法”求解函數在某個區間上的零點的近似值一般都很復雜，表現在進行大量的重復計算，運算量大，這種按部就班的求解問題的過程實質上是一種算法，這類題一般都要借助于計算機來完成。但它是一種通法
再次體現二分法的思想
滲透一些算法的思想
自主探索
用二分法求函數零點的一般步驟：
第一步：在D內取一個閉區間，使與異號，即，零點位于區間中。
第二步：取區間的中點，則此中點對應的坐標為
。
計算和，并判斷：
（1）如果，則就是的零點，計算終止；
（2）如果，則零點位于區間中，令；
（3）如果，則零點位于區間中，令
第三步：取區間的中點，則此中點對應的坐標為
。
計算和，并判斷：
（1）如果，則就是的零點，計算終止；
（2）如果，則零點位于區間中，令；
（3）如果，則零點位于區間中，令
……
繼續實施上述步驟，直到區間，函數的零點總位于區間上，當和按照給定的精確度索取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數的近似零點，計算終止。這是函數的近似零點滿足給定的精確度。
學生歸納、總結。
用二分法求函數零點的一般步驟
注意中點計算方法
讓學生將知識點歸納總結出來，熟悉二分法的解題步驟
練習反饋
練習：
用二分法求函數f(x)=2x-5的零點
用二分法求函數的一個正零點（精確到0.1）
學生練習
讓學生進一步體會二分法原理
拓展應用
1例如：函數能否用二分法求近似零點。
2能否用三分法研究問題？
教師：所有函數是否都可用二分法求零點。
學生嘗試利用二分法求解
注意判斷函數是否可用二分法求零點
明確二分法應用的條件：
對函數的圖像是連續不間斷的一類變號零點有效。
課堂練習
教材第74-75頁練習A1 B1
學生練習。
歸納小結
課堂小結
（1）知識方面
了解了函數變號零點與不變號零點的區別，判斷函數變號零點的存在性，求函數變號零點的近似解的常用方法——二分法。
（2）數學思想方法
主要有特殊到一般的思維方法、逼近的思想、數形結合的思想、算法的思想。
學生總結，
師生補充完善。
布置作業
求函數的零點，并畫出它的圖像
學生練習。
求函數零點近似解的一種計算方法---二分法
六十七中學 張映暉
教學目標
1、知識目標：理解用二分法求函數零點的原理,學會用二分法求函數的零點.
2、能力目標：讓學生能夠初步了解逼近思想，極限思想，培養學生探究問題的能力、嚴謹的科學態度和創新能力。
3、情感目標：通過具體實例的探究，歸納概括所發現的結論或規律，體會從具體到一般的認知過程。
二、教學重點、難點
重點是能夠借用計算器，用二分法求相應方程的近似解，使學生體會函數的零點與方程根之間的關系，初步形成用函數觀點處理問題的意識。
難點是理解用二分法求函數零點的原理
三、教學方法
啟發式教學:游戲導入推出課題實踐探究總結提煉學生感悟
四、教學過程
教學環節
教學內容
師生互動
設計意圖
情境設置
看過李詠主持的《幸運52》節目嗎？下面我們進行商品竟猜。大家猜一款手機的價格。
學生開始竟猜
通過情境的設置激發學生學習的熱情，讓學生體會到數學來源于生活。并讓學生初步理解二分法的原理.
方法形成
分析學生竟猜成功的方法。
引出課題
我們體會到了二分法在實際生活中的用處，其實它在數學中也有很大的用處.
解方程 (1)2x+6=0 (2)
(3)
(1)、（2）題同學們很快正確地解出，那么第（3）題呢？我們感覺很困難。那么我們能否利用二分法來求它的近似解呢？
求方程的一個近似解？（精確到0.1）
生： 如果能夠將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值。
我們可以通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。取區間(0,1)的中點0.5,用計算器算得,因為,所以零點在區間(0,0.5)內。再取區間(0,0.5)的中點0.25,用計算器算得,因為,所以零點在區間(0.25,0.5)內。由于(0,1) (0,0.5) (0.25,0.5),所以零點所在的范圍越來越小。重復上述步驟，得到 |0.375-0.3125|=0.06250.1,所以方程的近似解為
4．（多媒體展示出用二分法求函數零點的一般步驟）
┄
繼續實施上述步驟，直到區間,函數的零點總位于區間上，當按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數y=f(x)的近似零點，計算終止。這時函數y=f(x)的近似零點滿足給定的精確度。
由學生分析，教師糾正補充。
教師展示多媒體課件——區間逼近法
分小組討論求近似解。
由小組長闡述解決問題的方法。并由同學來判斷其正誤。由正確的學生來總結用二分法求方程近似解的方法。由教師評價補充完善。
竟猜成功的方法很多,教師要對各種方法進行類比,最后統一到二分法上.
培養學生分析問題、歸納總結的能力。
學生很容易地解出方程(1)、（2），對于（3）的解答就非常困難，以前的方法很難解出這道題，有些學生就會聯想到二分法，通過步步逼近的方法，逐步找到近似解。
培養學生探索、解決問題的能力。發揮學生學習的主動性。
從求方程的近似解到總結出用二分法求函數零點的步驟，再利用這個方法解決問題，從而讓學生體會從特殊到一般，再到特殊的研究問題的方法。
鞏固練習
練習：教材P75練習B---1，2。
學生練習。
鞏固已學知識
歸納小結
課堂小結
知識方面
（1）二分法是一種求一元方程近似解的通法。
（2）利用二分法來解一元方程近似解的操作步驟。
數學思想方法
區間逼近和極限的方法
研究方法
特殊----一般-----特殊
學生總結，
師生補充完善。
培養學
歸納總結的習慣
布置作業
教材P75習題2----4---A---7;習題2---4---B---1,2.
把二分法求函數零點的步驟利用圖表表示出來；
閱讀教材P72第二段和P74最后一段。
對于學有余力的同學，你是否還能找到另一種計算函數零點的算法嗎？（可查閱材料或借助計算機）。
學生練習。
習題A的作業是鞏固所學知識；習題B的作業利用二分法原理解決問題。作業3是讓學生了解數學史和算法的了解，為算法的學習打下伏筆。作業4是針對學有余力的同學，培養他們自主學習的能力。
說明：本教案是在把“變號零點”放在2.4.1節講授的前提下設計的。


編寫人員名單：張曉東 毛春桃 洪彬 趙炎 張映輝 楊琳 賈康康 華玲 楊冬香 劉紅蓮
2.4.1函數的零點
（一）學習目標：
理解函數零點的意義，能判斷二次函數零點的存在性，會求簡單函數的零點，了解函數的零點與方程根的關系；
體驗函數零點概念的形成過程，提高數學知識的尊和應用能力；
讓學生初步議會事物間相互轉化的辨證關系.
（二）重點難點：
重點是函數零點的概念及求法，難點是利用函數的零點作圖.
