資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函 數
第三節 反比例函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數的圖象與性質 ☆☆ 吉林中考中，有關反比例函數的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握反比例函數的圖象與性質、反比例函數解析式、一次函數與反比例函數的綜合問題、反比例函數的應用等考點。
考點2 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義） ☆☆
考點3 一次函數與反比例函數的綜合問題 ☆☆☆
考點4 反比例函數與幾何圖形結合 ☆
考點5 反比例函數的實際應用 ☆
■考點一　反比例函數的圖象與性質
1.反比例函數的概念：一般地，形如（為常數，）的函數稱為 .反比例函數的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.
2.反比例函數的圖象與性質
圖象特征 1）反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸． 2）反比例函數的圖象 ，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．
性質 表達 式 （為常數，）
圖象
k>0 k<0
經過 象限 一、三象限（x、y同號） 二、四象限（x、y異號）
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
對稱性 ①圖象關于 對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上; ②圖象關于直線 對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（b，a）在雙曲線的另一支上; ③圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-b，-a）在雙曲線的另一支上. 即：反比例函數的圖象關于 成軸對稱,關于 成中心對稱.
反比例函數解析式的確定方法 待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟： 1）設反比例函數的解析式為（k為常數，k≠0）； 2）把已知的一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數k的方程； 3）解方程求出待定系數k； 4）將所求的k值代入所設解析式中. 【說明】由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．
■考點二　反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1.反比例函數解析式的特征: ①等號 是函數，等號 是一個分式；
②；
③分母中含有自變量x，且指數為1.
2．待定系數法：確定解析式的方法仍是 ，由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要 ，即可求出k的值，從而確定其解析式．
3．待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟
（1）設反比例函數解析式為 （k≠0）；
（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于 的方程；
（3）解這個方程求出待定系數k；
（4）將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式．
■考點三　一次函數與反比例函數的綜合問題
1.涉及自變量取值范圍
當一次函數與反比例函數相交時，聯立 ，構造 ，然后求出 ．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍．例如，如下圖，當y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB2.求一次函數與反比例函數的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由 來決定．
①k值同號，兩個函數必有 ；
②k值異號，兩個函數可無交點，可有 ；
2）從計算上看， 的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
■考點四　反比例函數與幾何圖形結合
1． 反比例函數中k的幾何意義
2．解決面積問題常用結論：
當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積 的形式來求解．
（1）正比例函數與一次函數所圍成的 ．如圖①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|；
（2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，則S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝；
（3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝．
■考點五　反比例函數的實際應用
1.用反比例函數解決實際問題的步驟：
1） ：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；
2） ：根據常量與變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示；
3） ：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數；
4） ：寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；
5） ：用函數解析式去解決實際問題．
2.利用反比例函數解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的 ；
2）注意在自變量和函數值的取值上的 ；
3）問題中出現的不等關系轉化成 來解，然后在作答中說明．
■易錯提示
1. 反比例函數（）的自變量的取值為一切非零實數，函數的取值是一切非零實數.
2. 反比例函數的表達式中，分子是不為零的常數k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．
3. 反比例函數圖象上的點的橫縱坐標之積是定值k.
4. 反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
5. 反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。
6. 雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．
7.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；
8.利用函數圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
■考點一　反比例函數的圖象與性質
◇典例1： （2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統考期末）下列關于反比例函數的描述中，正確的是（ ）
A．圖象在第一、三象限 B．點在反比例函數的圖象上
C．當時，隨的增大而增大 D．當時，
◆變式訓練
1．（2023上·遼寧丹東·九年級校考期中）已知反比例函數的圖象上有三個點、、，若，則，，的大小關系是( )
A． B． C． D．
2．（2022上·廣東東莞·九年級東莞中學南城學校校考期末）若點，都在反比例函數的圖象上，則，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
■考點二　反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
◇典例2：（2023上·安徽亳州·九年級校聯考期末）若反比例函數的圖象經過點，則k的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
◆變式訓練
1．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）反比例函數一定經過的點是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山東泰安·九年級校考階段練習）如圖，菱形在平面直角坐標系中，邊在x軸的負半軸上，點C在反比例函數的圖象上．若，，則反比例函數的解析式為（ ）
A． B． C． D．
■考點三　一次函數與反比例函數的綜合問題
◇典例3：（2021上·北京海淀·九年級北大附中校考階段練習）一次函數與反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·黑龍江綏化·九年級統考期末）在同一直角坐標系中，若，則函數與的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學校考階段練習）小明在學習了一次函數、二次函數和反比例函數后，對從解析式的角度研究函數有了新的體會．現有函數（其中為常數，且），經小明研究得出了下面幾個關于函數圖象特征的結論，其中錯誤的是（ ）
A．經過原點 B．不經過第二、四象限
C．關于直線對稱 D．與直線有三個交點
■考點四　反比例函數與幾何圖形結合
◇典例4：（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知點A在反比例函數上，點B，C在x軸上，使得，點D在線段上，也在反比例函數的圖象上，且滿足，連接并延長交y軸于點E，若的面積為6，則k的值為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，的直角邊在x軸正半軸上，斜邊上的中線反向延長線交y軸負半軸于點E，雙曲線的圖象經過點A，若，則反比例函數的表達式為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考期中）如圖，已知，．以線段為邊，在第一象限內作正方形，點C落在函數的圖象上，將正方形沿x軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在函數的圖象上的點處，則a的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
■考點五　反比例函數的實際應用
◇典例5：（2022·山西大同·校聯考三模）如圖1是一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖2是該臺燈的電流．與電阻成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（　　）

A．當時，
B．I與R的函數關系式是
C．當時，
D．當時，I的取值范圍是
◆變式訓練
1．（2023上·湖南婁底·九年級校考期中）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓（單位：）是氣體體積（單位：）的反比例函數，其圖象如圖所示．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應（ ）
A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于
2．（2024上·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學校考階段練習）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．若不超過為安全電流，則電阻的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·吉林長春·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，軸于點，點是線段上的點，連結．點在線段上，且．函數的圖象經過點．當點在線段上運動時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數（，）的圖象上，其縱坐標為2，過點P作//軸，交x軸于點Q，將線段繞點Q順時針旋轉60°得到線段．若點M也在該反比例函數的圖象上，則k的值為（ ）
A． B． C． D．4
3．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點、在函數的圖象上，分別以、為圓心，為半徑作圓，當與軸相切、與軸相切時，連結，，則的值為（ ）
A．3 B． C．4 D．6
4．（2023·吉林長春·吉林省第二實驗學校校考二模）如圖，已知正方形的面積為4，它的兩個頂點B，D是反比例函數的圖象上兩點．若點D的坐標是，則的值為（ ）

