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中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
第四節 一元一次不等式（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式的性質 ☆☆ 吉林中考中，有關一元一次不等式（組）的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于一元一次不等式（組）的復習，需要熟練掌握一元一次不等式（組）的性質、解法和應用等考點。
考點2 一元一次不等式（組）的解法及解集表示 ☆☆☆
考點3 一元一次不等式的應用 ☆☆
■考點一　不等式的性質
1.不等式的相關概念
不等式的定義：用不等號“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關系的式子，叫做不等式.
不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.
不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.
不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示.
解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.
不等式的性質
基本性質1 若a>b，則a±c > b±c 若a基本性質2 若a>b,c>0，則ac>bc（或ac>bc）
基本性質3 若a>b,c<0，則ac■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
1.一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數并且未知數的最高次數是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.
2.一元一次不等式的一般形式：或.
3.一元一次不等式組的概念：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．
4.一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
5.不等式組解集的確定有兩種方法：
1）數軸法：在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.
2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．
6.解一元一次不等式組的一般步驟：
求出不等式組中各不等式的解集.
將各不等式的解決在數軸上表示出來.
在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.
■考點三　一元一次不等式的應用
1.一元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句：
1）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系，因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．
2）對一些實際問題的提示還要注意結合實際。
2.用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;
列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
■易錯提示
1. 方程與不等式的區別：方程表示的是相等關系，不等式表示的是不等關系.
2. 常見的不等號有：≠，>，≥，<，≤五種.
3. 用數軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點.
4. 不等式的解與不等式的解集的區別與聯系：
1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的某個值.
2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數的所有的值.
3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.
5. 在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同時要根據關鍵詞準確地選用不等號．另外，對一些實際問題的提示還要注意結合實際．
6. 運用不等式的性質的注意事項：
1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算．
2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數一定是同一個數或同一個式子．
3）不等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數或分母．
4） 運用不等式的性質進行不等式變形時,要特別注意性質2和性質3的區別,在乘(或除以)同一個數時,必須先弄清楚這個數是正數還是負數,如果是負數,不等號要改變方向.
1. 一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.
2. 進行“去分母”和“系數化為1”時，要根據不等號兩邊同乘以（或除以）的數的正負，決定是否改變不等號的方向，若不能確定該數的正負，則要分正、負兩種情況討論．
3. 在解一元一次不等式時,上述的五個步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據不等式的形式靈活安排求解步驟.
1. 在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數軸來表示不等式組的解集的.
2. 利用數軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.
■考點一　不等式的性質
◇典例1： （2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）若，則下列不等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了不等式的性質．解題的關鍵是掌握不等式的性質：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
【詳解】解：A，，故該選項不合題意；
B，若，則，故該選項符合題意；
C， ，故該選項符合題意；
D，，故該選項不合題意；
故選C．
◆變式訓練
1．（2023下·全國·八年級假期作業）某高鈣牛奶的包裝盒上注明“每內含鈣量”，它的含義是指（ ）
A．每內含鈣量為 B．每內含鈣量不低于
C．每內含鈣量高于 D．每內含鈣量不超過
【答案】B
【解析】略