（三）教學內容安排:
1.復習引入：
一元二次方程有實根的判定方法
2概念形成：
引例：已知=，當何值時（），？
函數的零點：一般地，如果函數在實數處的值等于零，即，則叫做這個函數的零點.
與上例中叫函數的零點.
函數的零點的幾何意義：在坐標系中，點為函數圖像與軸的交點.
3 感念深化：
讓學生回答，如何求函數的零點？函數的零點與圖像有何關系？
4 練習：
①求的零點，并畫出其圖象 ，指出
是，的取值范圍.
②寫出二次函數零點的個數與二次方程根的判別式的關系．
5引導學生給出二次函數零點的性質：
　　?、?當函數的圖像通過零點（穿過軸）時，函數值變號.
　　　
⑵　兩個零點（把軸分成三個區間：，在　　　　　每個區間上函數值保持同號．如上例
應用舉例：
例　求的零點，并畫出圖象．
解：因為＝＝
?。剑?，
　所以函數的零點是．
描點畫圖：（略）
　鞏固練習
課堂練習Ａ，Ｂ
歸納小結：
⑴函數零點的概念：，如果函數在實數處的值等于零，即，則叫做這個函數的零點.
⑵函數零點的意義：利用函數的零點畫圖，討論函數的性質．
　　作業：
（四）教學資源建議
教師教學用書；
北京市高中新課程數學教學指導意見和模塊學習要求：
北京市教育資源網
（五）教學方法與學習指導策略建議
本教學內容是開始介紹函數的一些基本應用，是前兩節內容的繼續．因為用方程的根討論函數圖像的性質，涉及到一種重要的數學思想，即函數與方程的思想．所以，本節教學要特別注意思想方法的教學．同時建議可采用啟發引導的方法建立概念，理解好函數的零點的意義，掌握函數的零點初步的應用．
第七組：呂曉琳 張燕菱 鄒斌 王國棟 佟昀 司九偉 胡軍 唐平 劉宗平 王春芳
題課題
2.4.2求函數零點近似解的一種計算方法
——二分法
第 1 課時
教教
學
目
標
知識與技能
理解用二分法求方程近似解的原理；
能夠借助計算器用二分法求方程的近似解
過程與方法
體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法；
在學習過程中，讓學生感受近似、逼近的思想方法；
培養學生利用信息技術和計算工具的能力。
情感態度
價值觀
培養學生探究問題的能力、嚴謹的科學態度和創新能力；
讓學生在自我解決問題的過程中，體驗成功的喜悅
教學重點
能夠借助計算器用二分法求方程的近似解
教學難點
方程近似解所在初始區間的確定
教學方法
啟發式教學
教學手段
多媒體輔助教學
板 書 設 計
作
業
課
后
記
教 學 過 程
教學過程：
一、游戲引入
同學們，現在是幸運52現場直播，下面進行一個猜數字游戲：給定1～100這100個自然數，計算機隨機出一個1～100之間的整數，通過操作鍵盤讓同學們去猜這個數，對于大家每次猜測的結果，計算機的提示是“對了”或“大了”或“小了”。
討論
任給一個1～100的整數，我都可以在7次以內猜出，你們能做到嗎？
為什么采用正確的方法，7次以內一定可以猜中？
（第一次猜50，若“大了”，則猜1與50中間的整數25，依次類推，由于每猜一次，就排除一半，范圍不斷縮小，7次以內一定可以猜中。）
上述游戲，每次都將所給區間一分為二，進行比較后得到新的區間，再一分為二，如此下去，使得所猜數字逐步逼近計算機所給的數字。這種思想就是二分法。
設計意圖：
通過做游戲，來提高學生的學習興趣，讓他們在玩的過程中初步體會二分法的思想。
感受領悟
在剛才的游戲中，我們體會到了二分法的用處，你還能列舉一些二分法在實際生活中的應用嗎？
如：翻字典查英語單詞(類似二分法)；輸電線路的故障檢測（如：一條電纜上有15個接點，現某一接點發生故障，如何可以盡快找到故障接點？）
我們體會到了二分法在實際生活中的用處，其實它在數學中也有很大的用處。
因為對于一些函數，我們要用因式分解的方法來求它的精確值，比較困難，所以我們采用二分法來求其近似值，先把二分法的思想介紹給大家
二分法就其求函數零點近似值的一種方法，比如說函f（X）
看判斷端點處的函數值是否異號，若異號，則f（a）。f（b）一定存在零點，現在把a,b一分為二，那么零點是在左邊呢？
還在右邊呢？我們得判斷，能怎么判斷
中點處的函數值若f（M）恰好為0，那么零點一定是M，現在如果f（M）不為0則必然可能正，或者負的f（a）相反，那么
零點在哪？（左邊）現在把區間一分為二，NM
現在我們把零點所在的區間縮小到3這個區間內，依此類推我們可以把零點所在的區間一直縮小，一直縮小，縮小到什么程度？兩端點的近似值恰好相等，那么此時，零點這個近似值就應該是的近似零點，計算結束了。
二分法體現了一種逼近的思想，把零點所在區間逼近縮小，縮小，再縮小讓它逐漸的逼近為零點，從而求得其零點的近似值。
P80 2、求函數，的一個正零點的近似值（0，1）
正零點為3
例2、
①判斷方程在區間（0，1）內是否有解？若有，有幾解？
（利用兩個端點的函數值異號得到在（0，1）內至少有一解；解的個數就是函數與圖象交點的個數，作出兩者圖象，知只有一解。）
②這個實數解大概是多少？你能利用二分法來解決這個問題嗎？
讓學生展示自己的解決策略。（師生共同得出前三次，下面請學生再操作5步，2人一組互相配合，一人按計算器，一人記錄過程）
借助幾何畫板來顯示這個實數解的范圍逐步縮小的過程。
記，設方程的實數解為，∈(0,1)
第一次：∈(0,0.5)
第二次：∈(0.25,0.5)
第三次：∈(0.25,0.375)
第四次：∈(0.3125,0.375)
第五次：∈(0.3125,0.34375)
第六次：∈(0.3125,0.328125)
第七次：∈(0.3203125,0.328125)
第八次：
∈(0.3203125 ,0.32421875)
討論
若精確到0.1，算幾次就可以了？
若精確到0.01呢？
（第5次，兩個端點精確到0.1的近似值都為0.3，故0.3；
第8次，兩個端點精確到0.01的近似值都為0.32，故0.32；）
作業：課后練習A 第二題
課題：§2.1.1指數
教學目的：（1）掌握根式的概念；
（2）規定分數指數冪的意義；
（3）學會根式與分數指數冪之間的相互轉化；
（4）理解有理指數冪的含義及其運算性質；
（5）了解無理數指數冪的意義
教學重點：分數指數冪的意義，根式與分數指數冪之間的相互轉化，有理指數冪的運算性質
教學難點：根式的概念，根式與分數指數冪之間的相互轉化，了解無理數指數冪．
教學過程：
引入課題
以折紙問題引入，激發學生的求知欲望和學習指數概念的積極性
由實例引入，了解指數指數概念提出的背景，體會引入指數的必要性；
復習初中整數指數冪的運算性質；
初中根式的概念；
如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根；
新課教學
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且∈*．
當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數．此時，的次方根用符號表示．
式子叫做根式（radical），這里叫做根指數（radical exponent），叫做被開方數（radicand）．
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號－表示．正的次方根與負的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作．
思考：（課本P58探究問題）=一定成立嗎？．（學生活動）
結論：當是奇數時，
當是偶數時，
例1．（教材P58例1）．
解：（略）
鞏固練習：（教材P58例1）
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義
規定：
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
3．有理指數冪的運算性質
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
引導學生解決本課開頭實例問題
例2．（教材P60例2、例3、例4、例5）
