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專題1-6 平行線的基本模型-豬腳（鋸齒）模型與鉛筆頭模型
模塊1：模型簡介
平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。
拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
基本解法與思路：見拐點作平行線； 和差拆分與等角轉化。
模塊2：核心模型點與典例
模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型
【模型解讀】
圖1 圖2 圖3
如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.
如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型證明】
（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根據（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的規律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023下·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，若，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，由，即可得，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得，，又由，即可求得與互余．
【詳解】解：過點作，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴的度數為，故選：B．

【點睛】本題考查平行公理的推論，平行線的性質與垂直的定義．注意兩直線平行，內錯角相等．掌握輔助線的作法是解題的關鍵．
例2．（2023·山東·統考中考真題）某些燈具的設計原理與拋物線有關．如圖，從點照射到拋物線上的光線，等反射后都沿著與平行的方向射出．若，，則 ．

【答案】
【分析】可求，由，即可求解．
【詳解】解：，，，，
，，故答案：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握性質是解題的關鍵．
例3．（2022下·浙江寧波·七年級統考期末）如圖，，，設，，則與之間的數量關系正確的是（ ）
A． B． C． D．與沒有數量關系
【答案】A
【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補角的性質即可得到答案．
【詳解】解：過C作∥，
∥，，，，
，，，
，，故選：A．

【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是過C作，得到，由平行線的性質來解決問題．
例4．（2023下·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，已知AB//CD，，，，則 度．

【答案】90
【詳解】解：如圖，過點E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，
又∵，，∴，，
∴，∴，
即：，∴．故答案為：90．
【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理，作輔助線構造內錯角是解題的關鍵．
例5．（2023下·江蘇南通·七年級校聯考階段練習）如圖，已知，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數是 ．
【答案】/度
【分析】首先設，，過點作，過點作，根據平行線的性質，可得，，又由的余角等于的補角，可得方程：，繼而求得答案．
【詳解】解：如圖，設，，

，與的平分線交于點，
，，，，
過點作，過點作，，，
，，，，
，，的余角等于的補角，
，解得：，，故答案為：．
【點睛】此題考查了平行線的性質與判定以及余角、補角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．
例6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進一步求即可．
【詳解】解：如圖所示，過點，，作，，，
．，．，
，，，，
，，，
和是角平分線，，
，，
，，，
，即．故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質、角平分線的性質以及平角的定義等知識，熟練掌握平行線的判定與性質，正確做出輔助線是解題的關鍵．
例7．（2023下·江蘇南通·七年級校考階段練習）如圖，已知，，寫出x，y，z的關系式 ．

【答案】
【分析】過點作，過點D作，根據平行線的性質求解，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點作，過點D作，，
，，
，，，
，，，
，故答案為：．

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，解題關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．
例8．（2023·浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關系并說明理由；
（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關系并說明理由；
（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關系并說明理由．
【答案】見解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
過點E作直線a∥AB，則a∥AB∥CD，則∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：過點E作直線b∥AB，則b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
過點E，F，G作直線c∥AB，d∥AB，e∥AB，則c∥AB∥d∥e∥CD，
則∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
例9．（2023下·山東菏澤·七年級統考期中）已知．

(1)如圖，為，之間一點，連接，，得到，求證：；
(2)如圖，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點．
①如圖，當點在點A的左側時，若，，求的度數．②如圖，當點在點A的右側時，設，，請你求出的度數．（用含有，的式子表示）
【答案】(1)見解析(2)①的度數為 ②的度數為
【分析】（1）根據平行線的判定定理與性質定理解答即可；
（2）①如圖，過點作，當點在點A的左側時，根據，，根據平行線的性質及角平分線的定義即可求的度數；如圖，過點作，當點在點A的右側時，，，根據平行線的性質及角平分線的定義即可求出的度數．
【詳解】（1）解：如圖，過點作，