A．3 B． C．2 D．
5．（2023·吉林長春·校考模擬預測）如圖，平行四邊形的頂點A在反比例函數的圖象上，點B在y軸上，點C、點D在x軸上，與y軸交于點E，若，則k的值為（ ）

A．3 B． C．6 D．
6．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點，直角頂點在軸上，雙曲線交邊于點，．若，則的值為（ ）

A．3 B．4 C．8 D．12
7．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖，反比例函數的圖象經過菱形的頂點A，B兩點，若軸，菱形的面積為12，點A的縱坐標為1，則k的值為（ ）

A． B． C．6 D．
8．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）如圖，的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B、C在第一象限，反比例函數的圖象經過點C，的圖象經過點B．若，則k的值為( )

A． B．2 C． D．3
9．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．若反比例函數的圖像繞著原點逆時針旋轉后與的邊有公共點，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
10．（2022·吉林長春·統考一模）若矩形的面積為，則矩形的長y關于寬的函數關系式為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·吉林松原·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，的直角頂點在軸上，反比例函數的圖象經過邊的中點，若點在該反比例函數的圖象上，則的面積為 ．
12．（2021·吉林長春·統考二模）在平面直角坐標系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數（x＞0）的圖像經過A和B 兩點其中A（2，m），且點B的縱坐標為n，則n＝ ．
13．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在中，，，．正方形的邊長為，邊和邊都在直線l上，點E和點A重合．正方形以速度沿直線l向右運動，當點G在邊上時，停止運動，設正方形的運動時間為，正方形與的重疊部分的面積為S．

(1)當時，______；
(2)當點G在邊上時，_______；
(3)求S與t之間的函數解析式．
14．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地，如圖，線段表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系；線段表示轎車離甲地距離y（千米〉與時間x（（小時）之間的函數關系．點C在線段上，請根據圖象解答下列問題：
(1)轎車的速度是___________千米/小時．
(2)求轎車出發后，轎車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系式．
(3)在整個過程中，當轎車與貨車之間的距為30千米時，直接寫出x的值．
15．（2022·吉林長春·統考模擬預測）有甲、乙兩個港口，一艘客船從甲港口出發，順流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙兩個港口之間順流航行的速度是每小時32千米.客船距乙港口的距離y（千米）與客船行駛的時間x（小時）之間的函數關系如圖所示.
(1)甲、乙兩個港口的距離是_________千米.
(2)求y與x之間的函數關系式.
(3)甲、乙兩個港口之間有一個燈塔P，若客船這次航行時兩次經過燈塔P的時間間隔為6小時，直接寫出燈塔P與甲港口之間的距離.
16．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，在中，，為邊上一動點，，垂足為N．設A，M兩點間的距離為xcm（），B，N兩點間的距離為ycm（當M點和B點重合時，B，N兩點間的距離為0）．
小明根據學習函數的經驗，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整．
(1)列表：下表的已知數據是根據A，M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到的y與x的幾組對應值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
請你通過計算，補全表格： ；
(2)描點、連線：在平面直角坐標系中，描出表中各組數值所對應的點（x，y），并畫出y關于x的函數圖象；
(3)探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數y的變化趨勢： ．
1．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學校校考期中）下列各點中，在反比例函數圖象上的點是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·黑龍江佳木斯·九年級統考期末）下列函數中，是的反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習）下列各點中，在函數圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·福建福州·九年級福建省福州銅盤中學校考階段練習）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與開機后用時成反比例關系．直至水溫降至，飲水機關機．飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為時，接通電源后，水溫和時間的關系如圖，為了在上午第一節下課時能喝到不超過的水，則接通電源的時間可以是當天上午的（ ）

A． B． C． D．
5．（2023上·山東泰安·九年級統考期中）已知反比例函數，下列結論不正確的是（ ）
A．圖象必經過點 B．若，則
C．圖象在第二、四象限內 D．隨的增大而增大
6．（2023上·遼寧錦州·九年級校考階段練習）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于、兩點，其中，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2023上·陜西渭南·九年級校考期末）某列高鐵從甲地駛往乙地，行完全程所需的時間與行駛的平均速度之間的關系如圖所示．若該高鐵行駛完全程的時間是，則該高鐵的平均速度為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·湖南婁底·九年級統考期末）為了降低輸電線路上的電能損耗，發電站都采用高壓輸電．輸出電壓（V）與輸出電流（A）的乘積等于發電功率（即）（W），且通常把某發電站在某時段內的發電功率看作是恒定不變的，當輸出電壓提高1倍時，由線路損耗電能的計算公式（其中為常數）計算在相同時段內該線路的電能損耗減少（ ）倍．
A．1 B．4 C．0. 25 D．0. 75
9．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流（單位：A）與電阻（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則當電阻為時，電流為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·河南新鄉·九年級新鄉市第一中學校考階段練習）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
11．（2021上·河北唐山·九年級統考期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．下列說法正確的是（ ）
A．函數解析式為 B．蓄電池的電壓是
C．當R不超過時，I大于等于 D．當時，
12．（2023上·山西運城·九年級山西省運城市實驗中學校考期中）如圖1，點、在反比例函數的圖象上，過點、作軸的垂線，垂足分別為，，延長線段交軸于點，當時，陰影部分的面積；如圖2，點、在反比例函數的圖象上，過點、作軸的垂線，垂足分別為，，連接，交于于點，當時，陰影部分的面積，則的值為（ ）

