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2007年高考中的“圓錐曲線與方程”試題匯編大全
一、選擇題：
1.(2007安徽文)橢圓的離心率為（ A ）
（A） （B） （C） （D）
2.(2007安徽理)如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，
且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ D ）
（A） （B） （C） （D）
3．（2007北京文)橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.（2007福建文)以雙曲線x2-y2=2的右焦點為圓心，且與其右準線相切的圓的方程是（ B ）
A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0
5.（2007福建理)以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ A ）
A  B 
C  D 
6．（2007江蘇）在平面直角坐標系中，雙曲線中心在原點，焦點在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（A）
A． B． C． D．
7．(2007海南、寧夏文、理)已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且，則有（　C　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8.(2007湖北理)雙曲線C1：（a>0,b>0）的左準線為l,左焦點和右焦點分別為F1和F2；拋物線C2的準線為l，焦點為F2.C1和C2的一個交點為M，則等于（ A ）
A.-1 B.1 C. D.
9．（2007湖南文）設分別是橢圓的左、右焦點，P是其右準線上縱坐標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是(D )
A． B. C. D.
10．（2007湖南理）設分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ D ）
A． B． C． D．
11．（2007江西文）連接拋物線x2＝4y的焦點F與點M(1，0)所得的線段與拋物線交于點A，設點O為坐標原點，則三角形OAM的面積為（Ｂ ）
A．－1＋ B．－ C．1＋ D．＋
12．（2007江西文、理）設橢圓的離心率為e＝，右焦點為F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根分別為x1和x2，則點P(x1，x2) （ Ｃ）
A．必在圓x2＋y2＝2上 B．必在圓x2＋y2＝2外
C．必在圓x2＋y2＝2內 D．以上三種情形都有可能
13．（2007遼寧文）雙曲線的焦點坐標為（C ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2007遼寧理）設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ B ）
A． B． C． D．
15.（2007全國Ⅰ文、理）已知雙曲線的離心率為2，焦點是（-4，0），（4，0），則雙曲線方程為（ Ａ ）
（A） （B） （C） （C）
16.（2007全國Ⅰ文、理）拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l,經過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AK⊥l,滿足為K，則△AKF的面積是（Ｃ ）
（A）4 （B）3 (C) 4 (D)8
17.（2007全國Ⅱ文）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,則橢圓的離心率為（ D ）
(A) (B) (C) (D)
18.（2007全國Ⅱ文）設F1,F2分別是雙曲線x2-=1的左右焦點，若點P在雙曲線上,且，則（ B ）
(A) (B)2 (C) (D) 2
19.（2007全國Ⅱ理）設F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（ B ）
(A) (B) (C) (D)
20.（2007全國Ⅱ理）設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若=0，則|FA|+|FB|+|FC|=（ B ）
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
21．（2007山東文）設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為（ B ）
A． B． C． D．
22.（2007陜西文、理）拋物線的準線方程是（ Ｂ ）
（A） （B） （C） （D）
23.（2007陜西文、理）已知雙曲線C∶＞0,b＞0),以C的右焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是（ Ｂ ）
（A）a (B)b (C) (D)
24.（2007四川文、理）如果雙曲線＝1上一點P到雙曲線右焦點的距離是2,那么點P到y軸的距離是（ A ）
(A) (B) (C) (D)
25.（2007四川文、理）已知拋物線上存在關于直線對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于（ C ）
（A）3 （B）4 （C） （D）
26.（2007天津文、理）設雙曲線的離心率為，且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
27.（2007浙江文、理）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是準線上一點，且，，則雙曲線的離心率是（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
28.（2007重慶文）已知以F1（2,0），F2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ C ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空題：
1.（2007福建文)已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為 。
2.（2007福建理)已知正方形ABCD，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為；
3．( 2007廣東文)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線關于x軸對稱，頂點在原點O，且過點P(2,4)，則該拋物線的方程是 ．
4. (2007廣東理)在平面直角坐標系中，有一定點（2，1），若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則該拋物線的準線方程是 x= - .
5．(2007海南、寧夏文、理)已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為　　3　　．
6.（2007湖北文）過雙曲線左焦點F的直線交雙曲線的左焦點M、N兩點，F2為其右焦點，則|MF2|-|NF2|-|MN|的值為 8 。
7.（2007江蘇）在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則　　5/4　　.
8．（2007遼寧文、理）設橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點滿足，則= 2 ．
9.（2007山東理）設O是坐標原點，F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60°,則為 .
10.（2007上海文）以雙曲線的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的拋物線方程是 ．
11.（2007上海理）以雙曲線的中心為焦點，且以該雙曲線的左焦點為頂點的拋物線方程是 ．
12.（2007重慶理）過雙曲線的右焦點F作傾斜角為的直線，交雙曲線于PQ兩點，則|FP||FQ|的值為__________.
三、解答題：
1.（2007安徽文)（本小題滿分14分）設F是拋物線G:x2=4y的焦點.
