資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三章 函 數(shù)
第四節(jié) 二次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆ 二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)中考點(diǎn)最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，總分值為15-20分，預(yù)計(jì)2024年吉林中考一定會(huì)考.而對于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考察，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等幾大方面，題型變化較多，考生復(fù)習(xí)時(shí)需要熟練掌握相關(guān)知識(shí)，熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對待該考點(diǎn)的復(fù)習(xí).
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與a,b,c之間的關(guān)系 ☆
考點(diǎn)3 二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做 ．
2.二次函數(shù)解析式的三種形式
（1） ：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．
（2） ：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．
（3） ：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．
3.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
解析式 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點(diǎn) （–，）
a的符號(hào) a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向 . 開口向 .
最值 當(dāng)x=–時(shí)，y最小值= 當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=
最點(diǎn) 拋物線有最 點(diǎn) 拋物線有最 點(diǎn)
增減性 當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的 ；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的 . 當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的 ；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的 .
■考點(diǎn)二　二次函數(shù)的圖象與a,b,c之間的關(guān)系
1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系
符號(hào) 圖象特征 備注
a a>0 開口向 . a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．
a<0 開口向 .
b b=0 坐標(biāo)軸是y軸
ab>0(a，b同號(hào)) 對稱軸在y軸左側(cè) 左同右異
ab<0((a，b異號(hào))) 對稱軸在y軸右側(cè)
c c=0 圖象過 . c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．
c>0 與y軸 相交
c<0 與y軸 相交
2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論
自變量x的值 函數(shù)值 圖象上對應(yīng)點(diǎn)的位置 結(jié)論
-2 4a-2b+c x軸的上方 4a-2b+c >0
x軸上 4a-2b+c =0
x軸的下方 4a-2b+c <0
-1 a-b+c x軸的上方 a-b+c >0
x軸上 a-b+c =0
x軸的下方 a-b+c <0
1 a+b+c x軸的上方 a+b+c >0
x軸上 a+b+c =0
x軸的下方 a+b+c <0
2 4a+2b+c x軸的上方 4a+2b+c >0
x軸上 4a+2b+c =0
x軸的下方 4a+2b+c <0
■考點(diǎn)三　二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng) 時(shí)，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是 . 因此，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.
與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判別式Δ=b2-4ac
2個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 b2-4ac>0
1個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 b2-4ac=0
0個(gè)交點(diǎn) 沒有實(shí)數(shù)根 b2-4ac<0
2.二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點(diǎn) 個(gè)交點(diǎn) 個(gè)交點(diǎn) 個(gè)交點(diǎn)
ax2＋bx＋c>0 的解集情況 xx2 x≠ 取任意實(shí)數(shù)
ax2＋bx＋c<0 的解集情況 x1■易錯(cuò)提示
1.二次函數(shù)的特殊形式：1)當(dāng)b＝0時(shí)， y＝ax ＋c（a）
2)當(dāng)c＝0時(shí)， y＝ax ＋bx （a）
3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)， y＝ax （a）
2. 拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時(shí)確定，單一的直接說，y隨x 的增大而增大(或減小) 是不對的，必須附加一定的自變量x 取值范圍.
3. 拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點(diǎn)的位置，且與平移方向有關(guān).
4. 涉及拋物線的平移時(shí)，首先將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式，因?yàn)槎魏瘮?shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式.
5. 解一元二次方程實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)二次函數(shù)值為0時(shí)的自變量x的取值，反映在圖象上就是求拋物線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
6. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的兩根為x1，x2(x1< x2)，則拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x 軸的交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，對稱軸為直線.
7. 如果拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于M(x1,0),N(x2,0),則MN= .