A． B． C． D．
13．（2024上·山西運城·九年級校考期末）若函數是反比例函數，則的值是 ．
14．（2023下·浙江·八年級專題練習）若反比例函數的圖象過點，則等于 ．
15．（吉林省長春市第十三中學校2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）已知函數的圖象兩支分布在第二、四象限內，則k的取值范圍是 ．
16．（2024上·北京石景山·九年級統考期末）在平面直角坐標系中，若點，在反比例函數的圖象上，則 （填“”“”或“”）．
17．（2023上·陜西西安·九年級西安市東方中學校聯考階段練習）圖1是一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．該臺燈的電流與電阻成反比例函數，其圖象如圖2所示，該圖象經過點．根據圖象可知，當時，的取值范圍是 ．

18．（2023上·上海青浦·八年級校考期中）已知：，并且與x成正比例，與成反比例，且當時，，當時，，求y與x之間的函數解析式．
19．（2022上·安徽合肥·九年級統考期末）已知點在反比例函數的圖象上.
(1)求反比例函數的解析式；
(2)已知且，與兩點都在該反比例兩數的圖像上，試比較與的大小．
20．（2024上·北京石景山·九年級統考期末）已知某蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，用電器的電流（單位：）與電阻（單位：）成反比例函數關系，即，其圖象如圖所示．
(1)求的值；
(2)若用電器的電阻為，則電流為______；
(3)如果以此蓄電池為電源的用電器的電流不得超過，那么用電器的電阻應控制的范圍是______．
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第三章 函 數
第三節 反比例函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數的圖象與性質 ☆☆ 吉林中考中，有關反比例函數的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握反比例函數的圖象與性質、反比例函數解析式、一次函數與反比例函數的綜合問題、反比例函數的應用等考點。
考點2 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義） ☆☆
考點3 一次函數與反比例函數的綜合問題 ☆☆☆
考點4 反比例函數與幾何圖形結合 ☆
考點5 反比例函數的實際應用 ☆
■考點一　反比例函數的圖象與性質
1.反比例函數的概念：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數.反比例函數的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.
2.反比例函數的圖象與性質
圖象特征 1）反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸． 2）反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．
性質 表達 式 （為常數，）
圖象
k>0 k<0
經過 象限 一、三象限（x、y同號） 二、四象限（x、y異號）
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
對稱性 ①圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上; ②圖象關于直線 對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（b，a）在雙曲線的另一支上; ③圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-b，-a）在雙曲線的另一支上. 即：反比例函數的圖象關于直線y=±x成軸對稱,關于原點成中心對稱.
反比例函數解析式的確定方法 待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟： 1）設反比例函數的解析式為（k為常數，k≠0）； 2）把已知的一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數k的方程； 3）解方程求出待定系數k； 4）將所求的k值代入所設解析式中. 【說明】由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．
■考點二　反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1.反比例函數解析式的特征: ①等號左邊是函數，等號右邊是一個分式；
②；
③分母中含有自變量x，且指數為1.
2．待定系數法：確定解析式的方法仍是待定系數法，由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．
3．待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟
（1）設反比例函數解析式為（k≠0）；
（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數k的方程；
（3）解這個方程求出待定系數k；
（4）將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式．
■考點三　一次函數與反比例函數的綜合問題
1.涉及自變量取值范圍
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍．例如，如下圖，當y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB2.求一次函數與反比例函數的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定．
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；
②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
■考點四　反比例函數與幾何圖形結合
1． 反比例函數中k的幾何意義
2．解決面積問題常用結論：
當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
（1）正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積．如圖①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|；
（2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，則S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝；
（3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝．
■考點五　反比例函數的實際應用
1.用反比例函數解決實際問題的步驟：
1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；
2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示；
3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數；
4）寫：寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；
5）解：用函數解析式去解決實際問題．
2.利用反比例函數解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型；
2）注意在自變量和函數值的取值上的實際意義；
3）問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．
■易錯提示
1. 反比例函數（）的自變量的取值為一切非零實數，函數的取值是一切非零實數.
2. 反比例函數的表達式中，分子是不為零的常數k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．
3. 反比例函數圖象上的點的橫縱坐標之積是定值k.
4. 反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
5. 反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。
6. 雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．
7.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；
8.利用函數圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
■考點一　反比例函數的圖象與性質
◇典例1： （2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統考期末）下列關于反比例函數的描述中，正確的是（ ）
A．圖象在第一、三象限 B．點在反比例函數的圖象上
C．當時，隨的增大而增大 D．當時，
【答案】C