　　　（Ⅰ）過點P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線方程：
（Ⅱ）設A、B為勢物線G上異于原點的兩點，且滿足,延長AF、BF分別交拋物線G于點C,D，求四邊形ABCD面積的最小值.
1.本小題主要考查拋物線的方程與性質，拋物線的切點和焦點，向量的數量積，直線與拋物線的位置關系，平均不等式等基礎知識，考查綜合分析問題、解決問題的能力，本小題滿分14分.
解：（Ⅰ）設切點知拋物線在Q點處的切線斜率為，故所求切線方程為
即
因為點P（0，-4）在切線上，
所以
所以切線方程為y=±2x-4.
(Ⅱ)設
由題設知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設k＞0.
因直線AC過焦點F（0，1），所以直線AC的方程為y=kx+1.
點A，C的坐標滿足方程組
得
由根與系數的關系知
同理可求得
當k=1時，等號成立.所以，四邊形ABCD面積的最小值為32.
2. (2007安徽理) (本小題滿分12分)如圖，曲線G的方程為y2=20（y≥0）.以原點為圓心，以t（t >0）為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點A與點B.直線AB與x軸相交于點C.
（Ⅰ）求點A的橫坐標a與點C的橫坐標c的關
系式；
（Ⅱ）設曲線G上點D的橫坐標為a＋2，求證：
直線CD的斜率為定值.
2.本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關系，考查運算能力與思維能力，綜合分析問題的能力.本小題滿分12分.
解：（Ⅰ）由題意知，A（）.
因為
由于
由點B（0，t）C（c,0）的坐標知，直線BC的方程為
又因點A在直線BC上，故有
將（1）代入上式，得
解得
（Ⅱ）因為
所以直線CD的斜率為定值.
3．（2007北京文、理)（本小題共14分）如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．
（I）求邊所在直線的方程；
（II）求矩形外接圓的方程；
（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，
求動圓的圓心的軌跡方程．
3．解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．
又因為點在直線上，
所以邊所在直線的方程為．
．
（II）由解得點的坐標為，
因為矩形兩條對角線的交點為．
所以為矩形外接圓的圓心．
又．
從而矩形外接圓的方程為．
（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
所以，
即．
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．
因為實半軸長，半焦距．
所以虛半軸長．
從而動圓的圓心的軌跡方程為．
4.（2007福建文)（本小題滿分14分）如圖，已知點F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且
·
（I）求動點P的軌跡C的方程;
（II）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.
（1）已知的值;
(2)求||·||的最小值.
4.本小題考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.
解法一：（I）設點P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：y2=4x.
(II)（1）設直線AB的方程為：
x=my+1(m≠0).
設A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.
聯立方程組,消去x得：
y2-4my-4=0,
=(-4m)2+12>0,
由得：
，整理得：
,
∴
=
=-2-
=0.
解法二：（I）由
∴·，
∴=0,
∴
所以點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x.
(II)(1)由已知
則：…………①
過點A、B分別作準l的垂線，垂足分別為A1、B1,
則有：…………②
由①②得：
（II）（2）解：由解法一：
·＝（）2|y1-yM||y2-yM|
=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|
=(1+m2)|-4+ ×4m+| =
=4(2+m2+) 4(2+2)=16.
當且僅當，即m=1時等號成立，所以·最小值為16.
5.（2007福建理)（本小題滿分12分）如圖，已知點F（1，0），直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且＝。
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知，，求的值。
5．本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．
解法一：（Ⅰ）設點，則，由得：
，化簡得．
（Ⅱ）設直線的方程為：
．
設，，又，
聯立方程組，消去得：
，，故
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，
．
所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．
（Ⅱ）由已知，，得．
則：．…………①
過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，
則有：．…………②
由①②得：，即．
6.( 2007廣東文、理)（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy巾，已知圓心在第二象限、半徑為的圓C與直線相切于坐標原點0．橢圓與圓c的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
(1)求圓C的方程； (2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.
6.【解析】(1)設圓的方程為………………………2分
依題意,,…………5分
解得,故所求圓的方程為……………………7分
(注:此問若結合圖形加以分析會大大降低運算量!)
(2)由橢圓的第一定義可得,故橢圓方程為,焦點……9分
設,依題意, …………………11分
解得或(舍去) ……………………13分
存在使得該點到右焦點F的距離等于的長。……14分
7．(2007海南、寧夏文)（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知圓的圓心為，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．
7．解：（Ⅰ）圓的方程可寫成，所以圓心為，過且斜率為的直線方程為．
代入圓方程得，
整理得．　　　①
直線與圓交于兩個不同的點等價于
，
解得，即的取值范圍為．
（Ⅱ）設，則，
由方程①，
　　　　②
又．　　　　③
而．
所以與共線等價于，
將②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故沒有符合題意的常數．
8．(2007海南、寧夏理)（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．
（I）求的取值范圍；
（II）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．
8．解：（Ⅰ）由已知條件，直線的方程為，
代入橢圓方程得．
整理得　　　①
直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，
解得或．即的取值范圍為．
（Ⅱ）設，則，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以與共線等價于，
將②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故沒有符合題意的常數．
9. （2007湖北文、理）（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于A、B兩點.
（Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB
面積的最小值;
（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC
為直徑的圓截得的張長恒為定值？
若存在，求出l的方程;若不存在，說明理由.
（此題不要求在答題卡上畫圖）