（原因：MN=| x1- x2|=）
■考點(diǎn)一　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇典例1： （2023上·河北石家莊·九年級校考階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)則a的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
◆變式訓(xùn)練
1．（吉林省長春市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期中）拋物線經(jīng)過和，則拋物線的最低點(diǎn)為（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)二　二次函數(shù)的圖象與a,b,c之間的關(guān)系
◇典例2：（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）二次函數(shù)中，y與x的部分對應(yīng)值如下：則一元二次方程的一個(gè)解x滿足條件（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y 0.25 0.76
A． B．
C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣西南寧·九年級校考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．現(xiàn)有以下結(jié)論：①拋物線開口向下；②當(dāng)時(shí)，y取最大值；③當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④直線經(jīng)過點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．正確的結(jié)論是（）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
2．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級校考期中）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于和兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（　　）

A． B． C． D．
■考點(diǎn)三　二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
◇典例3：（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．或
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù) 是常數(shù)，設(shè)分別取，，時(shí)，所對應(yīng)的函數(shù)為，以下結(jié)論：①滿足的取值范圍是；②不論取何實(shí)數(shù)，的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，滿足，則以上結(jié)論正確的是(　　)
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
2．（2023上·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，則不等式的解集為（ ）
A． B． C．或 D．或
1．（2022·吉林·校聯(lián)考一模）頂點(diǎn)為(﹣2，1)，且開口方向、形狀與函數(shù)y＝﹣2x2的圖象相同的拋物線是（　　）
A．y＝﹣2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2+1
C．y＝﹣2(x+2)2﹣1 D．y＝﹣2(x+2)2+1
2．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)平行于軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在軸的上方，連接，則面積的最大值是( )
A． B． C． D．
3．（2020·吉林長春·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)y=﹣（x﹣k）2（k為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足1≤x≤6時(shí)，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則k的值為（ ）
A．0或5 B．5或7 C．0或7 D．2或5
4．（2021·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，線段軸交此拋物線于點(diǎn)，且，則的面積是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021·吉林長春·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+4x+m的頂點(diǎn)為A，它與x軸分別交于B，C兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作DE平行于x軸交于拋物線于點(diǎn)E，BF∥CE交DE于點(diǎn)F，若3S△ABC＝4S△FEC，則m的值為（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣12 D．12
6．（2020·吉林長春·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸共有三個(gè)交點(diǎn)，則下列各數(shù)中可能的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為 ．
8．（2021·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在線段AB上，分別過點(diǎn)C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)四邊形CDFE為正方形時(shí)，線段CD的長為 ．
9．（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若拋物線（、為常數(shù)）與線段交于、兩點(diǎn)，且，則的值為 ．

10．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．若關(guān)于x的一元二次方程（t為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為 ．
11．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的左邊），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為此拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），連接，則四邊形面積的最大值為 ．

12．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過的中點(diǎn)作軸，交拋物線于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在C的左邊），連接、，若將向上平移使得B、C兩點(diǎn)恰好落在拋物線上，則點(diǎn)O平移后的坐標(biāo)為 ．

13．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則的解集為 ．
14．（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，將沿軸向下平移得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求的值；
(2)求平移的距離．
15．（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）已知是的反比例函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，．
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值．
16．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，將向右平移到的位置，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是、，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和的中點(diǎn)，求的值．

1．（2023上·黑龍江綏化·九年級校考階段練習(xí)）已知拋物線和直線在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）將拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，所得圖象的解析式為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023上·重慶江津·九年級校考階段練習(xí)）設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山東日照·九年級校考期中）如圖是拋物線的圖象，其對稱軸為，且該圖象與的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，并經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．對于任意實(shí)數(shù)，都有
5．（2023上·山東泰安·九年級校考階段練習(xí)）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到拋物線必定經(jīng)過（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期中）對于代數(shù)式、，定義一種新運(yùn)算：．①若，則或；②若、是一元二次方程的兩個(gè)根，則；③若二次函數(shù)在內(nèi)有最小值，則；④若的函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)的自變量x與y的對應(yīng)值，判斷關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解的大致范圍是（ ）
x 0 1 2 3 4
y 5 13 23
A． B． C． D．
8．（2023上·山東德州·九年級校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（2024上·黑龍江綏化·九年級校考期末）對于每個(gè)非零自然數(shù)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，以表示這兩點(diǎn)間的距離，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2023上·江蘇淮安·九年級淮安市洪澤實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）下列哪一個(gè)函數(shù)，其圖形與軸有兩個(gè)交點(diǎn)（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）如圖,拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,其部分圖像如圖所示,下列結(jié)論:
①;②;
③方程的兩個(gè)根是,;
④;⑤當(dāng)時(shí),隨增大而增大．
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
12．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期中）若點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，則m的取值范圍是 ．
13．（2023上·山東青島·九年級期末）二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
14．（2024上·甘肅隴南·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則的最大值是 ．
15．（2024上·江西南昌·九年級校考階段練習(xí)）小王同學(xué)在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，作出了如圖所示的圖像，請根據(jù)圖像判斷，當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，常數(shù)k滿足的條件是 ．
16．（2024上·安徽亳州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，小明利用計(jì)算器列出了下表：
x
那么方程的一個(gè)近似根是 （精確到）
17．（2023上·吉林白城·九年級統(tǒng)考期末）已知:拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
18．（2023上·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且其對稱軸為直線．
(1)求此拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)，點(diǎn)），若的面積為6，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（2023上·福建龍巖·九年級校考期中）已知二次函數(shù)的大致圖象如圖：
(1)求該二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)結(jié)合（1）的結(jié)論及該二次函數(shù)的圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第三章 函 數(shù)
第四節(jié) 二次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆ 二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)中考點(diǎn)最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，總分值為15-20分，預(yù)計(jì)2024年吉林中考一定會(huì)考.而對于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考察，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等幾大方面，題型變化較多，考生復(fù)習(xí)時(shí)需要熟練掌握相關(guān)知識(shí)，熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對待該考點(diǎn)的復(fù)習(xí).