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質：①當時，圖象分別位于第一、三象限，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；②當時，圖象分別位于第二、四象限，在同一個象限內，y隨x的增大而增大．
根據反比例函數的圖象和性質，逐項判斷即可．
【詳解】解：A、∵，∴圖象分別位于第二、四象限，故此選項不符合題意；
B、當時，，故點不在反比例函數的圖象上，故此選項不符合題意；
C、∵，∴當時，隨的增大而增大，故此選項符合題意；
D、∵，∴當或時，隨的增大而增大，又∵當時，，∴當時，，當時，，故此選項不符合題意；
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·遼寧丹東·九年級校考期中）已知反比例函數的圖象上有三個點、、，若，則，，的大小關系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數性質，利用反比例函數的增減性“當時，在各個象限內y隨x的增大而減小；當時，在各個象限內y隨x的增大而增大”判斷，，的大小關系即可．
【詳解】解：反比例函數的比例系數，
函數在各個象限內y隨x的增大而增大，
，
故選：A．
2．（2022上·廣東東莞·九年級東莞中學南城學校校考期末）若點，都在反比例函數的圖象上，則，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】C
【分析】此題考查了反比例函數的坐標特征，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．
直接利用反比例函數的增減性分析得出答案．
【詳解】解：點，都在反比例函數的圖象上，，
在每個象限內隨的增大而減小，
，
，
故選：C．
■考點二　反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
◇典例2：（2023上·安徽亳州·九年級校聯考期末）若反比例函數的圖象經過點，則k的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式，把點代入反比例函數解析式中求出k的值即可．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，
∴，
∴，
故選B．
◆變式訓練
1．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）反比例函數一定經過的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數圖像與性質，將選項中各點的坐標代入驗證即可得到答案，熟記反比例函數的性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、，則反比例函數不經過該點，不符合題意；
B、，則反比例函數經過該點，符合題意；
C、，則反比例函數不經過該點，不符合題意；
D、，則反比例函數不經過該點，不符合題意；
故選：B．
2．（2023上·山東泰安·九年級校考階段練習）如圖，菱形在平面直角坐標系中，邊在x軸的負半軸上，點C在反比例函數的圖象上．若，，則反比例函數的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查待定系數法確定反比例函數關系式，涉及菱形的性質、含角的直角三角形三邊關系等知識，對于反比例函數問題，找到圖象上點的坐標是解決問題的關鍵．如圖所示，連接，過作于，則，四邊形是菱形，，利用含角的直角三角形三邊關系，得到，，從而有點的坐標是，根據點在反比例函數的圖象上，求出值即可得到反比例函數的解析式．
【詳解】解：連接，過作于，如圖所示：
則，
∵四邊形是菱形，，
∴，為等邊三角形；
∴，
∴，
∴，
∴點的坐標是，
∵點在反比例函數的圖象上，
∴，即反比例函數的解析式是，
故選：D．
■考點三　一次函數與反比例函數的綜合問題
◇典例3：（2021上·北京海淀·九年級北大附中校考階段練習）一次函數與反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質．因為k的符號不確定，所以應根據k的符號及一次函數與反比例函數圖象的性質解答．
【詳解】解：∵當反比例函數圖象位于第一、三象限，
∴，則，
∴一次函數的應該經過第二、四象限，
又∵，
∴該直線與y軸交于正半軸，
故B、C選項錯誤；
∵當反比例函數圖象位于第二、四象限時，，則，
∴一次函數的應該經過第一、三象限，
故D選項錯誤．
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023上·黑龍江綏化·九年級統考期末）在同一直角坐標系中，若，則函數與的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數和反比例函數的圖象，根據a、b的取值，分別判斷出兩個函數圖象所過的象限，要注意分類討論．
【詳解】解：∵，
①若，則經過一、三、四象限，反比例函數位于二、四象限，
②若，則經過一、二、四象限，反比例函數位于一、三象限，
只有選項A符合題意，
故選：A．
2．（2024上·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學校考階段練習）小明在學習了一次函數、二次函數和反比例函數后，對從解析式的角度研究函數有了新的體會．現有函數（其中為常數，且），經小明研究得出了下面幾個關于函數圖象特征的結論，其中錯誤的是（ ）
A．經過原點 B．不經過第二、四象限
C．關于直線對稱 D．與直線有三個交點
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數，反比例函數等性質，根據二次函數和反比例函數知識逐一判斷即可得出答案．
【詳解】解：A.當時，，說法正確，故選項不符合題意；
B.當時，，當且時，，說法正確，故選項不符合題意；
C.當時，無意義，說法正確，故選項不符合題意；
D.由得，可以求得，只有兩個交點，選項錯誤，故選項符合題意；
故選：D．
■考點四　反比例函數與幾何圖形結合
◇典例4：（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知點A在反比例函數上，點B，C在x軸上，使得，點D在線段上，也在反比例函數的圖象上，且滿足，連接并延長交y軸于點E，若的面積為6，則k的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數與幾何綜合，熟練掌握反比例函數的性質是解題關鍵．連接，先根據、三角形的面積公式求出的面積，從而可得的面積，再利用三角形的面積公式可得，設點的坐標為，則，然后根據即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，，
設，則，
，
，
解得，
與是同底等高的三角形，
，
，即，
設點的坐標為，則，
則，
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，的直角邊在x軸正半軸上，斜邊上的中線反向延長線交y軸負半軸于點E，雙曲線的圖象經過點A，若，則反比例函數的表達式為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義：在反比例函數圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值． 連接，由點D是的中點，得到，，則，再根據三角形面積公式得到，然后根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．
【詳解】解：連接，
點D是的中點，
，，
，
．
解得：，
又由于反比例函數圖象在第一象限，．
k等于8．
∴反比例函數的表達式為，
故選：C．
2．（2023上·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考期中）如圖，已知，．以線段為邊，在第一象限內作正方形，點C落在函數的圖象上，將正方形沿x軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在函數的圖象上的點處，則a的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根據三角形全等得出C點坐標，進而求出反比例函數的解析式，進而確定D點的坐標和點的坐標，即可確定出a的值．
【詳解】解：如圖，過點C作軸，交x軸于點E，過A作軸，過點D作于點F，
，，
，，
四邊形為正方形，
，，
，，
，
在與中，
，
，
，，
，
，
把C坐標代入反比例函數解析式得：，
反比例函數解析式為，
同理可證
，
，
把代入反比例函數解析式，解得：，即，
則將正方形沿x軸負方向平移2個單位長度，使點D恰好落在函數的圖象上的點處，
，
故選：C．
【點睛】此題屬于反比例綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，正方形的性質，待定系數法確定反比例函數解析式，以及平移性質，熟練掌握各個性質是解本題的關鍵．
■考點五　反比例函數的實際應用
◇典例5：（2022·山西大同·校聯考三模）如圖1是一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖2是該臺燈的電流．與電阻成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（　　）