2．（2022下·廣西南寧·七年級校考階段練習）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要查了不等式的性質．根據不等式的性質，逐項判斷，即可求解．
【詳解】解：A、若，則，故本選項不符合題意；
B、若，則，故本選項不符合題意；
C、若，則，故本選項不符合題意；
D、若，則，故本選項符合題意；
故選：D
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
◇典例2：（2019下·廣西百色·七年級統考期中）如圖，是關于的不等式的解集，則的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了解一元一次不等式以及在數軸上表示不等式的解集．解不等式得，根據數軸表示不等式的解集得，然后得到關于a的方程，求解即可．
【詳解】解：解得，
由數軸表示不等式的解集，得，
∴，
解得，
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023下·七年級課時練習）若關于的方程的解是非負數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
2．（2022下·廣西南寧·七年級校考階段練習）若實數a使得關于x方程的解為正整數，且使關于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數a的積為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查解一元一次方程，一元一次不等式組，分別解方程和不等式組，求出滿足題意的所有的整數，相乘即可．熟練掌握解含參的方程和不等式是本題解題關鍵，注意分析含參的不等式時要考慮端點．
【詳解】解：由方程的解為，
關于的方程的解為正數，
，解得：；
，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
關于的不等式組的解集為，
；
；
為整數，的值為正整數
；
所以符合條件的所有整數的積是．
故選：C．
■考點三　一元一次不等式的應用
◇典例3：（2023上·浙江金華·八年級校聯考期中）八年級某小組同學去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學有植樹但植樹棵數不到3棵．則同學人數為（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，設同學人數為x人，植樹的棵數為棵，有植樹但植樹棵數不到3棵意思是植樹棵數在1棵和3棵之間，包括1棵，不包括3棵，關系式為：植樹的總棵數，植樹的總棵數，把相關數值代入列出不等式組，解不等式組即可得解，得到植樹總棵數和預計植樹棵數之間的關系式是解決本題的關鍵．
【詳解】設同學人數為x人，植樹的棵數為棵，
∵有1位同學有植樹但植樹的棵數不到3棵，植樹的總棵數為棵，
∴可列不等式組為
解不等式組得：，
∵人數要取非負整數，
∴
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023下·七年級課時練習）已知藥品的保存溫度要求為，藥品的保存溫度要求為，若需要將，兩種藥品放在一起保存，則保存溫度要求為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
2．（2023下·全國·八年級假期作業）某運行程序如圖所示，從“輸入一個值m到結果是否大于107”為一次程序操作．若進行兩次程序操作后輸出結果，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
1．（2022·吉林長春·統考中考真題）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接移項解一元一次不等式即可．
【詳解】，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．
2．（2022·吉林·統考中考真題）與2的差不大于0，用不等式表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據差運算、不大于的定義列出不等式即可．
【詳解】解：由題意，用不等式表示為，
故選：D．
【點睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“不大于是指小于或等于”是解題關鍵．
3．（2021·吉林·統考中考真題）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照解不等式步驟：移項，合并同類項，系數化為1求解．
【詳解】解：，
，
，
．
故選：B．
【點睛】本題考查解不等式，熟練掌握不等式的基本性質是解題關鍵．
4．（2023·吉林白山·校聯考二模）不等式的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解不等式得到解集即可．
【詳解】解：，
∴，
在數軸上表示為：

故選：D
【點睛】此題考查了解一元一次不等式，在數軸上表示解集，正確掌握不等式在數軸上表示的方法是解題的關鍵．
5．（2023·吉林長春·校考一模）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】移項即可求出不等式的解集．
【詳解】∵，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．
6．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）點在第二象限，則的取值范圍在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據象限中點的坐標特征得到，解這個不等式組得到，在數軸上表示出來即可得到答案．
【詳解】解：點在第二象限，
，解得，
在數軸上表示不等式組的解集為： ，
故選：C．
【點睛】本題考查象限中點的坐標特征與解一元一次不等式組，熟記不等式解集在數軸上的表示是解決問題的關鍵．
7．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分別求解兩個不等式，再寫出不等式的解集，根據解集即可進行解答．
【詳解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式組的解集為，
用數軸表示為：
故選：A．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，以及在數軸上表示不等式組的解集，解題的關鍵是掌握求解不等式組的方法和步驟，以及用數軸表示不等式解集的方法．
8．（2023·吉林長春·一模）已知藥品A的保存溫度要求為，藥品B保存溫度要求為，若需要將A，B兩種藥品放在一起保存，則保存溫度要求為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】需要將A，B兩種藥品放在一起保存，冷庫儲藏溫度正好是A藥品冷庫儲藏溫度的最高度數和B藥品冷庫儲藏溫度的最低度數.
【詳解】解：∵藥品A的保存溫度要求為，藥品B保存溫度要求為，
∴將A，B兩種藥品放在一起保存，冷庫儲藏溫度要求為，
故選：C.