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與a,b,c之間的關(guān)系 ☆
考點(diǎn)3 二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
2.二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．
（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．
（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．
3.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
解析式 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點(diǎn) （–，）
a的符號(hào) a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當(dāng)x=–時(shí)，y最小值= 當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=
最點(diǎn) 拋物線有最低點(diǎn) 拋物線有最高點(diǎn)
增減性 當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大 當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小
■考點(diǎn)二　二次函數(shù)的圖象與a,b,c之間的關(guān)系
1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系
符號(hào) 圖象特征 備注
a a>0 開口向上 a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．
a<0 開口向下
b b=0 坐標(biāo)軸是y軸
ab>0(a，b同號(hào)) 對稱軸在y軸左側(cè) 左同右異
ab<0((a，b異號(hào))) 對稱軸在y軸右側(cè)
c c=0 圖象過原點(diǎn) c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負(fù)半軸相交
2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論
自變量x的值 函數(shù)值 圖象上對應(yīng)點(diǎn)的位置 結(jié)論
-2 4a-2b+c x軸的上方 4a-2b+c >0
x軸上 4a-2b+c =0
x軸的下方 4a-2b+c <0
-1 a-b+c x軸的上方 a-b+c >0
x軸上 a-b+c =0
x軸的下方 a-b+c <0
1 a+b+c x軸的上方 a+b+c >0
x軸上 a+b+c =0
x軸的下方 a+b+c <0
2 4a+2b+c x軸的上方 4a+2b+c >0
x軸上 4a+2b+c =0
x軸的下方 4a+2b+c <0
■考點(diǎn)三　二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 因此，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.
與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判別式Δ=b2-4ac
2個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 b2-4ac>0
1個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 b2-4ac=0
0個(gè)交點(diǎn) 沒有實(shí)數(shù)根 b2-4ac<0
2.二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點(diǎn) 2個(gè)交點(diǎn) 1個(gè)交點(diǎn) 0個(gè)交點(diǎn)
ax2＋bx＋c>0 的解集情況 xx2 x≠ 取任意實(shí)數(shù)
ax2＋bx＋c<0 的解集情況 x1■易錯(cuò)提示
1.二次函數(shù)的特殊形式：1)當(dāng)b＝0時(shí)， y＝ax ＋c（a）
2)當(dāng)c＝0時(shí)， y＝ax ＋bx （a）
3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)， y＝ax （a）
2. 拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時(shí)確定，單一的直接說，y隨x 的增大而增大(或減小) 是不對的，必須附加一定的自變量x 取值范圍.
3. 拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點(diǎn)的位置，且與平移方向有關(guān).
4. 涉及拋物線的平移時(shí)，首先將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式，因?yàn)槎魏瘮?shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式.
5. 解一元二次方程實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)二次函數(shù)值為0時(shí)的自變量x的取值，反映在圖象上就是求拋物線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
6. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的兩根為x1，x2(x1< x2)，則拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x 軸的交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，對稱軸為直線.
7. 如果拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于M(x1,0),N(x2,0),則MN= .