A．當時，
B．I與R的函數關系式是
C．當時，
D．當時，I的取值范圍是
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用．由待定系數法求出反比例函數的解析式，根據反比例函數的性質逐項分析即可得到結論．
【詳解】解：設I與R的函數關系式是，
∵該圖象經過點，
∴，
∴，
∴I與R的函數關系式是，故選項B不符合題意；
當時，，當時，，
∵反比例函數I隨R的增大而減小，
當時，，當時，，故選項A，C不符合題意；
∵時，，當時，，
∴當時，I的取值范圍是，故D符合題意．
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·湖南婁底·九年級校考期中）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓（單位：）是氣體體積（單位：）的反比例函數，其圖象如圖所示．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應（ ）
A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，求反比例函數的解析式，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解反比例函數解析式的方法和步驟，設該反比例函數的解析式為，把代入求出，得出該反比例函數的解析式為，再把代入求出，根據反比例函數的增減性，即可解答．
【詳解】解：設該反比例函數的解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴該反比例函數的解析式為，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴在第一象限內，p隨V的增大而減小，
∴為了安全起見，氣球的體積應不小于，
故選：B．
2．（2024上·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學校考階段練習）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．若不超過為安全電流，則電阻的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的應用．根據函數圖象即可得可變電阻的變化范圍．
【詳解】解：根據函數圖象知，
不超過為安全電流，則電阻的取值范圍是，
故選：D．
1．（2020·吉林長春·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，軸于點，點是線段上的點，連結．點在線段上，且．函數的圖象經過點．當點在線段上運動時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，，過作軸于點，由，用表示點坐標，再求得關于的解析式，最后由不等式的性質求得的取值范圍．
【詳解】解：點的坐標為，軸于點，
，，
設，，過作軸于點，
則，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
把，代入函數中，得
，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，相似三角形的性質與判定，不等式的性質，關鍵是求出關于的解析式．
2．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數（，）的圖象上，其縱坐標為2，過點P作//軸，交x軸于點Q，將線段繞點Q順時針旋轉60°得到線段．若點M也在該反比例函數的圖象上，則k的值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】作MN⊥x軸交于點N，分別表示出ON、MN，利用k值的幾何意義列式即可求出結果．
【詳解】解：作MN⊥x軸交于點N，如圖所示，
∵P點縱坐標為：2，
∴P點坐標表示為：（，2），PQ=2，
由旋轉可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故選：C．
【點睛】本題主要考查的是k的幾何意義，表示出對應線段是解題的關鍵．
3．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點、在函數的圖象上，分別以、為圓心，為半徑作圓，當與軸相切、與軸相切時，連結，，則的值為（ ）
A．3 B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】過點分別作軸的垂線，垂足分別為，交于點，得出的橫坐標為，的縱坐標為，設，，則，根據，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，交于點，
依題意，的橫坐標為，的縱坐標為，設，
∴，
則，
又∵，，
∴
∴（負值已舍去）
解得：，
故選：C．
【點睛】本題考查了切線的性質，反比例函數的性質，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
4．（2023·吉林長春·吉林省第二實驗學校校考二模）如圖，已知正方形的面積為4，它的兩個頂點B，D是反比例函數的圖象上兩點．若點D的坐標是，則的值為（ ）