【點睛】此題考查了不等式，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式，解題的關鍵是讀懂題意，搞懂A藥品冷庫儲藏溫度和B藥品冷庫儲藏溫度的要求.
9．（2023·吉林長春·統考一模）不等式組的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據夾逼原則求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．
10．（2023·吉林·統考中考真題）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據移項、化系數為1，的步驟解一元一次不等式即可求解．
【詳解】解：
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了求一元一次不等式的解集，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．
11．（2021·吉林長春·統考中考真題）不等式組的所有整數解是 ．
【答案】0，1
【分析】分別求出每個不等式的解集，再根據“大小小大中間找”求得不等式組的解集，進而可求得整數解．
【詳解】解：
由①得：x＞
由②得：x≤1，
∴不等式組的解集為，
∴不等式組的整數解為0，1
故答案為：0，1．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
12．（2023·吉林·統考一模）a與3的和是正數，用不等式表示為 .
【答案】
【分析】根據和運算、正數大于0列出不等式即可．
【詳解】解：與3的和是正數，用不等式表示為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了列不等式，理解不等關系是解題關鍵．
13．（2023·吉林長春·校考一模）若關于 x 的不等式的解集是，則關于 x 的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】由關于x的不等式的解集是知，且，即，據此將不等式變形為，再移項、系數化為1即可．
【詳解】解：∵關于x的不等式的解集是，
∴，且，即，
則不等式可變形為，
移項，得：，
系數化為1，得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關鍵．
14.（2022·吉林長春·校考模擬預測）昆明劇院舉行專場音樂會，成人票每張元，學生票每張元，暑假期間，為了吸引廣大師生來聽音樂會，劇院制定了兩種優惠方案：
方案一：購買一張成人票贈送一張學生票；
方案二：成人票和學生票都打九折．
某校有名老師和若干名不少于人學生去聽音樂會．
(1)如果該校有名學生和老師去聽音樂會，按兩種優惠方案，各應付多少門票費？
(2)請你結合參加聽音樂會的學生人數，計算說明怎樣購票花費少？
【答案】(1)，元
(2)見解析
【分析】（1）首先根據優惠方案一：付款總金額=購買成人票金額+除去4人后的學生票金額；優惠方案二：付款總金額=（購買成人票金額購買學生票金額）打折率，求出即可；
（2）根據題意列出函數關系式，求出當兩種方案付款總金額相等時，購買的票數，再就是那種情況討論．
【詳解】（1）解：由題意可得：
元，
元；
（2）按優惠方案一可得：
，
按優惠方案二可得：
，
∵，
①當時，得，解得，
當購買張票時，兩種優惠方案付款一樣多．
②當時，得，解得，
時，，優惠方案一付款較少．
③當時，得，解得，
當時，，優惠方案二付款較少．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應用和一次函數的應用，解決本題的關鍵是根據題意正確列出兩種方案的解析式，進而計算出臨界點 的取值，再進一步討論
1．（2019下·七年級單元測試）已知且，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了不等式的基本性質．根據不等式的性質，先將兩不等式相加，得到，再兩邊同時除以2，即可求出a的取值范圍．
【詳解】解：∵且，
∴，即，
∴．
故選：C．
2．（2023上·浙江溫州·八年級校考期中）如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
根據,應用不等式的性質，逐項判斷即可．
【詳解】解：
∴選項A符合題意；
∴選項B不符合題意；
，
∴選項C不符合題意；
，
，
∴選項D不符合題意．
故選：A．
3．（2023上·浙江溫州·八年級統考期中）不等式在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了用數軸表示不等式的解集，根據，則用數軸表示不等式的解集，即可作答．
【詳解】解：因為
所以不等式在數軸上表示為：
故選：A
4．（2024下·全國·七年級假期作業）給出下列各數：，－2，0.8，2，3，4，5，2023，其中是不等式x－1＞0的解的有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【解析】略
5．（2024下·全國·七年級假期作業）下列說法中，錯誤的是（ ）
A．不等式x＜5的整數解有無數個 B．不等式x＜5的正整數解有有限個
C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一個解
【答案】D
【解析】略