9.本小題主要考查直線、圓和拋物線平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.
解法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），可設A（x1·y1），B（x2,y2）,直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△CAN =
=p|x1-x2|=p
令a-得a=此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在.其方程為y=
即拋物線的通徑所在的直線.
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得
|AB|=
=
=
又由點到直線的距離公式得d=
從而，S△ABC=d|AB|=
=2p2
∴當k=0時，（S△ABN）min=2
(Ⅱ)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,則以AC為直徑的圓的方程為
（x-0）(x-x1)+(y-p)(y-y1)=0,將直線方程y=a代入代
x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,則
△=x-4(a-p)(a-y1)=4
設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x3,y3）,Q(x4,y4),則有
令a-此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y=
即拋物線的通徑所在的直線.
10.（2007湖南文）（本小題滿分１3分）已知雙曲線的右焦點為F，過點F的動直線與雙曲線相交與A、B兩點，點C的坐標是（1，0）.
（Ｉ）證明為常數；
（Ⅱ）若動點（其中為坐標原點），求點的軌跡方程.
10．解：由條件知，設，．
（I）當與軸垂直時，可設點的坐標分別為，，
此時．
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入，有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
于是
．
綜上所述，為常數．
（II）解法一：設，則，，
，，由得：
即
于是的中點坐標為．
當不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
當不與軸垂直時，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有
．整理得．
當時，點的坐標為，滿足上述方程．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
故點的軌跡方程是．
11．（2007湖南理）（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．
（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；
（II）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
11．解：由條件知，，設，．
解法一：（I）設，則則，，
，由得
即
于是的中點坐標為．
當不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
（II）假設在軸上存在定點，使為常數．
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
于是
．
因為是與無關的常數，所以，即，此時=．
當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，
此時．
故在軸上存在定點，使為常數．
解法二：（I）同解法一的（I）有
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以．
．
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有
．整理得．
當時，點的坐標為，滿足上述方程．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
故點的軌跡方程是．
（II）假設在軸上存在定點點，使為常數，
當不與軸垂直時，由（I）有，．
以上同解法一的（II）．
12、（2007江蘇）（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，
（1）若，求的值；（5分）
（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）
（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）
12.解：（1）設過C點的直線為，所以，即，設A，=，，
因為，所以
，即，
所以，即
所以
（2）設過Q的切線為，，所以，即，它與的交點為M，又，所以Q，因為,所以，所以M,所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。
（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，因為PQ軸，所以
因為，所以P為AB的中點。
13．（2007江西文）（本小題滿分14分） 設動點P到兩定點F1(－l，0)和F2(1，0)的距離分別為d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）如圖，過點F2的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩
點．問：是否存在λ，使△F1AB是以點B為直角定點的
等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明
理由．
13．解：（1）在中，
（小于的常數）
故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．
方程為．
（2）方法一：在中，設，，，．
假設為等腰直角三角形，則
由②與③得，
則
由⑤得，
，
故存在滿足題設條件．
方法二：（1）設為等腰直角三角形，依題設可得
所以，．
則．①
由，可設，
則，．
則．②
由①②得．③
根據雙曲線定義可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在滿足題設條件．
14．（2007江西理）（本小題滿分12分）設動點P到點A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d1和d2，∠APB＝2θ，且存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定λ的范圍，使·＝0，其中點O為坐標原點．
14．解法一：（1）在中，，即，
，即（常數），
點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．
方程為：．
（2）設，
①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．
即，因為，所以．
②當不垂直于軸時，設的方程為．
由得：，
由題意知：，
所以，．
于是：．
因為，且在雙曲線右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）設，，的中點為．
①當時，，
因為，所以；
②當時，．
又．所以；
由得，由第二定義得
．
所以．
于是由得
因為，所以，又，
解得：．由①②知．
15．（2007遼寧文、理）（本小題滿分14分）已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設圓是的內接圓（點為圓心）
（I）求圓的方程；
（II）設圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．
15.本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質等基本知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。滿分14分。
（Ⅰ）解法一：設A、B兩點坐標分別為（），（），由題設知
，
解得，
所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。
設圓心C的坐標為（r,0），則，所以圓C的方程為
……4分
解法二：設A、B兩點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），由題設知
又因為，可得，即
。
由，可知x1＝0，故A、B兩點關于x軸對稱，所以圓心C在x軸上，
設C點的坐標為（r,0），則A點的坐標為（），于是有，解得r=4，所以圓C的方程為
。……4分
（Ⅱ）解：設∠ECF＝2a，則
……8分
在Rt△PCE中，，由圓的幾何性質得
≤≥ 10分
所以≤≤，由此可得
≤≤.
故的最大值為，最小值為. 14分
16.（2007全國Ⅰ文、理）(本小題滿分12分)已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P.
(Ⅰ)設P點的坐標為（x0，y0），證明：；
(Ⅱ)求四過形ABCD的面積的最小值.
16.證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由知點在以線段為直徑的圓上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）當的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．
設，，則
，，
；
因為與相交于點，且的斜率為．
所以，．
四邊形的面積
．
當時，上式取等號．
（ⅱ）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積．
綜上，四邊形的面積的最小值為．
17.（2007全國Ⅱ文、理）（本小題滿分12分）在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線：相切
（1）求圓O的方程
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求
的取值范圍。
17．解：（1）依題設，圓的半徑等于原點到直線的距離，
即 ．
得圓的方程為．
（2）不妨設．由即得
．
設，由成等比數列，得
，
即 ．