則有，，，
，；
（2）如圖，過點作，
有，，．，
．即，
平分，平分，，，
．的度數為；
如圖，過點作，有．，
，．．
．即，
平分，平分，，，
，的度數為
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質，添加合適的輔助線．
模型2：鉛筆頭模型
圖1 圖2 圖3
如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結論：AM∥BN.
如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，
根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023下·北京順義·七年級統考期末）如圖，，若，，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，根據平行公理求出，然后根據兩直線平行，同旁內角互補求出，，再根據計算即可得解．
【詳解】解：如圖，過點作，則，
，，，
．故選：B．

【點睛】本題考查了平行線的性質，此類題目，難點在于過拐點作平行線．
例 2．（2023下·浙江金華·七年級統考期末）如圖是路燈維護工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，則的度數為 ．

【答案】
【分析】過頂點做直線支撐平臺，直線將分成兩個角，根據平行的性質即可求解．
【詳解】解：過頂點做直線支撐平臺，支撐平臺工作籃底部，
、，，
，．

【點睛】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
例3．（2023下·遼寧鞍山·七年級統考期末）如圖，已知，下列結論正確的是（ ）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
【答案】D
【分析】根據平行線的性質逐項判斷即可．
【詳解】解：A.由無法得出，錯誤；
B.由無法得出，錯誤；
C.∵，∴，∴，錯誤；
D.∵，∴，，
∴，正確；故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．
例4．（2023下·遼寧鞍山·七年級階段練習）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【詳解】解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故選：C．
例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，， ， ，已知，則的度數為 ．

【答案】/60度
【分析】根據平角定義可求出的度數，如圖所示，過點作，可求出，由此可求，根據， ，可求出的度數，如圖所示，過點作，可得，由此即可求解．
【詳解】解：∵，，∴，
如圖所示，過點作，∵，∴，

∴，，，
∴，
∵，∴，
∵， ，
∴，如圖所示，過點作，
∵，∴，∴，，
∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握以上知識的靈活運用是解題的關鍵．
例6．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正確的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】過點E作，點F作，根據平行公理得，根據平行線的性質逐一計算解題即可．
【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，

∴，，∴，故①正確；
如圖，過點F作，∵，∴，
∴，，
∴，即，故②不正確；
又∵，∴，
即，故③不正確；
∵，∴，
∵，∴，
，
故④正確；∴正確的為①④，故選D．
【點睛】本題考查平行線的性質，能作輔助線構造平行線轉化角是解題的關鍵．
例7．（2023上·廣東廣州·八年級校考開學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則 （度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則 （度）；
（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則 （度）；
（3）根據前面的探索規律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是 （度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】過點作，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于的倍；
（1）分別過、分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的三倍；（2）分別過、、分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的四倍；（3）根據前三問個的剪法，剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．
【詳解】過作（如圖②）．
∵原四邊形是長方形，∴，
又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．
∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．
∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．
∴，
又∵，∴；

（）分別過、分別作的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得；
（）分別過、、分別作的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得；
（）由此可得一般規律：剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．
故答案為：；；；．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵，總結規律求解是本題的難點．
例8．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）當光線經過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖中②，都有，，設鏡子與的夾角．

(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關系，并說明理由．
(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角，探索與的數量關系，并說明理由．(3)如圖③，若，設鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開始反射，經過為正整數，且次反射，當第次反射光線與入射光線平行時，請直接寫出的度數可用含有的代數式表示．
【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)或
【分析】（1）在中，，，可得，根據入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等可得，，進而可得；
（2）在中，，可得，根據入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等可得，，，在中，，可得與的數量關系；（3）分兩種情況畫圖討論：當時，根據入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等，及內角和，可得當時，如果在邊反射后與平行，則，與題意不符；則只能在邊反射后與平行，根據三角形內角和定理推出，可得，由，且由（1）的結論可得，．
【詳解】（1），理由如下：在中，，，，
，，，
，，，；
（2），理由如下：在中，，，
，，，，
同理可得，，在中，，
；
（3）或．理由如下：當時，如下圖所示：