說明：讓學生熟練掌握根式與分數指數冪的互化和有理指數冪的運算性質運用．
鞏固練習：（教材P63練習1-3）
無理指數冪
結合教材P62實例利用逼近的思想理解無理指數冪的意義．
指出：一般地，無理數指數冪是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．
思考：（教材P63練習4）
鞏固練習思考：：（教材P62思考題）
例3．（新題講解）從盛滿1升純酒精的容器中倒出升，然后用水填滿，再倒出升，又用水填滿，這樣進行5次，則容器中剩下的純酒精的升數為多少？
解：（略）
點評：本題還可以進一步推廣，說明可以用指數的運算來解決生活中的實際問題．
歸納小結，強化思想
本節主要學習了根式與分數指數冪以及指數冪的運算，分數指數冪是根式的另一種表示形式，根式與分數指數冪可以進行互化．在進行指數冪的運算時，一般地，化指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，以達到化繁為簡的目的，對含有指數式或根式的乘除運算，還要善于利用冪的運算法則．
作業布置
必做題：教材P69習題2．1（A組） 第1－4題．
選做題：教材P70習題2．1（B組） 第2題．
課題：§2.1.2指數函數及其性質
教學任務：（1）使學生了解指數函數模型的實際背景，認識數學與現實生活及其他學科的聯系；
（2）理解指數函數的的概念和意義，能畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性和特殊點；
（3）在學習的過程中體會研究具體函數及其性質的過程和方法，如具體到一般的過程、數形結合的方法等．
教學重點：指數函數的的概念和性質．
教學難點：用數形結合的方法從具體到一般地探索、概括指數函數的性質．
教學過程：
引入課題
（備選引例）
（合作討論）人口問題是全球性問題，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界關注．世界人口2000年大約是60億，而且以每年1.3%的增長率增長，按照這種增長速度，到2050年世界人口將達到100多億，大有“人口爆炸”的趨勢．為此，全球范圍內敲起了人口警鐘，并把每年的7月11日定為“世界人口日”，呼吁各國要控制人口增長．為了控制人口過快增長，許多國家都實行了計劃生育．
我國人口問題更為突出，在耕地面積只占世界7%的國土上，卻養育著22%的世界人口．因此，中國的人口問題是公認的社會問題．2000年第五次人口普查，中國人口已達到13億，年增長率約為1%．為了有效地控制人口過快增長，實行計劃生育成為我國一項基本國策．
 按照上述材料中的1%的增長率，從2000年起，x年后我國的人口將達到2000年的多少倍？
 到2050年我國的人口將達到多少？
 你認為人口的過快增長會給社會的發展帶來什么樣的影響？
上一節中GDP問題中時間x與GDP值y的對應關系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否構成函數？
一種放射性物質不斷變化成其他物質，每經過一年的殘留量是原來的84%，那么以時間x年為自變量，殘留量y的函數關系式是什么？
上面的幾個函數有什么共同特征？
新課教學
（一）指數函數的概念
一般地，函數叫做指數函數（exponential fun_ction），其中x是自變量，函數的定義域為R．
注意： 指數函數的定義是一個形式定義，要引導學生辨析；
 注意指數函數的底數的取值范圍，引導學生分析底數為什么不能是負數、零和1．
鞏固練習：利用指數函數的定義解決（教材P68例2、3）
（二）指數函數的圖象和性質
問題：你能類比前面討論函數性質時的思路，提出研究指數函數性質的內容和方法嗎？
研究方法：畫出函數的圖象，結合圖象研究函數的性質．
研究內容：定義域、值域、特殊點、單調性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐標系中畫出下列函數的圖象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．從畫出的圖象中你能發現函數的圖象和函數的圖象有什么關系？可否利用的圖象畫出的圖象？
3．從畫出的圖象（、和）中，你能發現函數的圖象與其底數之間有什么樣的規律？
4．你能根據指數函數的圖象的特征歸納出指數函數的性質嗎？
圖象特征
函數性質
向x、y軸正負方向無限延伸
函數的定義域為R
圖象關于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+
函數圖象都過定點（0，1）
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于1
在第一象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都大于1
圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；
函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；
利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；（3）對于指數函數，總有；（4）當時，若，則；
（三）典型例題
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
問題：你能根據本例說出確定一個指數函數需要幾個條件嗎？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
問題：你能根據本例說明怎樣利用指數函數的性質判斷兩個冪的大??？
說明：規范利用指數函數的性質判斷兩個冪的大小方法、步驟與格式．
鞏固練習：（教材P69習題A組第7題）
歸納小結，強化思想
本節主要學習了指數函數的圖象，及利用圖象研究函數性質的方法．
作業布置
必做題：教材P69習題2．1（A組） 第5、6、8、12題．
選做題：教材P70習題2．1（B組） 第1題．
課題：§2.2.1對數
教學目的：（1）理解對數的概念；
（2）能夠說明對數與指數的關系；
（3）掌握對數式與指數式的相互轉化．
教學重點：對數的概念，對數式與指數式的相互轉化
教學難點：對數概念的理解．
教學過程：
引入課題
（對數的起源）價紹對數產生的歷史背景與概念的形成過程，體會引入對數的必要性；
設計意圖：激發學生學習對數的興趣，培養對數學習的科學研究精神．
嘗試解決本小節開始提出的問題．
新課教學
1．對數的概念
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數（Logarithm），記作：
— 底數，— 真數，— 對數式
說明： 注意底數的限制，且；
 ；
 注意對數的書寫格式．
思考： 為什么對數的定義中要求底數，且；
 是否是所有的實數都有對數呢？
設計意圖：正確理解對數定義中底數的限制，為以后對數型函數定義域的確定作準備．
兩個重要對數：
 常用對數（common logarithm）：以10為底的對數；
 自然對數（natural logarithm）：以無理數為底的對數的對數．
對數式與指數式的互化

對數式 指數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數 ← → 冪
例1．（教材P73例1）
鞏固練習：（教材P74練習1、2）
設計意圖：熟練對數式與指數式的相互轉化，加深理解對數概念．
說明：本例題和練習均讓學生獨立閱讀思考完成，并指出對數式與指數式的互化中應注意哪些問題．
對數的性質
（學生活動）
 閱讀教材P73例2，指出其中求的依據；
 獨立思考完成教材P74練習3、4，指出其中蘊含的結論
對數的性質
（1）負數和零沒有對數；
（2）1的對數是零：；
（3）底數的對數是1：；
（4）對數恒等式：；
（5）．
歸納小結，強化思想
 引入對數的必要性；
 指數與對數的關系；
 對數的基本性質．
作業布置
