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第5講 同構(gòu)與導(dǎo)數(shù)放縮
知識與方法
同構(gòu)不等式是近些年高考模擬題的熱點(diǎn)題型，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸選擇填空和導(dǎo)數(shù)大題中，特別是恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，常規(guī)方法可能需要采用隱零點(diǎn)，往往較為繁瑣，而用同構(gòu)，則會達(dá)到四兩撥千斤的功效．
那么何為同構(gòu)？什么時候用同構(gòu)呢？顧名思義，同構(gòu)，函數(shù)結(jié)構(gòu)相同時使用，或者通過變形使不等式兩邊的函數(shù)結(jié)構(gòu)相同。例如題目給了條件能等價變形為，然后利用的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式，簡稱同構(gòu)．．
同構(gòu)第一重境界：雙變量問題、地位完全等價，只需把同一個變量移到不等式同一邊即可。給大家一些常見的例子，一看便知．
（1）
為增函數(shù)，求導(dǎo)證明即可
（2）
為減函數(shù)．
同構(gòu)第二重境界：指對跨階時使用，何謂指對跨階？簡單做一個介紹，、x、中，指數(shù)增長最快屬于第一階，x其次，屬于第二階，增長最慢，屬于第三階。如果題目中既出現(xiàn)，又出現(xiàn)，我們暫且稱之為指對跨階．
指對跨階常見模型及處理方法：
（1）積型：
（2）商型：
（3）和差型：
同構(gòu)第三重境界：有些同構(gòu)式不是很明顯的指對跨階，需要配湊常數(shù)或者自變量x，此類題型較為含蓄，需要同學(xué)們多加練習(xí)。舉例說明：
【例】如：（1）
（2）
（3）
以上就是同構(gòu)的三重境界，很多同學(xué)看完后可能同構(gòu)的運(yùn)用還是不夠靈活，要想用好同構(gòu)，還要掌握兩種方法，指對變換與放縮．
常見的指對變換有，，基于此，有如下一些變形，需要大家理解并掌握．
，；
，，
（1），
（2），，，
常見的指對變換與放縮結(jié)合有如下幾種：
，；；
，
典型例題
【例1】對下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．
（1）：
【解析】，．
（2）；
【解析】，．
（3）；
【解析】，．
（4）；
【解析】
，．
（5）；
【解析】，．
（6）．
【解析】，．
（7）；
【解析】，．
（8）；
【解析】，．
【例2】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故．
【解法2】取，，滿足，此時，，可排除BCD．
【答案】A．
【例3】已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．
【解析】
【解法1】當(dāng)，由題意可得與互為反函數(shù)，
故問題等價于在區(qū)間上恒成立．
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，得，且此時函數(shù)取到最小值，
故有，解得；
當(dāng)時，不符合條件，舍去，
故a的取值范圍是：；
【解法2】由指對函數(shù)圖像可知，，
構(gòu)造，，，，，
構(gòu)造，，
從而，．
【答案】
【例4】設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為______．
【解析】
【解法1】隱零點(diǎn)
∵實(shí)數(shù)，對任意的，不等式恒成立，∴，
設(shè)，，，，令，得，
由指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)在第一象限的圖象，得到與有且只有一個交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)為，當(dāng)時，，遞增，
當(dāng)時，，遞減，
∴在處取得極小值，且為最小值，
∴，令，解得，，
當(dāng)時，不等式恒成立，
則的最小值為．
【解法2】同構(gòu)，，
當(dāng)，不等式恒成立
當(dāng)，構(gòu)造，，，
構(gòu)造，，．
【例5】已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解析】即所以且，
構(gòu)造，所以，，故，
令，，則，
令，解得，令，解得，
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴．
【答案】C．
【例6】若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)a的最小值為______．
【解析】
，
令，則，，
易知在（0，1）上遞減，在上遞增，所以，
所以在單調(diào)遞增．
則，
易證，所以，
【答案】．
【例7】已知函，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】，令，顯然為增函數(shù)．
則原命題又等價于．
由于，所以，即得．
【解法2】，
，
，
，
，
構(gòu)造
，，
，
，
令，，
，
．
【答案】B.