（原因：MN=| x1- x2|=）
■考點(diǎn)一　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇典例1： （2023上·河北石家莊·九年級校考階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)則a的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．
【詳解】解：將代入函數(shù)解析式，得：，
解得：．
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（吉林省長春市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確確定拋物線的對稱軸．
根據(jù)函數(shù)解析式可確定對稱軸為，點(diǎn)在對稱軸上，因此的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象的對稱軸為，
點(diǎn)在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故選：．
2．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期中）拋物線經(jīng)過和，則拋物線的最低點(diǎn)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的對稱性．根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線，再求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過和，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴拋物線的最低點(diǎn)為．
故選：B
■考點(diǎn)二　二次函數(shù)的圖象與a,b,c之間的關(guān)系
◇典例2：（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）二次函數(shù)中，y與x的部分對應(yīng)值如下：則一元二次方程的一個(gè)解x滿足條件（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y 0.25 0.76
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圖象法求一元二次方程的近似根．找到表格中相鄰的兩個(gè)自變量的值，對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值一個(gè)大于0，一個(gè)小于0，即可．
【詳解】解：由表格可知：時(shí)，，時(shí)，，
∴當(dāng)，存在一個(gè)的值，使，
∴一元二次方程的一個(gè)解x滿足條件為；
故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣西南寧·九年級校考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．現(xiàn)有以下結(jié)論：①拋物線開口向下；②當(dāng)時(shí)，y取最大值；③當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④直線經(jīng)過點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．正確的結(jié)論是（）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的對稱性，以及二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，屬于較復(fù)雜的二次函數(shù)綜合選擇題；
結(jié)合函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的對稱性，以及根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系可以得出正確答案．
【詳解】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，由此可知，拋物線開口向下，所以①正確；
若當(dāng)時(shí)，取最大值，則由于點(diǎn)和點(diǎn)C到的距離相等，這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該相等，圖中點(diǎn)A和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，所以②正確；
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；所以③是正確的；
直線經(jīng)過點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是或，從而④錯(cuò)誤；
故選：B．
2．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級校考期中）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于和兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由圖象中拋物線在直線上方時(shí)x的取值范圍求解．解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．
【詳解】解：由圖象可得在點(diǎn)D，B之間時(shí)，二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)的上方，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，則，
故選：C
■考點(diǎn)三　二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
◇典例3：（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，代入，，根據(jù)，列出不等式即可，準(zhǔn)確理解二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求解不等式組是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴，，
則，
∵，
∴，整理得：，
解得：或，
故選：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù) 是常數(shù)，設(shè)分別取，，時(shí)，所對應(yīng)的函數(shù)為，以下結(jié)論：①滿足的取值范圍是；②不論取何實(shí)數(shù)，的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，滿足，則以上結(jié)論正確的是(　　)
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用不等式求二次函數(shù)的取值范圍．將，，代入，解不等式可判定①③，經(jīng)過定點(diǎn)，可知的系數(shù)為，則可判定②．
【詳解】解：當(dāng)分別取，，時(shí)，所對應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：
，，，
若，則，
，
即．
則①正確；
關(guān)于的函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值與無關(guān)，
即當(dāng)，，
當(dāng)，，
過定點(diǎn)，，
則②正確；
若，
或；
若，
或，
當(dāng)時(shí)，，
則③正確．
故選：D．
2．（2023上·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，則不等式的解集為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式．
先利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出拋物線在軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍得到不等式的解集，即可解答．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，
∴該二次函數(shù)的圖象與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，
∴不等式的解集為或．
故選：C
1．（2022·吉林·校聯(lián)考一模）頂點(diǎn)為(﹣2，1)，且開口方向、形狀與函數(shù)y＝﹣2x2的圖象相同的拋物線是（　　）
A．y＝﹣2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2+1
C．y＝﹣2(x+2)2﹣1 D．y＝﹣2(x+2)2+1
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵此函數(shù)的開口方向、形狀與函數(shù)，
∴該函數(shù)的關(guān)系式中，
根據(jù)頂點(diǎn)式可得該函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣2（x+2）2+1，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的知識(shí)解答．
2．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)平行于軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在軸的上方，連接，則面積的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先確定，再解方程得，，所以，設(shè)，利用三角形面積公式表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，則，，
