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專題2.15 圓與圓的位置關系-重難點題型精講
1．圓與圓的位置關系及判斷方法
(1)圓與圓的位置關系
圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.
(2)圓與圓的位置關系的判定方法
①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：
設兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關系表示如下：
②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.
當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，
兩圓無公共點，包括內含與外離.
2．兩圓的公切線
(1)兩圓公切線的定義
兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.
(2)兩圓的公切線位置的5種情況
①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；
②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；
③相交時，有2條公切線，都是外公切線；
④內切時，有1條公切線；
⑤內含時，無公切線.
判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。
(3)求兩圓公切線方程的方法
求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，
設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.
3．兩圓的公共弦問題
(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法
兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.
設圓:，①
圓:，②
①-②，得，③
若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點
滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.
(2)求兩圓公共弦長的方法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦長.
4．圓系方程及其應用技巧
具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：
(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.
(2)與圓同心的圓系方程是.
(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是.
(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點的圓系方程是
.
(5)過兩圓:和:的交點的圓系方程是
().(其中不含有圓:
,注意檢驗是否滿足題意,以防漏解).
①當時，l: 為兩圓公共弦所在的直線方程.
②當兩圓相切(內切或外切)時，l為過兩圓公共切點的直線方程.
【題型1 圓與圓的位置關系及判定】
【方法點撥】
判斷圓與圓的位置關系的一般步驟：
①將兩圓的方程化為標準方程(若圓的方程已是標準形式，此步驟不需要) ;②分別求出兩圓的圓心坐標和半
徑；③求兩圓的圓心距d；④比較d與的大小關系；⑤根據大小關系確定位置關系.
【例1】（2022·河南·高二階段練習）圓與圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
【解題思路】首先確定兩圓的圓心與半徑，再求出圓心距，即可判斷.
【解答過程】解：由得圓心坐標為，半徑，
由得圓心坐標為，半徑，
∴，，，∴，即兩圓相交．
故選：B．
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知圓和，則兩圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．外離
【解題思路】根據題意，由圓的方程求出兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關系分析可得答案.
【解答過程】由題意，知圓的圓心，半徑.
圓的方程可化為，則其圓心，半徑.
因為兩圓的圓心距，故兩圓外切.
故選：C.
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關系是（ ）
A．外離 B．相交 C．內切 D．外切
【解題思路】由圓的面積被直線平分，可得圓心在直線上，求出，進而利用圓心距與半徑和以及半徑差的關系可得圓與圓的位置關系．
【解答過程】因為圓的面積被直線平分，所以圓的圓心在直線上，
所以，解得，所以圓的圓心為，半徑為．
因為圓的圓心為，半徑為，所以，
故，所以圓與圓的位置關系是相交．
故選：B．
【變式1-3】（2022·安徽·高三開學考試）已知直線與圓交于兩點， 則當弦最短時，圓與圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．外離 C．外切 D．相交
【解題思路】由直線過定點且定點在圓內，當弦最短時直線垂直，根據斜率乘積為求出，進而求出圓的方程，再根據圓心距與兩圓半徑的關系確定答案.
【解答過程】易知直線即過定點，因為，故在圓內.
故弦最短時直線垂直，又，所以，解得，
此時圓的方程是.
兩圓圓心之間的距離，半徑分別為5，3
又，所以這兩圓外離.
故選：B.
【題型2 由圓與圓的位置關系確定參數】
【方法點撥】
根據兩圓的位置關系，利用圓心距與半徑的和或差的絕對值的大小關系列出關系式，求出參數的值或取值
范圍，注意相切和相離均包括兩種情況.
【例2】（2022·全國·高二單元測試）已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個公共點，則實數r等于（ ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【解題思路】根據兩圓內切或外切即可求解.
【解答過程】，
因為圓與圓有且僅有一個公共點，
所以圓與圓相內切或外切，
所以或，
所以或，
故選：．
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知圓與圓外切，則m的值為（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
【解題思路】直接利用圓心距等于兩圓的半徑之和列方程即可求解.
