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專題1-7 平行線的基本模型-牛角模型與羊角模型
模塊1：模型簡介
平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。
拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
基本解法與思路：見拐點作平行線；和差拆分與等角轉化。
模塊2：核心模型點與典例
模型1：牛角模型
圖1 圖2
如圖1，已知AB∥CD，結論：∠1=∠2+∠3
如圖2，已知AB∥CD，結論：∠1+∠3-∠2=180°
【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°
圖1 圖2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長AB交DE于點F，或延長EB交CD于點F等。
例1．（2023·安徽滁州·校聯考二模）如圖，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖所示，過點E作，則，由平行線的性質得到，進一步推出．
【詳解】解：如圖所示，過點E作，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴，故選A．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．
例2．（2023·江蘇·七年級假期作業）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數為
【答案】180°
【分析】延長EA交CD于點F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據可得∠1=∠EFD，最后根據領補角及等量代換可求解．
【詳解】解：延長EA交CD于點F，如圖所示：
，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，
，；故答案為180°．
【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質，熟練掌握三角形外角的性質及平行線的性質是解題的關鍵
例3．（2023下·江蘇泰州·七年級統考期末）“抖空竹”是我國獨有的一項民族傳統健身項目，歷史悠久，源遠流長，在我國有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊．圖1是某同學“抖空竹”的一個瞬間，若將圖1抽象成圖2的數學問題：在平面內，已知，，，則 度．

【答案】85
【分析】延長，交于點F，由三角形外角的性質可求出，再結合平行線的性質即可得出．
【詳解】解：如圖，延長，交于點F，

∵，，∴．
∵，∴．故答案為：85．
【點睛】本題考查三角形外角的性質，平行線的性質．正確作出輔助線，并利用數形結合的思想是解題關鍵．
例4．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根據角平分線的性質得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行線的性質得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，進而根據三角形內角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的關系，然后即可用 a表示∠P．
【詳解】解：延長AB交PD于點G，延長FE交CD于點H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案為：∠P＝360°﹣2a．
【點睛】此題考查了角平分線的性質和平行線的性質及三角形內角和，有一定的綜合性，認真找出角的關系是關鍵．
例5．（2023下·重慶九龍坡·七年級校考期中）如圖，，，，，則為(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過E作，過H作，利用平行線的性質解答即可．
【詳解】解：過E作，過H作，∵，∴，

∵，∴，，
∴，
同理∵，∴，，
∴，
∵，，∴，
∴
．故選：B．
【點睛】此題考查平行線的性質和平行公理的推論，關鍵是作出輔助線，利用平行線的性質解答．
例6．（2023春·廣東深圳·九年級校校考期中）已知直線，點為直線，所確定的平面內的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數：
(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數量關系，并說明理由：
(3)問題應用：如圖3，，，，求的值．
【答案】(1) (2)，理由見解析 (3)
【分析】（1）過點作，易得，由平行線的性質可得，，即可求出；（2）過點作，易得，根據平行線的性質可得；
（3）過點作，過點作，易得，，根據平行線的性質可得，，再由已知等量代換，即可求得的值．
【詳解】（1）解：如圖1所示，過點作，，
，，，，．
，，；
（2）解：，理由如下：
如圖2，過點作，，，，，
，；
（3）解：如圖3，過點作，過點作，
，，，
，
，
，，，
，，
．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，正確構造輔助線是解題的關鍵．
例7．（2023·余干縣八年級期末）已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數量關系為　 　；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數量關系，并證明你的結論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，則 =　 　．
【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）
【分析】（1）根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.（2）根據平行線的性質，三角形外角定理，角平分線的性質即可解答.（3）根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.
【詳解】（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（2）如圖2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如圖3，延長AB交DE于G，延長CD交BF于H，
∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，即.
點睛：本題考查了三角形外角定理，平行線的性質，角平分線的定義.
模型2：羊角模型
圖1圖2
如圖1，已知：AB∥DE，結論：.
如圖2，已知：AB∥DE，結論：.
【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB
圖1 圖2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
例1．（2023春·上海·七年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數為 ．
【答案】57°
【分析】根據三角形內角和180°以及平行線的性質：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內角互補；3、如果兩直線平行，那么它們的內錯角相等，據此計算即可．
【詳解】解：設AE、CD交于點F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案為：57°．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理以及平行線的性質，熟知平行的性質是解題的關鍵．
例2．（2022·江蘇七年級期中）如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根據AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因為∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．
【詳解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（內錯角相等），
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故選B．
例3．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知AB//CD ，求證：∠B＝∠E＋∠D
【答案】見解析
【分析】過點E作EF∥CD，根據平行線的性質即可得出∠B=∠BOD，根據平行線的性質即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，結合角之間的關系即可得出結論．
【詳解】證明：過點E作EF∥CD，如圖
∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（輔助線），
∴∠BOD=∠BEF（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（兩直線平行，內錯角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代換），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代換）， 即∠B=∠E+∠D．
【點睛】本題考查了平行線的性質以及角的計算，解題的關鍵是根據平行線的性質找出相等或互補的角．
例4．（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，，，，，點是上一點． （1）的度數為 ；（2）若．則與 （填“平行”或“不平行”）．
【答案】 /度 平行
【分析】（1）根據平分線的判定可得，根據平行線的性質可得的度數；
（2）根據對頂角相等可得的度數，根據平分線的判定可得．
【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴；故答案為：．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案為：平行．
【點睛】本題考查了對頂角相等，平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．
例5．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學校考期中）如圖，已知，，的延長線交的角平分線于點，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行線的性質得出的度數，進而得出的度數，利用角平分線的定義和三角形外角性質解答即可．
【詳解】解：如圖，與交于點，與交于點，