由于點在圓內，故
由此得．
所以的取值范圍為．
18．（2007山東文、理）（本小題滿分14分） 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
18．解：（1）由題意設橢圓的標準方程為，
由已知得：，

橢圓的標準方程為．
（2）設．
聯立
得 ，則

又．
因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，
，即．
．
．
．
解得：，且均滿足．
當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；
當時，的方程為，直線過定點．
所以，直線過定點，定點坐標為．
19.（2007陜西文、理）(本小題滿分14分)已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.
19．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，依題意
，所求橢圓方程為．
（Ⅱ）設，．
（1）當軸時，．
（2）當與軸不垂直時，
設直線的方程為．
由已知，得．
把代入橢圓方程，整理得，
，．
．
當且僅當，即時等號成立．當時，，
綜上所述．
當最大時，面積取最大值．
20．（2007上海文）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分9分．
我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．
如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．
（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設是“果圓”的半橢圓
上任意一點．求證：當取得最小值時，
在點或處；
（3）若是“果圓”上任意一點，
求取得最小值時點的橫坐標．
20．解：（1） ，
，
于是，
所求“果圓”方程為，．
（2）設，則

，
， 的最小值只能在或處取到．
即當取得最小值時，在點或處．
（3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

．
當，即時，的最小值在時取到，
此時的橫坐標是．
當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．
綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．
21（2007上海理）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．
我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．
如圖，點，，是相應橢圓的焦點，，和，分別是“果圓”與，軸的交點．
（1）若是邊長為1的等邊三角形，求
“果圓”的方程；
（2）當時，求的取值范圍；
（3）連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”
的弦．試研究：是否存在實數，使斜率為的“果圓”
平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，
求出所有可能的值；若不存在，說明理由．
21． 解：（1） ，
，
于是，所求“果圓”方程為
，．
（2）由題意，得 ，即．
，，得．
又． ．
（3）設“果圓”的方程為，．
記平行弦的斜率為．
當時，直線與半橢圓的交點是
，與半橢圓的交點是．
的中點滿足
得 ．
， ．
綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．
當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．
由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．
22.（2007四川文）(本小題滿分12分)求F1、F2分別是橫線的左、右焦點.
（Ⅰ）若r是第一象限內該數軸上的一點，其PF＋PF＝－，求點P的作標；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點A、B，且∠ADB為銳角（其中O為作標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.
22.本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，設，則
由題意知，即，又 ∴
從而，而 ∴
故點的坐標是
解法二：易知，所以，設，則
（以下同解法一）
（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，
聯立，消去，整理得：
∴
由得：或 ①
又
∴
又
∵，即 ∴ ②
故由①、②得或
23.（2007四川理）（本小題滿分12分）設、分別是橢圓的左、右焦點.
（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.
23.本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，設，則
因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值
當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值
解法二：易知，所以，設，則
（以下同解法一）
（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，
聯立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
24.（2007天津文）（本小題滿分14分）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則．
24.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．滿分14分．
（Ⅰ）證法一：由題設及，，不妨設點，其中
，由于點在橢圓上，有，
，
解得，從而得到，
直線的方程為，整理得
．
由題設，原點到直線的距離為，即
，
將代入原式并化簡得，即．
證法二：同證法一，得到點的坐標為，
過點作，垂足為，易知，故
由橢圓定義得，又，所以
，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圓上的任意點處的切線方程為．
當時，圓上的任意點都在橢圓內，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組
的解．當時，由①式得
代入②式，得，即
，
于是，
．
若，則
．
所以，．由，得．在區間內此方程的解為．
當時，必有，同理求得在區間內的解為．
另一方面，當時，可推出，從而．
綜上所述，使得所述命題成立．
25.（2007天津理）（本小題滿分14分）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）設為橢圓上的兩個動點，，過原點作直線的垂線，垂足為，求點的軌跡方程．
25．本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．滿分14分．
（Ⅰ）證法一：由題設及，，不妨設點，其中．由于點在橢圓上，有，即．
解得，從而得到．
直線的方程為，整理得．
由題設，原點到直線的距離為，即，
將代入上式并化簡得，即．
證法二：同證法一，得到點的坐標為．
過點作，垂足為，易知，
故．
由橢圓定義得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：設點的坐標為．
當時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．
點的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．將③式和④式代入得，
．
將代入上式，整理得．
當時，直線的方程為，的坐標滿足方程組
所以，．
由知，即，
解得．
這時，點的坐標仍滿足．
綜上，點的軌跡方程為　．
解法二：設點的坐標為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為．
記（顯然），點的坐標滿足方程組
由①式得．　　　　　　③
由②式得．　　　④
將③式代入④式得．
整理得，
于是．　　　⑤
由①式得．　　　⑥
由②式得．　　⑦
將⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是．　　　⑧
由知．將⑤式和⑧式代入得，
．
將代入上式，得．
所以，點的軌跡方程為．
26.（2007浙江文、理）（本題14分）如圖，直線與橢圓交于兩點，記的面積為．
（I）求在，的條件下，的最大值；
（II）當，時，求直線的方程．
26.本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：設點的坐標為，點的坐標為，
由，解得，
所以
．
當且僅當時，取到最大值．
（Ⅱ）解：由
得，
，
． ②
設到的距離為，則
，
又因為，
所以，代入②式并整理，得
，
解得，，代入①式檢驗，，
故直線的方程是
或或，或．
27.（2007重慶文）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）
如題（21）圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。
（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。
27.（本小題12分）
（Ⅰ）解：設拋物線的標準方程為，
則，從而
因此焦點的坐標為（2，0）.
又準線方程的一般式為。
從而所求準線l的方程為。
答（21）圖
（Ⅱ）解法一：如圖（21）圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
記A、B的橫坐標分別為xxxz，則
|FA|＝|AC|＝解得，
類似地有，解得。
記直線m與AB的交點為E，則
所以。
故。
解法二：設，，直線AB的斜率為，則直線方程為。
將此式代入,得，故。
記直線m與AB的交點為，則
，
，
故直線m的方程為.