【解答過程】因為圓C與圓O外切，所以兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，即，解得．
故選：B．
【變式2-2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一個公共點，則實數a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【解題思路】根據兩圓內切或外切可得圓心距，從而可求實數a.
【解答過程】圓：的圓心為,
圓：的圓心為,
，
因為圓與圓有且僅有一個公共點，故圓與圓相內切或外切，
故或，從而或，
所以或，解得：或，
所以實數a等于34或14，
故選：D.
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）若圓與圓相外切，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【解題思路】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關系建立方程求解即可.
【解答過程】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，
由可得，所以圓的圓心為，半徑為，
因為兩圓相外切，所以，解得，
故選：D.
【題型3 與兩圓相切有關問題】
【方法點撥】
處理兩圓相切問題，首先必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴兩圓相切，則必須分兩圓內切和外切
兩種情況討論；其次，將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時) 或兩圓
半徑之和(外切時) .
【例3】（2022·全國·高二課時練習）設圓，圓，則圓，的公切線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【解題思路】先根據圓的方程求出圓心坐標和半徑，再根據圓心距與半徑的關系即可判斷出兩圓的位置關系，從而得解．
【解答過程】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線．
故選：B．
【變式3-1】（2022·全國·高二專題練習）下列方程中，圓與圓的公切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設公切線l與圓，圓分別相切于第一象限的A，B兩點，由幾何關系求出，即可得出.
【解答過程】根據題意可知，，
如圖，設公切線l與圓，圓分別相切于第一象限的A，B兩點，與x軸相交于點P，
由幾何關系可知，，，，
所以，，，，l的斜率為，
則l的方程為，即，
根據對稱可得出另一條公切線方程為.
故選：B．
【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題知兩圓的位置關系為外切或相離，進而根據圓心距與半徑和的關系求解即可.
【解答過程】解：將化為標準方程得，即圓心為半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為圓與圓至少有三條公切線，
所以兩圓的位置關系為外切或相離，
所以，即，解得.
故選：D.
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設直線交軸于點，推導出為的中點，為的中點，利用勾股定理可求得.
【解答過程】如下圖所示，設直線交軸于點，
由于直線與圓，圓都相切，切點分別為、，
則，，，
，為的中點，為的中點，，
由勾股定理可得.
故選：C.
【題型4 兩圓的公共弦問題】
【方法點撥】
解決兩圓公共弦問題的一般步驟：
第一步：判斷兩圓有沒有公共弦；
第二步：如果存在公共弦，那么只需要將兩圓的方程相減，即可求得公共弦所在直線的方程；
第三步：求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離；
第四步：利用勾股定理求出公共弦長.
【例4】（2022·全國·高二專題練習）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】將兩圓方程作差可得出兩圓相交弦所在直線的方程.
【解答過程】圓的圓心為，半徑為，
圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
因為，則，
所以，圓與圓相交，
將兩圓方程作差得，即.
因此，兩圓的相交弦所在直線的方程為.
故選：A.
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）圓與圓的公共弦長為（ ）
A．6 B． C．4 D．
【解題思路】根據圓與圓的方程相減得公共弦的方程，再根據垂徑定理求解即可.
【解答過程】圓與圓的方程相減得，即．
又到直線的距離為1，
所以公共弦長為．
故選：A.
【變式4-2】（2022·全國·高二專題練習）已知圓，，則這兩圓的公共弦長為（ ）
A． B． C．2 D．1
【解題思路】圓方程相減得到公共弦方程，計算圓心到直線的距離，計算弦長得到答案.
【解答過程】由題意知，，
將兩圓的方程相減得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為.
又因為圓：，圓心為，半徑，
所以圓的圓心到直線的距離.
所以這兩圓的公共弦的弦長為.
故選：C.