教材P86習題2．2（A組） 第1、2題，（B組） 第1題．
課題：§2.2.1對數的運算性質
教學目的：（1）理解對數的運算性質；
（2）知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；
（3）通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用．
教學重點：對數的運算性質，用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數
教學難點：對數的運算性質和換底公式的熟練運用．
教學過程：
引入課題
對數的定義：；
對數恒等式：；
新課教學
1．對數的運算性質
提出問題：
根據對數的定義及對數與指數的關系解答下列問題：
 設，，求；
 設，，試利用、表示·．
（學生獨立思考完成解答，教師組織學生討論評析，進行歸納總結概括得出對數的運算性質１，并引導學生仿此推導其余運算性質）
運算性質：
　　如果，且，，，那么：
 ·＋；
 －；
 ．
（引導學生用自然語言敘述上面的三個運算性質）
學生活動：
 閱讀教材Ｐ75例3、4，；
設計意圖：在應用過程中進一步理解和掌握對數的運算性質．
 完成教材Ｐ79練習1~3
設計意圖：在練習中反饋學生對對數運算性質掌握的情況，鞏固所學知識．
利用科學計算器求常用對數和自然對數的值
設計意圖：學會利用計算器、計算機求常用對數值和自然對數值的方法．
思考：對于本小節開始的問題中，可否利用計算器求解的值？從而引入換底公式．
換底公式
（，且；，且；）．
學生活動
 根據對數的定義推導對數的換底公式．
設計意圖：了解換底公式的推導過程與思想方法，深刻理解指數與對數的關系．
 思考完成教材P76問題（即本小節開始提出的問題）；
 利用換底公式推導下面的結論
（1）；
（2）．
設計意圖：進一步體會并熟練掌握換底公式的應用．
說明：利用換底公式解題時常常換成常用對數，但有時還要根據具體題目確定底數．
課堂練習
 教材Ｐ79練習4
 已知
 試求：的值。（對換5與2，再試一試）

 設,，試用、表示
歸納小結，強化思想
本節主要學習了對數的運算性質和換底公式的推導與應用，在教學中應用多給學生創造嘗試、思考、交流、討論、表達的機會，更應注重滲透轉化的思想方法．
作業布置
基礎題：教材P86習題2．2（A組） 第3 ~5、11題；
提高題：
 設,，試用、表示；
 設,，試用、表示；
 設、、為正數，且，求證：．
課外思考題：
設正整數、、（≤≤）和實數、、、滿足：
，，
求、、的值．
課題：§2.1.2對數函數（一）
教學任務：（1）通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；
（2）能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點；
（3）通過比較、對照的方法，引導學生結合圖象類比指數函數，探索研究對數函數的性質，培養學生數形結合的思想方法，學會研究函數性質的方法．
教學重點：掌握對數函數的圖象和性質．
教學難點：對數函數的定義，對數函數的圖象和性質及應用．
教學過程：
引入課題
1．（知識方法準備）
 學習指數函數時，對其性質研究了哪些內容，采取怎樣的方法？
設計意圖：結合指數函數，讓學生熟知對于函數性質的研究內容，熟練研究函數性質的方法——借助圖象研究性質．
 對數的定義及其對底數的限制．
設計意圖：為講解對數函數時對底數的限制做準備．
2．（引例）
教材P81引例
處理建議：在教學時，可以讓學生利用計算器填寫下表：
碳14的含量P
0.5
0.3
0.1
0.01
0.001
生物死亡年數t
然后引導學生觀察上表，體會“對每一個碳14的含量P的取值，通過對應關系，生物死亡年數t都有唯一的值與之對應，從而t是P的函數” ．（進而引入對數函數的概念）
新課教學
（一）對數函數的概念
1．定義：函數，且叫做對數函數（logarithmic fun_ction）
其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．
注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別．如：， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
 對數函數對底數的限制：，且．
鞏固練習：（教材P68例2、3）
（二）對數函數的圖象和性質
問題：你能類比前面討論指數函數性質的思路，提出研究對數函數性質的內容和方法嗎？
研究方法：畫出函數的圖象，結合圖象研究函數的性質．
研究內容：定義域、值域、特殊點、單調性、最大（?。┲?、奇偶性．
探索研究：
 在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象；（可用描點法，也可借助科學計算器或計算機）
（1）
（2）
（3）
（4）
 類比指數函數圖象和性質的研究，研究對數函數的性質并填寫如下表格：
圖象特征
函數性質
函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為（0，＋∞）
圖象關于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數
向y軸正負方向無限延伸
函數的值域為R
函數圖象都過定點（1，1）
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
 思考底數是如何影響函數的．（學生獨立思考，師生共同總結）
規律：在第一象限內，自左向右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大．
（三）典型例題
例1．（教材P83例7）．
解：（略）
說明：本例主要考察學生對對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對對數函數的理解．
鞏固練習：（教材P85練習2）．
例2．（教材P83例8）
解：（略）
說明：本例主要考察學生利用對數函數的單調性“比較兩個數的大小”的方法，熟悉對數函數的性質，滲透應用函數的觀點解決問題的思想方法．
注意：本例應著重強調利用對數函數的單調性比較兩個對數值的大小的方法，規范解題格式．
鞏固練習：（教材P85練習3）．
例2．（教材P83例9）
解：（略）
說明：本例主要考察學生對實際問題題意的理解，把具體的實際問題化歸為數學問題．
注意：本例在教學中，還應特別啟發學生用所獲得的結果去解釋實際現象．
鞏固練習：（教材P86習題2．2 A組第6題）．
歸納小結，強化思想
本小節的目的要求是掌握對數函數的概念、圖象和性質．在理解對數函數的定義的基礎上，掌握對數函數的圖象和性質是本小節的重點．
作業布置
必做題：教材P86習題2．2（A組） 第7、8、9、12題．
選做題：教材P86習題2．2（B組） 第5題．
課題：§2.2.2對數函數（三）
教學目標：
知識與技能 理解指數函數與對數函數的依賴關系，了解反函數的概念，加深對函數的模型化思想的理解．
過程與方法 通過作圖，體會兩種函數的單調性的異同．
情感、態度、價值觀 對體會指數函數與對數函數內在的對稱統一．
教學重點：
重點 難兩種函數的內在聯系，反函數的概念．
難點 反函數的概念．
教學程序與環節設計：

教學過程與操作設計：
環節
呈現教學材料
師生互動設計
創
設
情
境
材料一：
當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．根據些規律，人們獲得了生物體碳14含量P與生物死亡年數t之間的關系．回答下列問題：
（1）求生物死亡t年后它機體內的碳14的含量P，并用函數的觀點來解釋P和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？
（2）已知一生物體內碳14的殘留量為P，試求該生物死亡的年數t，并用函數的觀點來解釋P和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？