，，
，，
，，
則，則，由內角和得．
當時，如果在邊反射后與平行，由（1）可知，與題意不符；
則只能在邊反射后與平行，如下圖所示，設與的延長線交于點G，
∵，，∴，
∴，∴，
由，且由（1）的結論可得，，則．
綜上所述：的度數為：或．
【點睛】本題考查了平行線的性質、列代數式，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質，注意分類討論思想的利用．
例9．（2023下·湖北武漢·七年級統考期中）已知直線，點P在直線之間，連接．
(1)如圖1，若，直接寫出的大小；
(2)如圖2，點Q在之間，，試探究和的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，的角平分線交CD于點M，且，點N在直線之間，連接，，直接寫出的值（用含n的式子表示，題中的角均指大于且小于的角）．
【答案】(1)(2)；(3)
【分析】（1）過點P作，則，根據平行線的性質即可求解；
（2）過點P作，過點Q作，則，，結合，即可得到結論；（3）過點P作，則，可得，過點N作，可得，即，結合，可得，進而可得結論.
【詳解】（1）解： 過點P作，則，
∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：過點P作，過點Q作，則，，
∴，
∴，即，同理：，
∵，∴，
∴,
∴；
（3）解：過點P作，則，
∵，∴，即，
∵，∴，∴
過點N作，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
【點睛】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，添加輔助線，理清各個相關角的關系是關鍵.
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023下·浙江·七年級期中）如圖，，平分，且，垂足為F，若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖所示，過點F作，則，由平行線的性質得到，由角平分線的定義求出，再由垂線的定義求出，則．
【詳解】解：如圖所示，過點F作，
∵，∴，∴，
∵平分，，∴，
∵，即，∴，
∴，故選C．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，垂線的定義，正確作出輔助線是解題的關鍵．
2．（2023下·吉林松原·七年級校聯考期中）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據兩直線平行，同旁內角互補得到，，再根據周角的定義求出的度數即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵，，∴，，
∴，故選C．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．
3．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）已知如圖：，與的角平分線交于點，則圖中與的關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由角平分線的定義可得，，由平行線的性質可求得，從而求得，由對頂角相等得，則有，即可求解．
【詳解】如圖，
與的角平分線交于點，，，
，，，，
，，
，．故選：．
【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質并靈活運用．
4．（2023下·浙江溫州·七年級統考期中）已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中，兩點分別落在直線，上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行線的性質即可得到結論．
【詳解】解：直線，∴，故選：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
5．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，直線，，垂足為，與相交于點，若，則（ ）.

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，根據平行線的性質可得，根據垂線的定義和平行線的性質，推出，，再根據角的和差關系求出即可求解．
【詳解】解：過點作，

∵，∴，，
，，，．故選：B．
【點睛】本題主要考查對平行線的性質，平行公理的推論，垂線的定義等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并能熟練地運用平行線的性質進行計算是解此題的關鍵．
6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知直線，點為直線上一點，為射線上一點，若，，交于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，，得到，，根據平行線的性質得到，求得，根據三角形的內角和即可得到結論．
【詳解】解：，，
設，，，，
，，
，，，
，，故選：B．
【點睛】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，三角形的內角和，平角的定義是解題的關鍵．
7．（2023·河南三門峽·校聯考一模）如圖，圖1是某小區車庫門口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數學圖形．已知垂直地面上的直線于點，當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段將繞點緩慢向上抬高，段則一直保持水平狀態上升（即始終平行于）．在該運動過程中，當時，的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖所示，過點C作，利用平行線的性質得到，進而求出，則．
【詳解】解：如圖所示，過點C作，∵，∴，
∴，
∵，即，∴，
∴，故選C．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．
8．（2023下·重慶七年級課時練習）如圖，兩直線、平行，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】分別過E點,F點,G點,H點作L1,L2,L3,L4平行于AB
觀察圖形可知，圖中有5組同旁內角，
則故選D
【點睛】本題考查了平行線的性質，添加輔助線是解題的關鍵
9．（2023下·上海·七年級校考期中）如圖，已知，，和的平分線交于點F，的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點C作，根據平行公理得出，根據平行線的性質得出，，求出，根據，求出，根據角平分線定義得出，，求出，最后根據四邊形內角和求出結果即可．
【詳解】解：過點C作，如圖所示：
∵，∴，∴，，
∴，即，
∵，∴，∴，
∵和的平分線交于點F，∴，，
∴，
∴．故選：B．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行公理的應用，角平分線的定義，四邊形內角和，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質和定義，求出．
10．（2023下·安徽安慶·七年級統考期末）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點E作，則，由平行線的性質得，過點C作，則有，同理，結合角平分線的定義即可求得結果．
【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，
∴，∴，
過點C作，則有，