A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由幾何意義得，進而得，證明出，再由正方形的面積為4，求出即可．
【詳解】解：如圖，延長、交y軸于點E、F，延長、交x軸于點M、N，

由的幾何意義得，，
∴，
∵，
∴，
∵點D的坐標是，
∴，，
∴，
∵正方形的面積為4，
∴， 而，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數性質的應用，正方形的性質，的幾何意義的應用是解題關鍵．
5．（2023·吉林長春·校考模擬預測）如圖，平行四邊形的頂點A在反比例函數的圖象上，點B在y軸上，點C、點D在x軸上，與y軸交于點E，若，則k的值為（ ）

A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】作軸于F，先證明四邊形是矩形，根據平行四邊形的性質得到，再根據矩形與平行四邊形面積相等即可求出進而求解．
【詳解】解：作軸于F，如下圖所示：
在平行四邊形中，，
∵軸，
∴軸，
∵軸，軸，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵點A在第一象限，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質及反比例函數中k的幾何意義：過反比例函數上任一點作x軸和y軸的垂線，則兩個垂足、原點及該點所圍成的矩形面積等于反比例函數的．得出，是解答本題的關鍵．
6．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點，直角頂點在軸上，雙曲線交邊于點，．若，則的值為（ ）

A．3 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【分析】過作軸于，過作軸于，交于，如圖所示，根據等腰直角三角形性質得到，從而，再由條件得到，進而，在中，，則，即，即可得到，代入雙曲線得到．
【詳解】解：過作軸于，過作軸于，交于，如圖所示：

在等腰直角三角形中， ，
，
，
，
等腰直角三角形的斜邊軸于點，直角頂點在軸上，
，
，，
在中，，則，即，
，
雙曲線交邊于點，
，
故選：B．
【點睛】本題考查求反比例函數中的，涉及等腰直角三角形性質，根據題意，求出反比例函數圖像上點的坐標是解決問題的關鍵．
7．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖，反比例函數的圖象經過菱形的頂點A，B兩點，若軸，菱形的面積為12，點A的縱坐標為1，則k的值為（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】作軸于點G，求得，求得菱形的邊長，再求得，據此即可求解．
【詳解】解：作軸于點G，交x軸于點F，

∵四邊形是菱形，A，B兩點在反比例函數的圖象上，且軸，
∴，，
∵點A的縱坐標為1，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題是反比例函數與幾何的綜合題，考查了菱形的性質，坐標與圖形，勾股定理，通過菱形面積確定點的坐標是解題的關鍵．
8．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）如圖，的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B、C在第一象限，反比例函數的圖象經過點C，的圖象經過點B．若，則k的值為( )

A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】過點C作于D，過點B作軸于E，先證四邊形為矩形，得出，再證，根據，再求，，從而利用k的幾何意義求出k．
【詳解】解：過點C作A于D，過點B作軸于E，

∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴ ，即，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵反比例函數的圖象經過點C，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數k的幾何意義，平行四邊形的性質與判定，矩形的判定與性質，三角形全等判定與性質，掌握反比例函數k的幾何意義，平行四邊形的性質與判定，矩形的判定與性質，三角形全等判定與性質．
9．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．若反比例函數的圖像繞著原點逆時針旋轉后與的邊有公共點，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別將旋轉，得到，，代入反比例函數解析式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