，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，面積的最大值為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·吉林長春·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)y=﹣（x﹣k）2（k為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足1≤x≤6時(shí)，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則k的值為（ ）
A．0或5 B．5或7 C．0或7 D．2或5
【答案】C
【分析】分k＜1、1≤k≤6和k＞6三種情況考慮：
當(dāng)k＜1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
當(dāng)1≤k≤6時(shí)，由此時(shí)函數(shù)的最大值為0與題意不符，可得出該情況不存在；
當(dāng)k＞6時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．綜上即可得出結(jié)論．
【詳解】解：當(dāng)k＜1時(shí)，有-（1-k）2=-1，
解得：k1=0，k2=2（舍去）；
當(dāng)1≤k≤6時(shí)，y=-（x-k）2的最大值為0，不符合題意；
當(dāng)k＞6時(shí)，有-（6-k）2=-1，
解得：k3=5（舍去），k4=7．
綜上所述：k的值為0或7．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分k＜1、1≤k≤6和k＞6三種情況求出k值是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，線段軸交此拋物線于點(diǎn)，且，則的面積是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得點(diǎn)B坐標(biāo)與對稱軸所在直線解析式，從而求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再通過CD=BC求出BC長度，通過三角形面積=×底×高求解．
【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線x=，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），
BD=2-0=2，
∵CD=BC，
∴CD=BD=1，
∴BC=2+1=3．
∴S△ABC=×3×2=3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
5．（2021·吉林長春·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+4x+m的頂點(diǎn)為A，它與x軸分別交于B，C兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作DE平行于x軸交于拋物線于點(diǎn)E，BF∥CE交DE于點(diǎn)F，若3S△ABC＝4S△FEC，則m的值為（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣12 D．12
【答案】A
【分析】先證明四邊形BCEF是平行四邊形，求得S△FEC=BC|yD|，S△ABC=BC|yA|，求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4+m)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m)，m<0，根據(jù)題意列方程計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵BF∥CE，BC∥FE，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BC=EF，
∴S△FEC=EFOD=BCOD=BC|yD|，
S△ABC=BC|yA|，
y=﹣x2+4x+m=-( x2-4x+4-4)+m=-( x-2)2+4+m，
當(dāng)x=0時(shí)，y=m，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4+m)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m)，m<0，
∵3S△ABC=4S△FEC，
∴3×BC=4×BC，
∴3(4+m)=4(-m)，
解得：m=．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征表示相應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．
6．（2020·吉林長春·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸共有三個(gè)交點(diǎn)，則下列各數(shù)中可能的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】函數(shù)與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以此函數(shù)為二次函數(shù)，與y軸必有一個(gè)交點(diǎn)，所以與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故△＞0，代入求出k的范圍，即可解決本題．
【詳解】解：∵函數(shù)與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)
∴此函數(shù)為二次函數(shù)
∴k-2≠0
∴k≠2
∵與y軸必有一個(gè)交點(diǎn)
∴與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴△＞0
∴（-2k）2-4k（k-2）＞0
∴k＞0
∴k可以為1
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)問題，熟練二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)是由△決定以及二次項(xiàng)系數(shù)不等于零是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為 ．
【答案】/
【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若；若，即可求解．
【詳解】解：，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
若，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為，不合題意，
若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為1，
∴，
解得：或（舍去）；
綜上所述，a的值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在線段AB上，分別過點(diǎn)C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)四邊形CDFE為正方形時(shí)，線段CD的長為 ．
【答案】
【分析】點(diǎn)代入拋物線中求出解析式為，再設(shè)CD=2x，進(jìn)而求得E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,4-2x)，代入中即可求解．
【詳解】解：將點(diǎn)代入拋物線中，解得，
∴拋物線解析式為，
設(shè)CD、EF分別與軸交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，
當(dāng)四邊形CDFE為正方形時(shí)，設(shè)CD=2x，則CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,4-2x)，代入拋物線中，
得到：，
解得，(負(fù)值舍去)，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形邊長相等等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若拋物線（、為常數(shù)）與線段交于、兩點(diǎn)，且，則的值為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)的坐標(biāo)和的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到的值，本題得以解決．
【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
拋物線、為常數(shù)）與線段交于、兩點(diǎn)，且，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
拋物線，
解得，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
10．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．若關(guān)于x的一元二次方程（t為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再根據(jù)將一元二次方程的實(shí)數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點(diǎn)，結(jié)合圖象，在的范圍確定y的取值范圍即可求解．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為．
