資源簡介

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專題1-8 平行線的基本模型-蛇形模型與蝸牛模型
模塊1：模型簡介
平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。
拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
通用解法與思路：見拐點作平行線；和差拆分與等角轉化。
模塊2：核心模型點與典例
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
【模型解讀】如圖，AB∥CD，結論：∠1+∠3－∠2=180°.
圖1 圖2
如圖1，已知：AB∥DE，結論：.
如圖2，已知：AB∥DE，結論：.
【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023·四川廣元·統考三模）珠江流域某江段江水流向經過B、C、D三點，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【分析】過點C作，根據平行線的性質即可求出的度數．
【詳解】解：過點C作，∴，
∵∴；
∵，∴；
由題意，∴，∴．故選：D
【點睛】本題考查平行線的判斷和性質，作出輔助線，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．
例2．（2023·湖南長沙·九年級校聯考期中）如圖，若，，，則的度數是（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】利用平行線的傳遞性作出輔助線，再通過平行線的性質即可解決問題．
【詳解】解：過作的平行線，如圖所示；
，∴
故選C．
【點睛】本題考查了平行線的基本性質與平行的傳遞性，兩直線平行，內錯角相等、同旁內角互補，根據傳遞性做出輔助線是解決問題的關鍵．
例3．（2023·河南周口·校聯考三模）如圖，，，，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作，則，根據平行線的性質分別求出和，則．
【詳解】解：如圖，作，則，

，，，，
，
故選D．
【點睛】本題考查根據平行線的性質求角的度數，解題的關鍵是正確添加輔助線．
例4．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，，，平分，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行線的性質可知，．再由角平分線的定義即可求解．
【詳解】∵，∴．∵平分，∴．
∵，∴，∴．故選：C．
【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義．利用數形結合的思想是解題關鍵．
例5．（2023·江西·九年級校考階段練習）如圖于點D，將繞點A逆時針旋轉，使，則的最小值為 ．
【答案】/25度
【分析】過點C作，過點A作，利用平行線的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，過點C作，則，
∴．過點A作，則．
∴，故的最小值為．故答案為：
【點睛】本題考查平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等是解題關鍵．
例6．（2023下·重慶江津·七年級校聯考期中）已知直線，為平面內一點，連接、．
(1)如圖，已知，，求的度數；(2)如圖，判斷、、之間的數量關系為 ．(3)如圖，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）過點作，根據平行線的性質可得，，即可求出的度數；
（2）過點作，則，根據平行線的性質可得，，又，即可得出；
（3）交于點，由，得出，由得出，由，得出，由對頂角相等得出，由角平分線的性質得出，即，由（2）得：，代入計算即可求出的度數．
【詳解】（1）解：如圖1，過點作，
，，，，，
，，；
（2）如圖2，過點作，則，，，
，，
，故答案為：；
（3）如圖3，設交于點，，，
，∴，，
，，平分，，
，
由（2）得：，，
．
【點睛】本題考查了平行線的性質及垂線的意義，掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
例7．（2023下·廣東廣州·七年級統考期末）甲同學在學完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：
第一步：將一根鐵絲在，，處彎折得到如下圖①的形狀，其中，．
第二步：將繞點D旋轉一定角度，再將繞點E旋轉一定角度并在上某點處彎折，得到如下圖②的形狀．
第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．
請根據上面的操作步驟，解答下列問題：
(1)如圖①，若，求；
(2)如圖②，若，請判斷，，，之間的數量關系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，如圖③，若，，設，，求．（用含，的式子表示）
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)
【分析】（1）根據平行線的性質得出，根據解題得出，進而根據，即可求解；（2）過點分別作的平行線，根據平行線的性質得出設，進而根據平行線的性質得出，，即可得出結論；（3）根據（2）的結論可得，，根據已知，，可得，進而即可求解．
【詳解】（1）解：∵， ∴，
∵，∴解得：，∵．∴；
（2）解：如圖所示，過點分別作的平行線，
∴，∴，設，
又∵，∴，，
∴，，∴，；
（3）∵，，，
即，∴，
由（2）可得，∵，，
∴，即，
∴，∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．
模型2：蝸牛模型
【模型解讀】如圖，AB∥DE，結論：∠B+∠C+∠D=180°.
【模型證明】在圖中，過C作AB的平行線CF，∴∠B＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D=180°，∵∠FCD=∠DCB+∠FCB，∴∠B+∠C+∠D=180°.
例1．（2023下·寧夏中衛·七年級校考期末）如圖所示，，那么 °．