同理，∵和分別平分和，
∴，∴，，
即，解得：，故選：A．
【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，解二元一次方程組，構造平行線是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·山東菏澤·統考中考真題）如圖，，，則的度數是 ．
【答案】
【分析】直接作出，再利用平行線的性質分析得出答案．
【詳解】作，∵，∴，
∴，，，
∴，，∴，故答案為．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，正確得出，是解題關鍵．
12．（2022下·湖北省直轄縣級單位·七年級統考期末）如圖，C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向，則 ．

【答案】/105度
【分析】過點作，從而可證明，然后由平行線的性質可知，，從而可求得的度數．
【詳解】解：過點作．

，，．
，，同理：．
，故答案為：．
【點睛】本題考查的是方向角的定義和平行線的性質的應用，掌握此類問題輔助線的作法是解題的關鍵．
13．（2023下·浙江金華·七年級校聯考階段練習）如圖，直線，，為直角，則 ．

【答案】
【分析】過點作，根據平行線的性質，求解即可．
【詳解】解：過點作，如下圖：

則，∴，，
∴，故答案為：．
【點睛】此題考查平行線的判定與性質，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質并運用數學結合思想．
14．（2023下·浙江寧波·七年級校考期中）如圖所示，五邊形中，，，，分別是，，的補角，若，，則等于 ．

【答案】
【分析】過點E作，根據兩直線平行，內錯角、同位角相等，可得到，，即．
【詳解】解：過點E作，此時為，為，如圖所示：

∵，∴，∴，，
∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，與補角有關的計算，理清思路是解題的關鍵．
15．（2023下·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，，點O在內部，且平分，射線交于點E，若，，則的度數為 ．

【答案】/87度
【分析】過O作，利用平行線的性質和角平分線的定義求解即可．
【詳解】解：過O作，

∵， ∴，
∴，，，
∵，∴，
∵平分，∴，則，
∵，∴，
∴，故答案為：.
【點睛】本題考查平行線的判定與性質、角平分線的定義，添加平行線，利用平行線的性質求解是解答的關鍵．
16．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯考階段練習）如圖，，則 ．

【答案】
【分析】根據，，，找出規律，得出．
【詳解】解：當與之間有2個角時，如圖所示：

∵，∴；
當與之間有3個角時，過點E作，

∵，∴，∴，，
∴，即，
同理可得：當與之間有4個角時，，
∴當與之間有n個角時，．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圖形規律探索，平行線的性質，平行公理的應用，解題的關鍵是根據已知圖形找出規律，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補．
17．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級統考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有 ．（填序號）

【答案】①③④
【分析】根據平行公理判斷①；延長、交于點G，根據，，得出，根據，，得出，即可得出，判斷②；根據平行線的性質得出，根據平行線的性質得出，從而得出，根據，得出，判斷③；
根據平行線的性質得出，根據角平分線的性質得出，即可得出，根據，得出，即可判斷④．
【詳解】解：，，，故①正確；
延長、交于點G，如圖所示：

∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，即，故②錯誤；
平分，，，，∴，
∵，∴，故③正確；
∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，故④正確；
綜上分析可知，正確的有①③④．故答案為：①③④．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．
18．（2023下·浙江臺州·七年級統考期末）七（2）班同學以“三角尺和平行線”為背景開展數學探究活動．如圖1，直線，直角三角尺的銳角頂點A，C分別在直線上，點B在直線，之間，

（1）當時， °．（2）如圖2，在線段上取一點D，過點D作直線，若射線平分，且滿足，則 °．
【答案】 55 40
【分析】（1）易得，根據平行線的性質求得，則；
（2）設，則，由角平分線的定義可得，由平行線的性質得，于是求得，在三角形中，利用三角形內角和定求解即可．
【詳解】解：（1）由題意可知，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴；故答案為：55；
（2）設，則，
∵射線平分，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
解得：，∴．故答案為：40．
【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，熟知平行線的性質是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023下·福建廈門·七年級校考期中）對于平面內的和，若存在一個常數，使得，則稱為的系補周角．如若，，則為的6系補周角．(1)若，求的4系補周角的度數．(2)如圖，，點是平面內一點，連接，，，若是的3系補周角，求的度數．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）設的4系補周角的度數為，根據新定義列出方程求解即可；（2）過E作，得，又由是的3系補周角得到，則，求得即可
【詳解】（1）解：設的4系補周角的度數為，根據新定義得，，解得，，
答：的4系補周角的度數為，
（2）解：過E作，如圖，∴，

∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，
∵是的3系補周角，∴，∴，∴；
【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，一元一次方程的應用，理解題意是解題的關鍵．
20．（2022下·北京·七年級北師大實驗中學校考期末）閱讀下面材料：
彤彤遇到這樣一個問題：
已知：如圖，，E為，之間一點，連接，，得到，求證：．

彤彤是這樣做的：
過點E作，則有．
∵，∴．∴
∴．即．
請你參考彤彤思考問題的方法，解決問題：
已知：直線，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點E．

(1)如圖1，當點B在點A的左側時，若，，求的度數；
(2)如圖2，當點B在點A的右側時，設，，直接寫出的度數（用含有x，y的式子表示）．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）過點E作，當點B在點A的左側時，根據，，參照彤彤思考問題的方法即可求的度數；（2）過點E作，當點B在點A的右側時，，參照彤彤思考問題的方法即可求的度數．
【詳解】（1）如圖1，過點作，

，

平分，平分，，，
， ；
（2） 過點E作，如圖2，

則，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，
∵平分，平分，，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查平行線的判定和性質，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質．
21．（2023下·浙江·七年級專題練習）（1）如圖①，AB//CD，則∠2＋∠4與∠1＋∠3＋∠5有何關系？請說明理由；（2）如圖②，AB//CD，試問∠2＋∠4＋∠6與∠1＋∠3＋∠5＋∠7還有類似的數量關系嗎？若有，請直接寫出，并將它們推廣到一般情況，用一句話寫出你的結論．

【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由見解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情況：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等．
【分析】（1）首先分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行線的性質，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；
（2）首先分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行線的性質，即可證得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
【詳解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
理由：分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
理由：分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
結論：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等．