6．（2024下·全國·七年級假期作業）若是關于的一元一次不等式，則該不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
7．（2024下·全國·八年級假期作業）某公司推出兩種手機通話收費方案．方案一：月租費36元，通話費為0.1元/分；方案二：不收月租費，通話費為0.6元/分．設小明一個月的通話時間為，已知小明選擇方案一比選擇方案二更優惠，則他一個月的通話時間超過（ ）
A．60min B．70min C．72min D．80min
【答案】C
【解析】略
8．（2023下·七年級課時練習）2022年某地區空氣質量良好（二級以上）的天數與全年天數（365）之比達到60%，如果2023年（365天）這樣的比值要超過70%，那么2023年空氣質量良好的天數比去年至少要增加的天數是（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】D
【解析】略
9．（2023下·七年級課時練習）某社區閱覽室出售會員卡，每張會員卡50元，只限本人使用，憑會員卡購入場券每張2元，沒有會員卡購入場券每張4元，在什么情況下，購會員卡比不購會員卡更合算（ ）
A．購券多于30次 B．購券少于30次
C．購券多于25次 D．購券少于25次
【答案】C
【解析】略
10．（2023下·全國·八年級假期作業）小明要從甲地到乙地，兩地相距．已知他步行的平均速度為，跑步的平均速度為．若他要在不超過的時間內從甲地到達乙地，則至少需要跑步多少分鐘？設他需要跑步，則列出的不等式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】略
11．（2023下·全國·八年級假期作業）某人計劃在15天里加工408個零件，前3天每天加工24個．如果他要在規定時間內超額完成任務，那么他以后每天至少要加工的零件個數為（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】A
【解析】略
12．（2023下·七年級課時練習）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
【答案】 ，0，1，3 ，，，0，1
【解析】略
13．（2023上·廣西南寧·七年級校考階段練習）已知有理數a，b的和即與差即在數軸上的位置如圖所示，化簡代數式的結果為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是利用數軸比較有理數的大小，化簡絕對值，整式的加減運算，不等式的性質，先判斷，再化簡絕對值即可．
【詳解】解：由題意可得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案為：．
14．（2023上·浙江衢州·八年級統考期中）用不等式表示：x與2的和大于6，則這個不等式是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了列一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．
【詳解】解：列不等式為：，
故答案為：．
15．（2023上·浙江·八年級校聯考期末）國內航空公司規定：旅客乘機時，免費攜帶行李箱的長，寬，高三者之和不能超過115cm．某廠家生產符合該規定的行李箱．已知行李箱的寬為15cm，長與高的比為，則符合此規定的行李箱的高的最大值為 cm．
【答案】60
【分析】本題主要考查一元一次不等式的應用，熟練掌握題意是解題的關鍵；由題意可設該行李箱的長和高分別為，然后可得，進而問題可求解．
【詳解】解：由題意可設該行李箱的長和高分別為，則有：
，
解得：，
∴該行李箱的高的最大值為；
故答案為60．
16．（2023上·黑龍江大慶·八年級統考期末）已知關于的不等式組恰好有個整數解，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】本題考查不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．首先解關于x的不等式組，確定不等式組的解集，然后根據不等式組恰好有個整數解，確定a的范圍即可．
【詳解】，
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∵關于x的不等式組恰好有個整數解，則一定是2，3，
∴，
∴．
故答案為：．
17．（2023上·浙江杭州·八年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯考期中）已知，利用不等式的性質比較與的大小．
【答案】
【分析】本題考查了不等式的基本性質，根據不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變，不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變進行解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
18．（2022上·河北石家莊·九年級校考期末）某人想租用一輛汽車．現有甲、乙兩家出租公司，甲公司的出租條件為汽車每行駛需付租車費元，乙公司的出租條件為每月付3000元租車費．另外，汽車每行駛，租車人需再付元汽車磨損費，請你通過計算說明這個人租哪家的汽車較合算？