（3）這兩個函數有什么特殊的關系？
（4）用映射的觀點來解釋P和t之間的對應關系是何種對應關系？
（5）由此你能獲得怎樣的啟示？
生：獨立思考完成，討論展示并分析自己的結果．
師：引導學生分析歸納，總結概括得出結論：
（1）P和t之間的對應關系是一一對應；
（2）P關于t是指數函數；
t關于P是對數函數，它們的底數相同，所描述的都是碳14的衰變過程中，碳14含量P與死亡年數t之間的對應關系；
（3）本問題中的同底數的指數函數和對數函數，是描述同一種關系（碳14含量P與死亡年數t之間的對應關系）的不同數學模型．
材料二：
由對數函數的定義可知，對數函數是把指數函數中的自變量與因變量對調位置而得出的，在列表畫的圖象時，也是把指數函數的對應值表里的和的數值對換，而得到對數函數的對應值表，如下：
表一 ．
環節
呈現教學材料
師生互動設計
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
表二 ．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
在同一坐標系中，用描點法畫出圖象．
生：仿照材料一分析：與的關系．
師：引導學生分析，講評得出結論，進而引出反函數的概念．
組織探究
材料一：反函數的概念：
當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量，而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量，我們稱這兩個函數互為反函數．
由反函數的概念可知，同底數的指數函數和對數函數互為反函數．
材料二：以與為例研究互為反函數的兩個函數的圖象和性質有什么特殊的聯系？
師：說明：
（1）互為反函數的兩個函數是定義域、值域相互交換，對應法則互逆的兩個函數；
（2）由反函數的概念可知“單調函數一定有反函數”；
（3）互為反函數的兩個函數是描述同一變化過程中兩個變量關系的不同數學模型．
師：引導學生探索研究材料二．
生：分組討論材料二，選出代表闡述各自的結論，師生共同評析歸納．
嘗試練習
求下列函數的反函數：
（1）； （2）
生：獨立完成．
鞏固反思
從宏觀性、關聯性角度試著給指數函數、對數函數的定義、圖象、性質作一小結．
作業反饋
求下列函數的反函數：
1
2
3
4
3
5
7
9
環節
呈現教學材料
師生互動設計
1
2
3
4
3
5
7
9
2．（1）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？
（2）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？
答案：
1．互換、的數值．
2．略．
課外活動
我們知道，指數函數，且與對數函數，且互為反函數，那么，它們的圖象有什么關系呢？運用所學的數學知識，探索下面幾個問題，親自發現其中的奧秘吧！
問題1 在同一平面直角坐標系中，畫出指數函數及其反函數的圖象，你能發現這兩個函數的圖象有什么特殊的對稱性嗎？
問題2 取圖象上的幾個點，說出它們關于直線的對稱點的坐標，并判斷它們是否在的圖象上，為什么？
問題3 如果P0（x0，y0）在函數的圖象上，那么P0關于直線的對稱點在函數的圖象上嗎，為什么？
問題4 由上述探究過程可以得到什么結論？
問題5 上述結論對于指數函數
，且及其反函數，且也成立嗎？為什么？
結論：
互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱．
課題：§2.2.2對數函數（二）
教學任務：（1）進一步理解對數函數的圖象和性質；
（2）熟練應用對數函數的圖象和性質，解決一些綜合問題；
（3）通過例題和練習的講解與演練，培養學生分析問題和解決問題的能力．
教學重點：對數函數的圖象和性質．
教學難點：對對數函數的性質的綜合運用．
教學過程：
回顧與總結
函數的圖象如圖所示，回答下列問題．
（1）說明哪個函數對應于哪個圖象，并解釋為什么？
（2）函數與
且有什么關系？圖象之間 又有什么特殊的關系？
（3）以的圖象為基礎，在同一坐標系中畫出的圖象．
（4）已知函數的圖象，則底數之間的關系：
．
教
完成下表（對數函數且的圖象和性質）
圖
象
定義域
值域
性
質
根據對數函數的圖象和性質填空．
 已知函數，則當時， ；當時， ；當時， ；當時， ．
 已知函數，則當時， ；當時， ；當時， ；當時， ；當時， ．
應用舉例
比較大?。? ，且；
 ，．
解：（略）
例2．已知恒為正數，求的取值范圍．
解：（略）
[總結點評]：（由學生獨立思考，師生共同歸納概括）．

．
例3．求函數的定義域及值域．
解：（略）
注意：函數值域的求法．
例4．（1）函數在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
（2）求函數的最小值．
解：（略）
注意：利用函數單調性求函數最值的方法，復合函數最值的求法．
例5．（2003年上海高考題）已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性．
解：（略）
注意：判斷函數奇偶性和單調性的方法，規范判斷函數奇偶性和單調性的步驟．
例6．求函數的單調區間．
解：（略）
注意：復合函數單調性的求法及規律：“同增異減”．
練習：求函數的單調區間．
作業布置
考試卷一套
課題：§2.3冪函數
教學目標：
知識與技能 通過具體實例了解冪函數的圖象和性質，并能進行簡單的應用．
過程與方法 能夠類比研究一般函數、指數函數、對數函數的過程與方法，來研究冪函數的圖象和性質．
情感、態度、價值觀 體會冪函數的變化規律及蘊含其中的對稱性．
教學重點：
重點 從五個具體冪函數中認識冪函數的一些性質．
難點 畫五個具體冪函數的圖象并由圖象概括其性質，體會圖象的變化規律．
教學程序與環節設計：

教學過程與操作設計：
環節
教學內容設計
師生雙邊互動
創
設
情
境
閱讀教材P90的具體實例（1）~（5），思考下列問題：
1．它們的對應法則分別是什么？
2．以上問題中的函數有什么共同特征？
（答案）
1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）開方；（5）取倒數（或求－1次方）．
2．上述問題中涉及到的函數，都是形如的函數，其中是自變量，是常數．
生：獨立思考完成引例．
師：引導學生分析歸納概括得出結論．
師生：共同辨析這種新函數與指數函數的異同．
組
織
探
究
材料一：冪函數定義及其圖象．
一般地，形如
的函數稱為冪函數，其中為常數．
下面我們舉例學習這類函數的一些性質．
作出下列函數的圖象：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
[解]  列表（略）
 圖象
師：說明：
冪函數的定義來自于實踐，它同指數函數、對數函數一樣，也是基本初等函數，同樣也是一種“形式定義”的函數，引導學生注意辨析．
生：利用所學知識和方法嘗試作出五個具體冪函數的圖象，觀察所圖象，體會冪函數的變化規律．
師：引導學生應用畫函數的性質畫圖象，如：定義域、奇偶性．
師生共同分析，強調畫圖象易犯的錯誤．
環節
教學內容設計
師生雙邊互動
組
織
探
究
材料二：冪函數性質歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；
（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；
（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
師：引導學生觀察圖象，歸納概括冪函數的的性質及圖象變化規律．
生：觀察圖象，分組討論，探究冪函數的性質和圖象的變化規律，并展示各自的結論進行交流評析，并填表．
材料三：觀察與思考
觀察圖象，總結填寫下表：
定義域
值域
奇偶性