【答案】
【分析】根據平行線的性質得到，再由三角形外角性質即可得到答案．
【詳解】解：，，
是的一個外角，，，故答案為：．
【點睛】本題考查求角度問題，涉及平行線的性質、三角形外角性質等知識，數形結合，準確找到各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵．
例2．（2023·遼寧鐵嶺·七年級校考期中）如圖，若，，，則 ．
【答案】
【分析】如圖，先據平行線的性質得到，然后根據三角形外角性質計算的度數．
【詳解】解：如圖所示，設交于點，，，
，．故答案為：．
【點睛】本題主要考查平行線的性質及三角形外角的性質，掌握平行線的性質及三角形外角的性質是解題的關鍵．
例3．（2023下·陜西西安·七年級校考期末）如圖，點B在的邊的延長線上，，若，，則的度數為（ ）

A．15° B．20° C．30° D．50°
【答案】C
【分析】根據平行線的性質得到，再利用三角形的外角進行求解即可．
【詳解】解：∵，，∴，∴；故選C
【點睛】本題考查平行線的性質，三角形的外角．解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和．
例4．（2023下·江蘇南京·七年級統考期中）如圖，，，則與一定滿足的關系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據平行線的性質可得，再根據垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而利用等量代換即可解答．
【詳解】解：如圖：

∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質，垂線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
例5．（2023上·遼寧沈陽·八年級統考期末）如圖，點在的邊的延長線上，，若，，則的度數是(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三角形外角性質求出，根據平行線的性質得出即可．
【詳解】，，，，
，，故答案為：B．
【點睛】本題考查了三角形外角性質和平行線的性質，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·貴州黔南·七年級統考期中）如圖，如果，那么角α，β，γ之間的關系式為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點E作，再根據平行線的性質得出，，求解即可．
【詳解】過點E作，∴，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握知識點并作出合適的輔助線是解題的關鍵．
2．（2023下·河北廊坊·七年級校考期中）如圖是某次行車路線，共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線是平行的，已知第一次轉過的角度，第三次轉過的角度，則第二次轉過的角度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長交于點F．由平行線的性質可知，從而可求出，再根據三角形外角的性質求解即可．
【詳解】解：如圖，延長交于點F．

由題意可知，∴，∴，
∴．故選：B．
【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．
3．（2023下·山西晉中·七年級統考期中）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，先證明，然后根據平行線的性質求出，，最后利用角的和差關系求解即可．
【詳解】解：過點作，

∵，∴，，，
又，，，，．故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理的推論，添加合適的輔助線是解題的關鍵．
4．（2023·河南·統考三模）如圖，已知，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作，則，根據平行線的性質可得到，，即可求得．
【詳解】如圖，過點作，
∵，，∴．∴，．
∵，∴．∴．故選C．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線，利用平行線的性質求解是解決問題的關鍵．
5．（2023下·北京昌平·七年級校考期末）如圖，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，則 ∠E 的度數為 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】過C作CQAB，得出ABDECQ，根據平行線的性質推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出選項．
【詳解】解：過C作CQAB，
∵ABDE，∴ABDECQ，∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°-30°=80°，∴∠E=180°-80°=100°，故選：C．
【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質，能正確作輔助線并靈活運用性質進行推理是解此題的關鍵．
6．（2023下·安徽黃山·七年級統考期末）如圖，已知，，，則的度數是（　　）

A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】過C作，求出，根據平行線的性質得出，，即可得出答案．
【詳解】解：過C作，