令y=0,得P的橫坐標故
。
從而為定值。
28.（2007重慶理） (本小題滿分12分)如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），右準線l的方程為：x = 12。
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上任取三個不同點，使，證明
為定值，并求此定值。
28.（本小題12分）
解：（I）設橢圓方程為．
因焦點為，故半焦距．
又右準線的方程為，從而由已知
，
因此，．
故所求橢圓方程為．
（II）記橢圓的右頂點為，并設（1，2，3），不失一般性，
假設，且，．
又設點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有
．
解得 ．
因此
，
而
，
故為定值．
2008年全國各地高考數學試題及解答分類匯編大全
（12圓錐曲線與方程）
一、選擇題：
1．（2008北京理）若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為（ D ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
2．(2008福建文、理)雙曲線的兩個焦點為，若P為其上的一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、(2008海南、寧夏文)雙曲線的焦距為（ D ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
4、(2008海南、寧夏理)已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（ A ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
5. (2008湖北文、理)如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①②③④
其中正確式子的序號是（ B ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
6．(2008湖南文) 雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準線
的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是( C )
A． B． C． D．
7. (2008湖南理)若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( B. )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
8．(2008江西文、理) 已知是橢圓的兩個焦點．滿足·＝0的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（C ）
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
9.(2008遼寧文) 已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，則( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．(2008遼寧理) 已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ A ）
A． B． C． D．
11．(2008全國Ⅰ卷文)若直線與圓有公共點，則（ D ）
A． B． C． D．
12．(2008全國Ⅱ卷文)設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
13．(2008全國Ⅱ卷理)設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ）
A． B． C． D．
14.(2008山東理)設橢圓C1的離心率為，焦點在X軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點
到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為（ A ）
（A） (B) (C) (D)
15.(2008陜西文、理) 雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
16.(2008上海文)設是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于（D）
A．4 B．5 C．8 D．10
17．(2008四川文) 已知雙曲線的左右焦點分別為，為的右支上一點，且，則的面積等于( C )
（Ａ）　　（Ｂ）　　 （Ｃ）　 （Ｄ）
17．【解】：∵雙曲線中
∴
∵ ∴
作邊上的高，則 ∴
∴的面積為 故選C
18．(2008四川理) 已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為( B )
（Ａ）　 （Ｂ）　 （Ｃ）　　（Ｄ）
18．【解】：∵拋物線的焦點為，準線為 ∴
設，過點向準線作垂線，則
∵，又
∴由得，即，解得
∴的面積為 故選B
19(2008天津文)設橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，
離心率為，則此橢圓的方程為（ B ）
A． B． C． D．
20. (2008天津理)設橢圓上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P點到右準線的距離為（ B ）
(A) 6 (B) 2 (C) (D)
21.（2008浙江文、理）若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是（ D ）
（A）3 （B）5 （C） （D）
22.（2008浙江理）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ B ）
（A）圓 （B）橢圓 （C）一條直線 （D）兩條平行直線
23. (2008重慶文)若雙曲線的左焦點在拋物線y2=2px
的準線上，則p的值為 (C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
24. (2008重慶理)已知雙曲線（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y=kx(k＞0),離心率e=,則雙曲線方程為 (C )
（A）－=1 (B) (C) (D)
二、填空題：
1.（2008安徽文）已知雙曲線的離心率是。則＝ 4
2. (2008福建文)若直線與圓沒有公共點，則實數m的取值范圍是
3、(2008海南、寧夏理)過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為______________
4、(2008海南、寧夏文)過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為______________
5. (2008湖南理)已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=
過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 .
6. (2008江蘇)在平面直角坐標系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ．
7．(2008江西文)已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 ．
8．(2008江西理)過拋物線的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸左側)，則＝ ．
9．(2008全國Ⅰ卷文)在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 ．
10．(2008全國Ⅰ卷文、理)已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為 2 ．
11．(2008全國Ⅰ卷理)在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 ．
12．(2008全國Ⅱ卷理)已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點．設，則與的比值等于 ．
13．(2008全國Ⅱ卷文)已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于 2 ．
13.(2008山東文)已知圓．以圓
與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述
條件的雙曲線的標準方程為
14．(2008上海文)若直線經過拋物線的焦點，則實數 -1. ．
15.(2008上海理)某海域內有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現有船只經過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導航燈的仰角分別為θ1、θ2，那么船只已進入該淺水區的判別條件是
16.(2008天津理)已知圓C的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱.直線與圓C相交于兩點，且,則圓C的方程為 .
17. （2008浙江文、理）已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點。若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|= 8 。
三、解答題：
1.（2008安徽文）設橢圓其相應于焦點的準線方程為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證：
;
（Ⅲ）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值
1.解 ：（1）由題意得：