單調性
定點
材料五：例題
[例1]
（教材P92例題）
[例2]
比較下列兩個代數值的大?。?br/>（1），
（2），
[例3] 討論函數的定義域、奇偶性，作出它的圖象，并根據圖象說明函數的單調性．
師：引導學生回顧討論函數性質的方法，規范解題格式與步驟．
并指出函數單調性是判別大小的重要工具，冪函數的圖象可以在單調性、奇偶性基礎上較快描出．
生：獨立思考，給出解答，共同討論、評析．
環節
呈現教學材料
師生互動設計
嘗
試
練
習
1．利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個冪的值的大?。?br/>（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
2．作出函數的圖象，根據圖象討論這個函數有哪些性質，并給出證明．
3．作出函數和函數的圖象，求這兩個函數的定義域和單調區間．
4．用圖象法解方程：
（1）； （2）．
探
究
與
發
現
1．如圖所示，曲線是冪函數在第一象限內的圖象，已知分別取四個值，則相應圖象依次為： ．
2．在同一坐標系內，作出下列函數的圖象，你能發現什么規律？
（1）和；
（2）和．
規律1：在第一象限，作直線，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．
規律2：冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線對稱．
作業回饋
1．在函數中，冪函數的個數為：
A．0 B．1 C．2 D．3
環節
呈現教學材料
師生互動設計
2．已知冪函數的圖象過點，試求出這個函數的解析式．
3．在固定壓力差（壓力差為常數）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率R與管道半徑r的四次方成正比．
（1）寫出函數解析式；
（2）若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為400cm3/s，求該氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率R的表達式；
（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量速率．
4．1992年底世界人口達到54．8億，若人口的平均增長率為x%，2008年底世界人口數為y（億），寫出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口數；
（2）2008年底的世界人口數y與x的函數解析式．
課
外
活
動
利用圖形計算器探索一般冪函數的圖象隨的變化規律．
收
獲
與
體
會
1．談談五個基本冪函數的定義域與對應冪函數的奇偶性、單調性之間的關系？
2．冪函數與指數函數的不同點主要表現在哪些方面？
3.2 函數模型及其應用
幾類不同增長的函數模型
一、教學目標
使學生通過投資回報實例，對直線上升和指數爆炸有感性認識。
通過閱讀理解題目中文字敘述所反映的實際背景，領悟其中的數學本質，弄清題中出現的量及起數學含義。
體驗由具體到抽象及數形結合的思維方法。
二、教學重點與難點
重點：將實際問題轉化為函數模型，比教常數函數、一次函數、指數函數模型的增長差異；結合實例讓學生體會直線上升，指數爆炸等不同函數型增長的函義。
難點：怎樣選擇數學模型分析解決實際問題。
三、教學手段：
運用計算機、實物投影儀等多媒體技術。
四、教材分析：
背景

（1） 圓的周長隨著圓的半徑的增大而增大：
L=2πR (一次函數)
（2）圓的面積隨著圓的半徑的增大而增大：
S=πR2 (二次函數)
（3）某種細胞分裂時，由1個分裂成兩 個，兩個分裂成4個……，一個這樣的細
胞分裂x次后，得到的細胞個數y與x的函數關系是 y = 2x (指數 型函數) 。
2、例題
例1、假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。
請問，你會選擇哪種投資方案呢？
投資方案選擇原則：
投入資金相同，回報量多者為優
比較三種方案每天回報量
(2) 比較三種方案一段時間內的總回報量
哪個方案在某段時間內的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增長量/元
y/元
增長量/元
y/元
增長量/元
1
40
0
10
?
0.4
?
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
根據上表我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據。
解：設第x天所得回報為y元，則
方案一：每天回報40元；
y=40 (x∈N*)
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回 報10元； y=10x (x∈N*)
方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番。
Y=0.4×2x-1(x)

從每天的回報量來看：
第1~4天，方案一最多：
每5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；
有人認為投資
1~4天選擇方案一；
5~8天選擇方案二；
9天以后選擇方案三。
累積回報表
天數
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
816.8
結論
投資8天以下（不含8天），應選擇第一種投資方案；投資8~10天，應選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案。
3．例題的啟示：
解決實際問題的步驟：
（1）實際問題
（2）讀懂問題抽象概括
（3）數學問題
（4）演算推理
（5）數學問題的解
（6）還原說明
（7）實際問題的解
4．練習
某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且資金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加，但資金數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？
5．小結
（1）解決實際問題的步驟：
實際問題 讀懂問題 將問題抽象化 數學模型 解決問題

（2）幾種常見函數的增長情況：
常數函數
一次函數
指數函數
沒有增長
直線上升
指數爆炸
6．作業:
課本116頁練習題集1、2題
幾種不同增長的函數模型（兩課時）
一、教學目的
利用函數圖象及數據表格，比較指數函數、對數函數以及冪函數的增長差異；
結合實例讓學生體會直線上升，指數爆炸，對數增長等不同增長的函數模型的意義；
運用函數的三種表示法（解析式、圖象、表格）并結合信息技術解決一些實際問題；
以一些實際例子，讓學生了解社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等）的廣泛應用。
二、教學重點、難點
重點：將實際問題轉化為函數模型，比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。
難點：怎樣選擇數學模型分析解決實際問題。
三、教學過程
第一課時
1、復習引入
師：在我們的生活中，有沒有用到函數的例子？
生：細胞分裂；銀行儲蓄；早晨跑步鍛煉時速度與時間的關系；……
師：很好，生活中，數學無處不在，用好數學，將會給我們帶來很大的方便。今天，我們就來看一個利用數學為我們服務的例子。
2、新課
（用幻燈片展示例題）
假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
每天回報40元；
第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。