【點睛】此題考查平行線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
22．（2023下·浙江·七年級專題練習）如圖1，已知點分別是直線上的點，點在與之間，且．(1)若，則　　．
(2)如圖2，在圖1的基礎上，作射線交于點，使，設，猜想的度數（用表示），并說明理由．
(3)如圖3，在圖1的基礎上，分別作射線交于點，作射線交于點，若，請直接寫出與間的數量關系．
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)
【分析】（1）過點作，利用平行線的性質，把轉化為，從而求得度數；
（2）過點作，過點作，利用平行線的性質，把轉化為，把轉化為，得出，從而用表示出的度數；
（3）利用（2）的結論，同時利用兩直線平行，同旁內角互補得出，進而找到與間的數量關系．
【詳解】（1）解：過點作，如圖所示，
，，，
，故答案為：；
（2）解：，理由如下：
過點作，由（1）知，，
過點作，，，
，，
，，
，，；
（3）解：，理由如下：
由（2）的結論可知，，，，
，
，，
，，即．
【點睛】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，采用分類討論的思想解題，作平行線將角轉化是解題的關鍵．
23．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）已知直線，點為直線，間的動點，和的角平分線相交于點．
(1)如圖1，當，，求的度數；
(2)如圖1，當時，直接寫出的度數；（用含的代數式表示）
(3)如圖2，點在直線，間運動到某一處，此時恰好，，求的度數．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）如圖所示，過點F作，則，由平行線的性質得到，由平角的定義求出，，再根據角平分線的定義求出，由此求出的度數即可求出的度數；（2）如圖所示，過點C作，則，由平行線的性質得到，進而得到，再仿照（1）求出，則；（3）根據平行線的性質推出，再由（2）的結論得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點F作，
∵，，∴．∴，
∵，，∴，，
∵和的角平分線相交于點，∴，
∴，∴；
（2）解：如圖所示，過點C作，
∵，，∴，∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，
∴，∴；
（3）解：∵，，∴，
∴，由（2）可得，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟知角平分線的性質，添加平行線探究角的關系是解題的關鍵．
24．（2023下·浙江·七年級期中）如圖所示的格線彼此平行，在格線中作，記與格線形成的銳角為（位于格線上方），記與格線形成的銳角為（位于格線下方）．
(1)①如圖1，若點在一條格線上，當時，________；②如圖2，分別作與的鄰補角的角平分線，兩線交于點（在內部），求的度數；(2)在圖3中，當時，作射線，使得．與格線形成的銳角為，請直接用等式表示與之間的數量關系．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①根據平行線的性質進行分析即可得到答案；②根據鄰補角和角平分線的性質，得到，，過點P作平行于格線，再根據平行線的性質，得到，，即可求出的度數；（2）過點O作平行于格線，根據平行線的性質，得到，進而得到 ，再根據，即可得到答案．
【詳解】（1）解：①如圖，過點O為頂點在點O所在的格線上作線段，
由題意可知，，，
，，，，故答案為：；
②由題意可知，，，
過點P作平行于格線，，，
；
（2）解：過點O作平行于格線，，
，，，
，，
與格線形成的銳角為，．
【點睛】本題考查了平行線的性質，鄰補角，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的性質，找準角度之間的數量關系是解題關鍵．
25．（2023下·浙江寧波·七年級統考期中）如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一個動點，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數量關系？
解：由于點是平行線，之間一動點，因此需對點的位置進行分類討論．如圖1，當點在的左側時，易得，，滿足的數量關系為；如圖2，當點在的右側時，寫出，，滿足的數量關系_________．
（2）如圖3，，分別平分和，且點在左側．
①若，則的度數為______；
②猜想與的數量關系，并說明理由；
③如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，以此類推，則與滿足怎樣的數量關系？（直接寫出結果）
【答案】（1）；（2）①130°；②，見解析；③∠EPF+22023∠EQ2023F＝360°
【分析】（1）過點P作PHAB，利用平行線的性質即可求解；
（2）根據（1）的結論結合角平分線的定義，平角的定義，運用整體思想即可求解．
【詳解】解：（1）如圖2，當點P在EF的右側時，過點P作PMAB，則PMCD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案為：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，
∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，
∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案為：130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：
∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∴∠EPF +2∠EQF＝360°；
③∵Q1E，Q1F分別平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，
∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°；
同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22023∠EQ2023F＝360°．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行公理及推論，角平分線的定義等知識點，作輔助線后能求出各個角的度數，利用整體思想解決第（2）問是解此題的關鍵．
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專題1-6 平行線的基本模型-豬腳（鋸齒）模型與鉛筆頭模型
模塊1：模型簡介
平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。
拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
基本解法與思路：見拐點作平行線； 和差拆分與等角轉化。
模塊2：核心模型點與典例
模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型
【模型解讀】
圖1 圖2 圖3
如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.
如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型證明】
（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根據（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的規律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2023下·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，若，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023·山東·統考中考真題）某些燈具的設計原理與拋物線有關．如圖，從點照射到拋物線上的光線，等反射后都沿著與平行的方向射出．若，，則 ．