，，
，，，
，，，，
是的角平分線，，
．故選：．
【點睛】此題考查平行線的性質，三角形外角性質，角平分線的定義，解答本題的關鍵是根據兩直線平行，內錯角相等求角度．
例6．（2023下·福建寧德·七年級校考階段練習）如圖，先畫了兩條平行線、，然后在平行線間畫了一點E，連接，后（如圖①），再拖動點E，分別得到如圖②、③、④等圖形．

(1)請你分別寫出圖①至圖④各圖中的、與之間關系；
①______，②______，③______，④______．
(2)請寫出圖③證明過程．
【答案】(1)；；；
(2)見解析
【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等，兩直線平行解答；
（2）過點作的平行線，由平行線的性質和三角形外角的性質證明．
【詳解】（1）解：①；②；
③；④；
（2）①如圖①，過點作，則，，，
，．

②如圖②，過點作，則，，，
，．
③如圖③，過點作，則，，，
，．

④如圖④，過點作，則，，，
，．
【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是過拐點準確作出的平行線．
例7．（2023下·浙江寧波·七年級校考期末）已知，，點E為射線上一點．

(1)如圖1，若，，則______°；
(2)如圖2，當點E在延長線上時，此時與交于點H，則、、之間滿足怎樣的關系，請說明你的結論；
(3)如圖3，平分，交于點K，交于點I，且，，，求的度數．
【答案】(1)(2)，證明見解析(3)
【分析】（1）延長交于點H，根據是的外角求解；
（2）根據，可得，再根據是的外角可得；，即；
（3）設，則，通過三角形內角和得到，由角平分線定義及得到，求出x的值再通過三角形內角和求．
【詳解】（1）解：延長交于點H，

，，
是的外角，故答案為：；
（2）結論：．證明：，，
是的外角，，．
（3）解：：，設，則，
，，
又，，，
平分，，
，，即，解得，
，．
【點睛】本題考查平行線的性質及三角形內角和定理，外角性質的綜合應用，解題關鍵是熟練掌握三角形的內角和及外角等于不相鄰的兩個內角和等知識點．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·重慶渝中·統考二模）如圖所示，直線，，則（ ）

A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】B
【分析】根據三角形外角的性質求出，再利用兩直線平行內錯角相等即可求出．
【詳解】∵，
直線，．故選：B．
【點睛】本題考查了三角形外角的性質，平行線的性質，熟練掌握和運用這些性質是解題關鍵．
2．（2023下·陜西渭南·七年級統考期末）為增強學生體質，某學校將“抖空竹”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學抖空竹時的一個瞬間，數學老師把它抽象成圖2的數學問題：已知，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作，如圖2，則，根據平行線的性質求出，再根據角的和差求解即可．
【詳解】解：作，如圖2，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴；故選：D．