請問：你會選擇哪一種投資方案？（讓學生充分討論）
教師提示：
1）、考慮回報量，除了要考慮每天的回報量之外，還得考慮什么？（回報的累積值）。
2）、本題中涉及哪些數量關系？如何利用函數描述這些數量關系？
教師引導學生分析其中的數量關系，思考應當選擇怎樣的函數模型來描述；由學生自己根據數量關系，歸納概括出相應的函數模型，寫出每個方案的函數解析式，教師在數量關系的分析、函數模型的選擇上作適當的指導。
設問：根據所列的表格中提供的數據，你對三種方案分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識？
教師引導學生觀察表格中三個方案的數量變化情況，對“增加量”進行比較，體會“直線增長”、“指數爆炸”等；讓學生通過觀察，說出自己的發現，并進行交流。
利用計算機作出函數圖象，引導學生根據三個方案的不同變化趨勢，描述三個方案的特點，為方案的選擇提供依據。
通過自主活動，使學生認識到怎樣選擇才是正確的。綜合學生的分析意見，教師總結：選擇最佳方案，除了要考慮每天的收益，還要考慮一段時間內的總收益。
由上面的分析可見：投資8天以下（不含8天），應選擇第一種投資方案；投資8～10天，應選擇第二種方案；投資11天（含11天）以上，則應選擇第三種方案。
設問：若有人給你這么一個建議：投資前8天用第一種方案，第9天到第10天用第二種方案，投資第11天開始用第三種方案。你覺得這建議如何？
3）、（幻燈片展示例題2）
設問：本題中涉及了哪幾類函數模型？實質是什么？
教師引導學生分析三種函數的不同增長情況對于獎勵模型的選擇影響，使學生明確問題的實質就是要比較三個函數的增長情況。
讓學生分組討論：對每一個獎勵模型的獎金總額是否超過5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，由各小組代表陳述討論結果。
教師根據學生討論的結果作出總結，并利用解析式，結合圖象，對三個模型的增長情況進行分析比較，寫出完整的解題過程。
3、小結：
一般地，對指數函數、冪函數和對數函數，在（0，+∞）上，盡管指數函數y=ax(a>1)、對數函數y=logax(a>1)和冪函數y=xa(a>0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x的增大，指數函數y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于冪函數y=xa(a>0)，而對數函數y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢。因此，總會存在一個x0，當x>x0時，就有logax第二課時
1、復習引入
通過上節課的學習，我們已經知道，應用數學函數模型能為我們解決實際問題提供很大的幫助，。我們不僅要應用好數學模型，我們更應該在面對實際問題時，能通過自己建立函數模型來解決問題。
2、新課
1、（用幻燈片展示例題3）
教師引導學生讀圖，弄懂題意，由學生寫出解題過程。
課堂練習：P128第1、3題。
小結：在解決實際問題過程中，函數圖象能夠發揮很好的作用，因此，提高讀圖能力非常重要。分段函數也是刻畫現實問題的一個重要的函數模型。
2、（展示例題4）
教師引導學生根據收集到的數據，作出散點圖，通過觀察圖象判定問題所適合的函數模型，利用計算機的數據擬合功能得出具體的函數解析式，再用得到的函數模型解決相應的問題，這是函數應用的一個基本過程。
課堂練習：P123第1題。
教師小結指出：用已知的函數模型來刻畫實際問題時，由于實際問題的條件與得出已知函數模型的條件會有所不同，所以，必須對模型進行修正。
3、（用幻燈片展示例題5）
讓學生集體討論，尋求相應的函數模型，并作出解答。
教師小結：所收集到的數據中，規律性很明顯的問題，可直接找出與之對應的函數模型進行解答。
4、（用幻燈片展示例題6）
觀察散點圖，教師引導學生分析，這些點的連線是一條向上彎曲的曲線，根據這些點的分布情況，可考慮用y=a·bx這一函數模型來近似刻畫這一地區未成年男性體重y與身高x的函數關系。
課堂練習：P133 B組第3題。
小結：應用函數模型解決實際問題的基本過程：
確定函數模型；
利用數據表格，函數圖象討論模型；
體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同類型增長的含義。
作業：P127第4、5題
函數模型及其應用
一、教學目的
利用函數圖象及數據表格，比較指數函數、對數函數以及冪函數的增長差異；
結合實例讓學生體會直線上升，指數爆炸，對數增長等不同增長的函數模型的意義；
運用函數的三種表示法（解析式、圖象、表格）并結合信息技術解決一些實際問題；
以一些實際例子，讓學生了解社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等）的廣泛應用。
二、教學重點、難點
重點：將實際問題轉化為函數模型，比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。
難點：怎樣選擇數學模型分析解決實際問題。
三、教學過程
第一課時 幾類不同增長的函數模型
1、復習引入
師：在我們的生活中，有沒有用到函數的例子？
生：細胞分裂；銀行儲蓄；早晨跑步鍛煉時速度與時間的關系；……
師：很好，生活中，數學無處不在，用好數學，將會給我們帶來很大的方便。今天，我們就來看一個利用數學為我們服務的例子。
2、新課
（用幻燈片展示例題）
假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
每天回報40元；
第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。
請問：你會選擇哪一種投資方案？（讓學生充分討論）
教師提示：
1）、考慮回報量，除了要考慮每天的回報量之外，還得考慮什么？（回報的累積值）。
2）、本題中涉及哪些數量關系？如何利用函數描述這些數量關系？
教師引導學生分析其中的數量關系，思考應當選擇怎樣的函數模型來描述；由學生自己根據數量關系，歸納概括出相應的函數模型，寫出每個方案的函數解析式，教師在數量關系的分析、函數模型的選擇上作適當的指導。
設問：根據所列的表格中提供的數據，你對三種方案分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識？
教師引導學生觀察表格中三個方案的數量變化情況，對“增加量”進行比較，體會“直線增長”、“指數爆炸”等；讓學生通過觀察，說出自己的發現，并進行交流。
利用計算機作出函數圖象，引導學生根據三個方案的不同變化趨勢，描述三個方案的特點，為方案的選擇提供依據。
通過自主活動，使學生認識到怎樣選擇才是正確的。綜合學生的分析意見，教師總結：選擇最佳方案，除了要考慮每天的收益，還要考慮一段時間內的總收益。
由上面的分析可見：投資8天以下（不含8天），應選擇第一種投資方案；投資8～10天，應選擇第二種方案；投資11天（含11天）以上，則應選擇第三種方案。
設問：若有人給你這么一個建議：投資前8天用第一種方案，第9天到第10天用第二種方案，投資第11天開始用第三種方案。你覺得這建議如何？
3）、（幻燈片展示例題2）
設問：本題中涉及了哪幾類函數模型？實質是什么？
教師引導學生分析三種函數的不同增長情況對于獎勵模型的選擇影響，使學生明確問題的實質就是要比較三個函數的增長情況。
讓學生分組討論：對每一個獎勵模型的獎金總額是否超過5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，由各小組代表陳述討論結果。
教師根據學生討論的結果作出總結，并利用解析式，結合圖象，對三個模型的增長情況進行分析比較，寫出完整的解題過程。
3、小結：
