資源簡介

第2講 導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法
知識與方法
很多選擇題的壓軸題，會以導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造出題，往往很多學(xué)生連如何構(gòu)造原函數(shù)都不會，更加不用說下一步了．這個時候，如果你會導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法，也許會覺得思路又開了一扇窗．
導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法，實際上就是不構(gòu)造，或者說跳過構(gòu)造，直接根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號“猜測”函數(shù)單調(diào)性．
第一步，看后面的符號，如果是“＞”，則默認構(gòu)造函數(shù)為增，如果是“＜”則默認構(gòu)造函數(shù)為減．
第二步，看括號中的常數(shù)，題目往往給一個常數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值也會給出，將這個常數(shù)代入問題，肯定會剛剛好符合．
第三步，直接得出答案．如果后面的符號是“＞”，則答案與問題同號，而且不等式另一側(cè)肯定是常數(shù)，如果后面的符號是“＜”，則答案與問題異號，同樣，不等式另一側(cè)肯定是常數(shù)．
如果有些題目沒有給常數(shù)，而是直接求不等式解，例如求的解，則直接根據(jù)我們“猜測”的單調(diào)性，比較括號內(nèi)的大小即可，不用管函數(shù)前面的系數(shù)．
總結(jié)一下此方法的優(yōu)缺點，優(yōu)點是快和簡單，很多學(xué)生從來不敢嘗試的題目，幾分鐘就可以明白此方法，弄懂之后就可以5秒一道壓軸題了．缺點是此方法有一定的局限性，遇到定義域為負數(shù)，或涉及函數(shù)奇偶性，又或選項中有好幾個都符合的時候，就有可能失效．
下面我們就一起來看看幾道題，加深一下對此方法的了解．
典型例題
【例1】定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】
設(shè)，則，
∵，∴，∴，
∴在定義域上單調(diào)遞增，
∵，∴，
又∵，∴∴．
【解法2】，這里是“＞”，所以答案與同號，帶上括號內(nèi)常數(shù)0，
【答案】A．
【例2】定義在上的函數(shù)滿足：，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】設(shè)，則，
∵，∴，
即當(dāng)x>0時，函數(shù)單調(diào)遞減，∵，∴，
則不等式等價為，即，
則不等式的解集為．
【解法2】，先移項，，這里是“＜”，
所以答案與異號，帶上括號中的常數(shù)2，
【答案】B．
【例3】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】設(shè)，則，
∵，∴，即函數(shù)單調(diào)遞增．
∵，∴，
則不等式等價為，即，
∵函數(shù)單調(diào)遞增．
∴，∴不等式的解集為．
【解法2】，先移項，，
這里是“＞”，所以答案與同號，帶上括號中的常數(shù)0，
【答案】B．
【例4】函數(shù)的定義域為R，，對任意，，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】設(shè)，則，
又對任意，，所以，
即在R上單調(diào)遞增，則的解集為，即的解集為．
【解法2】，這里是“＞”，所以答案與同號，帶上括號中的常數(shù)-1，
【答案】A．
【例5】已知定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】設(shè)，則，
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，
∵，，
∴，
∴，∴，∴，解得．
【解法2】，先移項，，這里是“＜”，所以構(gòu)造原函數(shù)為遞減，只需要比較括號內(nèi)的大小即可，即．
再加上定義域的限定，得到3個不等式，完美秒解
解得．
【答案】D．
【例6】已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】構(gòu)造函數(shù)，則，
∵滿足，
∴，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
則，，，，
即，，，，
即，，，，
【解法2】，此時的符號是“＞”，
∴需要構(gòu)造的原函數(shù)為增函數(shù)，只需要比較括號內(nèi)的大小即可．∵，
【答案】A．
【例7】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對任意，均有，則以下說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
【解法1】設(shè)，則，
因為，所以，所以為減函數(shù)，
因為，，所以，，
即，所以；
，即；
【解法2】，，此時的符號是“＜”，
∴需要構(gòu)造的原函數(shù)為減函數(shù)，只需要比較括號內(nèi)的大小即可．
∵，∴，∵，∴．
【答案】C．
【例】8．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
∵，∴，即函數(shù)單調(diào)遞減，
∵，∴若，即，則，
則不等式等價為，
即，則，則或，解得或，
故不等式的解集為．
【解法2】，∴構(gòu)造原函數(shù)單調(diào)遞減，，則或，
解得或，
故不等式的解集為．
【答案】B．
【例9】設(shè)為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，
又由當(dāng)時，，則有，