將旋轉，得到，，
當反比例函數的圖像經過點，，
當反比例函數的圖像經過點，，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，反比例數的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
10．（2022·吉林長春·統考一模）若矩形的面積為，則矩形的長y關于寬的函數關系式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據等量關系“矩形的長=矩形面積寬”即可列出關系式．
【詳解】由題意得：矩形的長關于寬的函數關系式為：，
故選：A．
【點睛】本題考查了反比例函數在實際生活中的應用，找出等量關系是解決此題的關鍵．
11．（2023·吉林松原·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，的直角頂點在軸上，反比例函數的圖象經過邊的中點，若點在該反比例函數的圖象上，則的面積為 ．
【答案】
【分析】連接，結合題意求得，依據反比例函數比例系數的幾何意義及中線的性質可求解．
【詳解】解：連接，
點在該反比例函數的圖象上，
，
在反比例函數圖象上，且是的中點，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數比例系數的幾何意義及中線的性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數比例系數的幾何意義．
12．（2021·吉林長春·統考二模）在平面直角坐標系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數（x＞0）的圖像經過A和B 兩點其中A（2，m），且點B的縱坐標為n，則n＝ ．
【答案】/
【分析】過A作AC⊥y軸，垂足為C，作BD⊥AC，垂足為D，通過證△AOC≌△ABD可得：OC＝AD＝m，AC＝BD＝2，即可求得B點的縱坐標．
【詳解】解：如圖：過A作AC⊥y軸，垂足為C，作BD⊥AC，垂足為D，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAC+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAO，
∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，
∴△ACO≌△DAB（AAS），
∴AD＝CO，BD＝AC，
∵A（2，m），
∴OC＝AD＝m，AC＝BD＝2．
∴點B坐標為．
∴ ．
∴解得，（舍去）．
∴n＝m﹣2＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數圖像上點的坐標特征，全等三角形的判定和性質，關鍵是求得BD的長．
13．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在中，，，．正方形的邊長為，邊和邊都在直線l上，點E和點A重合．正方形以速度沿直線l向右運動，當點G在邊上時，停止運動，設正方形的運動時間為，正方形與的重疊部分的面積為S．

(1)當時，______；
(2)當點G在邊上時，_______；
(3)求S與t之間的函數解析式．
【答案】(1)2
(2)3
(3)
【分析】（1）先求出，如圖1所示，當時，則，，證明得到，再根據重疊部分面積即為的面積進行求解即可；
（2）當點G在邊上時，同理可得，則，由此即可求出時間t的值；
（3）分當時，如圖1所示，當時，如圖2所示，當時，如圖3所示，三種情況根據圖形之間面積的關系進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
如圖1所示，當時，則，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2；

（2）解：當點G在邊上時，同理可得，
∴，
∴，
故答案為：3；

（3）解：當時，如圖1所示，
同理可得，
∴；

當時，如圖2所示，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴；

當時，如圖3所示，
同理可得，，
∴．

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，列函數關系式等等，正確理解題意利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
14．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地，如圖，線段表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系；線段表示轎車離甲地距離y（千米〉與時間x（（小時）之間的函數關系．點C在線段上，請根據圖象解答下列問題：
(1)轎車的速度是___________千米/小時．
(2)求轎車出發后，轎車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系式．
(3)在整個過程中，當轎車與貨車之間的距為30千米時，直接寫出x的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根據函數圖象結合速度路程時間進行求解即可；
（2）根據路程速度時間進行求解即可；
（3）先求出貨車的速度，再分當轎車未出發前，轎車與貨車之間的距為30千米時，當轎車出發后且未追上貨車前，轎車與貨車之間的距為30千米時，當轎車追上貨車后，且轎車未到終點前，轎車與貨車之間的距為30千米時，當轎車到達終點后，轎車與貨車之間的距為30千米時，列出對應的方程求解即可．
【詳解】（1）解：由函數圖象可知轎車在小時行駛了千米，
∴轎車的速度為千米/小時，
故答案為：100；
（2）解：由題意得，；
（3）解：由函數圖象可知貨車在5小時行駛為300千米，
∴貨車的速度為千米/小時，
∴；
當轎車未出發前，轎車與貨車之間的距為30千米時，則，
解得；
當轎車出發后且未追上貨車前，轎車與貨車之間的距為30千米時，則，
解得；
當轎車追上貨車后，且轎車未到終點前，轎車與貨車之間的距為30千米時，則，
解得；
當轎車到達終點后，轎車與貨車之間的距為30千米時，則，
解得；
綜上所述，當轎車與貨車之間的距為30千米時，x的值為或或或．
【點睛】本題主要考查了從函數圖象獲取信息，列函數關系式，一元一次方程的應用，正確讀懂函數圖象是解題的關鍵．
15．（2022·吉林長春·統考模擬預測）有甲、乙兩個港口，一艘客船從甲港口出發，順流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙兩個港口之間順流航行的速度是每小時32千米.客船距乙港口的距離y（千米）與客船行駛的時間x（小時）之間的函數關系如圖所示.
(1)甲、乙兩個港口的距離是_________千米.
(2)求y與x之間的函數關系式.
(3)甲、乙兩個港口之間有一個燈塔P，若客船這次航行時兩次經過燈塔P的時間間隔為6小時，直接寫出燈塔P與甲港口之間的距離.
【答案】(1)96
(2)y=
(3)千米
【分析】（1）由路程等于速度乘以時間求解即可；
（2）分兩種情況：當0≤x≤3時，當3（3）設燈塔P與甲港口之間的距離為S千米，根據兩次經過燈塔P的時間間隔為6小時，列出方程，求解即可．
【詳解】（1）解：由圖象知：從甲港口到甲港口行駛的時間為3小時，
∴甲乙兩個港口的距離為：32×3=96（千米），
故答案為：96；
（2）解：當0≤x≤3時，
y=96-3x，
當3把(3,0)，(7,96)代入，得
，解得：，
∴y=24x-72，
綜上，y與x之間的函數關系式為：y=.
（3）解：甲、乙兩個港口之間逆流航行的速度是:96÷(7-3)=24（千米/時），
設燈塔P與甲港口之間的距離為S千米，根據題意，得
,解得：S=，
∴燈塔P與甲港口之間的距離為千米．
【點睛】本題考查分段函數圖象，待定系數法求函數解析式，一元一次方程的應用，從函數圖象獲取到有用信息是解題的關鍵．
16．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，在中，，為邊上一動點，，垂足為N．設A，M兩點間的距離為xcm（），B，N兩點間的距離為ycm（當M點和B點重合時，B，N兩點間的距離為0）．
小明根據學習函數的經驗，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整．
(1)列表：下表的已知數據是根據A，M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到的y與x的幾組對應值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
請你通過計算，補全表格： ；
(2)描點、連線：在平面直角坐標系中，描出表中各組數值所對應的點（x，y），并畫出y關于x的函數圖象；
(3)探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數y的變化趨勢： ．
【答案】(1)3.2
(2)見解析
(3)y隨x的增大而減小
【分析】（1）先求出邊上的高，進而求出，判斷出點M與重合，即可得出答案；
（2）先描點，再連線，即可畫出圖象；
（3）根據圖象直接得出結論．
【詳解】（1）解：如圖，
在中，，根據勾股定理得，，
過點C作于，
∴，
∴，
在中，根據勾股定理得，，
∴當時，點M與點重合，
∴，
∵，
∴點M，N重合，
∴，
故答案為：3.2；
（2）如圖所示，
（3）由圖象知，y隨x的增大而減小，
故答案為：y隨x的增大而減小；
【點睛】此題主要考查了勾股定理，三角形的面積，函數圖象的畫法，畫出函數圖象是解本題的關鍵．
1．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學校校考期中）下列各點中，在反比例函數圖象上的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查判斷點是否在反比例函數圖象上．根據將點的橫坐標代入反比例函數，得到的結果是否等于該點的縱坐標，即可求解判斷．
【詳解】解：A、當時，，則點不在反比例函數圖象上，故本選項不符合題意；
B、當時，，則點不在反比例函數圖象上，故本選項不符合題意；
C、當時，，則點不在反比例函數圖象上，故本選項不符合題意；
D、當時，，則點在反比例函數圖象上，故本選項符合題意；
故選：D
2．（2023上·黑龍江佳木斯·九年級統考期末）下列函數中，是的反比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的定義，根據反比例函數的定義：形如的函數是反比例函數，即可判斷求解，掌握反比例函數的定義是解題的關鍵D．
【詳解】解：、，是的正比例函數，不符合題意；
、，是的反比例函數，不是的反比例函數，不符合題意；
、，是的正比例函數，不符合題意；
、，是的反比例函數，符合題意；
故選：．
3．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習）下列各點中，在函數圖象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了求反比例函數值，求出當時，當時，當時的函數值即可得到答案．
【詳解】解：在中，當時，，當時，，當時，，
∴四個選項中，只有B選項中的點在函數圖象上，
故選B．
4．（2023上·福建福州·九年級福建省福州銅盤中學校考階段練習）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與開機后用時成反比例關系．直至水溫降至，飲水機關機．飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為時，接通電源后，水溫和時間的關系如圖，為了在上午第一節下課時能喝到不超過的水，則接通電源的時間可以是當天上午的（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用待定系數法求出開機加熱時一次函數關系式，進而求出當時的值，再求出關機降溫時反比例函數關系式，進而求出當時的值，觀察可知飲水機的一個循環周期為分鐘，每一個循環內，在及時間段內，水溫不超過，最后逐項判斷即可．
【詳解】解：∵開機加熱時間每分鐘上升，
∴從到需要分鐘．
設一次函數關系式為，
將點，代入，得
，解得，
∴一次函數關系式為，
令，則，
解得：，
設反比例函數關系式為，
將點代入關系式，得，
解得，
∴反比例函數關系式為，
將代入，得，
∴．
令，解得，