一元二次方程的實(shí)數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點(diǎn)，如圖，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
∵方程在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象在的范圍內(nèi)與的圖象有交點(diǎn)，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶?shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，從而借助數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
11．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的左邊），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為此拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），連接，則四邊形面積的最大值為 ．

【答案】
【分析】過作于，如圖所示，根據(jù)拋物線圖像與性質(zhì)求出的坐標(biāo)，再由，利用二次函數(shù)最值性質(zhì)求出四邊形面積最大值即可得到答案．
【詳解】解：過作于，如圖所示：

設(shè)，則，
拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的左邊），與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得或，即、，
，
，
拋物線開口向下，有最大值，即當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合的面積最值問題，熟練掌握二次函數(shù)綜合面積問題解法，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過的中點(diǎn)作軸，交拋物線于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在C的左邊），連接、，若將向上平移使得B、C兩點(diǎn)恰好落在拋物線上，則點(diǎn)O平移后的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】先求出，從而可得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入函數(shù)解析式可得的縱坐標(biāo)，從而可得的中點(diǎn)向上平移的距離，由此即可得．
【詳解】解：拋物線與軸交于點(diǎn)，
，
過的中點(diǎn)作軸，
點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
，
如圖，設(shè)點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
則的中點(diǎn)向上平移了個(gè)單位長度，
所以點(diǎn)也向上平移了個(gè)單位長度，
所以點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則的解集為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)題意可得是方程的一個(gè)解，據(jù)此求出，則不等式可以化簡為，由此求解即可．
【詳解】解：∵拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，
∴是方程的一個(gè)解，
∴，
∴，
∴即為，
∴
∵拋物線開口向上，
∴，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與一元二次方程，正確推出是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，將沿軸向下平移得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求的值；
(2)求平移的距離．
【答案】(1)2
(2)5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)平移的特點(diǎn)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于，

是等腰直角三角形，，
，
，
（2）解：由平移可得點(diǎn)橫坐標(biāo)和點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，設(shè)，
在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
，
平移的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形變化-平移，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．
15．（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）已知是的反比例函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，．
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）將代入求出函數(shù)值．
【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，
把，代入，得．
解得．
所以關(guān)于的函數(shù)解析式為．
（2）當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】此題考查了求反比例函數(shù)的解析式，求函數(shù)值，正確掌握待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，將向右平移到的位置，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是、，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和的中點(diǎn)，求的值．

【答案】
【分析】設(shè)，則，再求出，，由F是的中點(diǎn)，得到，再由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)， 得到，由此即可求出答案．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知 ，
設(shè)，則，
∵，，
∴軸，，
∴，
∴．
∵F是的中點(diǎn)，
∴，
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
解得，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，熟知正確用表示出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
1．（2023上·黑龍江綏化·九年級校考階段練習(xí)）已知拋物線和直線在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)圖象判斷解析式中系數(shù)的正負(fù)．
先由二次函數(shù)圖像得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)的圖像相比較看是否一致，逐一判斷即可．
【詳解】解：A．∵二次函數(shù)圖象的開口向下，
∴，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴m、n異號(hào)，
∴，
此時(shí)直線應(yīng)經(jīng)過一、二、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象不一致，故不符合題意；
B．∵二次函數(shù)圖象的開口向上，
∴，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴m、n異號(hào)，
∴，
此時(shí)直線應(yīng)經(jīng)過一、三、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象不一致，故不符合題意；
C．∵二次函數(shù)圖象的開口向下，
∴，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴m、n異號(hào)，
∴，
此時(shí)直線應(yīng)經(jīng)過一、二、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象不一致，故不符合題意；
D．∵二次函數(shù)圖象的開口向上，
∴，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴m、n異號(hào)，
∴，
此時(shí)直線應(yīng)經(jīng)過一、三、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象一致，符合題意．
故選D．
2．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）將拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，所得圖象的解析式為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：將拋物線先向右平移4個(gè)單位，得到：，再向下平移5個(gè)單位，
所得的圖象解析式是：．
故選：A．
3．（2023上·重慶江津·九年級校考階段練習(xí)）設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對稱軸的求法，根據(jù)對稱軸和開口方向分析函數(shù)的增減性，當(dāng)開口向下時(shí)，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小；反之，越大．先求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的開口方向和增減性，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴點(diǎn)A到對稱軸的距離為：，