【變式4-3】（2022·江蘇·高二開學考試）若圓與圓的公共弦的長為1，則下列結論正確的有（ ）
A．
B．
C．中點的軌跡方程為
D．中點的軌跡方程為
【解題思路】兩圓方程相減求出直線AB的方程，進而根據弦長求得，即可判斷A、B選項；由圓的性質可知直線垂直平分線段，進而可得 到直線的距離，從而可求出AB中點的軌跡方程，因此可判斷C、D選項；
【解答過程】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，
即，
因為圓的圓心為 ，半徑為1，
且公共弦AB的長為1，則 到直線
的距離為，
所以，解得，
故A、B錯誤；
由圓的性質可知直線垂直平分線段，
所以 到直線的距離
即為AB中點與點的距離，設AB中點坐標為，
因此，
即，故C正確，D錯誤；
故選：C.
【題型5 圓系方程及其應用】
【方法點撥】
求過兩圓交點的圓的方程，一般用代數法，即先求出兩圓的交點，再利用圓的幾何性質確定圓心的坐標和
半徑；也可由題意設出所求圓的方程，再根據條件建立方程組，最后求出圓的方程，或直接用圓系方程求
解，這樣會使運算簡捷.
【例5】（2022·江西省高一階段練習（理））求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先計算出兩圓的交點所在直線，進而求出線段的垂直平分線，與聯立求出圓心坐標，再求出半徑，寫出圓的標準方程，從而求出圓的一般方程.
【解答過程】與相減得：，
將代入得：，
即，
設兩圓和的交點為，
則，，則，
不妨設，
所以線段的中點坐標為，
因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，
所以線段的垂直平分線為，
與聯立得：，
故圓心坐標為，半徑，
所以圓的方程為，
整理得：，
故選：D.
【變式5-1】（2021·全國·高二課時練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【解題思路】求出兩個圓的交點，再求出中垂線方程，然后求出圓心坐標，求出半徑，即可得到圓的方程．
【解答過程】由，
解得兩圓交點為與，
因為，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點P坐標為（1，1），
所以垂直平分線為y＝﹣x+2，
由，
解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點坐標為（3，﹣1），
所以r，
所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13，即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0，
故選：A.
【變式5-2】（2021·全國·高二專題練習）過點以及圓與圓交點的圓的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【解題思路】根據過兩圓交點的圓系方程可設所求圓的方程為,把點代入方程,求出即可.
【解答過程】設所求的圓的方程為,
把點代入可得,,
解得,所以所求圓的方程為,
故選:A.
【變式5-3】（2021·江蘇·高二專題練習）若圓的圓心在直線上，且經過兩圓和的交點，則圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．0 B． C．2 D．
【解題思路】求出過兩點的垂直平分線方程，再聯立直線，求得圓心，結合點到直線距離公式即可求解
【解答過程】設兩圓交點為，聯立，
得或，，
則中點為，
過兩點的垂直平分線方程為，
聯立，
得，故圓心為，
由點到直線距離公式得
故選：C.
【題型6 直線與圓、圓與圓的位置關系的應用】
【方法點撥】
對于實際生活中直線與圓、圓與圓的位置關系的問題，通常采用建立平面直角坐標系來解決，一般步驟如
下：
第一步：認真審題，理解題意，把題中的實際問題轉化為直線與圓、圓與圓的有關問題；
第二步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將實際問題轉化為解析幾何
問題；
第三步：通過點的坐標及方程的有關運算解決問題；
第四步：將運算結果“翻譯”成實際問題中的結論；
第五步：檢驗與作答.