即函數(shù)在上為減函數(shù)，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，
又由，則，則，
則有在上，在上，在上，在上．
若，即，
則有，則不等式的解集為．
【解法2】當(dāng)時，，符號為“＜”，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減．如圖，
【答案】C．
【例10】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】由，得，
設(shè)，則，
∵，∴當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
∵是偶函數(shù)，∴關(guān)于對稱，
即關(guān)于對稱，即，故D錯誤，
，，則，即，即，故B錯誤，
，即，即，
則，即，故C錯誤，
【解法2】是偶函數(shù)，∴關(guān)于對稱，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
所以自變量越接近2，函數(shù)值越小，
【答案】A．
【例11】對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足且，則解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令，則，∴函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，又，∴．則當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；
∴解集是．
【答案】C．
【例12】 設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù), 其導(dǎo)函數(shù)為, 且有, 則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【解析】由, 得:,
即 , 設(shè), 則即, 則當(dāng)時, 得0, 即在上是減函數(shù),
∴, 即不等式等價為在是減函數(shù), ∴由得, , 即,
【答案】C.
【例14】若, 則實數(shù)的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
【解析】
令, 則,
∵ 函數(shù)為上的偶函數(shù). ∵當(dāng) 時, 都有成 立, ∴ 函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增., 即,
∴, 因此, 化為: ,
解得.
【答案】A.
強化訓(xùn)練
1. 已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 滿足, 且, 則不等式 的解集為（ ）
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】構(gòu)造函數(shù),
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 ,
即在上單調(diào)遞減; 又∵, 則不等式化為, 它等價于, 即 , 即所求不等式的解集為.
【解法2】, 先移項, , 這里是“ ”, 所以答案與異號, 帶上 括號中的常數(shù)0,
【答案】.
2. 函數(shù)的定義域為,對任意的. 都有成立, 則不等式 的解集為 ( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】令對任意的 .
都有成立, ∴對任意的在上是減函數(shù), 且,
故不等式的解集為,
【解法2】, 這里是“<”,所以答案與異號, 帶上括號中的常數(shù),
【答案】A.
3. 函數(shù)的定義域是, 對任意, 則不等式的解集為 ()
A. B. C. , 或 D. , 或
【解析】令, 則.
∵對任意,
∴恒成立, 即在上為增函數(shù), 又∵,
故的解集為, 即不等式的解集為.
【答案】 A.
4. 已知的定義域為為的導(dǎo)函數(shù), 且滿足, 則不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【解析】設(shè), 則, 即當(dāng)時, 函數(shù)單調(diào)遞 減,
,
∴, 解得: , 則不等式的解集為 ,
【答案】 D.
5. 定義在上的函數(shù)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立, 則 ( )
A. B.
C. D.
【解析】因為, 所以. 由, 得. 即 .
令, 則. 所以函數(shù)在上為增函數(shù),對于A，由于, 即 ,
化簡即可判斷A錯; 對于, 由于, 即 , 化簡即可判斷B 正確; 對于C, 由于 , 即 , 化簡即可判斷C錯誤; 對于 D, 由于,
即 , 所以 , 即. 故D錯誤.
【答案】B.
6. 定義在上的函數(shù)滿足: 恒成立, 若, 則與的大小關(guān)系 為 （ ）
A. B.
C. D. 與 的大小關(guān)系不確定
【解析】構(gòu)造函數(shù), 則, 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, ∵, ∴, 即, 因此: .
【答案】A.
7. 設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù). 當(dāng)時, , 且0 , 則不等式的解集為 ( )
A. B.
C. D.
【解析】, 故函數(shù)在上單調(diào)遞 增. 再根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),可得函數(shù)是上的 奇函數(shù), 故函數(shù)是上的奇函數(shù), 故函數(shù)在, 0)上單調(diào)遞增. ∵, 故函數(shù)的單調(diào)性如右圖所 示.
由不等式, 可得與同時為正數(shù)或同時為負數(shù), ∴, 或, 故不等式 的解集為: .