點(diǎn)B到對稱軸的距離為：，
點(diǎn)C到對稱軸的距離為：，
∵，
∴該函數(shù)開口向下，
∵，
∴，
故選：A．
4．（2023上·山東日照·九年級校考期中）如圖是拋物線的圖象，其對稱軸為，且該圖象與的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，并經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．對于任意實(shí)數(shù)，都有
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得，再根據(jù)對稱軸可得，由此即可判斷①正確；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得時(shí)的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，從而可得當(dāng)時(shí)，，結(jié)合即可判斷②正確；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得時(shí)的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，即為，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷③正確；根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可判斷④錯(cuò)誤．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與軸的交點(diǎn)位于軸的正半軸，
，
∵拋物線的對稱軸為直線，
，
，
，選項(xiàng)A正確；
∵拋物線的開口向下，其對稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
∵拋物線的圖象與的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，
當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)的對稱性可知，時(shí)的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，
∴當(dāng)時(shí)，，即，
，選項(xiàng)B正確；
由二次函數(shù)的對稱性可知，時(shí)的函數(shù)值與的函數(shù)值相等，即為，
∵該拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，且，
∴由二次函數(shù)的增減性可知，，選項(xiàng)C正確；
當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：D．
5．（2023上·山東泰安·九年級校考階段練習(xí)）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到拋物線必定經(jīng)過（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查函數(shù)圖像平移的性質(zhì)，一般先將函數(shù)化為頂點(diǎn)式：即的形式，然后按照“上加下減，左加右減”的方式寫出平移后的解析式，能夠根據(jù)平移方式寫出平移后的解析式是解題關(guān)鍵．先得到拋物線的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位的解析式，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解： ∵，
將拋物線的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得：
，
A選項(xiàng)代入，，不符合題意；
B選項(xiàng)代入， ，符合題意；
C選項(xiàng)代入， ，不符合題意；
D選項(xiàng)代入，，不符合題意；
故選：B．
6．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期中）對于代數(shù)式、，定義一種新運(yùn)算：．①若，則或；②若、是一元二次方程的兩個(gè)根，則；③若二次函數(shù)在內(nèi)有最小值，則；④若的函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成一元二次方程，①利用因式分解法解方程；②根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出，，然后代入變形得到結(jié)果；③根據(jù)定義的新運(yùn)算，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，確定答案；④利用數(shù)形結(jié)合的思想，得到當(dāng)或時(shí)，的函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
①，，
，
即，
，
解得：，，
故①正確；
②根據(jù)定義的新運(yùn)算得：
，
即，
、是一元二次方程的兩個(gè)根，
，，
，
故②正確；
③根據(jù)定義的新運(yùn)算得：
二次函數(shù)
，
，
函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
二次函數(shù)在內(nèi)有最小值，
，
故③不正確；
④根據(jù)定義的新運(yùn)算得：
函數(shù)，
令，則，
解得：，
的函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)為，，
把代入，得，
把代入，得，
當(dāng)時(shí)，的函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；
令，整理得：
，
若時(shí)，的函數(shù)圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，
即，
解得：，
當(dāng)時(shí)，的函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
綜上，當(dāng)或時(shí)，的函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
故④不正確，
故正確的是①②，
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了定義的新運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，結(jié)合題意，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)的自變量x與y的對應(yīng)值，判斷關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解的大致范圍是（ ）
x 0 1 2 3 4
y 5 13 23
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查估算能力，仔細(xì)看表，可發(fā)現(xiàn)y的值和5最接近0，再看對應(yīng)的x的值即可得．
【詳解】解：由表可以看出，當(dāng)x取1與2之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，，即這個(gè)數(shù)是的一個(gè)根．
故關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解的大致范圍是．
故選：C．
8．（2023上·山東德州·九年級校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：對于二次函數(shù)（是常數(shù)，），決定拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：時(shí)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸有1個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．根據(jù)二次函數(shù)的定義得到，根據(jù)決定拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得到，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，
∴且，
∴且．
故選：D．
9．（2024上·黑龍江綏化·九年級校考期末）對于每個(gè)非零自然數(shù)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，以表示這兩點(diǎn)間的距離，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)（為常數(shù)，）與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．通過解方程得，，則、兩點(diǎn)為，，則，則，進(jìn)一步計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
因式分解得：，
解得：，，
∴、兩點(diǎn)為，，
∴，
∴
．
故選：D．