∵，∴，∴，，
∵，∴
∴．故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，解此題的關鍵是能正確作輔助線，注意：兩直線平行，同旁內角互補，兩直線平行，內錯角相等．
7．（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，利用“兩直線平行，內錯角相等”，可得出的度數，由，再利用“兩直線平行，同旁內角互補”，即可求出的度數．
【詳解】解：，，
又，，．故選：A．
【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是牢記平行線的性質定理．
8．（2023下·重慶南岸·七年級統考期末）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通過作輔助線,過點C和點D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據ABEF,可得ABEFCGDH,再根據平行線的性質即可得γ+β-α=90°,進而可得結論．
【詳解】解：如圖,過點C和點D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,
∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的性質,解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．
9．（2022下·河北邯鄲·七年級統考期中）如圖，若，則、、之間關系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作，根據平行線的性質可得，，然后由整理后可得答案．
【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，
又∵，∴，即．故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．
10．（2023·廣東深圳·學校聯考二模）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態，如圖所示，，當人腳與地面的夾角時，求出此時上身與水平線的夾角的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延長交直線于點，利用平行線的性質得出，再由兩直線平行，內錯角相等即可得出結果．
【詳解】解：延長交直線于點，

，，
根據題意得，，故選：A．
【點睛】題目主要考查平行線的性質，理解題意，熟練掌握運用平行線的性質是解題關鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下·上海松江·七年級校考期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的是，第二次拐彎處的角是，第三次拐彎處的是，這時道路恰好是和第一次拐彎之前的道路平行，則 ．
【答案】/97度
【分析】過B作，由推出，再根據平行線的性質可求出和，進而求出．
【詳解】解：如圖，過B作，
∵，∴，∴，
∵，∴，則．故答案為：．
【點睛】本題考查平行線的性質，解題關鍵是結合圖形利用平行線的性質進行角的轉化和角的計算．
12．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）圖1中所示是學校操場邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架、為固定支撐桿，燈體是，其中垂直地面于點，過點作射線與地面平行（即），已知兩個支撐桿之間的夾角，燈體與支撐桿之間的夾角，則的度數為 ．

【答案】/30度
【分析】過點作．先利用平行線的性質和垂直的定義、角的和差關系求出，再利用平行線的性質和角的和差關系求得結論．
【詳解】解：過點作．，．．
，．，．
．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握平行線的性質和角的和差關系是解決本題的關鍵．
13．（2023下·廣東梅州·七年級統考期末）某街道要修建一條管道，如圖，管道從A站沿北偏東方向到B站，從B站沿北偏西方向到C站，為了保持水管與方向一致，則為 °．

【答案】100
【分析】為了保持水管與方向一致，則，依據平行線的性質，即可得到的度數，再根據平行線的性質，即可得到的度數．
【詳解】解：如圖所示，

為了保持水管與方向一致，則，由題可得，，
∵，∴，∴，
∴，
又∵，∴，故答案為：100．
【點睛】此題主要考查了方向角以及平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．
14．（2023下·陜西咸陽·七年級統考期末）如圖，，平分，，．則的度數是 ．

【答案】/35度
【分析】由平行線的性質可得出，，從而可求出，再由角平分線的定義可得出，即得出．
【詳解】解：∵，∴．
∵，∴．
∵平分，∴．
∵，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義．利用數形結合的思想是解題關鍵．
15．（2023下·上海浦東新·七年級校考期中）如圖，直線，、、、之間的數量關系是 ．

【答案】
【分析】過點作，，根據平行線的性質，可得，，，繼而可得．
【詳解】解：如圖，過點作，過作

，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
16．（2023下·天津東麗·七年級統考期末）如圖，，，則的度數是 ．

【答案】
【分析】根據平行線的性質得，，即可得．
【詳解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握平行線的性質．
17．（2023下·北京石景山·七年級統考期末）某籃球架及側面示意圖如圖所示，若，，于點B，則 ．