【例6】（2021秋 濮陽期末）如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．
（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；
（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．
【解題思路】（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系．設圓的方程為（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通過F，M在圓上，求出變量的值，得到圓的方程．
（2）設限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|＝h+0.5，將P的橫坐標x代入圓的方程，求出y，然后求出限高．
【解答過程】解：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，
以1m為單位長度建立直角坐標系．
則E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），
由于所求圓的圓心在y軸上，所以設圓的方程為（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，
因為F，M在圓上，所以，
解得b＝﹣3，r2＝36．
所以圓的方程為x2+（y+3）2＝36．
（2）設限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|＝h+0.5，
將P的橫坐標x代入圓的方程，
得，
得y＝2或y＝﹣8（舍），
所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．
答：車輛通過隧道的限制高度是3.5米．
【變式6-1】（2021·全國·高二專題練習）某品牌的logo是用一系列，，，，，， 為半徑的圓截得的，如圖所示，右上方是三個半徑為的圓，自上而下依次為圓，圓，圓，已知它們的圓心在斜率為的同一直線上，已知圓與軸相切于坐標原點，且圓的圓心在軸上方，圓與軸相切，且圓心在軸右側，圓與圓外切．
（1）求圓的方程；
（2）求圓與圓的公共弦所在直線方程；
（3）寫出圓的標準方程（不用寫過程）．
【解題思路】如圖建立平面直角坐標系，（1）由于圓與軸相切于坐標原點，所以可得圓的圓心和半徑，由于圓與軸相切且．圓心在軸右側，可得圓心為，從而可求出圓的方程；
（2）兩圓方程相減可得公共弦的方程；
（3）圓與圓外切，可得圓的圓心為，從而可求出圓的標準方程
【解答過程】解：由已知：可建立如下平面直角坐標系，
（1）圓與軸相切于點，圓心在軸上方且，
圓：，
而，，三點共線且其斜率為，
，
又圓與軸相切且．圓心在軸右側，
圓心應在上，
，
圓 ；
（2）由（1）問知：將兩圓方程作差得：，
即圓與圓的公共弦所在直線方程為：，
（3）圓.
【變式6-2】如圖：為了保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區．經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸）．規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區的邊界為圓心M（在線段OA上）與BC相切的圓．建立如圖所示的直角坐標系，已知新橋BC所在直線的方程為：4x+3y﹣680＝0．
（1）求新橋端點B的坐標；
（2）當圓形保護區的圓心M在古橋OA所在線段上（含端點）運動時，求圓形保護區的面積的最小值，并指出此時圓心M的位置．
【解題思路】（1）設出B的坐標，利用AB和BC垂直，利用待定系數法即可得到結論．
（2）要求圓面積的最小值，則只需求得圓半徑的最小值即可得到結論．
【解答過程】解：（1）設B（a，b），由題意可知A（0，60），直線BC的斜率k，
則滿足條件，即，
解得，即B（80，120）．
（2）要使圓形保護區的面積的最小，則只需求得圓半徑最小即可，
∵AB⊥BC，
∴設M（0，t），0≤t≤60，
則M到直線4x+3y﹣680＝0的距離d為減函數，
∴當t＝60時，距離d最小，即當M位于點A（0，60）時，此時圓的半徑最小，
此時半徑r＝AB100，
圓心M（0，60）．
則圓的面積最小為S＝π×1002＝10000π．
【變式6-3】（2022秋 姜堰區校級期中）某濕地公園有一邊長為4百米的正方形水域ABCD，如圖，EF是其中軸線，水域正中央有一半徑為1百米的圓形島嶼M，小島上種植有各種花卉．現欲在線段AF上某點P處（AP的長度不超過1百米）開始建造一直線觀光木橋與小島邊緣相切（不計木橋寬度），與BC相交于Q點．過Q點繼續建造直線木橋NQ與小島邊緣相切，NQ與中軸線EF交于N點，N點與E點也以木橋直線相連．
（1）當AP＝1百米時，求木橋PQ的長度（單位：百米）；
（2）問是否存在常數m，使得mQN+NE為定值？如果存在，請求出常數m，并給出定值，如果不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）設PQ斜率為k，根據直線PQ與圓M相切列方程解出k，得出Q點坐標，從而可計算PQ的長；
（2）設PQ斜率為k，NQ斜率為k1，AP＝a，根據切線的性質得出k，k1與a的關系，求出mNQ+NE，化簡即可得出結論．
【解答過程】解：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，
建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．
圓M的方程為：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，P（1，0），
設直線PQ的方程為y＝k（x﹣1），則1，
解得k，∴直線PQ的方程為y（x﹣1），
把x＝4代入直線方程得y，即Q（4，），
∴PQ．
答：木橋PQ的長度為百米．
（2）設AP＝a百米，（0≤a≤1），
設PQ方程為y＝k（x﹣a），則1，
∴2﹣k（2﹣a），
設直線NQ斜率為k1，則直線NQ的方程為y﹣k（4﹣a）＝k1（x﹣4），
令x＝2得N（2，k（4﹣a）﹣2k1），
∴NE＝4+2k1﹣k（4﹣a），