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的實際應用，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
3．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點F作，延長交于點G，由得到，則，由，得到，則，，得到，又由得到，即可得到答案．
【詳解】解：過點F作，延長交于點G，

∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，
∵，∴，∴．故選：B
【點睛】此題考查了平行線的性質、三角形外角的性質等知識，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
4．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據平行線的性質得到，然后利用三角形外角的性質求解即可．
【詳解】解：， ，
，，，即，故選：A．

【點睛】此題考查了平行線的性質和三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
5．（2023下·浙江嘉興·七年級校考階段練習）如圖所示，直線，，，，那么下列代數式值為的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行線的性質可得，根據平角的定義和三角形的外角性質可得，推得，即可求解．
【詳解】解：如圖：

∵，∴，
又∵，，
∴，整理得：，故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．
6．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，，則下列各式子計算結果等于180度的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質，延長交于點，根據平行線的性質得，由外角的性質得是解決問題的關鍵．
【詳解】解：延長交于．

，；，；
，；等于180度的是．故選：D．
7．（2023·重慶渝中·校考一模）如圖，已知，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設與交于點，根據平行線的性質可得，根據即可求得答案．
【詳解】如圖所示，設與交于點．

∵，∴．∴．故選：A．
【點睛】本題主要考查平行線的性質和三角形的外角的性質，牢記平行線的性質（兩直線平行，內錯角相等）和三角形的外角的性質（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）是解題的關鍵．
8．（2023·江蘇南京·七年級統考期中）如圖，，，則與一定滿足的關系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據平行線的性質可得，再根據垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而利用等量代換即可解答．
【詳解】解：如圖：

∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質，垂線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
9．（2023下·浙江嘉興·七年級統考期末）如圖，，，，，則下列說法錯誤的是（ ）

A． B．平分 C． D．
【答案】A
【分析】根據平行線的判定可得，根據平行線的性質可得，，，推得，結合題意即可推得，根據角平分線的判定可得平分；根據垂直的性質可得，結合題意即可求得；根據三角形外角的性質可得，，即可推得．
【詳解】解：過點作，與交于點，如圖：

∵，，∴，
∵，∴，，∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∵，∴， 即平分；故選項B說法正確；
∵，∴，∴，
又∵，∴；故選項C說法正確；
∵，，
∴， 即；故選項D的說法正確；故選：A．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，垂直的性質，三角形外角的性質，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵．
10．（2023下·浙江杭州·七年級統考期末）如圖，已知，P為下方一點，G，H分別為上的點，，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，下列結論：①；②；③若，則．其中正確的序號是（ ）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】根據角平分線的性質、鄰補角的定義可得，，，，再根據角的和差可得，再根據平行線的性質和三角形的內角和定理可判定①；如圖：過E作，先說明判定②解答；由已知得，，則，即，由②有，即，可得，即可判定③．
【詳解】解：∵與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，
∴，，,
∴，
∵，∴，
∴,即①正確；
如圖：過E作，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，
∴，故②正確；

∵，，∴，即，
∵，∴，
即，∴解得：，即③正確．故選D．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質、三角形的內角和定理、四邊形的內角和定理等知識點，明確各角之間的關系是解答本題的關鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022下·西藏那曲·七年級統考期末）如圖，，則，，的關系是 .

【答案】
【分析】過作，利用兩直線平行同旁內角互補可得，，的關系．
【詳解】解：過作，

，，，，
，，，
．故答案為：．
【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
12．（2023下·寧夏中衛·七年級校考期末）如圖所示，，那么 °．

【答案】
【分析】根據平行線的性質得到，再由三角形外角性質即可得到答案．
【詳解】解：，，
是的一個外角，，，故答案為：．
【點睛】本題考查求角度問題，涉及平行線的性質、三角形外角性質等知識，數形結合，準確找到各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵．
13．（2023·江蘇宿遷·七年級校考期中）如圖，直線，，，則的度數是 ．