【答案】當汽車每月的行駛里程小于時，這個人租甲公司的車合算；當汽車每月的行駛里程等于時，這個人租甲、乙公司的車費用一樣；當汽車每月的行駛里程大于時，這個人租乙公司的車合算．
【分析】本題主要考查了一元一次不等式的實際應用，設汽車行駛的路程為，則甲公司所需費用為元，乙公司所需費用為元，再分當時，當時，當時，三種情況討論求解即可．
【詳解】解：設汽車行駛的路程為，則甲公司所需費用為元，乙公司所需費用為元，
當時，解得：；
當時，解得：；
當時，解得：．
∴當汽車每月的行駛里程小于時，這個人租甲公司的車合算；當汽車每月的行駛里程等于時，這個人租甲、乙公司的車費用一樣；當汽車每月的行駛里程大于時，這個人租乙公司的車合算．
19．（2024下·寧夏中衛·八年級校考期末）某經銷商計劃購進A，B兩種農產品.已知購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元．
(1)A，B兩種農產品每件的價格分別是多少元？
(2)該經銷商計劃用不超過5160元購進A，B兩種農產品40件，且A種農產品的件數不超過B種農產品件數的3倍．如果該經銷商將購進的農產品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農產品各多少件時獲利最多？
【答案】(1)A種農產品每件的價格是120元，B種農產品每件的價格是150元
(2)購進A種農產品28件，則購進B種農產品件時獲利最多
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用．
（1）設A種農產品的每件價格是x元，B種農產品每件的價格是y元，根據“購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元”，列出二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設該經銷商購進A種農產品m件，則購進B種農產品件，利用總價單價數量，結合購進A種農產品的件數不超過B種農產品件數的3倍且總價不超過5160元，列出一元一次不等式組，解之得出m的取值范圍，根據m為正整數，分別求出利潤比較即可．
【詳解】（1）解：設A種農產品的每件價格是x元，B種農產品每件的價格是y元，
依題意得：
，
解得：，
答：A種農產品每件的價格是120元，B種農產品每件的價格是150元；
（2）解：設該經銷商購進A種農產品m件，則購進B種農產品件，
依題意得：，
解得：，
m為正整數，
m可取28，29，30，
當購進A種農產品28件，則購進B種農產品件，
則
（元），
當購進A種農產品29件，則購進B種農產品件，
則
（元），
當購進A種農產品30件，則購進B種農產品件，
則
（元），
，
購進A種農產品28件，則購進B種農產品件時獲利最多，
答：購進A種農產品28件，則購進B種農產品件時獲利最多．
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第二章 方程與不等式
第四節 一元一次不等式（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式的性質 ☆☆ 吉林中考中，有關一元一次不等式（組）的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于一元一次不等式（組）的復習，需要熟練掌握一元一次不等式（組）的性質、解法和應用等考點。
考點2 一元一次不等式（組）的解法及解集表示 ☆☆☆
考點3 一元一次不等式的應用 ☆☆
■考點一　不等式的性質
1.不等式的相關概念
不等式的定義：用 “＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示 的式子，叫做 .
不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做 .
不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個 .
不等式的解集的表示方法：① ；② .
解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做 .
不等式的性質
基本性質1 若a>b，則a±c > b±c 若a基本性質2 若a>b,c>0，則ac>bc（或ac>bc）
基本性質3 若a>b,c<0，則ac■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
1.一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是 ，只含有一個未知數并且未知數的最高次數是 ，像這樣的不等式叫 .
2.一元一次不等式的一般形式： .
3.一元一次不等式組的概念：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成 ．
4.一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的 ．
5.不等式組解集的確定有兩種方法：
1） ：在數軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.
2） ：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．
6.解一元一次不等式組的一般步驟：
求出不等式組中各不等式的 .
將各不等式的解決在 表示出來.
在數軸上找出各不等式解集的 ，這個公共部分就是不等式組的解集.