【答案】
【分析】過點C作，由平行線的性質求得，由，得到，進一步得到，即可得到的度數．
【詳解】解：過點C作，如圖，∴，

∵，∴，
∵，∴，∵于點B，∴，
∴，∴．
故答案為：
【點睛】此題考查了平行線的性質、垂直定義等知識，作是解題的關鍵．
18．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）如圖，，的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，且，則 ．

【答案】12
【分析】延長交于點，令與相交于點，由平行線的性質和角平分線的定義，得出，，再利用三角形外角的性質，推出，進而得到，然后利用，即可求出的度數．
【詳解】解：如圖，延長交于點，令與相交于點，，，
平分，平分，
，，，
是的外角，是的外角，
，，
，，
，，，故答案為：12

【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義，三角形內角和定理，對頂角相等，三角形外角的性質等知識，找出角度之間的數量關系是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·湖南永州·七年級期中）如圖所示，已知，，，求的大小．

【答案】
【分析】過點作，由可得，由此得出的度數，由可得，再結合即可得出結論．
【詳解】解：如圖，過點E作，則（兩直線平行，同旁內角互補）

∴，
又，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）
∴（兩直線平行，內錯角相等）
∴．
【點睛】本題考查了平行線的判定及性質以及角的計算，解題的關鍵是得出和的度數．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據平行線的性質得出相等（或互補）的角，再根據角與角之間的關鍵即可得出結論．
20．（2023下·四川廣安·七年級統考期末）如圖1是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個主要星系分別用字母表示，得到如圖2的幾何示意圖，已知．試說明．

【答案】見解析
【分析】方法一：延長交于點，則，由平行線的性質可得，再由三角形內角和定理進行計算即可得到答案；
方法二：過點作，則，由平行線的性質可得，，，進行計算即可得到答案．
【詳解】解：方法一：如圖1，延長交于點，
， ，
∴，∵，∴，
∴，∴；
方法二：如圖2，過點作，
∵，∴，∴，，
∴，，
∴，即．（任選一種方法說明即可）
【點睛】本題主要考查了平行線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，同位角相等，是解題的關鍵．
21．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數量關系為 　 　．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據平行線的性質，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結論即可求解．
【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)設PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，
由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．
【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
22．（2023·浙江·七年級專題練習）已知，，點C是直線，下方一點，連接，．
(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點H，若，求的度數；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點H，則____________．（用含n和的式子表示）
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．
【分析】本題考查平行線的性質，四邊形內角和，角平分線相關計算，熟練掌握四邊形內角和等于解題關鍵是．（1）過點B作交CD于點F，根據證明，再利用，且，即可證明；
（2）利用角平分線以及四邊形內角和等于可得：，整理可得：，再結合（1）結論可得，進一步可求出；
（3）設，，則，，由四邊形內角和等于可得：，即，由（1）結論可得：，即可求出．
【詳解】（1）證明：過點B作交CD于點F，
∵，∴，
∵，且，
∴，即．
（2）解：∵，分別平分和，，，
，，
，∴，
整理可得：，由（1）可得：，
∴，即，∵，∴．
（3）解：∵，，
設，，則且，，
由四邊形內角和等于可得：，
即，，
由（1）可得：，
∴，即，
∴，整理得：．故答案為：
23．（2023下·四川德陽·七年級四川省德陽市第二中學校校考階段練習）已知直線，P為平面內一點，連接、．

(1)如圖1，已知，，求的度數；(2)如圖2，判斷、、之間的數量關系，請寫出證明過程．(3)如圖3，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數．
【答案】(1)(2)，證明見解析(3)
【分析】（1）過點作，根據平行線的性質可得，，即可求出的度數；
（2）過點作，則，根據平行線的性質可得，，又，即可得出；
（3）交于點，由，得出，由得出，由，得出，由對頂角相等得出，由角平分線的性質得出，即，由（2）得：，代入計算即可求出的度數．
【詳解】（1）解：如圖1，過點作，