【答案】/33度
【分析】由平行線的性質可得，再利用三角形的外角的性質可求得的度數．
【詳解】解：令和相交于點，
，
，，，
，，，故答案為： ．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，是解題的關鍵．
14．（2023下·山東臨沂·七年級統考期中）如圖，直線，， ，那么的
度數是 ．

【答案】/22度
【分析】過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，然后根據平行線的性質可得，最后根據即可得．
【詳解】解：如圖，過點作，，

∵直線，，，
，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質、平行公理推論，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．
15．（2023·廣東汕頭·校聯考三模）如圖，，，，則的度數是 ．

【答案】/20度
【分析】先利用平行線的性質得到，再利用等邊對等角和三角形外角的性質即可得到的度數．
【詳解】解：∵，，∴，
∵，，∴．故答案為：
【點睛】此題考查了平行線的性質、等邊對等角、三角形外角的性質等知識，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
16．（2023下·北京海淀·七年級校考階段練習）如圖，，，平分，，則 ．

【答案】/147度
【分析】先根據平行線的性質求出的度數，再由角平分線的定義得出的度數，根據即可得出的度數．
【詳解】解：，，，．
平分，．
，，．故答案為：．
【點睛】本題考查的是平行線的性質，熟記平行線的性質是解題的關鍵．
17．（2023上·浙江·八年級專題練習）如圖，，平分，平分交的延長線于點E，若，則的度數為 ．

【答案】/68度
【分析】如圖，延長交于M．由題意設，．構建方程組證明即可解決問題．
【詳解】解：如圖，延長交于M．由題意設，．

則有，得：，
∵，∴，
∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查平行線的性質、角平分線的定義、三角形外角性質等知識，解題的關鍵是熟悉基本圖形，學會添加常用輔助線，學會利用參數構建方程組解決問題．
18．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）如圖，已知，點是上方一點，點分別在直線、上，連結、，平分，交的反向延長線于點，若，且，則度數為 ．

【答案】/52度
【分析】本題考查了平行線的性質與判定的綜合運用，過點作，過作，設，，利用平行線的性質以及角平分線的定義即可得出結論，解題的關鍵是作輔助線構造內錯角，利用平行線的性質以及角的和差關系進行推算．
【詳解】如圖，過點作，過作，

設，， ∵，交于，平分，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴， ∴，∴，
∵，平分，∴，
∵，∴， ∴，
∴，，
∵， ∴，∴，
∴，故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023下·北京海淀·七年級校考期末）如圖，已知 ，猜想圖①，圖②，圖③中，，， 之間有何數量關系 請用等式表示出它們的關系，并選擇其中的兩個等式說明理由．

【答案】① ，詳見解析；② ，詳見解析；③，詳見解析
【分析】①過點 作 ，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可作答；②根據兩直線平行，同位角相等以及三角形外角的定義即可作答；③延長 交 于點 ，根據兩直線平行，同位角相等以及三角形外角的定義即可作答．
【詳解】① ，
理由：如圖 ，過點 作 ，

∵ ，∴ ，∴ ，，
∴ ，即 ；
② ，
理由：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
③ ，理由：如圖 ，延長 交 于點 ，

∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形外角的定義等知識，掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．
20．（2023上·海南省直轄縣級單位·八年級統考期中）如圖，已知，的頂點分別落在直線上，交于點平分，如果，求的度數．
解：因為（ ），
又因為（ ），
所以________．
因為平分（已知），
所以________（ ）
因為（已知），
所以________（ ）．
所以（ ）．
所以．
因為________（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
又因為（已知），
所以________．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是平行線的性質、三角形的內角和定理、三角形的外角定義以及三角形的角平分線定義．先根據三角形的內角和求出，，則，再根據平行線的性質得出，則，最后根據三角形的外角定理，即可求解，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質定理及定義．
【詳解】解：因為（三角形的內角和等于），
又因為，（已知），所以．
因為平分（已知），所以（ 角平分線的定義）．
因為（已知），所以（兩直線平行，同位角相等）．
所以（等量代換）．所以．
因為（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
又因為（已知），所以．
故答案為：三角形的內角和等于；已知；55；，角平分線的定義；，兩直線平行，同位角相等；等量代換；E；20．
21．（2023下·內蒙古巴彥淖爾·七年級統考期中）如圖（1），，猜想與、的數量關系，并說明理由．