■考點三　一元一次不等式的應用
1.一元一次不等式（組）的應用題的關鍵語句：
1）列不等式解應用題需要以 等詞來體現問題中的不等關系，因此，建立不等式要善于從“ ”中挖掘其內涵．
2）對一些實際問題的提示還要注意 。
2.用一元一次不等式（組）解決實際問題的步驟：
：理解并找出實際問題中的等量關系;
：用代數式表示實際問題中的基礎數據;
：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;
：求解方程;
：考慮求出的解是否具有實際意義;
：實際問題的答案.
■易錯提示
1. 方程與不等式的區別：方程表示的是相等關系，不等式表示的是不等關系.
2. 常見的不等號有：≠，>，≥，<，≤五種.
3. 用數軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓點.
4. 不等式的解與不等式的解集的區別與聯系：
1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數的某個值.
2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數的所有的值.
3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.
5. 在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同時要根據關鍵詞準確地選用不等號．另外，對一些實際問題的提示還要注意結合實際．
6. 運用不等式的性質的注意事項：
1）不等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算．
2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數一定是同一個數或同一個式子．
3）不等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數或分母．
4） 運用不等式的性質進行不等式變形時,要特別注意性質2和性質3的區別,在乘(或除以)同一個數時,必須先弄清楚這個數是正數還是負數,如果是負數,不等號要改變方向.
1. 一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.
2. 進行“去分母”和“系數化為1”時，要根據不等號兩邊同乘以（或除以）的數的正負，決定是否改變不等號的方向，若不能確定該數的正負，則要分正、負兩種情況討論．
3. 在解一元一次不等式時,上述的五個步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據不等式的形式靈活安排求解步驟.
1. 在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數軸來表示不等式組的解集的.
2. 利用數軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.
■考點一　不等式的性質
◇典例1： （2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）若，則下列不等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023下·全國·八年級假期作業）某高鈣牛奶的包裝盒上注明“每內含鈣量”，它的含義是指（ ）
A．每內含鈣量為 B．每內含鈣量不低于
C．每內含鈣量高于 D．每內含鈣量不超過
2．（2022下·廣西南寧·七年級校考階段練習）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
◇典例2：（2019下·廣西百色·七年級統考期中）如圖，是關于的不等式的解集，則的取值是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023下·七年級課時練習）若關于的方程的解是非負數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·廣西南寧·七年級校考階段練習）若實數a使得關于x方程的解為正整數，且使關于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數a的積為（ ）
A．0 B． C． D．
■考點三　一元一次不等式的應用
◇典例3：（2023上·浙江金華·八年級校聯考期中）八年級某小組同學去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學有植樹但植樹棵數不到3棵．則同學人數為（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
◆變式訓練
1．（2023下·七年級課時練習）已知藥品的保存溫度要求為，藥品的保存溫度要求為，若需要將，兩種藥品放在一起保存，則保存溫度要求為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·全國·八年級假期作業）某運行程序如圖所示，從“輸入一個值m到結果是否大于107”為一次程序操作．若進行兩次程序操作后輸出結果，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·吉林長春·統考中考真題）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·統考中考真題）與2的差不大于0，用不等式表示為（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林·統考中考真題）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林白山·校聯考二模）不等式的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·吉林長春·校考一模）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）點在第二象限，則的取值范圍在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·吉林長春·一模）已知藥品A的保存溫度要求為，藥品B保存溫度要求為，若需要將A，B兩種藥品放在一起保存，則保存溫度要求為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·吉林長春·統考一模）不等式組的解集為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林·統考中考真題）不等式的解集為 ．
11．（2021·吉林長春·統考中考真題）不等式組的所有整數解是 ．
12．（2023·吉林·統考一模）a與3的和是正數，用不等式表示為 .