例3．（2022下·浙江寧波·七年級統考期末）如圖，，，設，，則與之間的數量關系正確的是（ ）
A． B． C． D．與沒有數量關系
例4．（2023下·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，已知AB//CD，，，，則 度．

例5．（2023下·江蘇南通·七年級校聯考階段練習）如圖，已知，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數是 ．
例6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
例7．（2023下·江蘇南通·七年級校考階段練習）如圖，已知，，寫出x，y，z的關系式 ．

例8．（2023·浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關系并說明理由；
（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關系并說明理由；
（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關系并說明理由．
例9．（2023下·山東菏澤·七年級統考期中）已知．

(1)如圖，為，之間一點，連接，，得到，求證：；
(2)如圖，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點．
①如圖，當點在點A的左側時，若，，求的度數．②如圖，當點在點A的右側時，設，，請你求出的度數．（用含有，的式子表示）
模型2：鉛筆頭模型
圖1 圖2 圖3
如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結論：AM∥BN.
如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，
根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023下·北京順義·七年級統考期末）如圖，，若，，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
例 2．（2023下·浙江金華·七年級統考期末）如圖是路燈維護工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，則的度數為 ．

例3．（2023下·遼寧鞍山·七年級統考期末）如圖，已知，下列結論正確的是（ ）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
例4．（2023下·遼寧鞍山·七年級階段練習）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，， ， ，已知，則的度數為 ．

例6．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正確的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④
例7．（2023上·廣東廣州·八年級校考開學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則 （度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則 （度）；
（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則 （度）；
（3）根據前面的探索規律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是 （度）．
例8．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）當光線經過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖中②，都有，，設鏡子與的夾角．

(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關系，并說明理由．
(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角，探索與的數量關系，并說明理由．(3)如圖③，若，設鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開始反射，經過為正整數，且次反射，當第次反射光線與入射光線平行時，請直接寫出的度數可用含有的代數式表示．
例9．（2023下·湖北武漢·七年級統考期中）已知直線，點P在直線之間，連接．
(1)如圖1，若，直接寫出的大小；
(2)如圖2，點Q在之間，，試探究和的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，的角平分線交CD于點M，且，點N在直線之間，連接，，直接寫出的值（用含n的式子表示，題中的角均指大于且小于的角）．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023下·浙江·七年級期中）如圖，，平分，且，垂足為F，若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·吉林松原·七年級校聯考期中）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（ ）

A． B． C． D．
3．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）已知如圖：，與的角平分線交于點，則圖中與的關系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·浙江溫州·七年級統考期中）已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中，兩點分別落在直線，上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，直線，，垂足為，與相交于點，若，則（ ）.