①讀下列過程，并填寫理由．
解：猜想．
理由：過點作．∴．（___________）
∵（已知），（輔助線的作法）．
∴．（___________）
∴．∴．
∴．
②仿照上面的解題方法，觀察圖（2），已知，猜想圖中的與、的數量關系，并說明理由．③觀察圖（3）和圖（4），已知，直接寫出圖中的與、的數量關系，不必說明理由．
【答案】①兩直線平行，同旁內角互補；平行線公理的推論②，理由見詳解③
【分析】①根據平行線的性質得到的，，等量代換即可得到結論；②過點作，由，可得，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得，，則可求得；③由，根據兩直線平行，內錯角相等與三角形外角的性質，即可求得與、的關系．
【詳解】解：①猜想．
理由：過點作．

∴．（兩直線平行，同旁內角互補）
∵（已知），（輔助線的作法）．
∴．（平行線公理的推論）∴．
∴．∴．
②，理由：過點作．
∵，∴．∴，．∴．
③如圖（3），

理由：∵，∴，
∵，∴，即．
如圖（4），，
理由：∵，∴，
∵，∴，即．
【點睛】本題考查了平行線的性質與三角形外角的性質，解題的關鍵是注意掌握兩直線平行，內錯角相等定理的應用，輔助線的作法．
22．（2023·廣東廣州·七年級校考期中）如圖，已知直線，M、N分別是直線上的點．

(1)在圖①中，若，則 ．
(2)在圖②中，請判斷之間的關系，并說明理由．
(3)在圖③中，平分，平分，且，求．
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)．
【分析】（1）過點E作，根據兩直線平行，內錯角相等可得，，然后相加即可得解；（2）結論：．過點F作直線，利用平行線的性質即可解決問題；（3）利用（1）（2）結論構建方程解決問題即可．
【詳解】（1）解：過點E作直線．

∵，∴，又∵，∴．∴，
∴，
∵，∴．故答案為：；
（2）解：結論：．
理由：如圖中，過點E作直線．∴，
又∵，∴．∴，
∴；
（3）解：∵平分，∴，
∵平分，∴，設，
由（1），得，
由（2），得，
又∵，∴，
∴，即．∴．
【點睛】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考常考題型．
23．（2023上·七年級課時練習）已知，點為之外任意一點．

（1）如圖1，探究與之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，探究與之間的數量關系，并說明理由．
【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質文化遺產．在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個數學問題：如圖2，若，則_______________．

【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；[拓展變式]．
【分析】（1）過點作，則，根據平行線的性質可得，進而得出結論；（2）理由如下：過點作，則，根據平行線的性質可得，，進而得出結論；（3）過點作，則，根據平行線的性質得出，，進而即可求解．
【詳解】解：（1）．理由如下：
過點作，則．．

，．
（2）．理由如下：過點作，則．
，．
，．
【拓展變式】過點作，則．
，
，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．
24．（2022下·河南三門峽·七年級校考階段練習）（1）“一條彩虹路，盡覽紅葉美，”澠池縣以打造最美旅游公路為重點，弘揚地域文化、彰顯仰韶特色．數學課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個問題：如圖1，已知，，，求的度數．
小明同學的思路：過點P作，點G在點P的左側，進而推出，由平行線的性質來求，得______．
（2）圖2、圖3均是由一塊直角三角尺和一把直尺拼成的圖形，，，與相交于點E，有一動點P在邊上運動，連接，，記，．
①如圖2，當點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數量關系；
②如圖3，當點P在B，D兩點之間運動時，與，之間有何數量關系？請判斷并說明理由．

【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）過點P作，點G在點P的左側，根據平行線的性質及平行公理即可；（2）①過點P作，根據平行線的性質及平行公理即可；②過點P作，根據平行線的性質及平行公理即可．
【詳解】解：（1）過點P作，點G在點P的左側．

∵，∴．
∴，．
又∵，，
∴．故答案為：；
（2）①與，之間的數量關系為．理由如下：
如圖①，過點P作．
圖①
∵，∴．∴，．
∴．∴與，之間的數量關系為．
②與，之間的數量關系為．
理由：如圖②，過點P作．
圖②
∵，∴∴，．∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質及平行公理，熟練掌握平行線的性質及平行公理，作出合適的輔助線是本題的關鍵．
25．（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級統考期末）已知，為直線，所確定的平面內一點．