【答案】 D.
8. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù), 且 (其中是的導(dǎo)函數(shù)) 恒成 立. 若, 則的大小關(guān)系是 ( )
A. B. C. D.
【解析】令, 則 任意的都有 成立,
∴ 在 上單調(diào)遞增. ∴,
又∵.
而.
【答案】A.
9. 已知定義在上的函數(shù), 其導(dǎo)函數(shù)記為, 若成立, 則下列正確的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】 時, 時, .
構(gòu)造函數(shù) 時, 時, , 化簡得 .
【答案】 A.
10. 設(shè)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), , 當(dāng)時, , 則使得 成立的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】構(gòu)造時, 為奇函數(shù), ∴時, 為偶函數(shù). 時, 則時, 則. 當(dāng)時, 函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∵時, 時, 為偶函數(shù). ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,
∵時, . 綜上可得: 使得成立的取值范圍是.
【答案】C.
1第2講 導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法
知識與方法
很多選擇題的壓軸題，會以導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造出題，往往很多學(xué)生連如何構(gòu)造原函數(shù)都不會，更加不用說下一步了．這個時候，如果你會導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法，也許會覺得思路又開了一扇窗．
導(dǎo)數(shù)構(gòu)造秒解大法，實際上就是不構(gòu)造，或者說跳過構(gòu)造，直接根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號“猜測”函數(shù)單調(diào)性．
第一步，看后面的符號，如果是“＞”，則默認構(gòu)造函數(shù)為增，如果是“＜”則默認構(gòu)造函數(shù)為減．
第二步，看括號中的常數(shù)，題目往往給一個常數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值也會給出，將這個常數(shù)代入問題，肯定會剛剛好符合．
第三步，直接得出答案．如果后面的符號是“＞”，則答案與問題同號，而且不等式另一側(cè)肯定是常數(shù)，如果后面的符號是“＜”，則答案與問題異號，同樣，不等式另一側(cè)肯定是常數(shù)．
如果有些題目沒有給常數(shù)，而是直接求不等式解，例如求的解，則直接根據(jù)我們“猜測”的單調(diào)性，比較括號內(nèi)的大小即可，不用管函數(shù)前面的系數(shù)．
總結(jié)一下此方法的優(yōu)缺點，優(yōu)點是快和簡單，很多學(xué)生從來不敢嘗試的題目，幾分鐘就可以明白此方法，弄懂之后就可以5秒一道壓軸題了．缺點是此方法有一定的局限性，遇到定義域為負數(shù)，或涉及函數(shù)奇偶性，又或選項中有好幾個都符合的時候，就有可能失效．
下面我們就一起來看看幾道題，加深一下對此方法的了解．
典型例題
【例1】定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】定義在上的函數(shù)滿足：，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【例4】函數(shù)的定義域為R，，對任意，，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對任意，均有，則以下說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例】8．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【例9】設(shè)為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【例10】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【例11】對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足且，則解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例12】 設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù), 其導(dǎo)函數(shù)為, 且有, 則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【例14】若, 則實數(shù)的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
強化訓(xùn)練
1. 已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 滿足, 且, 則不等式 的解集為（ ）
A. B. C. D.
2. 函數(shù)的定義域為,對任意的. 都有成立, 則不等式 的解集為 ( )
A. B. C. D.
3. 函數(shù)的定義域是, 對任意, 則不等式的解集為 ( )
A. B.
C. , 或 D. , 或
4. 已知的定義域為為的導(dǎo)函數(shù), 且滿足, 則不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 定義在上的函數(shù)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立, 則 ( )
A. B.
C. D.
6. 定義在上的函數(shù)滿足: 恒成立, 若, 則與的大小關(guān)系 為 （ ）
A. B.
C. D. 與 的大小關(guān)系不確定
7. 設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù). 當(dāng)時, , 且0 , 則不等式的解集為 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù), 且 (其中是的導(dǎo)函數(shù)) 恒成 立. 若, 則的大小關(guān)系是 ( )
A. B. C. D.
9. 已知定義在上的函數(shù), 其導(dǎo)函數(shù)記為, 若成立, 則下列正確的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 設(shè)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), , 當(dāng)時, , 則使得 成立的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
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