∵直線NQ與圓M相切，∴1，
∴﹣2k1﹣2+k（4﹣a），
∴NQ|4﹣2|＝22[﹣2k1﹣2+k（4﹣a）]，
∴mNQ+NE＝2m[﹣2k1﹣2+k（4﹣a）]+4+2k1﹣k（4﹣a）＝（1﹣2m）[2+2k1﹣k（4﹣a）]+2，
∴當1﹣2m＝0，即m時，NQ+NE＝2．
答：存在常數m，使得NQ+NE為定值2．專題2.15 圓與圓的位置關系-重難點題型精講
1．圓與圓的位置關系及判斷方法
(1)圓與圓的位置關系
圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.
(2)圓與圓的位置關系的判定方法
①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：
設兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關系表示如下：
②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.
當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，
兩圓無公共點，包括內含與外離.
2．兩圓的公切線
(1)兩圓公切線的定義
兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.
(2)兩圓的公切線位置的5種情況
①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；
②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；
③相交時，有2條公切線，都是外公切線；
④內切時，有1條公切線；
⑤內含時，無公切線.
判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。
(3)求兩圓公切線方程的方法
求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，
設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.
3．兩圓的公共弦問題
(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法
兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.
設圓:，①
圓:，②
①-②，得，③
若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點
滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.
(2)求兩圓公共弦長的方法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦長.
4．圓系方程及其應用技巧
具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：
(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.
(2)與圓同心的圓系方程是.
(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是.
(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點的圓系方程是
.
(5)過兩圓:和:的交點的圓系方程是
().(其中不含有圓:
,注意檢驗是否滿足題意,以防漏解).
①當時，l: 為兩圓公共弦所在的直線方程.
②當兩圓相切(內切或外切)時，l為過兩圓公共切點的直線方程.
【題型1 圓與圓的位置關系及判定】
【方法點撥】
判斷圓與圓的位置關系的一般步驟：
①將兩圓的方程化為標準方程(若圓的方程已是標準形式，此步驟不需要) ;②分別求出兩圓的圓心坐標和半
徑；③求兩圓的圓心距d；④比較d與的大小關系；⑤根據大小關系確定位置關系.
【例1】（2022·河南·高二階段練習）圓與圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知圓和，則兩圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．外離
【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關系是（ ）
A．外離 B．相交 C．內切 D．外切
【變式1-3】（2022·安徽·高三開學考試）已知直線與圓交于兩點， 則當弦最短時，圓與圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．外離 C．外切 D．相交
【題型2 由圓與圓的位置關系確定參數】
【方法點撥】
根據兩圓的位置關系，利用圓心距與半徑的和或差的絕對值的大小關系列出關系式，求出參數的值或取值
范圍，注意相切和相離均包括兩種情況.
【例2】（2022·全國·高二單元測試）已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個公共點，則實數r等于（ ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知圓與圓外切，則m的值為（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
【變式2-2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一個公共點，則實數a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）若圓與圓相外切，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【題型3 與兩圓相切有關問題】
【方法點撥】
處理兩圓相切問題，首先必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴兩圓相切，則必須分兩圓內切和外切
兩種情況討論；其次，將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時) 或兩圓
半徑之和(外切時) .
