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第4講 導數與數列不等式
知識與方法
導數與數列型不等式的交匯問題, 主要用到兩個方面的知識點: 第一, 學生要學會找到不等式右邊和 的通項; 第二, 要學會運用放縮比較不等式左邊的通項與右邊的通項的大小.
我們通過幾道例題來給大家講解.
數列不等式常用通項求法有如下兩種:
為通項, 為前 項和
為通項, 為前 項積
導數常見放縮技巧:
典型例題
【例1】 設函數, 其中是的導函數.
(1) , 求的表達式;
（2）若恒成立,求實數的取值范圍;
（3）設, 比較與的大小, 并加以證明.
【例2】已知函數.
(1)若函數在上為增函數,求實數的取值范圍;
(2) 當且時, 證明: .
【例3】已知函數.
(1) 求函數的單調區間;
(2) 求證:.
強化訓練
1. 已知.
(1) 若, 求在上的最大值與最小值;
(2) 當時, 求證：;
(3) 當且時, 求證: .
2. 已知函數.
(1)求函數的單調區間;
(2)若不等式在區間 上恒成立,求實數的取值范圍;
(3)求證：.
3. 已知函數.
(1)當時,求函數的單調區間;
(2)當時,函數圖象上的點都在 所表示的平面區域內,求實數的取值范圍;
(3)求證: (其中, e是自然數的底數)
1第4講 導數與數列不等式
知識與方法
導數與數列型不等式的交匯問題, 主要用到兩個方面的知識點: 第一, 學生要學會找到不等式右邊和 的通項; 第二, 要學會運用放縮比較不等式左邊的通項與右邊的通項的大小.
我們通過幾道例題來給大家講解.
數列不等式常用通項求法有如下兩種:
為通項, 為前 項和
為通項, 為前 項積
導數常見放縮技巧:
典型例題
【例1】 設函數, 其中是的導函數.
(1) , 求的表達式;
（2）若恒成立,求實數的取值范圍;
（3）設, 比較與的大小, 并加以證明.
【解析】
,
.
綜上, .
(2). 令
, 易知, 則. 當時, 在上恒成立, ∴在上單調遞增, , 滿足條件; 當時, 令, 解得, 令, 解得. 于是在上單調遞減, 在 上單調遞增,
∴, 與題設矛盾, 綜上可知.
(3),
證明: 要證
,
只需證. 在(2)中取,可得, 令, 則,
故有,上述各式相加可得 .
【例2】已知函數.
(1)若函數在上為增函數,求實數的取值范圍;
(2) 當且時, 證明: .
【解析】(1) 實數的取值范圍為.
(2) 證明: 由 (1) 知, 令, 則在上為增函數, ,
即, 當且僅當時取等號.
要證明, 只需證.
在中取, 有, 則;
在中取, 易知, 則.
綜上可知成立, 則原命題成立.
【例3】已知函數.
(1) 求函數的單調區間;
(2) 求證:.
【解析】(1) 由于,
①當時, 易知, 當時, , 當時, ;
所以的單調遞增區間為, 遞減區間為;
②當時,同理可知 的單調遞減區間為 , 遞增區間為 ;
(2) 證明: 要證 成立;
只須證
即證
下面證明此式.
令此時, 所以,
由(1)知在上單調遞減,
∴當時, 即,
∴對一切成立,
∵.故結論成立.
強化訓練
1. 已知.
(1) 若, 求在上的最大值與最小值;
(2) 當時, 求證：;
(3) 當且時, 求證: .
【解析】
∴在上單調遞減, 在上單調遞增.
∵,
∴在上的最大值為,最小值為.
（2）證明:函數的定義域為, 構造函數,
∴ 函數在上單調遞增, 在上單調遞減,
∴ 在處,函數取得極大值,也就是最大值, ∴0. ∵構造函數,
∴ 函數在上單調遞減, 在上單調遞增,
∴ 在處,函數取得極小, 也就是最小值, ∴,
∵.
(3) 證明: ∵,
由 (2) 知: ,
∴
. 疊加可得 .
2. 已知函數.
(1)求函數的單調區間;
(2)若不等式在區間 上恒成立,求實數的取值范圍;
(3)求證：.
【解析】 (1) ∵, 故其定義域為,
∴, 令, 解得, 令, 解得.
故函數的單調遞增區間為, 單調遞減區間為.
（2）∵, 令, 令,
解得, 當在(0, 內變化時, 的變化如下表：
由表知, 當時函數有最大值, 且最大值為, 所以實數的取值范圍是.
(3) 證明:
由(2)知
3. 已知函數.
(1)當時,求函數的單調區間;
(2)當時,函數圖象上的點都在 所表示的平面區域內,求實數的取值范圍;
(3)求證: (其中, e是自然數的底數)
【解析】
(1) 當時, , 有,
由解得 , 由解得: 函數的單調遞增區間是, 單調遞 減區間是;
(2) 當時, 函數的圖象上的點都在 所表示的平面區域內, 即當, 時, 不等式 恒成立, 即恒成立, 設, 只需 即可, .
①當時, , 當時, , 函數在上單調遞減,
∴成立.
②當 時, 由 , 因 .
若 , 即 時, 在區間上, , 函數 在 上單調遞增, 函數在 上無最大值, 此時不滿足;
若, 即時, 函數在上單調遞減, 在區間上單調遞增, 同樣函數在上無最大值, 此時也不滿足;
③當時,
有,
故函數在上單調遞減, ∴恒成立, 綜上, 實數的取值范圍是.
(3) 證明: 當時, 在上恒成立.
,
∵
,
∴.
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