橢圓的方程為

(2)方法一：
由（1）知是橢圓的左焦點，離心率
設為橢圓的左準線。則
作，與軸交于點H(如圖)
點A在橢圓上




同理
。
方法二：
當時，記，則
將其代入方程 得
設 ，則是此二次方程的兩個根.


................(1)
代入（1）式得 ........................(2)
當時， 仍滿足（2）式。

（3）設直線的傾斜角為，由于由（2）可得
，

當時，取得最小值
2.（2008安徽理）設橢圓過點，且著焦點為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上.
2.解 (1)由題意：
，解得，所求橢圓方程為
(2)方法一: 設點Q、A、B的坐標分別為。
由題設知均不為零，記,則且
又A，P，B，Q四點共線，從而
于是 ，
，
從而
，（1） ，（2）
又點A、B在橢圓C上，即

（1）+（2）×2并結合（3），（4）得
即點總在定直線上
方法二:設點，由題設，均不為零。
且
又 四點共線，可設,于是
（1）
（2）
由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得
即點總在定直線上
3.（2008北京文）已知△ABC的頂點A，B在橢圓上，C在直線l:y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（Ⅱ）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程.
3. 解：（Ⅰ）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x.
設A，B兩點坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).
由得
所以
又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，
所以
（Ⅱ）設AB所在直線的方程為y=x+m.
由得
因為A，B在橢圓上，
所以
　　　 設A，B兩點坐標分別為（x1,y1），（x2,y2）.
則
　　　 所以
　　　 又因為BC的長等于點（0,m）到直線l的距離，即
所以
　　　 所以當m=-1時，AC邊最長.（這時）
此時AB所在直線的方程為y=x-1.
4.（2008北京理）已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．
（Ⅰ）當直線過點時，求直線的方程；
（Ⅱ）當時，求菱形面積的最大值．
4．解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．
因為四邊形為菱形，所以．
于是可設直線的方程為．
由得．
因為在橢圓上，
所以，解得．
設兩點坐標分別為，
則，，，．
所以．
所以的中點坐標為．
由四邊形為菱形可知，點在直線上，
所以，解得．
所以直線的方程為，即．
（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且，
所以．
所以菱形的面積．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以當時，菱形的面積取得最大值．
5. (2008福建文) 如圖，橢圓的一個焦點為F（1，0）且過點（2，0）。（1）求橢圓C的方程；（2）若AB為垂直與x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于N，直線AF與BN交于點M。
①求證：點M恒在橢圓C上；②求面積的最大值。
5. 解：（1）由題設a=2,c=1,從而：所以方程為：
（2）①有F(1,0),N(4,0); 設A（m,n），則B（m,-n）,
AF與BN得方程分別為：，
設交點M坐標為：，則
； 點M恒在橢圓C上
②設AM的方程為x=ty+1,帶入，得：
設，則有,
則
令，則
所以當時，有最大值3，此時AM過點F。
有最大值為
6.(2008福建理)如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.
　　　
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
　　（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有,求a的取值范圍.
6. 本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分.
解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，
因為△MNF為正三角形，
所以,
即1＝
因此，橢圓方程為
(Ⅱ)設
(ⅰ)當直線 AB與x軸重合時，
(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時，
設直線AB的方程為：
整理得
所以
因為恒有，所以AOB恒為鈍角.
即恒成立.



又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立，
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對mR恒成立.
當mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0.
a2因為a>0,b>0,所以a0,
解得a>或a<(舍去)，即a>,
綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）當直線l垂直于x軸時，
x=1代入=1.
因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x1,y1）, B（x2,y2）.
設直線AB的方程為y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=
因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對kR恒成立.
①當a2- a2 b2+b2>0時，不合題意；
②當a2- a2 b2+b2=0時，a=;
③當a2- a2 b2+b2<0時，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.
綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.
7. (2008廣東文、理)設b>0，橢圓方程為，拋物線方程為.如圖4所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在
第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經
過橢圓的右焦點.
(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;
(2)設A,B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在
拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？
若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由
（不必具體求出這些點的坐標）.
7.解: (1)解方程組得,
所以點G的坐標為G(4,b+2)，
由，得，求導數得，
于是，拋物線在點G的切線l的斜率為，
又橢圓中，即c=b,所以橢圓的右焦點為（b,0）
由切線l過點，可知，解得b=1.
所以滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和
(2) 在拋物線上存在點P，使得△ABP為直角三角形。且這樣的點有4個。
證明：分別過點A、B做y軸的平行線，交拋物線于M，N點，則∠MAB=90O，∠NBA=90O，
顯然M，N在拋物線上，且使得△ABM，△ABN為直角三角形。
若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和，
。
關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，
綜上所述, 滿足條件的點共有4個。
8、(2008海南、寧夏理)在直角坐標系xOy中，橢圓C1：的左、右焦點分別為F1、F2。F2也是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且。
（1）求C1的方程；（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A、B兩點，若·=0，求直線l的方程。
8．解：（Ⅰ）由：知．
設，在上，因為，所以，
得，．
在上，且橢圓的半焦距，于是
消去并整理得
，
解得（不合題意，舍去）．
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點，
因為，所以與的斜率相同，
故的斜率．
設的方程為．
由消去并化簡得
．
設，，
，．
因為，所以．
．
所以．
此時，
故所求直線的方程為，或．
9. (2008湖北文)已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程
9.本小題主要考查雙曲線的定義、標準方程、直線和雙曲線位置關系等平面解析幾何的基礎知識，考查待寫系數法、不等式的解法以及綜合運用數學知識進行推理運算的能力.
（滿分13分）
(Ⅰ)解法1：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0＜a2＜4＝，
將點（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求雙曲線方程為
解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴雙曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(－)∪(1,).
設E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
而原點O到直線l的距離d＝,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝，即解得k=±,
滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和
解法2：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①
∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴
∴k∈(－)∪(1,). ②
設E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得
|x1－x2|＝. ③
當E、F在同一支上時（如圖1所示），
SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；
當E、F在不同支上時（如圖2所示），
SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝
綜上得SΔOEF＝，于是
由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.
若SΔOEF＝2，即,解得k=±,滿足②.
故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和y=
10. (2008湖北理)如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，
∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.
若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍.
10.本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）
（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲線C的方程為.
解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.
則由　 解得a2=b2=2,
∴曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴ 　　
∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設E（x，y），F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是
｜EF｜＝
＝
而原點O到直線l的距離d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面積不小于2,即S△OEF，則有
③
綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴ .
∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得
｜x1-x2｜= ③
當E、F在同一去上時（如圖1所示），
S△OEF＝
當E、F在不同支上時（如圖2所示）.
S△ODE=
綜上得S△OEF＝于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面積不小于2
　④
綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.
11.(2008湖南文)已知橢圓的中心在原點，一個焦點是，且兩條準線間的距離為。
（I）求橢圓的方程；
（II）若存在過點A（1，0）的直線，使點F關于直線的對稱點在橢圓上，
求的取值范圍。
11.解：（I）設橢圓的方程為
由條件知且所以
故橢圓的方程是
（II）依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是
設點關于直線的對稱點為則
解得
因為點在橢圓上，所以即
設則
因為所以于是,
當且僅當
上述方程存在正實根,即直線存在.
解得所以
即的取值范圍是
12. (2008湖南理)若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”.已知當x>2時，點P（x,0）
存在無窮多條“相關弦”.給定x0>2.
（I）證明：點P（x0,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；
(II) 試問：點P（x0,0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.
12. 解: （I）設AB為點P（x0,0）的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2,
兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20.
設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（xm, ym）,則
k=.從而AB的垂直平分線l的方程為
又點P（x0,0）在直線上，所以
而于是故點P（x0,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，
整理得 （·）
則是方程（·）的兩個實根，且
設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則