10．（2023上·江蘇淮安·九年級淮安市洪澤實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）下列哪一個(gè)函數(shù)，其圖形與軸有兩個(gè)交點(diǎn)（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，靈活掌握拋物線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．分別令得到一元二次方程，然后通過判斷方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)確定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，所以該函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，本選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，所以該函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，本選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，所以該函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，本選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
11．（2023上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）如圖,拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,其部分圖像如圖所示,下列結(jié)論:
①;②;
③方程的兩個(gè)根是,;
④;⑤當(dāng)時(shí),隨增大而增大．
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)圖像及性質(zhì)．根據(jù)題意對序號(hào)逐個(gè)進(jìn)行分析即可得到本題答案,熟記二次函數(shù)圖像性質(zhì)是解出本題的關(guān)鍵．
【詳解】解:∵根據(jù)二次函數(shù)圖像對稱性,對稱軸為直線,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,
∴二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),即方程的兩個(gè)根是,,
∴③不正確;
∴,即,
∴①正確;
∵對稱軸為直線,
∴,即,
∴②正確;
∵當(dāng)時(shí),,
∵,
∴,
∴④不正確;
∵,對稱軸為直線,
∴當(dāng)時(shí),y隨x增大而增大,
∴⑤正確,
∴正確的序號(hào)有:①②⑤,
故選:B．
12．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期中）若點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，則m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了二次函數(shù)最值、二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)有最低點(diǎn)，拋物線的開口向上是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)原點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，則拋物線必須開口向上，可得，即可解答．
【詳解】解：解：點(diǎn)是是拋物線的最低點(diǎn)，
．
故答案為：．
13．（2023上·山東青島·九年級期末）二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)式解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．如果，那么函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式寫出即可．
【詳解】解：二次函數(shù) 圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故答案為：．
14．（2024上·甘肅隴南·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則的最大值是 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用配方法求解代數(shù)式的最大值，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得兩根之和和兩根之積，再根據(jù)兩根關(guān)系，求得系數(shù)的關(guān)系，代入代數(shù)式，配方法化簡求值即可．
【詳解】解：由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，
可得，，，
∵，可得，，即，
化簡得∶，
則，
故最大值為2．
故答案為：2．
15．（2024上·江西南昌·九年級校考階段練習(xí)）小王同學(xué)在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，作出了如圖所示的圖像，請根據(jù)圖像判斷，當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，常數(shù)k滿足的條件是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與方程的關(guān)系，求得函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合圖像即可求解．
【詳解】解：∵
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∴與直線有3個(gè)交點(diǎn)，
觀察圖像，當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，常數(shù)k滿足的條件是為或，
故答案為：或．
16．（2024上·安徽亳州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，小明利用計(jì)算器列出了下表：
x
那么方程的一個(gè)近似根是 （精確到）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解答此題的關(guān)鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法．
【詳解】解∶由可得：
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故的一個(gè)近似根，
距離x軸更近，
的一個(gè)近似根是，
的另一個(gè)近似根是
故答案為：或
17．（2023上·吉林白城·九年級統(tǒng)考期末）已知:拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到a、b的方程組，然后解方程組求出a、b即可求得解析式．
【詳解】將點(diǎn)，代入拋物線得，
，
，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式
18．（2023上·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且其對稱軸為直線．
(1)求此拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)，點(diǎn)），若的面積為6，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線解析式為；直線的解析式為
(2)或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求一次函數(shù)解析式和求二次函數(shù)解析式，正確利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)對稱軸計(jì)算公式得到，再把代入中求出a、b、c的值即可；設(shè)直線的解析式為，把代入中求出k、的值即可：
（2）如圖所示，過點(diǎn)P作軸于H，設(shè)，則，，根據(jù)，得到，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，即
把代入中得，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
設(shè)直線的解析式為，
把代入中得：，
∴，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)P作軸于H，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
19．（2023上·福建龍巖·九年級校考期中）已知二次函數(shù)的大致圖象如圖：
(1)求該二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)結(jié)合（1）的結(jié)論及該二次函數(shù)的圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
【答案】(1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
（1）令，求出x的值，即可求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)
（2）根據(jù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖像即可得出x的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，
所以該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
因?yàn)椋?br/>所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是或．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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