∴飲水機的一個循環周期為分鐘，每一個循環內，在及時間段內，水溫不超過．
∵至之間有85分鐘，，不在及時間段內，A選項不符合題意；
∵至之間有75分鐘，，不在及時間段內，B選項不符合題意；
∵至之間有60分鐘，，在及時間段內，C選項符合題意；
∵至之間有45分鐘，，不在及時間段內，D選項不符合題意；．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，求一次函數關系式，求反比例函數關系式，求自變量的值，從圖像中獲取信息是解題的關鍵．
5．（2023上·山東泰安·九年級統考期中）已知反比例函數，下列結論不正確的是（ ）
A．圖象必經過點 B．若，則
C．圖象在第二、四象限內 D．隨的增大而增大
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質．根據反比例函數的圖象與性質求解即可．
【詳解】解：當，，
∴圖象必經過點，A結論正確，故不符合題意；
∵，
∴圖象位于第二、四象限，C正確，故不符合題意；
若，圖象位于第四象限，y隨x的增大而增大，故若，則，故B結論正確；故不符合題意；
在第二或第四象限中，y隨x的增大而增大，D錯誤，故符合要求；
故選：D．
6．（2023上·遼寧錦州·九年級校考階段練習）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于、兩點，其中，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，由反比例函數和一次函數圖象都是關于原點對稱，由可求點B坐標，根據圖象可求解．
【詳解】解：∵正比例函數與反比例函數的圖象交于A、B兩點，其中，
∴點B坐標為
∴由圖可知，當或，正比例函數圖象在反比例函數的圖象的上方，
即不等式的解集為或，
故選：D．
7．（2023上·陜西渭南·九年級校考期末）某列高鐵從甲地駛往乙地，行完全程所需的時間與行駛的平均速度之間的關系如圖所示．若該高鐵行駛完全程的時間是，則該高鐵的平均速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是反比例函數的應用，掌握利用待定系數法求解反比例函數的解析式是解題的關鍵．由設再利用待定系數法求解反比例函數解析式，把h代入函數解析式求解的值，結合圖象上點的坐標含義可得答案．
【詳解】解：由題意設 ，
把代入得： ，
，
當h時，，
所以列車要在內到達，則速度至少需要提高到，
故選B．
8．（2023上·湖南婁底·九年級統考期末）為了降低輸電線路上的電能損耗，發電站都采用高壓輸電．輸出電壓（V）與輸出電流（A）的乘積等于發電功率（即）（W），且通常把某發電站在某時段內的發電功率看作是恒定不變的，當輸出電壓提高1倍時，由線路損耗電能的計算公式（其中為常數）計算在相同時段內該線路的電能損耗減少（ ）倍．
A．1 B．4 C．0. 25 D．0. 75
【答案】D
【分析】本題考查反比例函數的性質，復習物理中的公式，是解決此題的前提和關鍵．
【詳解】根據得，，
∵發電站的功率不變，當輸出電壓提高倍時，
∴輸出電流將變為原來的；
由可知，在相同時段內該路線的電能損耗變為原來的，
∴在相同時段內該路線的電能損耗減少倍，
故選D．
9．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統考期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流（單位：A）與電阻（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則當電阻為時，電流為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的實際應用；設該反比函數解析式為，根據當時，，可得該反比函數解析式為，再把代入，即可求出電流I．
【詳解】解：設該反比函數解析式為，
由題意可知，當時，，
，
解得：，
設該反比函數解析式為，
當時，，
即電流為，
故選：A．
10．（2023上·河南新鄉·九年級新鄉市第一中學校考階段練習）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
【答案】A
【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用，先利用待定系數法求出，再求出當時，，即可得到答案．
【詳解】解：設氣壓與氣體體積的關系式為，
把代入中得：，
∴，
∴，
∵，
∴P隨V增大而減小，
當時，，
∴為了安全起見，即氣壓小于時，氣球的體積應大于
故選A．
11．（2021上·河北唐山·九年級統考期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．下列說法正確的是（ ）
A．函數解析式為 B．蓄電池的電壓是
C．當R不超過時，I大于等于 D．當時，
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的應用、待定系數法求函數解析式，設反比例函數的解析式為：，利用待定系數法可求得，再根據反比例函數的圖象及性質逐一判斷即可求解，熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．
【詳解】解：設反比例函數的解析式為：，
由圖得：在函數圖象上，
，
，
A、函數解析式為，則錯誤，故不符合題意；
B、蓄電池的電壓是，則錯誤，故不符合題意；
C、當R不超過時，I大于等于，則正確，故符合題意；
D、當時，，則錯誤，故不符合題意；
故選C．
12．（2023上·山西運城·九年級山西省運城市實驗中學校考期中）如圖1，點、在反比例函數的圖象上，過點、作軸的垂線，垂足分別為，，延長線段交軸于點，當時，陰影部分的面積；如圖2，點、在反比例函數的圖象上，過點、作軸的垂線，垂足分別為，，連接，交于于點，當時，陰影部分的面積，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數與三角形的面積，掌握反比例函數圖像的性質是解題的關鍵．由題意得∽，再根據面積比等于相似比的平方求出，由得，結合求出；設，，則，，，，
根據求出，即可得出結論．
【詳解】解：①，
∽，
，
，
而，，
，
，
，
，
，，，
②設，，
由圖可知：，，，，
，
，
，
即，解得，
．
故選：C．
13．（2024上·山西運城·九年級校考期末）若函數是反比例函數，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數的定義：形如（為常數，）的函數就叫做反比例函數，解題的關鍵是根據反比例函數的定義列出關于方程或不等式，求解即可．
【詳解】解：∵函數是反比例函數，
∴且，
解得：，
∴的值為．
故答案為：．
14．（2023下·浙江·八年級專題練習）若反比例函數的圖象過點，則等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，把點代入反比例函數解答即可，只需把所給點的坐標代入函數即可，比較簡單．
【詳解】解：把點代入反比例函數得：，
∴，
故答案為：．
15．（吉林省長春市第十三中學校2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）已知函數的圖象兩支分布在第二、四象限內，則k的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】此題主要考查反比例函數圖象的性質：（1）時，圖象是位于一、三象限；（2）時，圖象是位于二、四象限．根據反比例函數的圖象在第二，四象限，即可得出，然后求解即可．
【詳解】解：∵函數的圖象兩支分布在第二、四象限內，
∴，
∴．
故答案為：．
16．（2024上·北京石景山·九年級統考期末）在平面直角坐標系中，若點，在反比例函數的圖象上，則 （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的性質，根據反比例函數的性質：當，在每個象限內，隨的增大而減小，進行判斷即可，掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，在每個象限內，隨的增大而減小，
又∵，
∴，
故答案為：．
17．（2023上·陜西西安·九年級西安市東方中學校聯考階段練習）圖1是一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．該臺燈的電流與電阻成反比例函數，其圖象如圖2所示，該圖象經過點．根據圖象可知，當時，的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，由待定系數法求出反比例函數的解析式是解決問題的關鍵．先由待定系數法求出反比例函數的解析式，然后分別求出和時對應的I，最后觀察圖象即可求解．
【詳解】解：設I與R的函數關系式是，
∵圖象經過點，
∴，
∴，
∴，
當時，；
當時，，
∴當時，的取值范圍是．
故答案為：．
18．（2023上·上海青浦·八年級校考期中）已知：，并且與x成正比例，與成反比例，且當時，，當時，，求y與x之間的函數解析式．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式，注意在本題中的正比例系數和反比例系數是兩個不同的值，用不同的字母區分．設，則，然后利用待定系數法即可求得；
【詳解】∵與x成正比例，與成反比例，
∴設，，
∴，
∵當時，，當時，，
∴，解得，
∴y與x之間的函數解析式為．
19．（2022上·安徽合肥·九年級統考期末）已知點在反比例函數的圖象上.
(1)求反比例函數的解析式；
(2)已知且，與兩點都在該反比例兩數的圖像上，試比較與的大小．
【答案】(1)
(2)當時，；當時，
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，求反比例函數解析式．
（1）把代入函數解析式即可求解；
（2）根據反比例函數圖像的性質即可解答．
【詳解】（1）解： ∵點在反比例函數的圖象上，
∴.
∴
（2）∵反比例函數為，其圖象在二、四象限內，且在每一象限內隨的增大而增大，
又，
∴①當時，有，
此時點在第四象限的圖象上，，
點 在第二象限的圖象上，，
則，
②當時，有
∴.
20．（2024上·北京石景山·九年級統考期末）已知某蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，用電器的電流（單位：）與電阻（單位：）成反比例函數關系，即，其圖象如圖所示．
(1)求的值；
(2)若用電器的電阻為，則電流為______；
(3)如果以此蓄電池為電源的用電器的電流不得超過，那么用電器的電阻應控制的范圍是______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】此題考查了反比例函數的實際應用，熟練掌握反比例函數的圖象及性質是解題的關鍵．
（）根據待定系數法即可求解；
（）代入函數求值即可；
（）當時，代入求出，再根據圖象即可求解．
【詳解】（1）∵圖象經過點，
∴，
解得：；
（2）由（）得：，
∴，
當時，，
故答案為：；
（3）當電流，，
解得：，
根據圖象電流不得超過，則，
故答案為：．
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