【例8】對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為______．
【解析】
．
由于為增函數(shù)，所以由，得，即恒成立．
令，則，易得，所以實(shí)數(shù)a的最小值為．
【答案】．
【例9】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若，求a的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時， ，∴，∴，
∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
（2）【解法1】同構(gòu)，由，可得，即，
即，令，則，∴在上單調(diào)遞增，
∵，∴，即，
令，∴，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴，∴，∴，故a的范圍為．
【解法2】由可得，，，即，
設(shè)，∴恒成立，∴在單調(diào)遞增，
∴，∴，即，
再設(shè)，∴，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，∴，即，
∴，則，
此時只需要證，即證，
當(dāng)時，∴恒成立，
當(dāng)時，，此時不成立，綜上所述a的取值范圍為．
【解法3】由題意可得，，
∴，易知在上為增函數(shù)，
①當(dāng)時，，，
∴存在使得，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴，不滿足題意，
②當(dāng)時， ，，∴，令，
∴，易知在上為增函數(shù)，
∵，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，即，
綜上所述a的取值范圍為．
【解法4】∵，，，∴，易知在上為增函數(shù)，
∵在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
∴與在上有交點(diǎn)，∴存在，使得，
則，則，即，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴
∴
設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
∴當(dāng)時，，∴時，，
設(shè)，，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，
∴，
當(dāng)時，，
∴，∴．
【例】10．已知函數(shù)．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若，求a的取值范圍．
【解析】（1）若，則，
設(shè)，則，
故存在唯一，使得 ，即，
，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，
所以，所以在單調(diào)遞增．
（2）若，當(dāng)時， ，
若，，則．
設(shè)，則，令，則，
，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增．
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
若，只需滿足，即．
設(shè)，則，令，則，
，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
所以
所以若，即，則，
綜上所述，當(dāng)時，
強(qiáng)化訓(xùn)練
1．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解析】，函數(shù)定義域，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以時，；時，；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時，所以若存在，，使得成立，則且，所以，即，所以，，令，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， ，
【答案】D．
2．設(shè)實(shí)數(shù)．且不等式對恒成立，則m的最大值是（ ）
A．e B． C．2e D．
【解析】由題意，，，不等式對恒成立，等價于，
設(shè)，則，于是在遞增，
∵，時，不等式顯然成立，時，有，故，
令，，，故在遞增，在遞減，故，故，即m的最大值是，
【答案】D．
3．已知，不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解析】即為，設(shè)，則上式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，顯然是上的增函數(shù)，
∴，
【答案】D．
4．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，令，，由，且，知在為減函數(shù)．所以，
【答案】C．
5．已知，函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時等號成立，所以．
【答案】C．
6．已知函數(shù)，的零點(diǎn)，則______．
【解析】
．
所以，即，或．則．
【答案】2．
7．已知函數(shù)，若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是______．
【解析】（利用）
等號成立的條件是，即有解
令，則，易得．故a的最小值為．
【答案】
8．已知函數(shù)，，其中，求證：．
【解析】證明：
，
令，則，
易知，故．
9．已知函數(shù)，若，求a的取值范圍．
【解析】
．
由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕?br/>【答案】．
10．已知函數(shù)，，當(dāng)時，若恒成立，求a的取值范圍．
【解析】，當(dāng)，不等式恒成立；
當(dāng)時，，由于，【利用】
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕剩?br/>【答案】．
11．已知函數(shù)，求證時，．
【解析】證明：
令，則，易知，
又時，．所以時，．
12．已知函數(shù)，．
（1）討論，零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）若方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
【解析】（1），，令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
當(dāng)，即時，無零點(diǎn)，
當(dāng)時， 有一個零點(diǎn)，當(dāng)時， 有兩個零點(diǎn)
當(dāng)時， 有一個零點(diǎn)．
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，是的唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時，若，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
當(dāng)時，即時，無零點(diǎn)，
當(dāng)時， 有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，
當(dāng)時，當(dāng)時， ，單調(diào)遞增，
當(dāng)時， ，單調(diào)遞減，
所以，
當(dāng)時，即時，無零點(diǎn)，
當(dāng)時， 有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)．
（2）若方程有實(shí)數(shù)根，即有大于零的實(shí)數(shù)根，
即有大于零的實(shí)數(shù)根，
設(shè)，則，令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
設(shè)，