13．（2023·吉林長春·校考一模）若關于 x 的不等式的解集是，則關于 x 的不等式的解集是 ．
14.（2022·吉林長春·校考模擬預測）昆明劇院舉行專場音樂會，成人票每張元，學生票每張元，暑假期間，為了吸引廣大師生來聽音樂會，劇院制定了兩種優惠方案：
方案一：購買一張成人票贈送一張學生票；
方案二：成人票和學生票都打九折．
某校有名老師和若干名不少于人學生去聽音樂會．
(1)如果該校有名學生和老師去聽音樂會，按兩種優惠方案，各應付多少門票費？
(2)請你結合參加聽音樂會的學生人數，計算說明怎樣購票花費少？
1．（2019下·七年級單元測試）已知且，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江溫州·八年級校考期中）如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·浙江溫州·八年級統考期中）不等式在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024下·全國·七年級假期作業）給出下列各數：，－2，0.8，2，3，4，5，2023，其中是不等式x－1＞0的解的有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
5．（2024下·全國·七年級假期作業）下列說法中，錯誤的是（ ）
A．不等式x＜5的整數解有無數個 B．不等式x＜5的正整數解有有限個
C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一個解
6．（2024下·全國·七年級假期作業）若是關于的一元一次不等式，則該不等式的解集是( )
A． B． C． D．
7．（2024下·全國·八年級假期作業）某公司推出兩種手機通話收費方案．方案一：月租費36元，通話費為0.1元/分；方案二：不收月租費，通話費為0.6元/分．設小明一個月的通話時間為，已知小明選擇方案一比選擇方案二更優惠，則他一個月的通話時間超過（ ）
A．60min B．70min C．72min D．80min
8．（2023下·七年級課時練習）2022年某地區空氣質量良好（二級以上）的天數與全年天數（365）之比達到60%，如果2023年（365天）這樣的比值要超過70%，那么2023年空氣質量良好的天數比去年至少要增加的天數是（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
9．（2023下·七年級課時練習）某社區閱覽室出售會員卡，每張會員卡50元，只限本人使用，憑會員卡購入場券每張2元，沒有會員卡購入場券每張4元，在什么情況下，購會員卡比不購會員卡更合算（ ）
A．購券多于30次 B．購券少于30次
C．購券多于25次 D．購券少于25次
10．（2023下·全國·八年級假期作業）小明要從甲地到乙地，兩地相距．已知他步行的平均速度為，跑步的平均速度為．若他要在不超過的時間內從甲地到達乙地，則至少需要跑步多少分鐘？設他需要跑步，則列出的不等式為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023下·全國·八年級假期作業）某人計劃在15天里加工408個零件，前3天每天加工24個．如果他要在規定時間內超額完成任務，那么他以后每天至少要加工的零件個數為（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
12．（2023下·七年級課時練習）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
13．（2023上·廣西南寧·七年級校考階段練習）已知有理數a，b的和即與差即在數軸上的位置如圖所示，化簡代數式的結果為 ．
14．（2023上·浙江衢州·八年級統考期中）用不等式表示：x與2的和大于6，則這個不等式是 ．
15．（2023上·浙江·八年級校聯考期末）國內航空公司規定：旅客乘機時，免費攜帶行李箱的長，寬，高三者之和不能超過115cm．某廠家生產符合該規定的行李箱．已知行李箱的寬為15cm，長與高的比為，則符合此規定的行李箱的高的最大值為 cm．
16．（2023上·黑龍江大慶·八年級統考期末）已知關于的不等式組恰好有個整數解，則的取值范圍為 ．
17．（2023上·浙江杭州·八年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯考期中）已知，利用不等式的性質比較與的大小．
18．（2022上·河北石家莊·九年級校考期末）某人想租用一輛汽車．現有甲、乙兩家出租公司，甲公司的出租條件為汽車每行駛需付租車費元，乙公司的出租條件為每月付3000元租車費．另外，汽車每行駛，租車人需再付元汽車磨損費，請你通過計算說明這個人租哪家的汽車較合算？
19．（2024下·寧夏中衛·八年級校考期末）某經銷商計劃購進A，B兩種農產品.已知購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元．
(1)A，B兩種農產品每件的價格分別是多少元？
(2)該經銷商計劃用不超過5160元購進A，B兩種農產品40件，且A種農產品的件數不超過B種農產品件數的3倍．如果該經銷商將購進的農產品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農產品各多少件時獲利最多？
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