，，，，，
，，；
（2）關系：
證明：如圖2，過點作，則，
，，
，，
，故答案為：；
（3）如圖3，交于點，
，，，，
，，，，
平分，，，
由（2）得：，，
．
【點睛】本題考查平行線的性質及角平分線的定義，掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題關鍵．
24．（2023下·河北邢臺·七年級校考階段練習）已知．
【初步感知】如圖，若，求的度數；
【拓展延伸】如圖，點E，F在兩平行線之間，求證：；

【類比探究】如圖，，若，求的度數．
【答案】初步感知：；拓展延伸：見解析；類比探究：
【分析】（1）【初步感知】由平行線的性質及已知即可求得結果；
（2）【拓展延伸】過點E作，過點F作．由平行線的性質即可證得；
（3）【類比探究】利用【拓展延伸】中得到的結論，結合已知即可求得．
【詳解】解：【初步感知】∵，∴．
∵，∴，∴；
【拓展延伸】證明：如圖，過點E作，過點F作．

∵，∴，∴，
，，∴；
【類比探究】由【拓展延伸】中的結論，得，
∴．
∵，，∴．
同理可得，即，
∴，∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質，角的運算，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
25．（2023下·湖北·七年級統考期末）如圖，．

(1)如圖1，請探索∠A，∠E，∠C三個角之間的數量關系，并說明理由；
(2)已知．①如圖2．若，求的度數；
②如圖3．若和的平分線交于點G，請直接寫出與的數量關系．
【答案】(1)，理由見解析；(2)①；②；
【分析】（1）過點作，根據平行線的性質，即可求解；
（2）①分別過點作，利用平行線的性質求解即可；分別過點作，過點作，利用平行線的性質以及角平分線的定義求解即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：過點作，如下圖：

則∴，
又∵，∴；
（2）解：①分別過點作，如下圖：
則，∴，，
又∵，
∴∴；
②分別過點作，過點作，如下圖：
則，∴，，
∴，由①可得：；
∵和的平分線交于點G，∴，
∴
由題意可得：；
∴；
【點睛】此題考查了平行線的性質以及角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握平行線的有關性質．
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專題1-8 平行線的基本模型-蛇形模型與蝸牛模型
模塊1：模型簡介
平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。
拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
通用解法與思路：見拐點作平行線；和差拆分與等角轉化。
模塊2：核心模型點與典例
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
【模型解讀】如圖，AB∥CD，結論：∠1+∠3－∠2=180°.
圖1 圖2
如圖1，已知：AB∥DE，結論：.
如圖2，已知：AB∥DE，結論：.
【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023·四川廣元·統考三模）珠江流域某江段江水流向經過B、C、D三點，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
例2．（2023·湖南長沙·九年級校聯考期中）如圖，若，，，則的度數是（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
例3．（2023·河南周口·校聯考三模）如圖，，，，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
例4．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，，，平分，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·江西·九年級校考階段練習）如圖于點D，將繞點A逆時針旋轉，使，則的最小值為 ．
例6．（2023下·重慶江津·七年級校聯考期中）已知直線，為平面內一點，連接、．
(1)如圖，已知，，求的度數；(2)如圖，判斷、、之間的數量關系為 ．(3)如圖，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數．
例7．（2023下·廣東廣州·七年級統考期末）甲同學在學完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：
第一步：將一根鐵絲在，，處彎折得到如下圖①的形狀，其中，．
第二步：將繞點D旋轉一定角度，再將繞點E旋轉一定角度并在上某點處彎折，得到如下圖②的形狀．
第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．
請根據上面的操作步驟，解答下列問題：
(1)如圖①，若，求；
(2)如圖②，若，請判斷，，，之間的數量關系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，如圖③，若，，設，，求．（用含，的式子表示）
模型2：蝸牛模型
【模型解讀】如圖，AB∥DE，結論：∠B+∠C+∠D=180°.
【模型證明】在圖中，過C作AB的平行線CF，∴∠B＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D=180°，∵∠FCD=∠DCB+∠FCB，∴∠B+∠C+∠D=180°.
例1．（2023下·寧夏中衛·七年級校考期末）如圖所示，，那么 °．