一般地，在區間（0，+∞）上，盡管函數y=ax(a>1)，y=logax (a>1)和y=xa (a>0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y=ax (a>1)的增長速度會越來越快，會遠遠大于y=xa (a>0)的增長速度，而y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢，因此，總會存在一個x0，當x>x0時，就有logax第二課時 函數模型的應用實例
1、復習引入
通過上節課的學習，我們已經知道，應用數學函數模型能為我們解決實際問題提供很大的幫助，。我們不僅要應用好數學模型，我們更應該在面對實際問題時，能通過自己建立函數模型來解決問題。
2、新課
1）、（用幻燈片展示例題3）
教師引導學生讀圖，弄懂題意，由學生寫出解題過程。
課堂練習：P128第1、3題。
小結：在解決實際問題過程中，函數圖象能夠發揮很好的作用，因此，提高讀圖能力非常重要。分段函數也是刻畫現實問題的一個重要的函數模型。
2）、（用幻燈片展示例題4 課本P121）
教師引導學生根據收集到的數據，作出散點圖，通過觀察圖象判定問題所適合的函數模型，利用計算機的數據擬合功能得出具體的函數解析式，再用得到的函數模型解決相應的問題，這是函數應用的一個基本過程。
課堂練習：P123第1題。
教師小結：用已知的函數模型來刻畫實際問題時，由于實際問題的條件與得出已知函數模型的條件會有所不同，所以，必須對模型進行修正。
3）、（用幻燈片展示例題5課本P123）
讓學生集體討論，尋求相應的函數模型，并作出解答。
教師小結：所收集到的數據中，規律性很明顯的問題，可直接找出與之對應的函數模型進行解答。
4）、（用幻燈片展示例題6 課本P124）
觀察散點圖，教師引導學生分析，這些點的連線是一條向上彎曲的曲線，根據這些點的分布情況，可考慮用y=a·bx這一函數模型來近似刻畫這一地區未成年男性體重y與身高x的函數關系。
課堂練習：
P133 B組第3題。
小結：
應用函數模型解決實際問題的基本過程：
確定函數模型；
利用數據表格，函數圖象討論模型；
體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同類型增長的含義。
課件28張PPT。云陽中學高一備課組1.1.1集合的含義
與表示1. 正整數1, 2, 3, ?? ;
2. 中國古典四大名著;
3. 高10班的全體學生;
4. 我?；@球隊的全體隊員;
5. 到線段兩端距離相等的點.知識點集 合 一般地，指定的某些對象的全體
稱為集合，簡稱“集”.1.集合的概念: 集合中每個對象叫做這個集合的
元素.練習1.下列指定的對象，能構成一個集合
的是
①很小的數 ②不超過 30的非負實數
③直角坐標平面的橫坐標與縱坐標相等的點
④?的近似值 ⑤高一年級優秀的學生
⑥所有無理數 ⑦大于2的整數
⑧正三角形全體( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧練習1.下列指定的對象，能構成一個集合
的是
①很小的數 ②不超過 30的非負實數
③直角坐標平面的橫坐標與縱坐標相等的點
④?的近似值 ⑤高一年級優秀的學生
⑥所有無理數 ⑦大于2的整數
⑧正三角形全體( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧ 集合常用大寫字母表示，元素常用小
寫字母表示.2.集合的表示: 集合常用大寫字母表示，元素常用小
寫字母表示.2.集合的表示: 如果a是集合A的元素，就說a屬于集
合A，記作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就說a不屬
于集合A，記作a?A.3.集合與元素的關系:例如：A表示方程x2＝1的解.
2?A，1∈A.⑴確定性: 集合中的元素必須是確定的.
如: x∈A與x?A必居其一.
⑵互異性: 集合的元素必須是互異不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集為{1}
而非{1，1}.
⑶無序性: 集合中的元素是無先后順序的.
如:{1，2}，{2，1}為同一集合.4.集合元素的性質:⑴確定性: 集合中的元素必須是確定的.
如: x∈A與x?A必居其一.
⑵互異性: 集合的元素必須是互異不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集為{1}
而非{1，1}.
⑶無序性: 集合中的元素是無先后順序的.
如:{1，2}，{2，1}為同一集合.那么{(1，2)}，{(2，1)}是否為同一集合?4.集合元素的性質:5.集合的表示方法:描述法、列舉法、圖表法 5.集合的表示方法:問題1：用集合表示
①x2－3＝0的解集;
②所有大于0小于10的奇數;
③不等式2x－1＞3的解.描述法、列舉法、圖表法 6.集合的分類:有限集、無限集 問題2：我們看這樣一個集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？顯然這個集合沒有元素.我們把這樣的
集合叫做空集，記作?.6.集合的分類:有限集、無限集 問題2：我們看這樣一個集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？練習2：⑴ 0 ? (填∈或?)
⑵ { 0 } ? (填＝或≠) 顯然這個集合沒有元素.我們把這樣的
集合叫做空集，記作?.6.集合的分類:有限集、無限集 問題2：我們看這樣一個集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？練習2：⑴ 0 ? (填∈或?)
⑵ { 0 } ? (填＝或≠) ?≠7.重要的數集:N：自然數集(含0)
N+：正整數集(不含0)
Z：整數集
Q：有理數集
R：實數集例1若x∈R，則數集{1，x，x2}中元素x
應滿足什么條件.例題例1若x∈R，則數集{1，x，x2}中元素x
應滿足什么條件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，例題例1若x∈R，則數集{1，x，x2}中元素x
應滿足什么條件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，∴ x≠1且x≠－1且x≠0.例題例2設x∈R，y∈R，觀察下面四個集合
A＝{ y＝x2－1 }
B＝{ x | y＝x2－1 }
C＝{ y | y＝x2－1 }
D＝{ (x, y) | y＝x2－1 }
它們表示含義相同嗎?例3若方程x2－5x＋6＝0
　 和方程x2－x－2＝0的解為元素的集為
M，則M中元素的個數為A.1 B.2 C.3 D.4( C )例3若方程x2－5x＋6＝0
　 和方程x2－x－2＝0的解為元素的集為
M，則M中元素的個數為A.1 B.2 C.3 D.4( C )例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一個元素，求a的值與這個元素.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一個元素，求a的值與這個元素.解：當a＝0時，x＝－1.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一個元素，求a的值與這個元素.解：當a＝0時，x＝－1.當a≠0時，?＝16－4×4a＝0.a＝1. 此時x＝－2.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一個元素，求a的值與這個元素.解：當a＝0時，x＝－1.當a≠0時，?＝16－4×4a＝0.a＝1. 此時x＝－2.∴a＝1時這個元素為－2. ∴a＝0時這個元素為－1. 課堂練習1.教科書5面練習第1、2題2.教科書11面習題1.1第1、2題1.集合的定義
2.集合元素的性質
3.集合與元素的關系
4.集合的表示
5.集合的分類課堂小結課后作業教科書12面習題1.1第3、4題

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