A． B． C． D．
6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知直線，點為直線上一點，為射線上一點，若，，交于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南三門峽·校聯考一模）如圖，圖1是某小區車庫門口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數學圖形．已知垂直地面上的直線于點，當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段將繞點緩慢向上抬高，段則一直保持水平狀態上升（即始終平行于）．在該運動過程中，當時，的度數是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·重慶七年級課時練習）如圖，兩直線、平行，則（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023下·上海·七年級校考期中）如圖，已知，，和的平分線交于點F，的度數是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023下·安徽安慶·七年級統考期末）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·山東菏澤·統考中考真題）如圖，，，則的度數是 ．
12．（2022下·湖北省直轄縣級單位·七年級統考期末）如圖，C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向，則 ．

13．（2023下·浙江金華·七年級校聯考階段練習）如圖，直線，，為直角，則 ．

14．（2023下·浙江寧波·七年級校考期中）如圖所示，五邊形中，，，，分別是，，的補角，若，，則等于 ．

15．（2023下·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，，點O在內部，且平分，射線交于點E，若，，則的度數為 ．

16．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯考階段練習）如圖，，則 ．

17．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級統考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有 ．（填序號）

18．（2023下·浙江臺州·七年級統考期末）七（2）班同學以“三角尺和平行線”為背景開展數學探究活動．如圖1，直線，直角三角尺的銳角頂點A，C分別在直線上，點B在直線，之間，

（1）當時， °．（2）如圖2，在線段上取一點D，過點D作直線，若射線平分，且滿足，則 °．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023下·福建廈門·七年級校考期中）對于平面內的和，若存在一個常數，使得，則稱為的系補周角．如若，，則為的6系補周角．(1)若，求的4系補周角的度數．(2)如圖，，點是平面內一點，連接，，，若是的3系補周角，求的度數．

20．（2022下·北京·七年級北師大實驗中學校考期末）閱讀下面材料：
彤彤遇到這樣一個問題：
已知：如圖，，E為，之間一點，連接，，得到，求證：．

彤彤是這樣做的：
過點E作，則有．
∵，∴．∴
∴．即．
請你參考彤彤思考問題的方法，解決問題：
已知：直線，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點E．

(1)如圖1，當點B在點A的左側時，若，，求的度數；
(2)如圖2，當點B在點A的右側時，設，，直接寫出的度數（用含有x，y的式子表示）．
21．（2023下·浙江·七年級專題練習）（1）如圖①，AB//CD，則∠2＋∠4與∠1＋∠3＋∠5有何關系？請說明理由；（2）如圖②，AB//CD，試問∠2＋∠4＋∠6與∠1＋∠3＋∠5＋∠7還有類似的數量關系嗎？若有，請直接寫出，并將它們推廣到一般情況，用一句話寫出你的結論．

22．（2023下·浙江·七年級專題練習）如圖1，已知點分別是直線上的點，點在與之間，且．(1)若，則　　．
(2)如圖2，在圖1的基礎上，作射線交于點，使，設，猜想的度數（用表示），并說明理由．
(3)如圖3，在圖1的基礎上，分別作射線交于點，作射線交于點，若，請直接寫出與間的數量關系．
23．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）已知直線，點為直線，間的動點，和的角平分線相交于點．
(1)如圖1，當，，求的度數；
(2)如圖1，當時，直接寫出的度數；（用含的代數式表示）
(3)如圖2，點在直線，間運動到某一處，此時恰好，，求的度數．
24．（2023下·浙江·七年級期中）如圖所示的格線彼此平行，在格線中作，記與格線形成的銳角為（位于格線上方），記與格線形成的銳角為（位于格線下方）．
(1)①如圖1，若點在一條格線上，當時，________；②如圖2，分別作與的鄰補角的角平分線，兩線交于點（在內部），求的度數；(2)在圖3中，當時，作射線，使得．與格線形成的銳角為，請直接用等式表示與之間的數量關系．
25．（2023下·浙江寧波·七年級統考期中）如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一個動點，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數量關系？
解：由于點是平行線，之間一動點，因此需對點的位置進行分類討論．如圖1，當點在的左側時，易得，，滿足的數量關系為；如圖2，當點在的右側時，寫出，，滿足的數量關系_________．
（2）如圖3，，分別平分和，且點在左側．
①若，則的度數為______；
②猜想與的數量關系，并說明理由；
③如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，以此類推，則與滿足怎樣的數量關系？（直接寫出結果）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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