例2．（2023·遼寧鐵嶺·七年級校考期中）如圖，若，，，則 ．
例3．（2023下·陜西西安·七年級校考期末）如圖，點B在的邊的延長線上，，若，，則的度數為（ ）

A．15° B．20° C．30° D．50°
例4．（2023下·江蘇南京·七年級統考期中）如圖，，，則與一定滿足的關系是（ ）

A． B． C． D．
例5．（2023上·遼寧沈陽·八年級統考期末）如圖，點在的邊的延長線上，，若，，則的度數是(　　)

A． B． C． D．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·貴州黔南·七年級統考期中）如圖，如果，那么角α，β，γ之間的關系式為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023下·河北廊坊·七年級校考期中）如圖是某次行車路線，共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線是平行的，已知第一次轉過的角度，第三次轉過的角度，則第二次轉過的角度是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023下·山西晉中·七年級統考期中）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則（　　）

A． B． C． D．
4．（2023·河南·統考三模）如圖，已知，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·北京昌平·七年級校考期末）如圖，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，則 ∠E 的度數為 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
6．（2023下·安徽黃山·七年級統考期末）如圖，已知，，，則的度數是（　　）

A． B． C．7 D．
7．（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
8．（2023下·重慶南岸·七年級統考期末）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022下·河北邯鄲·七年級統考期中）如圖，若，則、、之間關系是（ ）

A． B．
C． D．
10．（2023·廣東深圳·學校聯考二模）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態，如圖所示，，當人腳與地面的夾角時，求出此時上身與水平線的夾角的度數為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下·上海松江·七年級校考期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的是，第二次拐彎處的角是，第三次拐彎處的是，這時道路恰好是和第一次拐彎之前的道路平行，則 ．
12．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）圖1中所示是學校操場邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架、為固定支撐桿，燈體是，其中垂直地面于點，過點作射線與地面平行（即），已知兩個支撐桿之間的夾角，燈體與支撐桿之間的夾角，則的度數為 ．

13．（2023下·廣東梅州·七年級統考期末）某街道要修建一條管道，如圖，管道從A站沿北偏東方向到B站，從B站沿北偏西方向到C站，為了保持水管與方向一致，則為 °．

14．（2023下·陜西咸陽·七年級統考期末）如圖，，平分，，．則的度數是 ．

15．（2023下·上海浦東新·七年級校考期中）如圖，直線，、、、之間的數量關系是 ．

16．（2023下·天津東麗·七年級統考期末）如圖，，，則的度數是 ．

17．（2023下·北京石景山·七年級統考期末）某籃球架及側面示意圖如圖所示，若，，于點B，則 ．

18．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）如圖，，的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，且，則 ．

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·湖南永州·七年級期中）如圖所示，已知，，，求的大小．

20．（2023下·四川廣安·七年級統考期末）如圖1是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個主要星系分別用字母表示，得到如圖2的幾何示意圖，已知．試說明．

21．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數量關系為 　 　．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數．
22．（2023·浙江·七年級專題練習）已知，，點C是直線，下方一點，連接，．
(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點H，若，求的度數；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點H，則____________．（用含n和的式子表示）
23．（2023下·四川德陽·七年級四川省德陽市第二中學校校考階段練習）已知直線，P為平面內一點，連接、．

(1)如圖1，已知，，求的度數；(2)如圖2，判斷、、之間的數量關系，請寫出證明過程．(3)如圖3，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數．
24．（2023下·河北邢臺·七年級校考階段練習）已知．
【初步感知】如圖，若，求的度數；
【拓展延伸】如圖，點E，F在兩平行線之間，求證：；

【類比探究】如圖，，若，求的度數．
25．（2023下·湖北·七年級統考期末）如圖，．

(1)如圖1，請探索∠A，∠E，∠C三個角之間的數量關系，并說明理由；
(2)已知．①如圖2．若，求的度數；
②如圖3．若和的平分線交于點G，請直接寫出與的數量關系．
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