因為0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設t=,則t(0,4x0-8).
記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當t=2(x0-3),即=2(x0-3)時,
l有最大值2(x0-1).
若2所以0綜上所述，當x0>3時，點P（x0,0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值
為2（x0-1）；當2< x03時，點P（x0,0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值.
13．(2008江西文)已知拋物線和三個點，過點的一條直線交拋物線于、兩點，的延長線分別交曲線于．
（1）證明三點共線；
（2）如果、、、四點共線，問：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于、的交點？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點到直線的距離；若不存在，請說明理由．
13．（1）證明：設，
則直線的方程：
即：
因在上，所以①
又直線方程：
由得：
所以
同理，
所以直線的方程：
令得
將①代入上式得，即點在直線上
所以三點共線
（2）解：由已知共線，所以
以為直徑的圓的方程：
由得
所以（舍去），
要使圓與拋物線有異于的交點，則
所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點
則，所以交點到的距離為
14．(2008江西理) 設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點(，0)．
（1）過點作直線的垂線，垂足為，
試求△的重心所在的曲線方程；
（2）求證：三點共線．
14..解：（1）設，，∵AN⊥直線，則
∴，∴，
設，則
，解得
，代入雙曲線方程，并整理得，
即G點所在曲線方程為
（2）設，，PA斜率為k，則切線PA的方程為：
由，消去y并整理得：
，因為直線與雙曲線相切，從而
△= = 0，及，解得
因此PA的方程為：
同理PB的方程為：
又在PA、PB上，
∴
即點，都在直線上，
又也在上，
∴A、M、B三點共線。
15．(2008遼寧文) 在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？
15．本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．
解：
（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為． 4分
（Ⅱ）設，其坐標滿足
消去y并整理得，
故． 6分
，即．
而，
于是．
所以時，，故． 8分
當時，，．
，
而
，
所以． 12分
16．(2008遼寧理) 在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有||>||．
16．本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．
解：
（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為． 3分
（Ⅱ）設，其坐標滿足
消去y并整理得，
故． 5分
若，即．
而，
于是，
化簡得，所以． 8分
（Ⅲ）


．
因為A在第一象限，故．由知，從而．又，
故，
即在題設條件下，恒有． 12分
17．(2008全國Ⅰ卷文、理)雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．
17．解：（1）設，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得
則離心率．
（2）過直線方程為
與雙曲線方程聯立
將，代入，化簡有
將數值代入，有
解得
最后求得雙曲線方程為：．
18．(2008全國Ⅱ卷文、理)設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．
18．（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，
直線的方程分別為，． 2分
如圖，設，其中，
且滿足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化簡得，
解得或． 6分
（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，
． 9分
又，所以四邊形的面積為
，
當，即當時，上式取等號．所以的最大值為． 12分
解法二：由題設，，．
設，，由①得，，
故四邊形的面積為
9分
，
當時，上式取等號．所以的最大值為． 12分
19. (2008山東文)已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．
（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．
19．解：（Ⅰ）由題意得
又，
解得，．
因此所求橢圓的標準方程為．
（Ⅱ）（1）假設所在的直線斜率存在且不為零，設所在直線方程為，
．
解方程組得，，
所以．
設，由題意知，
所以，即，
因為是的垂直平分線，
所以直線的方程為，
即，
因此，
又，
所以，
故．
又當或不存在時，上式仍然成立．
綜上所述，的軌跡方程為．
（2）當存在且時，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
解法二：因為，
又，，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，
此時面積的最小值是．
當，．
當不存在時，．
綜上所述，的面積的最小值為．
20.(2008山東理) 如圖，設拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.
20．（Ⅰ）證明：由題意設
由得，則
所以
因此直線MA的方程為
　　　　　　　　直線MB的方程為
所以 ①
②
由①、②得　　
因此　，即
所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x0=2時，
將其代入①、②并整理得：
　
　
　　　　　所以　x1、x2是方程的兩根，
因此
又
所以
由弦長公式得