(1)如圖①，，，之間的數量關系為______；
(2)如圖②，求證：；
(3)如圖③，點在直線上，若，，過點作，作，的平分線交于點，直接寫出的度數．
【答案】(1)(2)見解析(3)25°
【分析】（1）首先過點作，則易得，然后由兩直線平行，內錯角相等，即可證得；（2）過點作，由，可得，由平行線性質得
，證得；
（3）由三角形外角的性質，可求得，然后由平行線的性質，求，再利用角平分線的性質，求得
【詳解】（1）解：．
理由：過點作，如下圖：

∵，∴，∴，，∴；
（2）證明：如圖，過點作．
∵，∴
∵，，∴∴
∵，∴．
（3）解：的度數為，
∵，，如圖：，

∵，∴，
∵，的平分線交于點，
∴，，∴．
【點睛】此題主要考查了平行線的性質以及三角形外角的性質，解題關鍵是掌握輔助線的作法以及數形結合思想的應用．
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專題1-7 平行線的基本模型-牛角模型與羊角模型
模塊1：模型簡介
平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。
拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
基本解法與思路：見拐點作平行線；和差拆分與等角轉化。
模塊2：核心模型點與典例
模型1：牛角模型
圖1 圖2
如圖1，已知AB∥CD，結論：∠1=∠2+∠3
如圖2，已知AB∥CD，結論：∠1+∠3-∠2=180°
【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°
圖1 圖2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長AB交DE于點F，或延長EB交CD于點F等。
例1．（2023·安徽滁州·校聯考二模）如圖，若，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江蘇·七年級假期作業）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數為
例3．（2023下·江蘇泰州·七年級統考期末）“抖空竹”是我國獨有的一項民族傳統健身項目，歷史悠久，源遠流長，在我國有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊．圖1是某同學“抖空竹”的一個瞬間，若將圖1抽象成圖2的數學問題：在平面內，已知，，，則 度．

例4．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．
例5．（2023下·重慶九龍坡·七年級校考期中）如圖，，，，，則為(　　)

A． B． C． D．
例6．（2023春·廣東深圳·九年級校校考期中）已知直線，點為直線，所確定的平面內的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數：
(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數量關系，并說明理由：
(3)問題應用：如圖3，，，，求的值．
例7．（2023·余干縣八年級期末）已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數量關系為　 　；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數量關系，并證明你的結論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，則 =　 　．
模型2：羊角模型
圖1圖2
如圖1，已知：AB∥DE，結論：.
如圖2，已知：AB∥DE，結論：.
【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB
圖1 圖2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
例1．（2023春·上海·七年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數為 ．
例2．（2022·江蘇七年級期中）如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
例3．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知AB//CD ，求證：∠B＝∠E＋∠D
例4．（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，，，，，點是上一點． （1）的度數為 ；（2）若．則與 （填“平行”或“不平行”）．
例5．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學校考期中）如圖，已知，，的延長線交的角平分線于點，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
例6．（2023下·福建寧德·七年級校考階段練習）如圖，先畫了兩條平行線、，然后在平行線間畫了一點E，連接，后（如圖①），再拖動點E，分別得到如圖②、③、④等圖形．

(1)請你分別寫出圖①至圖④各圖中的、與之間關系；
①______，②______，③______，④______． (2)請寫出圖③證明過程．
例7．（2023下·浙江寧波·七年級校考期末）已知，，點E為射線上一點．

(1)如圖1，若，，則______°；
(2)如圖2，當點E在延長線上時，此時與交于點H，則、、之間滿足怎樣的關系，請說明你的結論；
(3)如圖3，平分，交于點K，交于點I，且，，，求的度數．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·重慶渝中·統考二模）如圖所示，直線，，則（ ）

A．58° B．59° C．60° D．61°
2．（2023下·陜西渭南·七年級統考期末）為增強學生體質，某學校將“抖空竹”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學抖空竹時的一個瞬間，數學老師把它抽象成圖2的數學問題：已知，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
4．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖，，則（ ）