【例3】（2022·全國·高二課時練習）設圓，圓，則圓，的公切線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【變式3-1】（2022·全國·高二專題練習）下列方程中，圓與圓的公切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 兩圓的公共弦問題】
【方法點撥】
解決兩圓公共弦問題的一般步驟：
第一步：判斷兩圓有沒有公共弦；
第二步：如果存在公共弦，那么只需要將兩圓的方程相減，即可求得公共弦所在直線的方程；
第三步：求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離；
第四步：利用勾股定理求出公共弦長.
【例4】（2022·全國·高二專題練習）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）圓與圓的公共弦長為（ ）
A．6 B． C．4 D．
【變式4-2】（2022·全國·高二專題練習）已知圓，，則這兩圓的公共弦長為（ ）
A． B． C．2 D．1
【變式4-3】（2022·江蘇·高二開學考試）若圓與圓的公共弦的長為1，則下列結論正確的有（ ）
A．
B．
C．中點的軌跡方程為
D．中點的軌跡方程為
【題型5 圓系方程及其應用】
【方法點撥】
求過兩圓交點的圓的方程，一般用代數法，即先求出兩圓的交點，再利用圓的幾何性質確定圓心的坐標和
半徑；也可由題意設出所求圓的方程，再根據條件建立方程組，最后求出圓的方程，或直接用圓系方程求
解，這樣會使運算簡捷.
【例5】（2022·江西省高一階段練習（理））求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2021·全國·高二課時練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【變式5-2】（2021·全國·高二專題練習）過點以及圓與圓交點的圓的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2021·江蘇·高二專題練習）若圓的圓心在直線上，且經過兩圓和的交點，則圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．0 B． C．2 D．
【題型6 直線與圓、圓與圓的位置關系的應用】
【方法點撥】
對于實際生活中直線與圓、圓與圓的位置關系的問題，通常采用建立平面直角坐標系來解決，一般步驟如
下：
第一步：認真審題，理解題意，把題中的實際問題轉化為直線與圓、圓與圓的有關問題；
第二步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將實際問題轉化為解析幾何
問題；
第三步：通過點的坐標及方程的有關運算解決問題；
第四步：將運算結果“翻譯”成實際問題中的結論；
第五步：檢驗與作答.
【例6】（2021秋 濮陽期末）如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．
（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；
（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．
【變式6-1】（2021·全國·高二專題練習）某品牌的logo是用一系列，，，，，， 為半徑的圓截得的，如圖所示，右上方是三個半徑為的圓，自上而下依次為圓，圓，圓，已知它們的圓心在斜率為的同一直線上，已知圓與軸相切于坐標原點，且圓的圓心在軸上方，圓與軸相切，且圓心在軸右側，圓與圓外切．
（1）求圓的方程；
（2）求圓與圓的公共弦所在直線方程；
（3）寫出圓的標準方程（不用寫過程）．
【變式6-2】如圖：為了保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區．經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸）．規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區的邊界為圓心M（在線段OA上）與BC相切的圓．建立如圖所示的直角坐標系，已知新橋BC所在直線的方程為：4x+3y﹣680＝0．
（1）求新橋端點B的坐標；
（2）當圓形保護區的圓心M在古橋OA所在線段上（含端點）運動時，求圓形保護區的面積的最小值，并指出此時圓心M的位置．
【變式6-3】（2022秋 姜堰區校級期中）某濕地公園有一邊長為4百米的正方形水域ABCD，如圖，EF是其中軸線，水域正中央有一半徑為1百米的圓形島嶼M，小島上種植有各種花卉．現欲在線段AF上某點P處（AP的長度不超過1百米）開始建造一直線觀光木橋與小島邊緣相切（不計木橋寬度），與BC相交于Q點．過Q點繼續建造直線木橋NQ與小島邊緣相切，NQ與中軸線EF交于N點，N點與E點也以木橋直線相連．
（1）當AP＝1百米時，求木橋PQ的長度（單位：百米）；
（2）問是否存在常數m，使得mQN+NE為定值？如果存在，請求出常數m，并給出定值，如果不存在，請說明理由．

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