　　　　又，
所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或
（Ⅲ）解：設D(x3,y3)，由題意得C(x1+ x2, y1+ y2),
則CD的中點坐標為
　設直線AB的方程為
　由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，
　代入得
　若D（x3,y3）在拋物線上，則
　因此　x3=0或x3=2x0.
即D(0，0)或
（1）當x0=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意.
（2）當，對于D(0，0)，此時
　　又AB⊥CD，
所以
即矛盾.
對于因為此時直線CD平行于y軸，
又
所以　　直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，
所以時，不存在符合題意的M點.
綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意.
21.(2008陜西文、理)已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．
（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；
（Ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
21. 解法一：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，
由韋達定理得，，
，點的坐標為．
設拋物線在點處的切線的方程為，
將代入上式得，
直線與拋物線相切，
，．
即．
（Ⅱ）假設存在實數，使，則，又是的中點，
．
由（Ⅰ）知
．
軸，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如圖，設，把代入得
．由韋達定理得．
，點的坐標為．，，
拋物線在點處的切線的斜率為，．
（Ⅱ）假設存在實數，使．
由（Ⅰ）知，則
，
，，解得．
即存在，使．
22．(2008上海文) 已知雙曲線．
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）已知點的坐標為．設是雙曲線上的點，是點關于原點的對稱點．
記．求的取值范圍；
（3）已知點的坐標分別為，為雙曲線上在第一象限內的點．記為經過原點與點的直線，為截直線所得線段的長．試將表示為直線的斜率的函數．
22、【解】（1）所求漸近線方程為 ……………...3分
（2）設P的坐標為，則Q的坐標為， …………….4分

……………7分

的取值范圍是 ……………9分
（3）若P為雙曲線C上第一象限內的點，
則直線的斜率 ……………11分
由計算可得，當
當 ……………15分
∴ s表示為直線的斜率k的函數是….16分
23.(2008上海理)設P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經過原點與點(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異于原點的交點
⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點Q的坐標
⑵已知點P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上
⑶已知動點P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點Q始終落在一條關于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由
23．解
（1）當時，
解方程組 得 即點的坐標為
（2）【證明】由方程組 得 即點的坐標為
時橢圓上的點，即
，因此點落在雙曲線上
（3）設所在的拋物線方程為
將代入方程，得，即
當時，，此時點的軌跡落在拋物線上；
當時， ，此時點的軌跡落在圓上；
當時，，此時點的軌跡落在橢圓上；
當時，此時點的軌跡落在雙曲線上；
24．(2008四川文)設橢圓的左右焦點分別為，離心率，點到右準線為的距離為
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設是上的兩個動點，，
證明：當取最小值時，
24．【解】：因為，到的距離，所以由題設得
解得
由，得
（Ⅱ）由得，的方程為
故可設
由知知
得，所以

當且僅當時，上式取等號，此時
所以，

【點評】：此題重點考察橢圓基本量間的關系，進而求橢圓待定常數，考察向量與橢圓的綜合應用；
【突破】：熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中應靈活應用。
25．(2008四川理) 設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線。
25．【解】：由與，得
，的方程為
設
則
由得 ①
（Ⅰ）由，得
②
③
由①、②、③三式，消去，并求得
故
（Ⅱ）
當且僅當或時，取最小值
此時，
故與共線。
【點評】：此題重點考察橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數，考察向量的綜合應用；
【突破】：熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用。
26．(2008天津文、理)已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．
26．本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：設雙曲線的方程為，由題設得
解得
所以雙曲線的方程為．
（Ⅱ）解：設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得
．
此方程有兩個不等實根，于是，且
．整理得
． ③
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足
，．
從而線段的垂直平分線的方程為
．
此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得
．
整理得
，．
將上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范圍是
27.（2008浙江文、理）已知曲線C是到點P（）和到直線距離相等的點的軌跡。是過點Q（-1，0）的直線，M是C上（不在上）的動點；A、B在上，軸（如圖）。
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線的方程，使得為常數
27．本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置
關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．
（Ⅰ）解：設為上的點，則
，
到直線的距離為．
由題設得．
化簡，得曲線的方程為．
（Ⅱ）解法一：
設，直線，則
，從而．
在中，因為
，
．
所以 .
，
．
當時，，
從而所求直線方程為．
解法二：設，直線，則，從而
．
過垂直于的直線．
因為，所以，
．
當時，，
從而所求直線方程為．
28.(2008重慶文) 如題（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：

（Ⅰ）求點P的軌跡方程;
（Ⅱ）設d為點P到直線l： 的距離，若,求的值.
28.（本小題12分）
解：（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線.
因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=,
所以雙曲線的方程為x2-=1.
(II)解法一：
由（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線.
因此半焦距e=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=.
R所以雙曲線的方程為x2-=1.
(II)解法一：
由（I）及答（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2, ①
知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2. ②
將②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以
|PN|=.
因為雙曲線的離心率e==2,直線l:x=是雙曲線的右準線，故=e=2,
所以d=|PN|,因此
解法：
設P（x,y），因|PN|1知
|PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,
故P在雙曲線右支上，所以x1.
由雙曲線方程有y2=3x2-3.
因此
從而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.
所以x=(舍去x=).
有|PM|=2x+1=
d=x-=.
故
29. (2008重慶理)如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若,求點P的坐標.
29.（本小題12分）
解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓.
因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸
b=，
所以橢圓的方程為
(Ⅱ)由得
①
因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構成三角形.在△PMN中，
②
將①代入②，得

故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上.
由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿足，所以
由方程組 解得
即P點坐標為

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