A． B． C． D．
5．（2023下·浙江嘉興·七年級校考階段練習）如圖所示，直線，，，，那么下列代數式值為的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，，則下列各式子計算結果等于180度的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·重慶渝中·校考一模）如圖，已知，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·江蘇南京·七年級統考期中）如圖，，，則與一定滿足的關系是（ ）

A． B． C． D．
9．（2023下·浙江嘉興·七年級統考期末）如圖，，，，，則下列說法錯誤的是（ ）

A． B．平分 C． D．
10．（2023下·浙江杭州·七年級統考期末）如圖，已知，P為下方一點，G，H分別為上的點，，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，下列結論：①；②；③若，則．其中正確的序號是（ ）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022下·西藏那曲·七年級統考期末）如圖，，則，，的關系是 .

12．（2023下·寧夏中衛·七年級校考期末）如圖所示，，那么 °．

13．（2023·江蘇宿遷·七年級校考期中）如圖，直線，，，則的度數是 ．

14．（2023下·山東臨沂·七年級統考期中）如圖，直線，， ，那么的
度數是 ．

15．（2023·廣東汕頭·校聯考三模）如圖，，，，則的度數是 ．

16．（2023下·北京海淀·七年級校考階段練習）如圖，，，平分，，則 ．

17．（2023上·浙江·八年級專題練習）如圖，，平分，平分交的延長線于點E，若，則的度數為 ．

18．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）如圖，已知，點是上方一點，點分別在直線、上，連結、，平分，交的反向延長線于點，若，且，則度數為 ．

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023下·北京海淀·七年級校考期末）如圖，已知 ，猜想圖①，圖②，圖③中，，， 之間有何數量關系 請用等式表示出它們的關系，并選擇其中的兩個等式說明理由．

20．（2023上·海南省直轄縣級單位·八年級統考期中）如圖，已知，的頂點分別落在直線上，交于點平分，如果，求的度數．
解：因為（ ），
又因為（ ），
所以________．
因為平分（已知），
所以________（ ）
因為（已知），
所以________（ ）．
所以（ ）．
所以．
因為________（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
又因為（已知），
所以________．
21．（2023下·內蒙古巴彥淖爾·七年級統考期中）如圖（1），，猜想與、的數量關系，并說明理由．

①讀下列過程，并填寫理由．
解：猜想．
理由：過點作．∴．（___________）
∵（已知），（輔助線的作法）．
∴．（___________）
∴．∴．
∴．
②仿照上面的解題方法，觀察圖（2），已知，猜想圖中的與、的數量關系，并說明理由．③觀察圖（3）和圖（4），已知，直接寫出圖中的與、的數量關系，不必說明理由．
22．（2023·廣東廣州·七年級校考期中）如圖，已知直線，M、N分別是直線上的點．

(1)在圖①中，若，則 ．
(2)在圖②中，請判斷之間的關系，并說明理由．
(3)在圖③中，平分，平分，且，求．
23．（2023上·七年級課時練習）已知，點為之外任意一點．

（1）如圖1，探究與之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，探究與之間的數量關系，并說明理由．
【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質文化遺產．在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個數學問題：如圖2，若，則_______________．
24．（2022下·河南三門峽·七年級校考階段練習）（1）“一條彩虹路，盡覽紅葉美，”澠池縣以打造最美旅游公路為重點，弘揚地域文化、彰顯仰韶特色．數學課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個問題：如圖1，已知，，，求的度數．
小明同學的思路：過點P作，點G在點P的左側，進而推出，由平行線的性質來求，得______．
（2）圖2、圖3均是由一塊直角三角尺和一把直尺拼成的圖形，，，與相交于點E，有一動點P在邊上運動，連接，，記，．
①如圖2，當點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數量關系；
②如圖3，當點P在B，D兩點之間運動時，與，之間有何數量關系？請判斷并說明理由．

25．（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級統考期末）已知，為直線，所確定的平面內一點．

(1)如圖①，，，之間的數量關系為______；
(2)如圖②，求證：；
(3)如圖③，點在直線上，若，，過點作，作，的平分線交于點，直接寫出的度數．
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