若方程有實(shí)數(shù)根，則存在零點(diǎn)，
，當(dāng)時，則，在單調(diào)遞增，
所以存在唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
當(dāng)時，即時，存在零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時，方程有實(shí)數(shù)根．
13．已知函數(shù)，．
（1）若，求的極值；
（2）證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，．
，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以．
綜上，的極小值為，無極大值．
（2）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以若，只需，
設(shè)，則，，
所以只需證明，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，，單調(diào)遞增，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且嚴(yán)時等號成立，此時，．
所以．
14．已知函數(shù)，已知實(shí)數(shù)，若在上恒成立，求a的取值范圍．
【解析】
同時加x
構(gòu)造，單調(diào)遞增，即
15．已知函數(shù)，，若，求的最大值．
【解析】由題意：；，
而：，∴．
構(gòu)造在單增，∴，∴，∴，
∵，∴．
16．若時，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的最大值．
【解析】．
構(gòu)造，，∵，
當(dāng)時，恒成立
當(dāng)時，在
所以：．
17．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．
【解析】
【解法1】，
∴，
∴
令，單增，
．
【解法2】，，
構(gòu)造，∴，因?yàn)閱卧觯?br/>∴，∴．
18．設(shè)函數(shù)．若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．
【解析】
，
，
∴．
19．若函數(shù)有零點(diǎn)，求b的取值范圍．
【解析】，∵，
∴，
∵．
20．若，證明：．
【解析】需證：，即證：，
令，，∴，
∵在單減，即證：，即證顯然成立．
1第5講 同構(gòu)與導(dǎo)數(shù)放縮
知識與方法
同構(gòu)不等式是近些年高考模擬題的熱點(diǎn)題型，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸選擇填空和導(dǎo)數(shù)大題中，特別是恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，常規(guī)方法可能需要采用隱零點(diǎn)，往往較為繁瑣，而用同構(gòu)，則會達(dá)到四兩撥千斤的功效．
那么何為同構(gòu)？什么時候用同構(gòu)呢？顧名思義，同構(gòu)，函數(shù)結(jié)構(gòu)相同時使用，或者通過變形使不等式兩邊的函數(shù)結(jié)構(gòu)相同。例如題目給了條件能等價變形為，然后利用的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式，簡稱同構(gòu)．．
同構(gòu)第一重境界：雙變量問題、地位完全等價，只需把同一個變量移到不等式同一邊即可。給大家一些常見的例子，一看便知．
（1）
為增函數(shù)，求導(dǎo)證明即可
（2）
為減函數(shù)．
同構(gòu)第二重境界：指對跨階時使用，何謂指對跨階？簡單做一個介紹，、x、中，指數(shù)增長最快屬于第一階，x其次，屬于第二階，增長最慢，屬于第三階。如果題目中既出現(xiàn)，又出現(xiàn)，我們暫且稱之為指對跨階．
指對跨階常見模型及處理方法：
（1）積型：
（2）商型：
（3）和差型：
同構(gòu)第三重境界：有些同構(gòu)式不是很明顯的指對跨階，需要配湊常數(shù)或者自變量x，此類題型較為含蓄，需要同學(xué)們多加練習(xí)。舉例說明：
【例】如：（1）
（2）
（3）
以上就是同構(gòu)的三重境界，很多同學(xué)看完后可能同構(gòu)的運(yùn)用還是不夠靈活，要想用好同構(gòu)，還要掌握兩種方法，指對變換與放縮．
常見的指對變換有，，基于此，有如下一些變形，需要大家理解并掌握．
，；
，，
（1），
（2），，，
常見的指對變換與放縮結(jié)合有如下幾種：
，；；
，
典型例題
【例1】對下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．
（1）：
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（7）；
（8）；
【例2】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【例3】已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．
【例4】設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為______．
【例5】已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例6】若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)a的最小值為______．
【例7】已知函，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例8】對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為______．
【例9】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若，求a的取值范圍．
【例】10．已知函數(shù)．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若，求a的取值范圍．
強(qiáng)化訓(xùn)練
1．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)實(shí)數(shù)．且不等式對恒成立，則m的最大值是（ ）
A．e B． C．2e D．
3．已知，不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)，的零點(diǎn)，則______．
7．已知函數(shù)，若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是______．
8．已知函數(shù)，，其中，求證：．
9．已知函數(shù)，若，求a的取值范圍．
10．已知函數(shù)，，當(dāng)時，若恒成立，求a的取值范圍．
11．已知函數(shù)，求證時，．
12．已知函數(shù)，．
（1）討論，零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）若方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
13．已知函數(shù)，．
（1）若，求的極值；
（2）證明：．
14．已知函數(shù)，已知實(shí)數(shù)，若在上恒成立，求a的取值范圍．
16．若時，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的最大值．
17．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．
18．設(shè)函數(shù)．若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．
19．若函數(shù)有零點(diǎn)，求b的取值范圍．
20．若，證明：．
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