資源簡介

第1講 構(gòu)造函數(shù)解不等式
知識與方法
遇到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式的題目，一般將不等式移項構(gòu)造一個新函數(shù)，然后找到其原函數(shù)，從而判斷其單調(diào)性．
類型一 直接利用求導(dǎo)的四則運算
法則1：．（可推廣到多個函數(shù)）
法則2：．
法則3：．
類型二 構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)
若條件是，可構(gòu)造，則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造，則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造，則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造，則，若，
則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造．
類型三 構(gòu)造可導(dǎo)商函數(shù)
若條件是，可構(gòu)造，
則，
說明單調(diào)遞增，，，；
若條件是，則構(gòu)造；
若條件是，則構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造．
類型四 構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)奇偶性
有的題目是一個函數(shù)和一個代數(shù)式組合，往往可以構(gòu)造成一個奇函數(shù)，從而利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
典型例題
【例1】已知函數(shù)的定義域為實數(shù)R，是其導(dǎo)函數(shù)，對任意實數(shù)x有，則當(dāng)a>b時，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】設(shè)、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】定義在上的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為，且，則下式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知函數(shù)定義域為，且滿足，，則對任意正數(shù)a，b，當(dāng)a>b時，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
強化訓(xùn)練
1．設(shè)函數(shù)滿足，則當(dāng)，時，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
2．已知的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù)定義域為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有極大值無極小值 B．有極小值無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．沒有極值
5．已知的定義域是，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．定義在區(qū)間上的函數(shù)，使不等式恒成立，其中為的導(dǎo)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，記，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)b>c C．ba>c
8．已知是定在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若在R上有恒成立，且（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若．則實數(shù)a的取值范圍是______．
10．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的有，且在上．若，則實數(shù)a的取值范圍是______．
11．設(shè)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且，，，求的值．
1第1講 構(gòu)造函數(shù)解不等式
知識與方法
遇到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式的題目，一般將不等式移項構(gòu)造一個新函數(shù)，然后找到其原函數(shù)，從而判斷其單調(diào)性．
類型一 直接利用求導(dǎo)的四則運算
法則1：．（可推廣到多個函數(shù)）
法則2：．
法則3：．
類型二 構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)
若條件是，可構(gòu)造，則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造，則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造，則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造，則，若，
則單調(diào)遞增；
若條件是，可構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造．
類型三 構(gòu)造可導(dǎo)商函數(shù)
若條件是，可構(gòu)造，
則，
說明單調(diào)遞增，，，；
若條件是，則構(gòu)造；
若條件是，則構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造；
若條件是，可構(gòu)造．
類型四 構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)奇偶性
有的題目是一個函數(shù)和一個代數(shù)式組合，往往可以構(gòu)造成一個奇函數(shù)，從而利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
典型例題
【例1】已知函數(shù)的定義域為實數(shù)R，是其導(dǎo)函數(shù)，對任意實數(shù)x有，則當(dāng)a>b時，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】對任意實數(shù)x有，令，
∴，
∴在R上單調(diào)遞增，若a>b，則，即，
【答案】B．
【例2】設(shè)、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】設(shè)，
當(dāng)時，∵，
∴在當(dāng)時為增函數(shù)．
∵．故為上的奇函數(shù)．
∴在上亦為增函數(shù)．已知，必有．
構(gòu)造如圖的圖象，
可知的解集為．
【答案】D．
【例3】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】設(shè)，則的導(dǎo)數(shù)為，
∵當(dāng)時總有成立，即當(dāng)時，恒小于0，
∴當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，
又∵，∴函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，
又∵，∴函數(shù)的大致圖象如圖所示．
數(shù)形結(jié)合可得，不等式等價于，
即或，解得或．∴成立的x的取值范圍是．
【答案】A．
【例4】定義在上的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為，且，則下式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因為，
所以，即，
構(gòu)造，則，所以單調(diào)遞增，
因，所以，
即，即，
【答案】D．
【例5】已知函數(shù)定義域為，且滿足，，則對任意正數(shù)a，b，當(dāng)a>b時，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，，
∵，所以，即是減函數(shù)，即當(dāng)a>b>0時，，
所以，從而．
【答案】B．
強化訓(xùn)練
1．設(shè)函數(shù)滿足，則當(dāng)，時，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
【解析】由已知得，設(shè)，
求導(dǎo)得，易得在x>0且是恒成立，因此在x>0且是恒成立，而，說明在x>0時沒有極大值也沒有極小值
【答案】D．
2．已知的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】設(shè)，則，
即當(dāng)x>0時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵，∴，∴，
∴，解得，則不等式的解集為．
【答案】D．
3．是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令，則，
∵當(dāng)x>0時，，∴當(dāng)x>0時，，
∴在上單調(diào)遞減，
∵是定義在R上的奇函數(shù)，，∴，
∴當(dāng)時，，
∴在；①
又，∴為奇函數(shù)，
又時，在上單調(diào)遞減，
∴時，在上單調(diào)遞減，∵，
∴當(dāng)時，，從而；②
由①②得或時，．
∴不等式的解集是．
【答案】D．
4．已知函數(shù)定義域為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有極大值無極小值 B．有極小值無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．沒有極值
【解析】依題意由于，整理得．
此時令，故此時，
將帶入導(dǎo)函數(shù)，即，
當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
故函數(shù)在x=e處取得極大值，即，
即得到函數(shù)，故，
即函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)當(dāng)x>0時，無極值．
【答案】D．
5．已知的定義域是，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】設(shè)，∵，∴，
∴在單調(diào)遞增，
由，得，即，
∴，解得或．
∴不等式的解集是．
【答案】A．
6．定義在區(qū)間上的函數(shù)，使不等式恒成立，其中為的導(dǎo)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，則，
∵，即，
∴在恒成立，即有在遞減，可得，即，
由，可得，則；
令，，∵，
即，
∴在恒成立，即有在遞增，可得，
即，則．即有．
【答案】B．
7．已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，記，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)b>c C．ba>c
【解析】令，，∴，
∵時，恒成立，
即時，，
∴時，，遞減，而，
∴，，是奇函數(shù)，∴在遞減，
∵，
∴，
即，
∴．
【答案】A．
8．已知是定在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若在R上有恒成立，且（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令函數(shù)，由題意，則，從而在R上單調(diào)遞減，
∴，即，∴．
【答案】C．
9．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若．則實數(shù)a的取值范圍是______．
【解析】
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
可得在R上遞增；
又，可得為奇函數(shù)，
則，即有，
由，，即有，
解得，
【答案】．
10．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的有，且在上．若，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【解析】令，∵，
∴函數(shù)為奇函數(shù)．
∵時，，故函數(shù)在上是增函數(shù)，
故函數(shù)在上也是增函數(shù)，由，可得在R上是增函數(shù)．
，等價于，
即，∴，解得．故答案為．
【答案】
11．設(shè)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且，，，求的值．
【解析】構(gòu)造，則，所以單調(diào)遞增或為常函數(shù)，而，，所以，故，得．
【答案】
1

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